Stelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2
|
|
- Michiel van Beek
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Lesbrief 8 Isometrieën 1 Inleiding Een één-éénduidige afbeelding van het vlak op zichzelf heet een transformatie van het vlak. Als T 1 en T 2 transformaties zijn, wordt de transformatie T 1 gevolgd door T 2 " genoteerd als T 2 T 1. Punten in het vlak duiden we aan met hoofdletters, lijnen met kleine letters. Als A en B verschillende punten zijn, noteren we de lijn door A en B als A + B. d(a; B) is de afstand tussen A en B. Definitie 1.1 Een transformatie J van het vlak heet een isometrie (ook wel congruentie) als voor elk tweetal punten A, B geldt dat d(j (A); J (B)) = d(a; B). We presenteren nu enige fundamentele eigenschappen van isometrieën. Stelling 1.2 Elke isometrie J voert lijnen in lijnen over. Bewijs. Liggen A, B en C in deze volgorde op één lijn, dan geldt d(a; B) + d(b; C) = d(a; C). Omdat J een isometrie is, geldt dan ook d(j (A); J (B)) + d(j (B); J (C)) = d(j (A); J (C)). Dit kan alleen als ook J (A), J (B) enj (C) in deze volgorde op één lijn liggen. Op soortgelijke manier bewijs je Stelling 1.3 Laat de isometrie J de verschillende punten A en B invariant, dan laat J ook elk ander punt van A + B invariant. Bewijs. Oefening. Stelling 1.4 Laat de isometrie J drie punten A, B en C, niet op één lijn, invariant, dan is J de identiteit. Bewijs. (Zie fig. 1) J laat alle punten van de drie verbindingslijnen A + B, B + C en C + A invariant. Door een willekeurig punt D is altijd een lijn te trekken die minstens twee van deze drie lijnen snijdt. Omdat deze punten invariant blijven, geldt hetzelfde voor elk punt op de verbindingslijn, dus ook voor D. Figuur 1. 1
2 Stelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2 J 1 laat de drie punten invariant en is dus de identiteit. 2 Lijnspiegelingen Bij elke lijn l is er precies één isometrie die alle punten van l invariant laat, maar niet de identiteit is. Dit is de lijnspiegeling in l. Notatie: S l. Er geldt: 1. S l (A) =A desda A l; 2. S 2 l = id (de identiteit). Hieruit volgt meteen S l = S 1 l ; 3. bij elk tweetal verschillende punten A en B is er precies één lijn l waarvoor S l (A) = B (en dus ook A = S 2 l (A) = S l(b)). l heet de middelloodlijn van AB; 4. als A B, geldt d(a; C) = d(b; C) desda C ligt op de middelloodlijn van AB. Lijnspiegelingen zijn de bouwstenen van de vlakke isometrieën,en wel in de volgende zin: Stelling 2.1 Elke vlakke isometrie J is te schrijven als de opeenvolging van ten hoogste drie lijnspiegelingen. Bewijs. (Zie fig. 2) Kies drie punten A, B en C, nietopéén lijn. Definieer J 1 = id als A = J (A), en J 1 = S l als A J (A), waarbij l de middelloodlijn is van AJ (A). Definieer verder J 2 = J 1 als J (B) = J 1 (B) enj 2 = S m J 1 als J 1 (B) J (B), met m de middelloodlijn van J (B) enj 1 (B). Merk nu op dat J (A) =J 1 (A) op m ligt, want d(j 1 (B); J 1 (A)) = d(a; B) =d(j (A); J (B)) = d(j 1 (A); J (B)) : Hieruit volgt J 2 (A) = S m J 1 (A) = J 1 (A) = J (A). Gezien de constructie geldt ook J 2 (B) = J (B). Als bovendien geldt J 2 (C) =J (C), dan is J = J 2. Als J 2 (C) J (C), dan is de lijn n = J (A) +J (B) de middelloodlijn van J 2 (C) enj (C), dus dan is J = S n J 2. Figuur 2. 2
3 Opgave 2.1 (a) Een lijn l en twee punten A, B aan dezelfde kant van l zijn gegeven. Bepaal een punt X l zo, dat AX en BX gelijke hoeken maken met l. (b) Laat l een lijn en C 1, C 2 twee cirkels aan dezelfde kant van l zijn. Bepaal een punt X l zo, dat één van de raaklijnen aan C 1 vanuit X dezelfde hoek met l maakt als één van de raaklijnen aan C 2 vanuit X. (c) A en B zijn twee punten aan dezelfde kant van een lijn l. Bepaal een punt X l zo, dat de hoek tussen AX en l tweemaal zo groot is als de hoek tussen BX en l. (Zie fig. 3.) Figuur 3. Opgave 2.2 Gegeven zijn drie lijnen l 1, l 2 en l 3 door één punt. Construeer een driehoek ABC zo, dat l 1, l 2 en l 3 de bissectrices van de driehoek zijn. Opgave 2.3 We hebben drie lijnen l 1, l 2 en l 3 door één punt, alsmede een punt A 1 op l 1. Construeer een driehoek ABC zo, dat A 1 het midden is van de zijde BC en l 1, l 2 en l 3 de middelloodlijnen van de zijden zijn. Opgave 2.4 Construeer een vierhoek ABCD als gegeven zijn de lengten van de vier zijden, terwijl bovendien de diagonaal AC hoek A doormidden deelt. Opgave 2.5 Construeer een vierhoek ABCD die een ingeschreven cirkel heeft (een zogenaamde raaklijnenvierhoek) als de lengten van de zijden AB en AD en bovendien de hoeken B en D gegeven zijn. Opgave 2.6 Bij een rechthoekig biljart zijn de zijden opeenvolgend z 1, z 2, z 3 en z 4. Een bal wordt vanuit punt A weggestoten in een bepaalde richting, treft achtereenvolgens de zijden z 1, z 2, z 3 en z 4 en bereikt daarna weer het punt A. Bepaal alle punten A en alle vertrekrichtingen vanuit A waarvoor dit mogelijk is, en bepaal de lengte van het traject dat de bal heeft doorlopen. (De bal denken we puntvormig, terwijl bij terugkaatsen tegen een zijde `hoek van inval'=`hoek van terugkaatsing' geldt.) Opgave 2.7 (a) H is het hoogtepunt van driehoek ABC. H 1, H 2 en H 3 zijn de beelden van H bij spiegeling in de zijden van ABC. Toon aan dat ze op de omgeschreven cirkel van ABC liggen. (b) Als H 1, H 2 en H 3 gegeven zijn, vind dan driehoek ABC terug. Opgave 2.8 Bewijs dat alle eventuele symmetrie-assen van een veelhoek door één punt gaan. Opgave 2.9 S 1 en S 2 zijn spiegelingen in verschillende lijnen l 1 en l 2. Bewijs dat S 1 S 2 = S 2 S 1 desda de lijnen l 1 en l 2 snijden elkaar loodrecht. (Het samenstellen van spiegelingen - of algemener, isometrieën - is dus niet commutatief!) 3
4 3 Translaties De samenstelling van spiegelingen in evenwijdige lijnen l 1 en l 2 heet een translatie. Is X het beeld van X, dan zijn lengte en richting van het lijnstuk XX onafhankelijk van de keuze van X. De lengte is tweemaal de afstand van l 1 en l 2, en de richting is loodrecht opl 1 en l 2, gericht van l 1 naar l 2. S l1 S l2 = S l3 S l4 dan en slechts dan wanneer l 3 en l 4 evenwijdig zijn aan l 2 (en l 1 ) en als de gerichte afstand van l 1 tot l 2 gelijk is aan die van l 3 tot l 4. Men kan dus bij het ontbinden van een translatie in twee lijnspiegelingen één van beide spiegelassen door een van tevoren gegeven punt kiezen. Figuur 4. Opgave 3.1 Gegeven zijn twee steden A en B aan weerszijden van een kanaal. Waar moet je een brug over het kanaal bouwen, opdat de weg van A naar B zo kort mogelijk is? De brug moet loodrecht op het kanaal staan. Figuur 5. Opgave 3.2 Beantwoord dezelfde vraag als er meerdere kanalen overbrugd moeten worden. Opgave 3.3 Bepaal de verzameling van alle punten waarvoor de som van de afstanden tot twee gegeven snijdende lijnen gelijk is aan een gegeven waarde. Opgave 3.4 ABCD is een vierhoek, M is het midden van AD, N is het midden van BC. Bewijs dat AB CD als de lengte van MN gelijk is aan de helft van de som van de lengten van AB en CD. 4
5 4 Rotaties De samenstelling van twee spiegelingen in snijdende lijnen l 1 en l 2 heet een rotatie. Het snijpunt S van l 1 en l 2 heet het centrum, en is ff de hoek tussen l 1 en l 2, dan geldt voor elk punt X S met beeldpunt X : XSX = 2ff. 2ff heet de rotatiehoek. Meet men alle hoeken steeds met dezelfde draaizin, bijvoorbeeld tegen de wijzers van de klok in, dan is ff tot op veelvouden van 2ß na bepaald. Figuur 7. Twee rotaties R 1 = S l2 S l1 en R 2 = S l4 S l3 zijn gelijk desda l 1, l 2, l 3 en l 4 gaan door één punt, terwijl bovendien de gerichte hoeken (l 1 ;l 2 )en (l 3 ;l 4 )opveelvouden van ß na gelijk zijn. Bij het ontbinden van een rotatie in twee spiegelingen kan men dus één van de twee spiegelassen vrij door het centrum kiezen. Hebben de rotaties S l2 S l1 en S l4 S l3 hetzelfde centrum, dan kan men l 2 = l 3 kiezen. De samenstelling S l4 S l3 S l2 S l1 = S l4 S l1 is dan een rotatie met als rotatiehoek de som van de hoeken van de samenstellende rotaties. Hebben de rotaties verschillende centra, dan kan men ook l 2 = l 3 kiezen. Ook dan is S l4 S l3 S l2 S l1 = S l4 S l1. De rotatiehoek van de resulterende transformatie is ook nu weer de som van de rotatiehoeken van de componenten. Is ff + fi 0modß, dan is l 1 l 4 en de resulterende isometrie is een translatie. De rotatiehoek is dan dus 2(ff + fi) 0mod2ß. Figuur 8. Op analoge wijze toont men aan dat de samenstelling van een rotatie en een translatie een rotatie is. In het algemeen geldt dus dat de opeenvolging van elk even aantal lijnspiegelingen een rotatie, een translatie of de identiteit is. Figuur 9. Voert een rotatie R een gericht lijnstuk AB over in een gericht lijnstuk A B, dan vindt men het rotatiecentrum S als snijpunt van de middelloodlijnen m 1 en m 2 van AA en BB. De rotatiehoek is de gerichte hoek tussen de dragers van AB en A B. Is de rotatiehoek gelijk aan ß, dan is het rotatiecentrum S het gemeenschappelijke middelpunt van de lijnstukken AA en BB. De rotatie R heet dan de puntspiegeling in S, en voor elk punt X is S het midden van XR(X). 5
6 Voorbeelden: Probleem 1. Gegeven zijn vijf punten O 1,..., O 5. Zoek een vijfhoek ABCDE zo, dat de vijf gegeven punten de middens van de zijden zijn. Oplossing. (Zie ook fig. 10) Puntspiegeling in O 1 voert A over in B, puntspiegeling in O 2 voert B over in C, etcetera. De opeenvolging van de vijf puntspiegelingen voert A dus in zichzelf over. Deze opeenvolging is zelf echter ook weer een puntspiegeling (de rotatiehoek is 5ß ß mod 2ß), en A is blijkbaar het rotatiecentrum. Men vindt A daarom door een willekeurig punt X te spiegelen in O 1,..., O 5. Is X het beeld, dan is A het midden van XX. Heeft men A, dan vindt men B,..., E ook weer door puntspiegelingen. Figuur 10. Probleem 2. Op de zijden van een willekeurige driehoek construeren we naar buiten toe gelijkzijdige driehoeken. Bewijs dat de centra O 1, O 2 en O 3 van deze driehoeken zelf ook een gelijkzijdige driehoek vormen. Oplossing. Gebruik de notatie R(S; ff) voor de rotatie met centrum S en rotatiehoek ff. R(O 3 ; 2ß 3 )R(O 1; 2ß 3 )R(O 2; 2ß )(A) =A, 3 dus A is het centrum van deze samengestelde rotatie. De rotatiehoek van de samenstelling is echter 2ß 0mod2ß, dus de samenstelling is de identiteit. Dit betekent R(O 1 ; 2ß 3 )R(O 2; 2ß 3 )=R(O 3; 2ß ). 3 Deze samenstelling is echter ook een rotatie met als centrum de top van een driehoek met basis O 1 O 2 en basishoeken 1 2ß = ß. Het centrum is het punt O 3, dus O 1 O 2 O 3 is gelijkzijdig. Figuur 11. Opgave 4.1 Twee cirkels snijden elkaar in een punt A. Bepaal een lijn door A zo, dat de cirkels op die lijn gelijke koorden uitsnijden. Figuur 12. 6
7 Figuur 13. Opgave 4.2 Stel dat de figuur F minstens twee verschillende symmetriecentra heeft. (Een punt S heet symmetriecentrum van F als F in zichzelf overgaat bij puntspiegeling in S.) Bewijs dat F dan oneindig veel verschillende symmetriecentra heeft. Een voorbeeld van zo'n figuur is een oneindig lange strook: elk punt op de as is dan symmetriecentrum. Opgave 4.3 ABCD is een willekeurige vierhoek. Bewijs dat de middens van de zijden een parallellogram vormen. Opgave 4.4 Hoe zit het als in het eerste voorbeeld boven zes punten in plaats van vijf gegeven zijn en we een zeshoek zoeken in plaats van een vijfhoek? Opgave 4.5 Bepaal een gelijkzijdige driehoek waarvan de hoekpunten liggen op (a) drie gegeven evenwijdige lijnen (b) drie gegeven concentrische cirkels of bewijs dat dit niet kan. Opgave 4.6 Op de zijden van een willekeurige driehoek ABC worden gelijkzijdige driehoeken geconstrueerd: BCK en ACL naar buiten en ABM naar binnen. S is het centrum van ABM. Bewijs: driehoek LSK is gelijkbenig en LSK = 2ß. 3 Figuur 14. Opgave 4.7 Op de zijden van een willekeurige vierhoek ABCD worden naar buiten toe vierkanten geconstrueerd. De centra hiervan zijn M 1, M 2, M 3 en M 4. Bewijs: (a) M 1 M 3 = M 2 M 4 en M 1 M 3 M 2 M 4 ; (b) is ABCD een parallellogram, dan is M 1 M 2 M 3 M 4 een vierkant. Figuur 15. 7
8 5 Glijspiegelingen Er blijft nog over het onderzoek van de isometrieën die zijn samengesteld uit drie lijnspiegelingen. Gaan l 1, l 2 en l 3 door één punt, dan is S l3 S l2 S l1 te vervangen door één lijnspiegeling S l4 in een lijn door het snijpunt zo, dat (l 1 ;l 2 )= (l 4 ;l 3 ). Evenzo, is l 1 l 2 l 3, dan is S l3 S l2 S l1 = S l4 voor zekere l 4 l 1. Figuur 16. Figuur 17. Doet geen van deze gevallen zich voor, dan is S l3 S l2 S l1 niet te schrijven als één lijnspiegeling. Minstens twee van de lijnen snijden elkaar, zeg l 1 en l 2. Noem het snijpunt S. l 3 gaat niet door S. Vervang het paar (l 1 ;l 2 )doorhetpaar (l 1 ;l 2) met l 2 l 3. Vervang vervolgens het paar (l 2 ;l 3) door het paar l 2 ;l 3 ) met l 1 l 3. De isometrie S l3 S l2 S l1 = S l 3 S l 2 S l 1 is dus de samenstelling van een translatie en een spiegeling in een lijn evenwijdig aan de translatierichting. Zo'n isometrie heet een glijspiegeling (ook wel schuifspiegeling). Als l 1 l 2 en l 2 l 3 kan men net zo aantonen dat de isometrie dan een glijspiegeling is. De isometrieën zijn nu volledig gecatalogiseerd. Er is een wezenlijk onderscheid tussen enerzijds de identiteit, de Figuur 18. rotaties en de translaties, en anderzijds de lijn- en glijspiegelingen. Translaties en rotaties kan men zich indenken als `opgebouwd' uit vele zeer kleine translaties en rotaties (d.w.z. waarbij origineel en beeld zeer weinig verschillen). Origineel en beeld kunnen `continuinelkaar worden overgevoerd'. Men kan bewijzen (en intu tief is dit ook plausibel) dat zulks bij spiegelingen en glijspiegelingen niet mogelijk is, als men zich tenminste beperkt tot bewegingen in het vlak. Translaties, rotaties en de identiteit noemt men directe isometrieën of bewegingen. Lijn- en glijspiegelingen heten indirecte isometrieën. Heeft men in het vlak twee niet zelf spiegelsymmetrische figuren F 1 en F 2 die door een isometrie in elkaar kunnen worden overgevoerd, dan kan men aan de figuren onmiddellijk zien of ze door een directe isometrie in elkaar zijn over te voeren (ze zijn dan `gelijk georiënteerd'), of door een indirecte isometrie (ze zijn dan `tegengesteld georiënteerd'). Bij toepassingen is het vaak nuttig translatierichting en -afstand, rotatiecentrum en -hoek, spiegelas of glijspiegelas en -afstand van de betreffende isometrie op te sporen. 8
9 Opgave 5.1 Gegeven is een lijn l, twee punten A en B aan dezelfde kant van l, en een positief getal a. Bepaal punten X, Y met afstand a op l zo, dat de lengte van de weg AXY B minimaal is. Opgave 5.2 Construeer een vierhoek ABCD met gelijke hoeken C en D als de lengten van de zijden AB en CD,desomvan de lengten van de zijden BC en AD en de afstand van A tot de drager van de zijde CD. Opgave 5.3 Een punt X wordt achtereenvolgens gespiegeld in de zijden van een gegeven driehoek, en daarna nog eens (in dezelfde volgorde). Het resultaat is een punt X. Bewijs dat X X. Bepaal ook het beeld van X onder de samenstelling van deze zes spiegelingen. Opgave 5.4 Gegeven zijn twee lijnen l 1 en l 2 met op l 1 een punt A en op l 2 een punt B. Bepaal een lijn m diedelijnenl 1 en l 2 in de punten X en Y snijdt zo, dat AX = BY, terwijl bovendien (a) m evenwijdig is met een gegeven lijn n. (b) m door een gegeven punt M gaat. (c) het lijnstuk XY een gegeven lengte a heeft. (d) het lijnstuk XY door een gegeven lijn r door midden wordt gedeeld. Opgave 5.5 Wat is het product van twee glijspiegelingen langs onderling loodrechte assen? Opgave 5.6 Een glijspiegeling voert het gerichte lijnstuk AB over in A B. Bewijs dat de glijspiegelas gaat door de verbindingslijn van het midden van AA en BB. 6 Isometrieën van de ruimte Op analoge wijze zijn de isometrieën van de ruimte te catalogiseren. Men bewijst dan: elke isometrie is de opeenvolging van ten hoogste vier vlakspiegelingen. Onderzoek van de mogelijkheden geeft Directe isometrieën (1) twee vlakspiegelingen: of een translatie (evenwijdige vlakken), of een rotatie (snijdende vlakken) met de snijlijn als rotatieas. (2) vier vlakspiegelingen: indien geen rotatie of translatie, dan kan men de vlakken zo kiezen dat de opeenvolging ontstaat van een rotatie en een translatie langs de rotatieas. Zo'n beweging heet een schroefbeweging. Indirecte isometrieën (1) één vlakspiegeling. (2) drie vlakspiegelingen, waarbij de vlakken niet door één lijn gaan, of onderling evenwijdig zijn (anders is de samenstelling weer een vlakspiegeling). Gaan de drie vlakken door één punt, dan kan kan men ze zo kiezen dadt de samenstelling een rotatie is, gevolgd door een spiegeling in een vlak loodrecht op de rotatieas. De isometrie heet dan een draaispiegeling. Gaan de drie vlakken niet door één punt, dan is de snijlijn van twee van hen evenwijdig aan het derde vlak. Men kan de vlakken dan zo kiezen dat een spiegeling ontstaat, gevolgd door een translatie in een richting evenwijdig aan het spiegelvlak. Zo'n isometrie heet een glijspiegeling. 9
Bij een pv kan men origineel en beeld continu in elkaar overvoeren. De `oriëntatie' blijft hierbij behouden. Er zijn dus twee soorten gt's: De directe
Lesbrief 9 Meetkunde II 1 Puntvermenigvuldigingen Definitie 1.1 Een transformatie G van het vlak heet een gelijkvormigheidstransformatie (verder afgekort als gt) als er een constante f > 0 bestaat zo,
Nadere informatieMeetkundige Ongelijkheden Groep 2
Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus
Nadere informatieOverzicht eigenschappen en formules meetkunde
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules
Nadere informatie1 Introductie. 2 Oppervlakteformules
Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie
Nadere informatieHoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN
1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.
Nadere informatieSamenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)
Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.
Nadere informatieVl. M. Nadruk verboden 1
Vl. M. Nadruk verboden 1 Opgaven 1. Hoeveel graden, minuten en seconden zijn gelijk aan rechte hoek? van een rechte hoek resp van een 2. Als = 25 13 36, = 37 40 56, = 80 12 8 en = 12 36 25, hoe groot is
Nadere informatieDe Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten
januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand
Nadere informatieVlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken,
Nadere informatieINHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6
INHOUDSTBEL 1. TRNSFORMTIES (fiche 1)...3 2. SYMMETRIE (fiche 2)...4 3. MERKWRDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 4. VLKKE FIGUREN: DRIEHOEKEN (fiche 4)...7 5. VLKKE FIGUREN: BIJZONDERE VIERHOEKEN
Nadere informatieLaat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden
Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden
Nadere informatiePQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP
OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatieLijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
Nadere informatieOefeningen analytische meetkunde
Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om
Nadere informatieCabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's
Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven
Nadere informatieMeetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi
Meetkunde gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Trainingsweekend 23 25 januari 2009 Als je een meetkundig probleem aan het oplossen bent, stuit je vaak op verschillende oplossingen voor de verschillende
Nadere informatiePascal en de negenpuntskegelsnede
Pascal en de negenpuntskegelsnede De zijden van driehoek ABC hierboven vatten we op als lijnen en niet als lijnstukken. De middens van de lijnstukken AB, BC en CA zijn D, E en F. De middens van de lijnstukken
Nadere informatieVlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig
Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.
Nadere informatieBasisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk
Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk Basisconstructie 1 Het lijnstuk AB Neem vanuit A een afstand tussen de benen van de passer die wat groter is dan van A tot het geschatte midden
Nadere informatieOpen het programma Geogebra. Het beginscherm verschijnt. Klik voordat je verder gaat met je muis ergens in het
Practicum I Opgave 1 Tekenen van een driehoek In de opgave gaan we op twee verschillende manieren een driehoek tekenen. We doen dit door gebruik te maken van de werkbalk (macrovenster) en van het invoerveld.
Nadere informatieElementaire Meetkunde aanvullingen en errata
Laatste update: 5 april 09 Elementaire Meetkunde aanvullingen en errata Hoofdstuk De stelling bovenaan bladz. 308 heeft niet nummer.7.5 maar.7.4 versie. Vervang in de laatste zin van.8. 'vierhoek ABCP'
Nadere informatieHoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33)
- 1- Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) Hoekeenheden (boek pag 1) Hoofdeenheid om hoeken te meten is de grootte van de rechte hoek de graad :...... notatie :... de minuut :...
Nadere informatieHoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34)
- 39- Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34) Som hoekgrootten van een driehoek ( boek pag 35) Stelling: Voor ABC geldt: A ˆ + Bˆ + Cˆ = 180 o Bewijs: Trek door het punt A een rechte
Nadere informatieSTELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie
STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs
Nadere informatie12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]
12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde
Nadere informatieVoorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,
Nadere informatiePienter 1ASO Extra oefeningen hoofdstuk 7
Extra oefeningen hoofdstuk 7: Vlakke figuren 1 Teken binnen een cirkel met straal 6 cm een tweede cirkel met straal 2 cm. Wat is de kleinste en wat is de grootst mogelijke afstand tussen beide middelpunten?
Nadere informatie8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden
8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.
Nadere informatieVoorkennis meetkunde (tweede graad)
Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is 180 - Bij een rechthoekige
Nadere informatie1 Het midden van een lijnstuk
Inleiding Deze basisconstructies worden aan de leerlingen gegeven in de vorm van werkbladen voor zelfstandig werken. Met behulp van een beginschets van de gegevens en de constructiebeschrijving maken de
Nadere informatieInversie. r 2 P Q. P Q =
Inversie Zij O een punt in het vlak en zij r > 0 een reëel getal. De inversie I O,r met centrum O en straal r is de afbeelding vlak \ {O} vlak \ {O} die als volgt wordt gedefinieerd: I O,r (P ) het unieke
Nadere informatieVlakke meetkunde en geogebra
Vlakke meetkunde en geogebra Open de geogebra-app. Kies het algebra- en tekenvenster. Aan de linkerkant zie je het algebravenster en rechts daarvan het tekenvenster met een x-as en een y-as. Om een rooster
Nadere informatieVlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39. Het construeren van figuren
Vlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39 20,1. De cirkel Het construeren van figuren Een cirkel of cirkelomtrek is een gesloten kromme lijn, waarvan alle punten in hetzelfde vlak liggen en even ver
Nadere informatiehéöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =
héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een
Nadere informatieDan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²
1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand
Nadere informatieMeetkundige ongelijkheden Groep A
Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor
Nadere informatieBRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN
BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN Brugpakket 8: Vlakke figuren 1 Vlakke figuren 1.1 Vlakke figuren: Veelhoeken en niet-veelhoeken Een veelhoek is enkel begrensd door rechte lijnen. OEFENING Zet een kruisje
Nadere informatieOpgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.
3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord
Nadere informatie1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg
1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem
Nadere informatieSoorten lijnen. Soorten rechten
Soorten lijnen ik zeg ik teken ik noteer ik weet een punt A A een rechte a a Een rechte heeft geen begin- en eindpunt. een halfrechte [A een halfrechte heeft B] een beginpunt of een eindpunt een lijnstuk
Nadere informatieKatern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4. 3 Driehoeken 8. 4 Vierhoeken 12
Katern 3 Meetkunde Inhoudsopgave 1 Hoeken 2 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4 3 Driehoeken 8 4 Vierhoeken 12 5 Lijnen in een driehoek 15 Inleiding De vlakke meetkunde is de meetkunde die zich afspeelt
Nadere informatieSpelen met passer en liniaal - werkboek
Spelen met passer en liniaal - werkboek Basisconstructie 1: het midden van een lijnstuk (de middelloodlijn) Gegeven: lijnstuk AB. Gevraagd: het midden van lijnstuk AB. Instructie Teken (A, r) en (B, r)
Nadere informatieCabri-werkblad Negenpuntscirkel
Cabri-werkblad Negenpuntscirkel 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van parallellogrammen, rechthoekige driehoeken en van de elementaire eigenschappen van de koordenvierhoek.
Nadere informatiePijlenklokken. 1 Inleiding
Pijlenklokken 1 Inleiding In bovenstaande tekening zie je 1 rode punten. Er staan blauwe pijlen van elk rood punt naar een ander rood punt 4 plaatsen verder op de cirkel. Een dergelijke afbeelding noemen
Nadere informatiewerkschrift driehoeken
werkschrift driehoeken 1 hoeken 11 Rangschik de hoeken van klein naar groot. 14 b Teken een lijn l met daarop een punt A. Teken met je geodriehoek een lijn die l loodrecht snijdt in A. c Kies een punt
Nadere informatieDe constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Nadere informatieDriehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008
Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een
Nadere informatieRuimtelijke oriëntatie: plaats en richting
Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en
Nadere informatie2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]
2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen
Nadere informatieNeem [pr]=[ps] en beschrijf uit r en s twee cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar in c snijden. [cp] is de loodlijn op [ab].
Met a en b als middelpunt en met straal groter dan de helft van [ab] trekt men met dezelfde straal twee cirkelbogen, die elkaar snijden in c en d; cd is de middelloodlijn en m het midden van [ab] Neem
Nadere informatie10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
Nadere informatieVoorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen). Jozef Hoekmeters bevindt zich op de top van een berg die hoog uit zee rijst (zie figuur ). Aan de overkant van het water ziet hij een appartementsgebouw vlakbij
Nadere informatie7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden.
7.0 Voorkennis Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. Voorbeeld definitie: Een gestrekte hoek is een hoek van 180 ; Een rechte hoek is een hoek van 90 ; Een parallellogram is een vierhoek
Nadere informatieLijst van alle opdrachten versie 13 mei 2014
Lijst van alle opdrachten versie 13 mei 2014 Punt Pu1 Zorg dat Toon assen aan staat. Teken een punt in het vlak. Wijzig de naam naar X (hoofdletter!) (rechtsklikken op het punt voor openen snelmenu). Sleep
Nadere informatieHoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden
Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:
Nadere informatieUitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4
Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4 4.4.1 Basis Lijnen en hoeken 1 Het assenstelsel met genoemde lijnen ziet er als volgt uit: 4 3 2 1 l k -4-3 -2-1 0 1 2 3 4-1 -2-3 n m -4 - Hieruit volgt: a Lijn k en
Nadere informatieR. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.
R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieMEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN
120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde . (D)
Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: tweede ronde 9 is gelijk aan (A) 3 (B) 3 (C) 9 (D) 3 9 (E) 2 Het kwadraat van 3+ + 3 is gelijk aan (A) 2 (B) 6 (C) 0 (D) 2 2 (E) 4 3 Welk van volgende figuren is het
Nadere informatieGebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.
Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking
Nadere informatieVlakke Analytische Meetkunde
Vlakke Analytische Meetkunde L. Van Maldeghem L. Van Hyfte Handleiding voor 3 Latijn-Wiskunde, 3 Grieks-Latijn 5 3 Moderne Talen-Wiskunde, 3 Economie-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Vectoren en transformaties 1.1
Nadere informatieDossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra
Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2
Nadere informatie2 Lijnen en hoeken. De lijn
1 Inleiding In het woord meetkunde zitten twee woorden verborgen: meten en kunnen. Deze periode gaat dan ook over het kunnen meten. Meetkunde is een oeroude kennis die al duizenden jaren geleden voorkwam
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieMEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN
120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een
Nadere informatieAnalytische Meetkunde
Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs
Nadere informatieUitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Nadere informatieCabri-werkblad. Apollonius-cirkels
Cabri-werkblad Apollonius-cirkels 1. Doel We zullen in dit werkblad kennismaken met de zogenoemde Apollonius-cirkels [1] van een driehoek. Daarvoor moeten ook enkele eigenschappen van (binnen- en buiten)bissectrices
Nadere informatieMeetkundige constructies Leerlingmateriaal
Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een
Nadere informatieHoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren
Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor
Nadere informatieOpgave 1: bewijs zelf op algebraïsche wijze dat de lengte van DE gelijk is aan de helft van de lengte van BC.
Opgave 1: bewijs zelf op algebraïsche wijze dat de lengte van DE gelijk is aan de helft van de lengte van BC. Antwoord: de lengteverhouding vertaalt als: (x 3 x 1 ) + (x 4 x ) = (u 5 u 3 ) + (u 6 u 4 )
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 99-99 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination
Nadere informatie3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld
Nadere informatieUitwerkingen toets 18 maart 2011
Uitwerkingen toets 8 maart 20 Opgave. Alle positieve gehele getallen worden rood of groen gekleurd, zodat aan de volgende voorwaarden wordt voldaan: Er zijn zowel rode als groene getallen. De som van drie
Nadere informatieHoofdstuk 5 : De driehoek
Hoofdstuk 5 : De driehoek - 89 1. Congruente figuren Figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken noemen we congruente figuren. Congruente figuren hebben dezelfde vorm (~ ) en dezelfde grootte (=). Als
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 9 maart 2018
Selectietoets vrijdag 9 maart 2018 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. We hebben 1000 ballen in 40 verschillende kleuren, waarbij er van elke kleur precies 25 ballen zijn. Bepaal
Nadere informatiePassermeetkunde een bewijs van de stelling van Mohr-Mascheroni. Mascheroni DICK KLINGENS. aaaaa
- 1 Passermeetkunde een bewijs van de stelling van Mohr-Mascheroni Mascheroni DICK KLINGENS 1. Probleemstelling Stelling. Iedere constructie in het euclidische vlak die met passer en liniaal mogelijk is,
Nadere informatieHoofdstuk 8 : De Cirkel
- 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt
Nadere informatie9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,
Nadere informatie2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.
1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen
Nadere informatieHoofdstuk 6. Dihedrale groepen. 6.1 Definitie
Hoofdstuk 6 Dihedrale groepen 6.1 Definitie Definitie 6.1. De dihaeder groep is de symmetriegroep van een regelmatige n-hoek. Dit is de verzameling van alle transformaties in het vlak die de regelmatige
Nadere informatieSymmetrie op de bol en in het vlak
Symmetrie op de bol en in het vlak Jan van de Craats Samenvatting In dit artikel beschrijf ik de discrete symmetriegroepen van bolpatronen en patronen in het vlak. In mijn behandeling, die steunt op ideeën
Nadere informatie1 Coördinaten in het vlak
Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem
Nadere informatieEen andere dimensie van GeoGebra Andre Heck (Universiteit van Amsterdam), Nationale Wiskunde Dagen 2019
Een andere dimensie van GeoGebra Andre Heck (Universiteit van Amsterdam), A.J.P.Heck@uva.nl Nationale Wiskunde Dagen 2019 Nationale Wiskunde Dagen 2019 Een andere dimensie van GeoGebra 1 / 36 Overzicht
Nadere informatieExtra oefeningen: de cirkel
Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM
Nadere informatie1 Cartesische coördinaten
Cartesische coördinaten Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coördinaten Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er
Nadere informatieWerkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken
Werkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken Doel Het construeren van bijzondere vierhoeken: parallellogram, ruit, vierkant. Constructies 1. Parallellogram (eerste constructie) We herhalen
Nadere informatieDraaistrekking en negenpuntscirkel
Draaistrekking en negenpuntscirkel [ Dick Klingens ] Vooraf In twee al enige tijd geleden verschenen nummers van Euclides schrijft Wim Pijls over Gelijkvormigheid (zie [e]). In de tweede aflevering stelt
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 99 99 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per
Nadere informatieDe arbelos. 1 Definitie
De arbelos 1 Definitie De arbelos is een meetkundige figuur die bestaat uit drie aan elkaar rakende halve cirkels. De raakpunten liggen op een lijn. In onderstaande tekening is de arbelos de paarse figuur.
Nadere informatieBewijs. Zie figuur 2. Zijn U en V de projecties van P en Q op r, dan geldt: PU = PR (in driehoek RQV met PU // QV) QV QR
Cabri-vraag VRAAG Hoe teken je een kegelsnede waarvan een punt P, een brandpunt F en de bij F behorende richtlijn r gegeven zijn? ANTWOORD Zoals bekend kan je met Cabri een kegelsnede tekenen (we spreken
Nadere informatieVlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Nadere informatieOEFENTOETS VWO B DEEL 3
OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 MEETKUNDE MET VECTOREN OPGAVE Gegeven zijn de vectoren a, b en c die vanuit O de hoekpunten van driehoek ABC aanwijzen. Het punt P is het midden van AB, het punt Q is
Nadere informatieWat verstaan we onder elementaire meetkunde?
Wat verstaan we onder elementaire meetkunde? Er zijn veel boeken met de titel 'Elementaire Meetkunde'. Niet alle auteurs verstaan hieronder hetzelfde. Dit boek behandelt in de eerste 1 hoofdstukken de
Nadere informatieAtheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht
Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...
Nadere informatieE = mc². E = mc² E = mc² E = mc². E = mc² E = mc² E = mc²
E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² De boom en het stokje staan loodrecht op de grond in het park. De boom is 3 en het stokje 1. Hoe lang is de schaduw van het stokje
Nadere informatiewiskunde B vwo 2015-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieHOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES
HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES Verschuiven, roteren, spiegelen, vergroten/verkleinen zijn manieren om bij een figuur een 'beeldfiguur' te bepalen. Deze manieren noem je 'transformaties'. 2.1 LIJNSPIEGELING
Nadere informatie