Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Dinsdag 22 juni uur

Transcriptie

1 Wiskunde rofi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag juni uur Dit eamen bestaat uit 15 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Voor de uitwerking van de vragen 1,, 7, 11 en 1 is een bijlage toegevoegd. ls bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. ls er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. WV99R.EX egin

2 Opgave 1 Een vlakvulling Uitgaande van een willekeurige koordenvierhoek kun je een vlakvulling tekenen. In figuur 1 zie je hiervan een voorbeeld. figuur 1 I II Twee aangrenzende koordenvierhoeken (zoals I en II) gaan in elkaar over door ze een halve slag te draaien om het midden van de gemeenschappelijke zijde (dat midden is aangegeven in de figuur). Deze opgave gaat over de vlakvulling van figuur 1. We maken het Voronoi-diagram met de hoekpunten van de vierhoeken als centra. is zo n hoekpunt. Zie figuur. Deze figuur staat ook op de bijlage. figuur δ γ β 5p 1 Teken de Voronoi-cel van centrum in de figuur op de bijlage. Noem de hoeken van een koordenvierhoek:, β, γ en δ. Zie figuur. 6p ewijs dat de hoeken van de Voronoi-cel van centrum dan ook, β, γ en δ zijn. Je kunt hierbij de figuur op de bijlage gebruiken. WV99R.EX Lees verder

3 Opgave Een familie eponentiële functies Voor n = 1,, 3, is f n de functie figuur 3 gedefinieerd door f n () = e n. In figuur 3 zijn de grafieken van f 1 tot en met f 5 getekend. f 1 f f 3 f f 5 Voor elke n raakt de lijn met vergelijking e = de grafiek van f n. n De volgende vraag gaat over deze eigenschap als n =. e 9p 3 ewijs dat de lijn = raakt aan de grafiek van f () = e. O 6 l is de lijn met vergelijking =. figuur G 0 is het gebied dat wordt ingesloten door de -as, de grafiek van f 1 en de lijn l. Zie figuur. 7p ereken de eacte waarde van de oppervlakte van G 0. G 0 f 1 f f 3 f f 5 l O 6 De lijn met vergelijking = 3 snijdt de figuur 5 grafiek van de functie f n in het punt S n,en de -as in het punt S 0. Zie figuur 5. 6p 5 ewijs dat voor elke n het lijnstuk S n S n+1 even lang is als het lijnstuk S 0 S 1. Voor elke n is G n het gebied dat wordt ingesloten door lijn l en de grafieken van f n en f n+1. 6p 6 Toon aan dat voor alle n = 0, 1,, 3, de oppervlakten van G n gelijk zijn. f 1 f f 3 f S 0 S 1 S S 3 S S 5 O 6 f 5 l =3 WV99R.EX 3 Lees verder

4 Opgave 3 Twee cirkels met gelijke straal Twee cirkels met gelijke straal snijden figuur 6 elkaar in de punten en. Een lijn door snijdt de ene cirkel in en de andere cirkel in Q. Zie figuur 6. Deze figuur staat ook op de bijlage. Q 6p 7 ewijs dat de lijnstukken en Q even lang zijn. Opgave Een kegel vouwen In figuur 7 is een cirkelvormig stuk papier getekend, waaruit een sector is geknipt. De uiteinden van de cirkelrand van het overgebleven stuk papier zijn en. M is het middelpunt van de cirkel. Door de kanten M en M tegen elkaar te lijmen, ontstaat een kegel. figuur 7 M M, We noemen de hoek M van het overgebleven stuk,met in graden. Zie figuur 7. ls klein is, ontstaat een smalle, hoge kegel. ls daarentegen groot is, ontstaat een platte, lage kegel. We gaan op zoek naar de kegel die de grootst mogelijke inhoud heeft. We nemen als straal van het cirkelvormige stuk papier 1. 3p 8 ewijs dat de omtrek van de grondcirkel van de kegel gelijk is aan π. 360 De inhoud van een kegel wordt gegeven door de volgende formule: Inhoud = 1 3 oppervlakte grondvlak hoogte. 5p 9 ewijs dat de inhoud van de kegel gelijk is aan 1 π Ê ˆ 1 Ê ˆ. 3 Ë360 Ë360 5p 10 Voor welke is de inhoud maimaal? Geef je antwoord in graden nauwkeurig en licht je werkwijze toe. WV99R.EX Lees verder

5 Opgave 5 Een parabool met twee raaklijnen In figuur 8 is een parabool getekend met figuur 8 brandpunt F. en zijn twee punten op de parabool aan weerszijden van de smmetrieas. l en l zijn de raaklijnen aan de parabool in respectievelijk en. l β l γ is de hoek waaronder l en l elkaar snijden in C, CF = en CF = β. Figuur 8 staat ook twee keer op de bijlage. Je kunt deze figuren gebruiken bij de beantwoording van de vragen 11 en 1. F C γ 6p 11 ewijs dat γ = + β. 5p 1 ewijs dat F = γ. Opgave 6 Een slingergolf Voor n = 1,, 3, is f n de functie figuur 9 gedefinieerd door f n () = sin + 1 n sin n met domein [0, π]. In figuur 9 is in een assenstelsel de grafiek van f 10 getekend. Voor elke n zou de grafiek van f n in dit assenstelsel getekend kunnen worden. De hoek die de grafiek van f n in de oorsprong met de -as maakt, is voor elke n hetzelfde. 5p 13 ewijs dit. 1 O π π 1 7p 1 Onderzoek voor welke waarden van n het maimum van f n wordt bereikt voor = 1 π. Je hoeft je antwoord niet te bewijzen. Wel moet je je werkwijze toelichten. Voor elke n ligt de grafiek van f n op of boven de -as. De grafiek van f n slingert om de grafiek van = sin. O n is de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f n en de -as. O is de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van = sin en de -as op het domein [0, π ]. 9p 15 ewijs dat voor elke n geldt: O n > = O. Einde WV99R.EX 5