Voorbeeldoplossing toets: Analytische meetkunde loodrechte stand

Transcriptie

1 Voorbeeldoplossing toets: Analytishe meetkunde loodrehte stand met A,, B,7 en C, Bepaal de Gegeven is een driehoek ABC oördinaat van het snijpunt van de zwaartelijn uit A met de hoogtelijn uit C M, BC 7 za y x Dus za y x, dus mab mh 7 C, zodat hc y x Eenvoudiger geshreven: hc y x 6 7 y x x * Snijpunt bepalen: *: x 7 7 x xxx, 7 y y x 6 6 en 7 y Het snijpunt is dus Gegeven zijn de punten A, en punten C op de x -as zodat AC BC Elk punt op de x -as kunnen we noteren als S, B, Bepaal de oördinaten van de C,0, met R Dan geldt: ACBC m m AC BC De gezohte punten zijn dus C,0 en C,0 Men wil de volgende stelling analytish bewijzen: In een rehthoekige driehoek is een rehthoekszijde de middelevenredige tussen de shuine zijde en de loodrehte projetie van die rehthoekszijde op de shuine zijde Bepaal de oördinaat van B ' (de loodrehte projetie van B op de shuine zijde) 0a ACy x0a 0 BB' y x ( m BB ' omdat a a a x * y x Snijpunt: a a a yaxa y a Dus hebben we dat o nog AC yax a a a B', a a BB' AC ) a *: x ax a x a x a a xa x a a

2 Gegeven zijn de punten A,, B,, C,0 en, 6 D Bewijs dat vierhoek ABCD een rehthoekig trapezium is, en bereken zijn oppervlakte 06 m AB en m CD, zodat mab mcd AC CD 0 m BC, zodat mab mbc AB BC ABCD is dus wel degelijk een rehthoekig trapezium 0 AB en analoog BC en CD 0 Dus S ABCD 7, Voorbeeldoplossing toets: Analytishe meetkunde loodrehte stand met A,, B,7 en C, Gegeven is een driehoek ABC Bepaal de oördinaat van het snijpunt van de zwaartelijn uit A met de hoogtelijn uit C M, BC, dus z 7 A y x Dus: za y x mab mh 7 C, zodat hc y x Eenvoudiger geshreven: hc y x 6 7 y x x * Snijpunt bepalen: 7 y y x *: x x xxx, en dus y 6 Het snijpunt is dus S, Gegeven zijn de punten A, en C op de y-as zodat AC BC Elk punt op de y-as kunnen we noteren als B, Bepaal de oördinaten van de punten C0,, met R Dan geldt: 6 ACBC mac mbc 6 0 De gezohte punten zijn dus C 0, en C 0,

3 Men wil de volgende stelling analytish bewijzen: In een rehthoekige driehoek is een rehthoekszijde de middelevenredige tussen de shuine zijde en de loodrehte projetie van die rehthoekszijde op de shuine zijde Bepaal de oördinaat van B ' (de loodrehte projetie van B op de shuine zijde) 0 AC y x0 o nog 0 BB' y x ( m omdat BB' AC y x BB' AC ) y x x * Snijpunt: y x y x x xx xx Dus hebben we dat B', *: Gegeven zijn de punten A,, B,, C,0 en D,6 Bewijs dat vierhoek ABCD een rehthoekig trapezium is, en bereken zijn oppervlakte 06 m AB en m CD, zodat mab mcd AC CD 0 m BC, zodat mab mbc AB BC ABCD is dus wel degelijk een rehthoekig trapezium 0 AB en analoog BC en CD 0 Dus S ABCD 7,

4 Voorbeeldoplossing toets: de irkel (inleiding) Noteer telkens de grootte van hoek onder de iguur 6 8 In een irkel met middelpunt M is AB een diameter CD is een koorde die AB snijdt in een punt S en zodat DM een bissetrie is van ADC Verder weet je dat BMC 8 BDC (hoodstelling) B AD ADM MD C ( BDA 90 (OHC) en MAD is gelijkbenig) BMD 8 (hoodstelling) BSD 7 (buitenhoek) Twee diameters AB en CD van een irkel staan loodreht op elkaar De koorde DE snijdt AB in een punt F (zie iguur) Als je weet dat DF 8 en EF,, bereken dan de straal van deze irkel 90 HH DMF DEC OHC DMF DEC MDF EDC gem DC DE r, r 0 DF DM 8 r Bewijs de stelling van de binnenomtrekshoek: (zie iguur) Teken AD, dan zijn SAD en SDA (hoodstelling) Dus is (buitenhoek) Gegeven is een driehoek ABC en zijn omgeshreven irkel, met middelpunt M AD is het hoogtelijnstuk op zijde BC Bewijs dat BAD MAC Teken het apothema MN van AC dan is MN AC Wegens de hoodstelling weten we dat ABC AMC en ook AMN NMC, en dus wegens het vorige dat ABC AMN De twee driehoeken ABD en AMN zijn dus gelijkvormig (HH), en daarom geldt ook BAD MAC

5 Voorbeeldoplossing toets: de irkel (inleiding) Noteer telkens de grootte van hoek onder de iguur In een irkel met middelpunt M is AB een diameter CD is een koorde die AB snijdt in een punt S en zodat DM een bissetrie is van ADC Verder weet je dat BMC 76 Bereken de aangeduide hoeken BDC 8 (hoodstelling) B AD ADM MD C6 ( BDA 90 (OHC) en MAD is gelijkbenig) BMD (hoodstelling) BSD 78 (buitenhoek) Twee diameters AB en CD van een irkel staan loodreht op elkaar De koorde BE snijdt CD in een punt F (zie iguur) Als je weet dat BF en EF, bereken dan de straal van deze irkel (HINT: ga op zoek naar gelijkvormige driehoeken) 90 HH BMF BEA OHC BMF BEA MBF EBA AB BE r 8 r 0 gem FB BM r Bewijs de stelling van de binnenomtrekshoek: (zie iguur) Teken AD, dan zijn SAD en SDA (hoodstelling) Dus is a (buitenhoek) Gegeven is een driehoek ABC en zijn omgeshreven irkel, met middelpunt M AD is het hoogtelijnstuk op zijde BC Bewijs dat BAM DAC Teken het apothema MN van AB dan is MN AB Wegens de hoodstelling weten we dat ACB AMB en ook AMN NMB, en dus wegens het vorige dat ACB AMN De twee driehoeken ACD en AMN zijn dus gelijkvormig (HH), en daarom geldt ook BAM DAC

6 Voorbeeldoplossing toets: parate kennis in verband met irkels (A) Stel de vergelijking op (uitgewerkt) van de irkel C met middelpunt M, en straal r x y Controleer dat punt P, x xy 6y9 60 x y x y :OK Bepaal het middelpunt en de straal van de irkel M, en r 7 6 C x y x0y70 Een driehoek ABC heet hoeken A 66, B 60 en C De raaklijnen in A, B en C aan de omgeshreven irkel van ABC snijden elkaar in P, Q en R (zie iguur)! Bereken de grootte van de hoek P Noteer zorgvuldig je werkwijze De hoeken PAB en PBA meten allebei ook want het zijn raakomtrekshoeken op dezelde boog als hoek C Dus moet hoek P 7 (hoekensom in PAB) Voorbeeldoplossing toets: parate kennis in verband met irkels (B) Stel de vergelijking op (uitgewerkt) van de irkel C met middelpunt M, en straal r x y Controleer dat punt P, x 6x9y y 60 x y x y :OK Bepaal het middelpunt en de straal van de irkel M 7, en r 9 6 C x y xy0 Een driehoek ABC heet hoeken A66, B 60 en C De raaklijnen in A, B en C aan de omgeshreven irkel van ABC snijden elkaar in P, Q en R (zie iguur)! Bereken de grootte van de hoek Q Noteer zorgvuldig je werkwijze De hoeken QCB en QBC meten allebei ook 66 want het zijn raakomtrekshoeken op dezelde boog als hoek A Dus moet hoek Q 8 (hoekensom in QBC )

7 Voorbeeldoplossing toets: de irkel Bewijs de stelling: Een raaklijn aan een irkel staat loodreht op de middellijn door het raakpunt Theorie! AB is de diameter van een irkel met middelpunt M en straal De koorde AC raakt de irkel met diameter BM in punt D Bereken de lengte BC Teken het lijnstuk M' D, dan geldt ADM ' 90 (rkl) Bovendien is ook ACB90 (oh), zodat: Cˆ Dˆ 90 BC AB BC ADM' ACD BC Aˆ Aˆ ( gem) M' D AM' De irkel heet als diameter AD, dat tevens de zijde is van een vierkant ABCD, met AD 6 Punt P ligt op zijde CD zodat PD Kies zel een assenstelsel en onderzoek o BP een raaklijn is aan de irkel o niet Kies het assenstelsel zoals op de iguur, dan geldt B 6,0 en,6, o nog BP x y 6 0 zodat BP y x 6 P, d M BP, met We berekenen, dm, BP 8r BP is een raaklijn aan irkel Gegeven is de irkel x y 6xy 0 en het punt binnen deze irkel P, Stel de vergelijking op van de irkel ' met middelpunt P zodanig dat de irkels en ' elkaar inwendig raken We weten dat twee irkels M, r en Pr, ' elkaar inwendig raken als en M 0,8 : slehts als geldt dat MP r r' Voor irkel geldt M, en r 9 Dus ' MP rr r' 0 r' r' r' r' r' ' ' De twee oplossingen zijn dus x y en x y

8 Voorbeeldoplossing toets: de irkel Bewijs de stelling van de maht van een punt tov een irkel: als een rehte door een punt P een irkel snijdt in A en A en een andere rehte door P snijdt die in B en B, dan geldt PA PA PB PB Theorie! AB is de diameter van een irkel met middelpunt M en straal 6 De koorde BC raakt de irkel met diameter AM in punt D Bereken de lengte AC Noteer zorgvuldig je werkwijze Teken het lijnstuk M' D, dan geldt BDM ' 90 (rkl) Bovendien is ook ACB90 (oh), zodat: Cˆ Dˆ 90 AC AB AC BDM' BCA AC Bˆ Bˆ ( gem) M' D M' B 9 De irkel heet als diameter AD, dat tevens de zijde is van een vierkant ABCD, met AD 0 Punt P ligt op zijde CD zodat PD Kies zel een assenstelsel en onderzoek o BP een raaklijn is aan de irkel o niet Kies het assenstelsel zoals op de iguur, dan geldt B 0,0 en,0, o nog BP x y 80 0 zodat BP y x 0 P, We berekenen dm, BP, met 0, dm, BP 0r BP is een raaklijn aan irkel Gegeven is de irkel x y x8y8 0 en het punt binnen deze irkel P, Stel de vergelijking op van de irkel ' met middelpunt P zodanig dat de irkels en ' elkaar inwendig raken We weten dat twee irkels M, r en Pr, ' elkaar inwendig raken als en M : slehts als geldt dat MP r r' Voor irkel geldt M, en r 68 Dus ' MP rr r' 0 r' r' r' r' r' ' ' De twee oplossingen zijn dus x y en x y

9 Vul het ontbrekende aan: Als x x, dan is dom R Bij x is het verloop (S&D): x x 0 x ց ց Als x x, dan is bld R Als x x dan is het tekenverloop: x 0 x 0 Stel xax x Bereken voor welke waarde van de parameter ar geldt dat x, x 9 9 a a 76a7a Beshouw de untie x x, 9 Gee aan hoe je de graiek van bekomt uit die van de standaard vierkantswortel met untievoorshrit 0 x x, en benoem ook (symbolish) de opeenvolgende transormaties 0 x u y u v,0 x S x x x x x 0x x x x x x x v 0, x x Stel de untievoorshriten op van de hiernaast getekende unties en Ze zijn bekomen door elementaire transormaties uit te voeren op x x, x x o x x xax S env, x,0 a 0a x x, xa x S env O, a a x x

10 Vul onderstaand transormatieshema aan: x x 0 x x x x 7 x x v,0 u x u y 7 7 x v 0, x x 7 x S y