Kegelsneden. Les 1 Gelijke afstand (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Conflictlijnen van de Wageningse Methode.)

Transcriptie

1 Kegelsneden Les 1 Gelijke afstand (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Conflictlijnen van de Wageningse Methode.)

2 De verdeling van de Noordzee Het nabuurprincipe: Elk stukje van de zeebodem hoort Bij het land waar het het dichtst bij ligt. Maar hoe meet je die afstand van een punt tot de kust?

3 De verdeling van de Noordzee Het nabuurprincipe: Elk stukje van de zeebodem hoort Bij het land waar het het dichtst bij ligt. Lees de tekst op bladzijde 1 en maak opgave 1.

4 Afstand Gegeven: een lijn k en een punt A buiten de lijn. De kortste verbinding van A met de punten op de lijn is een loodlijnstuk vanuit A op k. A k

5 Afstand Gegeven: een lijn k en een punt A buiten de lijn. De kortste verbinding van A met de punten op de lijn k is een loodlijnstuk vanuit A op k. A k Bewijs AQ is de loodlijn vanuit A op k. AQ is de lengte van AQ. Q

6 Afstand Gegeven: een lijn k en een punt A buiten de lijn. De kortste verbinding van A met de punten op de lijn k is een loodlijnstuk vanuit A op k. A k Bewijs AQ is de loodlijn vanuit A op k. AQ is de lengte van AQ. Kies een willekeurig punt P op k (P Q). Volgens de stelling van Pythagoras geldt: AAAA 2 = AAQQ 2 + PPQQ 2 Dan is AAAA 2 > AAAA 2 en dus ook AAAA > AAAA P Q

7 Iso - afstand Anneke vist in een ronde vijver met steiger. AD is de verste afstand van dobber D vanaf A. Welke plaatsen in de vijver kan Anneke bereiken? Maak opgave 4.

8 Gelijke afstand tot een lijn Gegeven: een lijn k en een lijn m evenwijdig aan k. Elk punt P op m heeft dezelfde afstand tot k. m is een iso-afstandslijn van lijn k. m P k

9 Gelijke afstand tot een lijn Gegeven: een lijn k en een lijn m evenwijdig aan k. Er is nog een iso-afstandslijn bij k met dezelfde afstand als m tot k. Welke lijn is dat? m P k

10 Gelijke afstand tot een punt Gegeven: een punt M en een cirkel c met M als middelpunt. Elk punt P op c heeft dezelfde afstand tot M. c is een iso-afstandslijn van punt M. P M c

11 Afstand van punt tot cirkel Definitie Een cirkel c met middelpunt M. Punt P ligt binnen of buiten de cirkel. De afstand van P tot de cirkel is de kortste afstand van P tot alle punten van de cirkel. P S S P M c

12 Afstand van punt tot cirkel Bewering Een cirkel c met middelpunt M. Punt P ligt binnen of buiten de cirkel. S is het snijpunt van (het verlengde van) PM met de cirkel. Dan is PS de afstand van P tot de cirkel. Bewijs Kies Q willekeurig op de cirkel (Q S). Dan is PQ + QM > PM (driehoeksongelijkheid) QM = SM dus PQ > PS. P Q S S P M c

13 Gelijke afstand tot een cirkel Gegeven: een cirkel c met middelpunt M en een cirkel d, buiten c, met M als middelpunt. Elk punt P op d heeft dezelfde afstand tot cirkel c. d is een iso-afstandslijn van cirkel c. P S M c d

14 Gelijke afstand tot een cirkel Gegeven: een punt M, een cirkel c en een cirkel d met M als middelpunt. Er kan nog een iso-afstandslijn zijn bij c met dezelfde afstand als d tot c. Welke kromme is dat? Onder welke voorwaarden is dat zo?

15 Gelijke afstand tot een kromme De afstand van een punt P tot een kromme k is de lengte van een kortste lijnstuk PQ waarbij Q op k ligt. Een kromme m is iso-afstandslijn van een kromme k als elk punt P op m dezelfde afstand heeft tot k.

16 Gelijke afstand tot een kromme Een kromme m is iso-afstandslijn van een kromme k als elk punt P op m dezelfde afstand heeft tot k. Voorbeeld 1 k bestaat uit twee halfrechten die een hoek met elkaar maken. P P P P m k m bestaat uit twee halfrechten, evenwijdig met k en een cirkelboog met het hoekpunt als middelpunt. P

17 Gelijke afstand tot een kromme Een kromme m is iso-afstandslijn van een kromme k als elk punt P op m dezelfde afstand heeft tot k. Voorbeeld 1 k bestaat uit twee halfrechten die een hoek met elkaar maken. m bestaat uit twee halfrechten, evenwijdig met k. P P P

18 Gelijke afstand tot een kromme Maak opgave 3 op bladzijde 2.

19 Gelijke afstand tot twee punten Gegeven twee punten A en B. De iso-afstandslijnen rond A en B zijn cirkels met A en B als middelpunten. De snijpunten van de cirkels met gelijke straal liggen even ver van A als van B.

20 Gelijke afstand tot twee punten Gegeven twee punten A en B. De iso-afstandslijnen rond A en B zijn cirkels met A en B als middelpunten. De snijpunten van de cirkels met gelijke straal liggen even ver van A als van B. De snijpunten liggen op de middelloodlijn van het lijnstuk AB.

21 Gelijke afstand tot twee punten Gegeven twee punten A en B. De iso-afstandslijnen rond A en B zijn cirkels met A en B als middelpunten. De snijpunten van de cirkels met gelijke straal liggen even ver van A als van B. Deze snijpunten liggen op de middelloodlijn van het lijnstuk AB. Deze lijn is de conflictlijn van de punten A en B. De punten op deze lijn liggen even ver van A als van B.

22 Meetkundige plaats Een meetkundige plaats is de verzameling punten in het vlak die aan een specifieke meetkundige eigenschap voldoen. Voorbeeld Een cirkel is de meetkundige plaats van punten die even ver van een gegeven punt liggen.

23 Meetkundige plaats Stelling De middelloodlijn van een lijnstuk AB is de meetkundige plaats van punten die even ver van A als van B liggen. Bewijs Het bewijs bestaat uit twee gedeelten: 1. Gegeven een punt P dat even ver van A als B af ligt, laat zien dat P op de middelloodlijn ligt. 2. Gegeven een punt P op de middelloodlijn, laat zien dat P even ver van A als B af ligt. NB: Je bewijst dus dat de middelloodlijn precies alle punten P met de eigenschap bevat. Dus geen punt meer of minder!

24 Meetkundige plaats Stelling De middelloodlijn van een lijnstuk AB is de meetkundige plaats van punten die even ver van A als van B liggen. Bewijs 1. Gegeven een punt P dat even ver van A als B af ligt. Teken de loodlijn vanuit P op AB. Q is het voetpunt van de loodlijn. APQ BPQ (zzr) AQ = BQ P ligt op de middelloodlijn van AB. A Q P B

25 Meetkundige plaats Stelling De middelloodlijn van een lijnstuk AB is de meetkundige plaats van punten die even ver van A als van B liggen. Geef zelf bewijs 2. A Q P B

26 Meetkundige plaats en conflictlijn De middelloodlijn van een lijnstuk AB is de meetkundige plaats van punten P die even ver van A als van B liggen. De middelloodlijn van een lijnstuk AB is de conflictlijn van A en B.

27 Gelijke afstand tot twee lijnen Gegeven twee snijdende lijnen a en b. De iso-afstandslijnen rond a en b zijn lijnen evenwijdig met a en b. De snijpunten van de lijnen met gelijke afstand tot a en b liggen even ver van a als van b.

28 Gelijke afstand tot twee lijnen Gegeven twee snijdende lijnen a en b. De iso-afstandslijnen rond a en b zijn lijnen evenwijdig met a en b. De snijpunten van de lijnen met gelijke afstand tot a en b liggen even ver van a als van b. Deze snijpunten liggen op de bissectrice van de lijnen a en b.

29 Meetkundige plaats Stelling De bissectrice van twee snijdende lijnen a en b is de meetkundige plaats van de punten P die even ver van a als van b liggen. Bewijs Het bewijs bestaat uit twee gedeelten: 1. Gegeven een punt P dat even ver van a als van b ligt, laat zien dat P op de bissectrice ligt. 2. Gegeven een punt P op de bissectrice, laat zien dat P even ver van a als van b ligt.

30 Meetkundige plaats Stelling De bissectrice van twee snijdende lijnen a en b is de meetkundige plaats van de punten P die even ver van a als van b liggen. Bewijs 1 Gegeven een punt P dat even ver van a als van b ligt. Q is het snijpunt van beide lijnen. Teken de loodlijnen vanuit P op a en b. De voetpunten zijn S en T. Teken PQ. SPQ TPQ (zzr) SSSSSS = TTTTTT P ligt op de bissectrice van a en b. Q S a P T b

31 Meetkundige plaats Stelling De bissectrice van twee snijdende lijnen a en b is de meetkundige plaats van de punten P die even ver van a als van b liggen. Geef zelf bewijs 2. S a P Q T b

32 Meetkundige plaats en conflictlijn De meetkundige plaats van punten P die even ver van een figuur A als van een figuur B liggen, heet een conflictlijn van A en B. Voorbeelden De middelloodlijn van een lijnstuk AB is de conflictlijn van A en B. De bissectrice van twee snijdende lijnen a en b is de conflictlijn van de lijnen a en b.

33 Samengevat Een kromme m is iso-afstandslijn van een kromme k als elk punt P op m dezelfde afstand heeft tot k. De conflictlijn van twee punten A en B bevat alle punten die even ver van A als van B af liggen. De conflictlijn van twee lijnen a en b bevat alle punten die even ver van a als van b af liggen. Een meetkundige plaats is de verzameling punten in het vlak die aan een specifieke meetkundige eigenschap voldoen. De middelloodlijn van een lijnstuk AB is de conflictlijn van A en B. De bissectrice van twee snijdende lijnen a en b is de conflictlijn van de lijnen a en b.

34 Oefenen Bestuderen: paragraaf 1. Maken: De opgaven van paragraaf 1 maar in ieder geval de opgaven 4, 5,6.

35 Inleveren: opgaven 7 en 14. Huiswerk