Enkel-, Dubbelverhouding en Harmonische Objecten

Transcriptie

1 januari 2008 Enkel-, Dubbelverhouding en Harmonische Objecten Inleiding In de meetkunde werkt men vaak met verhoudingen van de afstanden van één punt tot twee andere. In het bijzonder natuurlijk bij de stelling van Menelaos en Ceva. Zoals gebruikelijk is in de wiskunde wordt er dan een nieuw begrip met naam en eigen notatie ingevoerd: de enkelverhouding. Vanuit daar blijft de zogenaamde dubbelverhouding niet lang uit. Deze laatste is het Zwitsers zakmes van de meetkunde. Je kan er ongelooflijk veel mee en na veel oefenen en prutsen bijna alles. In de volgende paar secties worden de belangrijkste, en meest voorkomende, mogelijkheden behandeld. 1 De Enkelverhouding Laten we om te beginnen de enkelverhouding definiëren. Definitie 1.1: Laat gegeven zijn dat A, B en C drie punten op een lijn zijn. Dan is de enkelverhouding (ABC) gedefinieerd door (ABC) = AC BC. Merk op dat de enkelverhouding goed gedefinieerd is, aangezien deze onafhankelijk is van de oriëntatie op de lijn. Deze nieuwe notatie geeft gelijk de mogelijkheid tot het herformuleren van twee nuttige stellingen die reeds in de inleiding zijn genoemd. Stelling 1.1 (Menelaos): Z ij ABC een driehoek met de punten P, Q en R respectievelijk op de zijden BC, CA en AB. Dan zijn P, Q en R collineair, dan en slechts dan als: (BCP )(CAQ)(ABR) = 1. De andere stelling, die in vorm erg lijkt op de stelling Menelaos, wordt: Stelling 1.2 (Ceva): Z ij ABC een driehoek met de hoektransversalen AD, BE en CF, zodat D, E en F respectievelijk op BC, CA en AB liggen. Dan geldt dat de hoektransversalen concurrent zijn dan en slechts dan als (BCD)(CAE)(ABF ) = 1. 1

2 Let op: door de hier genomen definitie van de enkelverhouding zijn de 1 en 1 omgedraaid ten opzichte van deze stellingen in lesbrief 6. Om even te wennen aan de nieuwe terminologie en notatie enkel opgaven. Opgaven 1. Bewijs dat de enkelverhouding behouden blijft onder centrale projecties van de ene lijn op een andere evenwijdige. NB: Een centrale projectie vanuit een vast punt P is een afbeelding van een lijn, l 1, naar een andere -in dit geval dus evenwijdige- lijn, l 2, door een punt A op l 1 af te beelden op het punt A op l 2 dat collineair is met A en P. 2. Bewijs dat de enkelverhouding behouden blijft onder parallelprojecties. NB: Een parallelprojectie in de richting r is een afbeelding van een punt A 1 op een lijn l 1 naar het punt A 2 op lijn l 2, zodat dat A 1 A 2 r. Eigenlijk is een parallelprojectie niets anders dan een centrale projectie vanuit een oneigenlijk punt. 3. Zij Γ een Apolloniuscirkel van A en B die AB inwendig snijdt in D en uitwendig in E. Bewijs dat (ABD) = (ABE). 4. Bekijk de driehoek ABC met de punten D, E en F op de zijden (D tegenover A enz). Noem het snijpunt van DE en AB: F. Bewijs dat (ABF ) = (ABF ) dan en slechts dan als AD, BE en CF concurrent zijn. 2

3 2 De Dubbelverhouding Uit opgaven 1.1 en 1.2 blijkt dat de enkelverhouding, onder bepaalde voorwaarden, behouden blijft onder projectieve transformaties. Men zou zich nu kunnen afvragen of er een meetkundige grootheid is die altijd behouden blijft. Zoals we later zullen zien in deze sectie voldoet de dubbelverhouding, die als volgt gedefinieerd wordt. Definitie 2.1: B eschouw vier punten A, B, C en D op een lijn. De dubbelverhouding (ABCD) wordt gedefinieerd door: (ABCD) = (ABC) AC (ABD) = BC AD BD = AC BC BD AD. Belangrijk om op te merken is dat, net als de enkelverhouding, de dubbelverhouding onafhankelijk is van de oriëntatie van de lijn en dus goed gedefinieerd. Voordat we dat men kan bewijzen dat de dubbelverhouding inderdaad behouden blijft onder projectieve transformaties, dient er nog een begrip ingevoerd te worden. Definitie 2.2: Een bundel is de configuratie die gevormd wordt door vier lijnen a, b, c en d die een gemeenschappelijk punt hebben. Dit gemeenschappelijke punt noemt men ook wel de top van de bundel. De dubbelverhouding van de bundel (abcd) wordt met behulp van gerichte hoeken gedefinieerd door (abcd) = sin (a, c ) sin (a, d ) sin (b, d ) sin (b, c ), waarin a, b, c en d halfrechten zijn met als beginpunt de top van de bundel en waarvan de richting overeenkomt met respectievelijk a, b, c en d. Hoewel er twee mogelijke halfrechten zijn per lijn met die eigenschap is de gedefinieerde dubbelverhouding onafhankelijk daarvan. Als men immers kijkt naar de verschillen wanneer men de ene of de andere halfrechte neemt, zal men zien dat er precies twee sinussen zijn die van teken veranderen. NB: Merk op dat aangezien a, b, c en d halfrechten zijn de sinussen eenduidig bepaald zijn. Als men de top van de bundel S noemt en de punten A, B, C en D gegeven zijn op de respectievelijke lijnen a, b, c en d, dan noteert men de bundel abcd ookwel met S(ABCD), welke ook gebruikt wordt als dubbelverhouding van die bundel. Verder zou het men kunnen opvallen dat een bundel en een collineair viertal elkaars duale zijn, evenals de respectievelijke dubbelverhoudingen. Met bovenstaande termen kan één van de belangrijkste stellingen met dubbelverhoudingen begrepen en bewezen worden. Stelling 2.1: Beschouw een bundel abcd en een lijn l die niet door het gemeenschappelijke punt van de bundel gaat en deze wel snijdt in A, B, C en D (A op a enz). Dan is 3

4 (ABCD) = (abcd). Bewijs: Zij S de top van de bundel en a, b, c en d de halfrechten met beginpunt S, waarop respectievelijk de punten A, B, C en D liggen. Neem op l de oriëntatie die overeenkomt met in de positieve richting (tegen de klok in) om S heen lopen. Als l dus recht ligt van S dan is de afstand AB positief als A onder B ligt. Als l links ligt ten opzichte van S dan zal A juist boven B moeten liggen. Noem verder de (positieve) afstand van S tot l: h. Dan levert het op twee manieren berekenen van de gerichte oppervlakte van SAC en SAD: [SAC] ± = 1 2 SA SC sin (a, c ) = 1 2 h AC en [SBC] ± = 1 2 SB SC sin (b, c ) = 1 2 h BC. Waaruit volgt dat (ABC) = AC BC = [SAC] ± = SA SC sin (a, c ) [SBC] ± SB SC sin (b, c ) (1) Analoog krijgt men met de driehoeken SAD en SBD (ABD) = AD BD = [SAD] ± = SA SD sin (a, d ) [SBD] ± SB SD sin (b, d ) (2) Uit (1) en (2) volgt (ABCD) = (abcd) direct. NB: Merk op dat door de keuze van oriëntatie op l dat de twee verschillende oppervlakteformules hetzelfde teken hebben. Hoewel deze stelling zelden op een handige manier gebruikt kan worden, geeft het wel aanleiding tot enkele stellingen die erg nuttig zijn. Stelling 2.2: Z ij abcd een bundel en l en l twee lijnen die de bundel snijden in respectievelijk A, B, C en D, en A, B, C en D (met A en A op a enz.). Dan geldt (ABCD) = (A B C D ). Bewijs: Uit Stelling 2.1 volgt (abcd) = (ABCD) en (abcd) = (A B C D ). Zo dat men meteen ziet dat (ABCD) = (A B C D ). Het omgekeerde van stelling 2.2 is niet waar, tenzij men een kleine voorwaarde meegeeft. Stelling 2.3: Z ij XBCD en XB C D twee collineaire viertallen met een gemeenschapelijk punt X. Als geldt dat (XBCD) = (XB C D ) dan zijn de lijnen BB, CC en DD concurrent. 4

5 Bewijs: Om te beginnen kijken we naar het geval dat BB CC. Uit (XBCD) = (XB C D ) volgt dan dat ook DD evenwijdig moet lopen met deze lijnen. De lijnen snijden elkaar dus in een oneigenlijk punt. Stel nu dat BB CC. Dan bestaat het snijpunt S van deze lijnen. Definieer nu E = B C SD, dan volgt uit Stelling 2.2 (XBCD) = (XB C E). Maar er was gegeven dat (XBCD) = (XB C D ), dus (XB C D ) = (XB C E). Hieruit volgt, zie opgave 1, dat D = E en dus dat DD = DE net als BB en CC door S gaat. Een belangrijk feit om te weten is over de dubbelverhouding is dat het toelaten van oneigenlijke punten nuttige toepassingen heeft. Meer daarover in de volgende secties, maar alvast een voorproefje in opgave 3. Opgaven 1. Zij A, B, C, D en D vijf punten op een lijn. Dan geldt (ABCD) = (ABCD ) dan en slechts dan als D = D. 2. (a) Bewijs dat (BADC) = (ABCD) = (CDAB) = (DCBA). (b) Ga na dat er maximaal 6 verschillende waarden bestaan onder alle mogelijke dubbelverhoudingen van vier punten. (c) Bewijs ook dat geldt: (ABDC) = 1 (ABCD) en (ACBD) = 1 (ABCD). (d) Bepaal nu welke zes mogelijke waarden er kunnen voorkomen onder de dubbelverhouding van de permutaties van vier punten (druk ze uit in d = (ABCD)). Bepaal verder wanneer er minder dan zes verschillende waarden zijn. Hebben deze gevallen een speciale meetkundige betekenis? 3. Bekijk een bundel abcd en een lijn l met l d. Definieer A = l a, B = l b en C = l c. Bewijs dat (ABC ) = (abcd) en ga na dat opgave 1.1 hier direct uit volgt. (Met de notatie (ABC ) wordt bedoeld (ABC), A en B zijn toch even lang.) Stelling 2.2 geldt dus ook als de snijpunten van verschillende lijnen oneigenlijke punten zijn. 4. (Vlinderstelling) Zij Ω een cirkel met koorde P Q met midden M. Laat nu AB en CD twee andere (en verschillende) koorden zijn door M zodat A en C aan dezelfde kant van P Q liggen. Noem de snijpunten van AD en CB met P Q respectievelijk X en Y. Bewijs dat M het midden is van XY. 5. (Algemene Vlinderstelling) Zij P Q een willekeurige koorde van cirkel Ω en M een willekeurig punt op deze koorde. Verder gaan de koorden AB en CD van Ω ook door M, zodat X MP en Y MQ, met X = AD P Q en Y = BC P Q. Bewijs dat 1 MP + 1 MX = 1 MQ + 1 MY. 5

6 6. Laat D, E en F punten op de zijden van de driehoek ABC zijn (D tegenover A enz.), zodat AD, BE en CF concurrent zijn. Definieer nu X, Y en Z als de snijpunten van respectievelijk EF en BC, DE en AB, en DF en AC. Bewijs dat X, Y en Z collineair zijn. 7. (Desargues) Beschouw twee driehoeken ABC en A B C. Bewijs dat de snijpunten van AB en A B, BC en B C, en CA en C A collineair zijn dan en slechts dan als AA, BB en CC concurrent zijn. 8. (Pappus) Zij A 1, B 1 en C 1 drie punten op de lijn l 1 en A 2, B 2 en C 2 drie punten op l 2. Noem de snijpunten van A 1 B 2 en A 2 B 1, B 1 C 2 en B 2 C 1, en C 1 A 2 en C 2 A 1 respectievelijk X, Y en Z. Bewijs dat X, Y en Z op een lijn liggen. 6

7 3 Harmonische Viertallen In opgave 2.2 zijn de situaties bekeken waar de dubbelverhoudingen van de permutaties van vier punten slecht drie waarden aannamen. In het ene geval waren dat de waarden 0, 1 en, die overeenkomen met het samenvallen van sommige punten. In het andere geval waren het de waarden 1, 1 en 2. Dit laatste geval is een bijzondere, maar niet triviale, situatie. 2 Men zegt dat ABCD een harmonisch viertal is. Door vanaf nu aan te nemen dat de punten in de volgorde A, C, B en D op een lijn liggen, kan men garanderen dat (ABCD) = 1 en niet 1 of 2. Nu valt te verklaren waarom men in deze situatie ook wel zegt dat AB de lijn 2 CD harmonisch scheidt, zie voor extra motivatie opgave 1. Het voordeel van harmonische viertallen is dat er naast de stellingen beschreven in sectie 2 ook nog enkele andere zijn die niet gelden voor willekeurige dubbelverhoudingen, maar wel voor dubbelverhoudingen die 1 zijn. Bekijk eerst nog even opgaven 1.3 en 1.4. Ga nog even na dat in die gevallen geldt dat ABDE en ABF F harmonisch viertallen zijn. Op die twee waarnemingen zijn de eerste drie stellingen gebaseerd. Waarbij de eerste letterlijk is overgenomen van opgave 1.4. Stelling 3.1: Z ij ABC een driehoek met de punten D, E en F op de zijden (D tegenover A enz). Noem het snijpunt van DE en AB: F. Er geldt dat (ABF F ) = 1 dan en slechts dan als AD, BE en CF concurrent zijn. De tweede stelling volgt vrij direct uit de eerste. Stelling 3.2: M et de notaties als in Stelling 3.1: stel dat AD, BE en CF door één punt gaan: S. Noem verder het snijpunt van CF en DE: T. Dan geldt (CST F ) = 1. Bewijs: Bekijk de bundel D(ABF F ). Op deze bundel liggen de collineaire viertallen: A, B, F en F, en S, C, F en T. Dus volgens Stelling 2.1 (ABF F ) = (SCF T ) = (CST F ). Nu volgt uit Stelling 2.1 dat (ABF F ) = 1 en het bewijs voltooid is. De derde stelling is gebaseerd op opgave 1.3 en daarmee ook op de cirkel van Apollonius. Stelling 3.3: B eschouw vier punten, A, B, C en D, op een lijn en punt X niet op de lijn. Als er twee van de hieronder genoemde punten waar zijn, dan is de derde dat ook. 1. (ABCD) = 1 2. XC is de deellijn van AXB 3. XC XD Bovendien is XD de buitenbissectrice van AXB. 7

8 Opgaven 1. Bekijk de vier punten A, B, C en D die op één lijn liggen. Bewijs dat (ABCD) = 1 2 equivalent is met = Of te wel AB is het harmonisch gemiddelde van AB AC AD AC en AD. 2. Met de notatie als in de vorige opgave. Definieer M als het midden van AB. Bewijs dat MA 2 = MB 2 = MC MD. 3. Bewijs met behulp van de vorige opgave dat (ABCD) = 1 dan en slechts dan als de cirkel met middellijn AB alle cirkels door C en D loodrecht snijdt. 4. Ga na dat er voor ieder voor iedere drie punten A, C en B, in deze volgorde op een lijn, een vierde punt D bestaat, zodat (ABCD) = 1. Bekijk in het bijzonder het geval als C het midden is van AB en maakt met die kennis de volgende opgave. 5. Beschouw twee evenwijdige lijnen l en l. En de punten A, B, C en M waarvan de eerste drie op l liggen en de laatste op l. Verder is gegeven dat B het midden is van AC. Een willekeurige lijn door A snijdt BM, CM en l in respectievelijk D, E en F. Bewijs dat 2 AE = 1 AD + 1 AF. 6. Zij ABC een driehoek met een ingeschreven cirkel die de zijden raakt in D op BC en E op AC. Zij l de lijn door C evenwijdig aan AB. Zij M nu het midden van AB, T het snijpunt van CM en DE, en S het snijpunt van DE en l. Bewijs dat (DET S) = Bewijs dat in een driehoek ABC geldt dat (AA II a ) = 1, waar A het snijpunt is van de bissectrice van hoek A met BC, I het middelpunt is van de ingeschreven cirkel en I a het middelpunt van de aangeschreven cirkel tegenover A. 8. Zij D het punt op de zijde BC in een driehoek ABC zodat AD BC. Laat S nu een willekeurig punt zijn op AD. Verder snijden BP en CP respectievelijk AC en AB in T en V. Bewijs dat T DA = DAV. 9. Bekijk een driehoek ABC met punten X op AC en Y op AB. Zij nu Z en H de gemeenschappelijke punten van BX en CY, en AZ en XY. Als gegeven is dat BHXC een koordenvierhoek is en dat AZ XY, bewijs dan dat BX = CX. 10. Zij ABCD een parallelogram. Een lijn door A snijdt BD, CD en BC in respectievelijk E, F en G. Bewijs dat 1 AE = 1 AF + 1 AG. 8

9 11. Zij ABC een driehoek met een punt D op het verlengde van BC aan de kant van C zodat AC = CD. Noem verder de snijpunten van BE en CE, en AC en AB respectievelijk X en Y, waarin E het snijpunt, ongelijk aan C, is van de cirkel met diameter BC en omgeschreven cirkel van ACD. Bewijs dat X, Y en D collineair zijn. 12. Laat D, E en F punten op de zijden BC, CA en AB zodat AD, BE en CF concurrent zijn in S. Laat F D de lijn BE nog snijden in T. Zij verder M het midden van AK en is V het snijpunt van EM en AB. Bewijs dat V T AD. 13. Gegeven zijn twee vaste lijnen l en l, die elkaar snijden in A, en een vast punt D. Bekijk alle X en Y waarvan men weet dat X l en Y l zodanig dat XDA = Y DA. Bewijs dat XY door een vast punt gaat. 14. Gegeven is een driehoek ABC met M het midden BC en H het hoogtepunt. De projecties van H op de zijden zijn D, E en F (met D tegenover A enz). Definieer S = BC EF en T = AM SH. Bewijs dat AM SH en dat AB = AC AT B = AT C. 15. Zij ABC een driehoek met M, N en P de middens van de zijden, D, E en F de punten waarde ingeschreven cirkel de zijden raakt. Noem Y = DF MN, X = DE MP en A = XY BC. Bewijs dat AX XA = AY Y A. 16. In een convexe vierhoek ABCD is gegeven dat de snijpunten P = AB CD, Q = AD BC en S = AC BD bestaan. Verder is O de projectie van S op P Q. Bewijs dat AOB = COD. 9

10 4 Harmonische Vierhoeken Het feit dat twee bundels dezelfde dubbelverhouding hebben als ze opgebouwd zijn uit dezelfde hoeken, dat volgt direct uit de definitie van de dubbelverhouding voor bundels, levert de volgende stelling. Stelling 4.1: Z ij X, X, A, B, C en D zes punten op een cirkel. Dan geldt dat X(ABCD) = X (ABCD). Bewijs: Stel dat X en X niet samenvallen met A, B, C en D. Definieer a, b, c en d, en a, b, c en d als de halfrechten vanuit X richting A, B, C en D, en vanuit X naar deze zelfde punten. Dan geldt door de constante hoekstelling dat (a, c) = (a, c ) en analoog voor andere combinaties van lijnen. Uit definitie 2.2 volgt gelijk dat X(ABCD) = X (ABCD). Voor het geval dat X of X samenvalt met een van de andere vier punten, zie opgave 1. Blijkbaar is de dubbelverhouding van een bundel met top een punt op de omgeschreven cirkel van een koordenvierhoek ABCD onafhankelijk van de plaats van die top. Dit geeft ons de mogelijkheid te werken met de volgende definitie. Definitie 4.1: De dubbelverhouding van een koordenvierhoek ABCD op cirkel Γ wordt gedefinieerd door (ABCD) = X(ABCD) voor een willekeurig punt X op Γ. Als de dubbelverhouding 1 is (of 2 of 1 ) dan noemt 2 men de vierhoek harmonisch. Merk op dat de definitie eenduidig is door stelling 4.1. Belangrijk om te realiseren is dat wanneer men het over een harmonische vierhoek heeft dat het dan per definitie een koordenvierhoek is. Voor het herkennen van harmonische vierhoeken zijn vaak de volgende twee stellingen handig. Stelling 4.2: Z ij ABCD een vierhoek op cirkel Γ. Dan is ABCD harmonisch dan en slechts dan als de raaklijnen in A en B elkaar snijden op CD. Bewijs: Stel dat ABCD een harmonische vierhoek is en noem de snijpunten van AA, BB en AB met CD respectievelijk S 1, S 2 en Q Hierin zijn AA en BB de raaklijnen in de respectievelijke punten aan Γ. Aangezien 1 = (ABCD) = A(ABCD) = (S 1 QCD) en ook 1 = (BACD) = B(BACD) = (S 2 QCD), de laatste gelijkheden volgen uit de doorsnede van de bundels met de lijn CD, geldt er dus (S 1 QCD) = (S 2 QCD). Waaruit volgt dat S 1 = S 2 en AA, BB en CD dus concurrent zijn. Stel nu dat AA, BB en CD door één punt S gaan en zij Q nog als in het vorige deel. Dan geldt (SQCD) = A(ABCD) = (ABCD), maar ook (SQCD) = B(BACD) = (BACD). 10

11 Dus ABCD is een harmonische vierhoek. Stelling 4.3: Z ij A, B, C en D verschillende punten op cirkel Γ. Dan is ABCD een harmonisch vierhoek dan en slechts dan als geldt: AC AD = BC BD. Bewijs: Uit AC = 2R sin (XA, XC) volgt direct dat (ABCD) = AC BD. Met AD BC behulp van het tweede deel van opgave 2 volgt de stelling direct. Opgaven 1. Overtuig je zelf ervan dat stelling 4.1 ook geldt in het geval waarin X samenvalt met een punt van de vierhoek. 2. Ga na dat vier verschillende punten op een lijn die voldoen aan AC = AD, waarin de BC BD lengtes ongeoriënteerd zijn, een harmonisch viertal vormen. Formuleer en bewijs een soortgelijke uitdrukking, dus zonder gerichte hoeken, voor een bundel. 3. Bewijs dat de driehoek ACD precies met één punt, B, kan worden uitgebreid tot een vierhoek ABCD zodanig dat ABCD een harmonische vierhoek is. 4. Zij ABCD een koordenvierhoek. Bewijs dat ABCD harmonisch is als en slechts als de bissectrices van A en B elkaar op CD snijden. 5. Zij P een punt buiten een cirkel Γ en A en B de raakpunten van de raaklijnen door P aan Γ. Laat de lijn door A evenwijdig aan P B de cirkel nogmaals snijden in C. Zij D het snijpunt van P C met Γ ongelijk aan C. Bewijs dat AD door het midden gaat van P B. 6. Zij ABC een scherphoekige driehoek met M het midden van BC. Definieer D en E als de snijpunten van de cirkel met middellijn AM en respectievelijk AC en AB. Laat de raaklijnen in D en E aan die cirkel elkaar snijden in P. Bewijs dat P B = P C. 7. Zij ABC een driehoek met ingeschreven cirkel ζ. Zij D, E en F de raakpunten van ζ met respectievelijk BC, CA en AB. Definieer K als het tweede snijpunt van AD met ζ en L als het snijpunt van EF met BC. Bewijs dat KL raakt aan ζ. 8. Zij ABC een driehoek met omgeschreven cirkel Γ. De projecties van B en C op respectievelijk AC en AB zijn D en E. De raaklijnen in B en C aan Γ snijden elkaar in S. Bewijs dat AD door het midden gaat van DE. 11

12 9. Beschouw een vaste lijn l met daarop een vast punt A en een vaste cirkel Γ met een vast punt B. Zij E en F twee punten op l aan dezelfde kant van A zodat BE BF = a 2 voor een vast getal a. Noem nu E en F de tweede snijpunten van BE en BF met Γ. Bewijs dat E F door een vast punt gaat. 10. Zij ABCDE een koordenvijfhoek met AC DE en AMB = BMC, waar M het midden is van BD. Bewijs dat BE door het midden gaat van AC. 11. Zij ABC een driehoek met ingeschreven cirkel ζ die de zijde BC raakt in het punt A. Zij K het snijpunt van AA met ζ ongelijk aan A. Definieer bovendien B en C als de snijpunten van respectievelijk CK en BK met ζ, beide ongelijk aan K. Bewijs dat AA, BB en CC concurrent zijn. 12. (IMO ) Gegeven is een koordenvierhoek ABCD. De voetpunten van de loodlijnen vanuit D op BC, CA en AB zijn respectievelijk P, Q en R. Bewijs dat P Q = QR dan en slechts dan als het snijpunt van de bissectrices van de hoeken ABC en ADC op AC ligt. 13. Zij ζ de ingeschreven cirkel van driehoek ABC. Zij D het raakpunt van ζ op BC, H de projectie op BC, M het midden van AH en X het tweede snijpunt van DM met ζ. Bewijs dat de omgeschreven cirkel van BXC raakt aan ζ. 14. (Pascal) Zij ABCDEF een koordenzeshoek. Bewijs dat de snijpunten van AB en DE, BC en EF, en CD en F A op een lijn liggen. 12