De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

Transcriptie

1 januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand hebben tot de eindpunten van het lijnstuk. De verzameling van deze punten wordt ook wel genoteerd door: { P P A = 1 }. Wat letterlijk betekent: alle punten P die voldoen aan P A = 1. Hierin staat, net als in alle nog volgende secties -tenzij overduidelijk anders het geval is-, XY voor de lengte van het lijnstuk XY. Een mogelijk vraag die men zich nu kan stellen is wat de verzameling wordt als de verhouding niet 1 is maar k met k 1. Het blijkt, zoals in figuur 1 te zien is, dat men dan een cirkel krijgt. Figuur 1: De overgang van de middelloodlijn naar een cirkel. Dit resultaat wordt toegeschreven aan de oude griek Apollonius van Perga (262 v.c. tot 190 v.c.), die naast meetkundige ook astronoom was. Hij was degene die kegelsnedes, zoals ellipsen, parabolen en hyperbolen, de namen gaf die we tot op de dag van vandaag nog gebruiken. Zijn achtdelige Konika over kegelsnedes wordt gezien als één van de grootste werken uit de antieke meetkunde. Verder heeft hij enorm bijgedragen aan de astronomie. Dit blijkt uit de, naar hem vernoemde, Apolloniuskrater op de maan. 1

2 1 De Cirkel van Apollonius Laten we de bewering uit de inleiding formeel opschrijven en bewijzen. Stelling 1.1 (De cirkel van Apollonius): Z ij AB een lijnstuk en k een positief reëel getal ongelijk aan 1. De meetkundige plaats van alle punten P waarvoor geldt P A = k is een cirkel met middelpunt op de lijn AB. Bewijs: Om te beginnen kan men opmerken dat er op de lijn AB twee punten zijn die voldoen aan P A = k. Eén van deze punten ligt tussen A en B, noem dit punt D. Over dat andere punt, E, kunnen we zonder verlies van algemeenheid zeggen dat het aan de kant van B ligt dan A. De bewering is nu dat de gezochte cirkel de cirkel is met middellijn DE, noem deze Γ. Het bewijs, zoals ieder meetkundige-plaatsbewijs, bestaat nu uit twee delen: 1 Ieder punt P dat voldoet aan P A 2 Ieder punt op die cirkel voldoet aan P A = k. = k ligt op de cirkel met middelijn DE, Als men nu kijkt naar een punt P waarvoor geldt P A = k, dan ziet men dat door P A = k = DA P A en analoog = EA dat P D en P E de respectievelijk binnen- en buitenbissectrice zijn van hoek P in de driehoek ABE. Hieruit volgt dat DP E recht is DB EB en dus ligt P, volgens de stelling van Thales, op de cirkel met middellijn DE. Zodat deel 1 is bewezen. Om deel 2 te bewijzen moet men kijken naar een punt P op Γ. Noem de projecties van A en B op P E respectievelijk X en Y. Dan volgt uit de defitie van D en E, gelijkvormigheid en de evenwijdige lijnen AX, DP en BY dat AX = AE XP = k en = AD = k. BY BE Y D Dus P XA P Y B (zhz), waaruit volgt dat P A = AX = k. Waarmee het bewijs is BY afgerond. Opgaven 1. In een driehoek ABC, met AB AC, snijden de binnen- en buitenbissectrices van hoek A de zijde BC in D en E. Zij F een willekeurig punt op de cirkel met middellijn DE met de projecties K, L en M op respectievelijk BC, CA en AB. Bewijs dat KL = KM. 2. Beschouw de vierhoek ABCD met DAB > 180 ( DAB is een inwendige hoek). Als gegeven is dat AB CD = AD BC en P de spiegeling is in BD van A, bewijs dan dat P CB = DCA. 3. Beschouw de omgeschreven cirkel, Γ, van ABC zodat AB een middellijn is. Zij D het snijpunt van de raaklijnen in A en C aan Γ. Verder is K het snijpunt van CH en BD, waar H het punt op AB is zodat CH AB. Bewijs dat HK = KC. 2

3 4. In een convexe vierhoek ABCD is gegeven dat de snijpunten P = AB CD, Q = AD BC en S = AC BD bestaan. Verder is O de projectie van S op P Q. Bewijs dat AOB = COD. 3

4 2 Apolloniuscirkels van een driehoek Als men kijkt naar een niet-gelijkbenige driehoek ABC, dan blijkt dat er precies één verhouding k A is zodat de cirkel van Apollonius ten opzichte van B en C met die verhouding door A gaat. Als a, b en c de zijden van de driehoeken zijn, dan zal dus moeten gelden: k a = c. Uiteraard geldt dit niet alleen voor hoekpunt A, maar ook voor de andere twee. b Noem deze driehoeken Γ a, Γ b en Γ c met stralen R a, R b en R c. Over deze drie cirkels zijn heel wat stellingen bekend. We zullen er hier een paar noemen die men lijkt te kunnen aflezen uit figuur 2. Figuur 2: De drie Apolloniuscirkels van een driehoek. Bewering 2.1: De drie cirkels Γ a, Γ b en Γ c hebben twee punten gemeen. De zogenaamde eerste en tweede isodynamische punten, I 1 en I 2. Zie de opgaven in de volgende sectie om de twee uit elkaar te houden. Bewering 2.2: De middelpunten van Γ a, Γ b en Γ c zijn collineair. De lijn beschreven in Bewering 2.2 wordt de lijn van Lemoine genoemd. Het is geen toeval dat deze lijn dezelfde naam draagt als het snijpunt van de symmedianen (isogonaal toegevoegden van de zwaartelijnen). Net als enkele andere feiten zullen we dat zien in de volgende sectie. Opgaven 1. Bewijs Bewering 2.1 en ga na dat 2.2 daar direct uitvolgt. 2. Stel dat de zijdes van de driehoek voldoen a < b < c. Bewijs dat geldt 1 R b = 1 R a + 1 R c. 4

5 3. [DV,INV] Bewijs dat de alle Apolloniuscirkels loodrecht staan op de omgeschreven cirkel van ABC. 4. [INV] Bewijs met behulp van Bewering 3.1, dat twee Apolloniuscirkels elkaar snijden onder een hoek van 60. 5

6 3 Isodynamische punten en de Lemoinelijn Ter extra informatie zullen eerst de namen van de belangrijkste meetkunde objecten verklaren. De naam isodynamische punten komt van het griekse ισoς=gelijk en δυναµις=macht. Met macht wordt hier gedoeld op de macht van een punt ten opzichte van een hoekpunt van driehoek, definieerd door µ A XA ABC (X) =. Nu blijkt dat Γ BC A de meetkundige plaats van alle punten met gelijke macht ten opzichte van hoekpunten B en C van ABC is. Hieruit volgt dat de isodynamische punten van een driehoek de enige punten zijn met gelijke macht ten opzichte van alle hoekpunten van die driehoek. Een nuttige stelling over deze punten staat hieronder. Bewering 3.1: De voetpuntsdriehoek van een punt ten opzichte van een driehoek is dan en slechts dan gelijkbenig als het punt een isodynamisch punt is van die driehoek. De lijn van Lemoine is vernoemd naar de Franse meetkundige Émile Lemoine ( ), aangezien hij de eerste was die bewees dat de symmedianen van een driehoek door één punt gaan: het punt van Lemoine. Het verband tussen de punt en de lijn van Lemoine staat beschreven in onderstaande stelling. Figuur 3: Ondersteuning bij het bewijs van stelling 3.2. Stelling 3.2: De lijn van Lemoine is de poollijn van het punt van Lemoine ten opzichte van de omgeschreven cirkel van ABC. Bewijs: Zij Γ de omgeschreven cirkel van ABC met middelpunt O en C het snij- 6

7 punt van Γ c met Γ ongelijk aan C. Uit opgave 2.3 volgt dat OC C M c en OC CM c, dus CC is de poollijn van M c ten opzichte van Γ. Uit de definitie van C volgt dat C A = CA. Zij S het snijpunt van C B CB CC en AB. Dan levert de sinusregel in ASC en sin ASC BSC dat = sin SC A sin BSC en = sin SC B. Aangezien sin(180 α) = sin α AC SA BC SB en BSC + ASC = 180, AC S = AC C = ABC door de constante-hoekstelling en analoog BC S = BC sin ABC sin BAC C = BAC, en = -door de sinusregel in AC BC AS ABC- krijgt men: = AC AC BS BC BC. Met C A = CA AS levert dat = AC2, waaruit volgt C B CB BS BC 2 dat AS een symmediaan is in ABC. Analoog zijn de andere symmedianen de poollijnen van M a en M b. Aangezien M a, M b en M c collineair zijn hun poollijnen, de symmedianen, concurrent en is de lijn van Lemoine de poollijn van het punt van Lemoine. Opgaven 1. Bewijs Bewering 3.1 en vergelijk met opgave (IMO ) P is een punt binnen driehoek ABC zodanig dat, dat A ACB = AP C ABC. D en E zijn de middelpunten van de ingeschreven cirkels van respectievelijk de driehoeken A en AP C. Bewijs dat AP, BD en CE elkaar in één punt snijden. 3. [DV] Zij L het punt Lemoine. Bewijs dat I 1, I 2, O en L op één lijn liggen en bovendien dat geldt (OLI 1 I 2 ) = [DC] Bewijs dat de driehoekscoördinaten van de isodynamische punten zijn (sin(α ± 60 ), sin(β ± 60 ), sin(γ ± 60 )). Waarbij de + en voor I 1 gelden en de en voor I Zij F 1 en F 2 respectievelijk het eerste en het tweede punt van Fermat. Bewijs dat F i de isogonaal geconjugeerde is van I i. NB: Het eerste punt van Fermat krijgt men door gelijkzijdige driehoeken ABC, AB C en A BC uitwendig (van de driehoek af) op de zijden van ABC te plaatsen. Dan is F 1 het punt waar AA, BB en CC elkaar snijden. Het tweede punt van Fermat krijgt men door de gelijkzijdige driehoeken inwendig (naar de driehoek toe) op de zijden te plaatsten. 6. [INV] De isodynamische punten zijn elkaars inversen bij inversie door de omgeschreven cirkel van de driehoek. Hint: Wat weet je van de voetpuntsdriehoeken ten opzichte van een driehoek van inverse punten ten opzichte van de omgeschreven cirkel van die driehoek? 7