Vlakke Meetkunde Les 3 Koordenvierhoeken en iso-hoeklijnen

Transcriptie

1 Vlakke Meetkunde Les 3 Koordenvierhoeken en iso-hoeklijnen (Deze les sluit aan bij het paragraaf 3 en 4 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit. )

2 Koordenvierhoek Een koorde is een verbindingslijnstuk tussen twee punten op een kromme, bijvoorbeeld een cirkel. Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de zijden koorden zijn van een cirkel. De cirkel is de omgeschreven cirkel van de koordenvierhoek.

3 Koorde Gegeven cirkel met straal r en AMB = AB = 2r sin( α 2 ) 1) Controleer de formule voor: = 0, 90, 120, 180 r 2 r 2) Geef een bewijs voor de formule. 3) De punten A,B,C en D liggen op een cirkel. Bewijs dat geldt: bg(ab) = bg(cd) AB = CD

4 Koordenvierhoek In de koordenvierhoek zijn de diagonalen getekend. ADB = ACB want staan op dezelfde boog. A D C B

5 Koordenvierhoek In de koordenvierhoek zijn de diagonalen getekend. ADB = ACB want staan op dezelfde boog. Welke hoekenparen zijn ook aan elkaar gelijk in de koordenvierhoek? A B D C

6 Koordenvierhoekstelling Stelling In een koordenvierhoek is de som van de overstaande hoeken 180. Bewijs A staat op boog DCB. C staat op boog DAB. A + C = 1 2 bg(dcb) bg(dab) = 1 2 A x 360 = 180. D B C

7 Koordenvierhoekstelling Omgekeerde stelling Als in een vierhoek de som van de overstaande hoeken 180 is, dan is de vierhoek een koordenvierhoek (dat wil zeggen: de vier hoekpunten liggen op een cirkel.) A D C Bewijs Trek hulplijn DB. Teken de omgeschreven cirkel van DAB. Nu is te bewijzen dat C ook op deze cirkel ligt. A = 1 2 bg(bd) = bg(dab). Maar ook: A = 180 C. (gegeven) C = 1 bg(dab) en C ligt op de cirkel (stelling omtrekshoek). 2 B

8 Koordenvierhoeken Voorbeeld (opgave 3) De verlengden van de zijden van koordenvierhoek ABCD snijden elkaar in P en Q. Bewijs dat α = γ β

9 Koordenvierhoeken Voorbeeld (opgave 3) De verlengden van de zijden van koordenvierhoek ABCD snijden elkaar in P en Q. Bewijs dat α = γ β Bewijs D 2 = β (overstaande hoeken) γ + C 1 = 180 A 1 = 180 C 1 = γ (koordenvierhoek)) Maar ook: A 1 = α + D 2 = α + β (buitenhoek) α + β = γ 1 2 1

10 De uitgebreide stelling van de omtrekshoeken Gegeven punt P buiten de cirkel. De benen van P snijden de bogen AB en CD van de cirkel. Dan is P = 1 2 bg(ab) 1 2 bg(cd).

11 De uitgebreide stelling van de omtrekshoeken Gegeven punt P buiten de cirkel. De benen van P snijden de bogen AB en CD van de cirkel. Dan is P = 1 2 bg(ab) 1 2 bg(cd). Bewijs Trek hulplijn DB. D 1 = B 1 + P (buitenhoek in PDB) P = D 1 B 1 = 1 2 bg(ab) 1 2 bg(cd) 1 1

12 De uitgebreide stelling van de omtrekshoeken Gegeven punt P binnen de cirkel. De benen van P snijden de bogen AB en CD van de cirkel. Dan is APB = 1 2 bg(ab) bg(cd). Bewijs Trek hulplijn BC. APB = B + C (buitenhoek in BPC) APB = 1 2 bg(cd) bg(ab)

13 Zelf doen Maak nu opgave 13 van paragraaf 3.

14 Iso-hoeklijn Gegeven: Een lijnstuk AB en een hoek P met A en B op de benen van hoek P. P Q Gevraagd: De verzameling van punten Q zodat AQB = P. B A

15 Iso-hoeklijn Gegeven: Een lijnstuk AB en een hoek P met A en B op de benen van hoek P. P Q Gevraagd: De verzameling van punten Q zodat AQB = P. B Oplossing: A Volgens de stelling van de omtrekshoek is dat de boog APB van de omgeschreven cirkel van ABP. Deze boog is een iso-hoek lijn.

16 Iso-hoeklijn Gegeven is een lijnstuk AB. Gevraagd is de verzameling punten P, zodat APB = 46. P P = 46 M = 2 x P = 92 AMB is gelijkbenig A 1 = B 1 = 1 ( ) = M 1 B A 1

17 Iso-hoeklijn Gegeven is een lijnstuk AB. Gevraagd is de verzameling punten P, zodat APB = 46. P P = 46 M = 2 x P = 92 AMB is gelijkbenig A 1 = B 1 = 1 ( ) = M 1 B Constructie: Zet aan weerzijden van AB twee hoeken van 44 uit. Snijpunt is middelpunt M. Teken cirkel door A en B met middelpunt M. A 1

18 Iso-hoeklijn Maak nu opgave 9 van paragraaf 4

19 Je rijdt op de A15 en ziet het verkeersbord groter worden. Iso-hoeklijn

20 Iso-hoeklijn

21 Iso-hoeklijn

22 Iso-hoeklijn De grootste kijkhoek.

23 Iso-hoeklijn Hoogte bord = 3,5 meter. Hoogte onderkant bord t.o.v weg = 4 meter. Ooghoogte = 1 meter. Op welke horizontale afstand van het bord is de kijkhoek het grootst?

24 Oefenen Bestuderen: In ieder geval de theorieblokjes van paragraaf 3 en 4. Maken: De opgaven van paragraaf 3 maar in ieder geval de opgaven 7, 8, en 14. Van paragraaf 4 de opgaven 5, 7 en 8.

25 Inleveren: Van paragraaf 3: opgave 15. Van paragraaf 4: opgave 10. Huiswerk