Blok 6B - Vaardigheden

Transcriptie

1 B-a Etra oefening - Basis Eigenschap C is ook een definitie van een rechthoek. A: Als de diagonalen wel even lang zijn maar elkaar niet middendoor delen, is de vierhoek geen rechthoek. Denk ijvooreeld aan een vlieger waarij de diagonalen even lang zijn. B: Bij een ruit delen de diagonalen ook elkaar middendoor, en een ruit is geen rechthoek. D: Bij een parallellogram zijn de tegenover elkaar liggende zijden ook even lang, maar een parallellogram is geen rechthoek. B-a Noem het snijpunt van de diagonalen M. Omdat de driehoeken gelijkzijdig zijn geldt AM BM AB en MB CM BC enzovoorts. Omdat de zeshoek regelmatig is geldt ook AB BC CD enzovoorts. Dus geldt MA MB MC MD ME MF. De zes hoekpunten liggen op gelijke afstanden van M dus op een cirkel met straal AM. MAF 6 (want AMF is gelijkzijdig). CAM (want BAM 6 en lijn AC is een diagonaal in de ruit ABCM en deelt daarom de hoek BAM middendoor). Dus CAF 9. Zo zijn ook de hoeken AFD, FDC en DCA gelijk aan 9. Dus is vierhoek ACDF een rechthoek. B-a BCD 8 γ en α + β+ γ 8 oftewel α + β 8 γ, dus BCD α + β C C ( α + β) Als de getekende deellijn evenwijdig is aan AB, dan is C A en C B. Omdat echter ook geldt C C, is A B oftewel α β. B-a B 8 9, dus er gaat een cirkel met middellijn AC door de punten A, B en C (Stelling van Thales). D 8 9, dus de cirkel met middellijn AC gaat ook door de punten A, D en C. Er gaat dus een cirkel door alle vier de punten. De straal van die cirkel is de helft van middellijn AC en dat is cm. B-a Boog AF deel van de cirkel dus AMF 6. Driehoek AMF is gelijkenig, dus MAF ( 8 ). c Boog FJ deel, FMJ 6 FMJ is gelijkenig, MFJ ( 8 ). Boog AJ deel; AMJ 6 9. AMJ is gelijkenig, MAJ ( 8 9 ). B-6a 6 c 8 6 y y 6 y y d e f p 9 p p 9 p 9p a 6 6a a a a

2 B-a c B-8a c f( ) of f ( ) of f( ) als ( p )( p ) g( p) of g( p) p als p p k ( ) of k ( ) als ( 8 ) 8 f( ) + + schrijf je als f( ) dus als f ( ) g ( ) + schrijf je als g ( ) ( ) + ofwel g ( ) + dus als g ( ) + h ( ) + + schrijf je als h ( ) ( ) ofwel h ( ) 8 + dus als h ( ) + + B-9a De grafiek heeft een verticale asymptoot als + dus de vergelijking van de verticale asymptoot is. d/e f ( ) +, c De uitkomst van de reuk + nooit gelijk aan. y 8 6 O 6 8 is nooit gelijk aan, dus de functiewaarde van f is B-a De lijn y is de horizontale asymptoot van de grafiek van f ( )

3 d 8 c + ( )( ) + D ( ) of 8 Invullen geeft f ( ) en g( ) 6 of f ( ) + + en g( ). De coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f en g zijn (, 6) en (, ). Etra oefening - Gemengd G-a In figuur is M 6 :. In figuur is M 6 : 6 6. In figuur is M 6 :,. De hoek ij punt A is telkens de helft van de hoek ij punt M, dus in figuur is A 6, in figuur is A en in figuur is A,. G-a/ Zie de tekening hiernaast. C c Omdat ACE gelijkenig is, zijn de hoeken ACD en AED gelijk. Verder is ACD C. d AED DCB en ADE BDC Dan is ook DAE DBC (de derde hoek in A D een driehoek). Omdat de overeenkomstige hoeken gelijk zijn, zijn de twee driehoeken gelijkvormig. e ADE AD AE DE BDC BD BC DC AD AE, en omdat AE AC is dus AD AC BD BC BD BC G-a KMQ 6 LMQ 8 c KML KPL d KML α+ β q ( q ) q G-a mq ( ) dus mq ( ) ofwel mq ( ) ( q ) als q q d ( ) ( 6 + ) ofwel d ( ) + v ( v v + ) c tv () ofwel tv () v als v v +, dus als (v )(v ), v v+ dus als v en v p ( ) 8 dus p ( ) 8 ( ) als dus als E B

4 G-a + c d ( ) ( + ) + D ( ) 8; D< geen oplossingen D of + e + + ( + ) ( + )( + ) + + ( )( ) ( + ) of + of f + + ( + )( ) + 8 of D ( 8) 8 of 8 +, of 9, of + 6 8

5 G-6a 8 g ( ) + ( ) g ( ) ( ) g ( ) + + g ( ) g ( ) + dus f en g zijn hetzelfde. + De grafiek heeft een horizontale asymptoot als +. De vergelijking van de asymptoot is. c + als + + Het snijpunt met de -as is (, ). G-a De oppervlakte van het zwemad is lengte keer reedte. De reedte is en de lengte is y. De reedte van het terras plus zwemad is + De lengte van het terras plus zwemad is y +. De formule voor de oppervlakte A wordt dus A ( + )( y + ). c A y+ + y+ d e f y 8; y 8 invullen geeft A A herleid je tot A A oppervlakte 6 Bij is de oppervlakte het kleinst. Het zwemad is dan meter reed en 8 : 6 meter lang.

6 Complee opdrachten C- AD BD dus DAB ABD ADB 8 DAB ABD 8 B ADC 8 (8 B) B AC AD dus ACD ADC B AB BC dus BAC ACD B dus ADC BAC Voor de hoeken van driehoek ABC samen geldt A + B + C B + B + B B B 8, dus B 6 C- aantal stukjes s aantal driehoekjes d 6 8 aantal vierhoekjes v 8 Voor het aantal driehoekjes d in de figuur met s stukjes geldt de formule d s +. De vier lijnen ij s zorgen voor vierhoekje middenin de figuur dat niet tegen de rand van de rechthoek ligt. Bij s zijn dat er, ij s zijn er dat er 9, ij s zijn dat er 6, enzovoort. In de figuur met s stukjes liggen er ( s ) vierhoekjes niet tegen de rand van de rechthoek. Tegen de linker zijkant van de liggen s vierhoekjes. Hetzelfde geldt voor de rechter zijkant. Samen zijn dat ( s ) vierhoekjes die tegen de rand van de rechthoek liggen. Formule: v ( s ) + ( s ) v s s+ + s ; v s t d + v; d s + t s + + s t s + s + C- AMB α, dus ACB α Omdat AC BC is de figuur symmetrisch en geldt ACM BCM ACB α α. C- +, v v + + v v +, v ( v+ ) + v, vv ( + ) v+ + v, v + v, v + v + v 9v D ( 9) v 9 of v, Dus ongeveer 9 km/uur. 8

7 8 C- Stel BC C D , of 8 6, BC, ( ) 6+ + ( )( ) of of y g() en y g() De snijpunten zijn (, ) en (, ) ( ) 6+ 6 geen oplossingen De grafieken van f en h heen geen snijpunten. C- Bij een windsnelheid van v km per uur is de enodigde tijd gelijk aan v + + v uur. v + + v Eerst vermenigvuldigen met v en dan met + v geeft de volgende vergelijking. ( + v) + ( v) ( + v)( v ) 6 + v+ 6 v ( 9 v ) 6 v v v v 86,6 Bij windsnelheden van maimaal 86,6 km per uur is een veilige tocht mogelijk.

8 Technische vaardigheden T-a s 8 d (w + ) 9 6 s 8 w + 6 s 8 w 8p + p + e + 9 p p p c 8r r 6 f,v + 8,v r 6,v + 8 r 6,v,, T-a sin dus KM KM, sin tan T 8 9 dus T tan ( ) 9 c M is het midden van DE. Trek lijnstuk FM. cos68 dus DF EF DF 68, cos d tan PQ dus PQ tan 6, PTR + 8 tan 8 PR dus PR tan 8, QR, 6,, v, T-a % + % % e % +,%,% groeifactor :, groeifactor, :, % +,%,% f %,% 99,8% groeifactor, :, groeifactor 99,8 :,998 c % % 69% g % % % groeifactor 69 :,69 groeifactor :, d % + % % h % 9,% 9,% groeifactor :, groeifactor 9, :,9 T-a + dus domein is 6 ofwel 6 dus domein is 6 6 c dus domein is < en > d dus domein is < en > e dus domein is f + > voor elke waarde van, dus het domein is alle getallen 8

9 86 T-a of y g( ) en y g() De snijpunten zijn (, ) en (, ) ( 6)( ) 6 of 6 of y g(6) en y g() De snijpunten zijn (6, ) en (, ). T-6a f( ) ( ) + p dus + + p p 6 + p D ( ) p D geeft 6 p p 6 dus p 8 T-a : %,% e : %,% : 8 % 6 % f,8 : 8 % % c : %,8% g, : % 9% d, : % % h : %,% T-8a, e, ] [, f, c [ 9, g [, ;, ] d, ] h, T-9a ( ) d w 6w w 6w w w+ D ( 9) 9 D ( ) of 9 9 geen oplossingen 8 8 6, of, e v + 9 d d d v 9 d( d + d ) v d of d + d geen oplossingen D 9 d is de enige oplossing.

10 T-a c (p + )(p + ) (p + )( p) f (n )(n + ) n (n + ) p + p+ p p+ n + n n n p + p+ n D 6 n p + 6 of p 6 p, of p, + c of + d T-a y + p 8a 6a c h t + 8t t d m r r+ r+ r m 6r + r e w d(d + d d 8) w d + d d 8d w d + 9d 8d f T-a I G h ( π ) π 6,6 T is het punt op middellijn AB, recht onder T. tan BTT ' BT ' TT ' BTT tan ( ) dus BTT ' 9, 8 BTA BTT ' 96, BTA 8 8

11 88 Door elkaar D-a dus p + p + + ( p ) + + D ( p) D < geeft 9 ( p ) < p < 8p < 9 dus p < 9 8 D-a De oppervlakte is gelijk aan,, +, 6, m. Splits de tent in een piramide T.BCD en een prisma TBD.UAE. De inhoud is gelijk aan: (,, : ), + (,, : ), m. c zijde kwadraat d BT, TT, TB,6, +,8 TB TC, 8 68, m zijde CT, BT, BC kwadraat,6,6 +, BC, 6, m. Neem M op het midden van BC, dan is zijde BM, TM BT, 8 kwadraat,89,6 +,8 TM, 6 9, m De oppervlakte van driehoek BCT is 6,, 9 :, 8 m. e zijde kwadraat UA, 8 AP UP UP,8 + 6,8 6, 8 6, m

12 D-a 6 D-a f () g (),,,,,6,8 y 6 O , dus domein van g is. c h ( ) ( ) h ( ) ( ) k ( ) + d m ( ) ( ( ) ) m ( ) ( ) n ( ) ( + ) n ( ) + Teken vanuit punt C een lijn loodrecht op AB. Het snijpunt van deze lijn en AB noem je P. Dan geldt tan CP BP BP BP, tan CD AP AB BP,, De oppervlakte is, +,,. f g D-a De omtrek van de grondcirkel is de helft van de omtrek van een cirkel met straal. De omtrek van de grondcirkel is π π De straal van de grondcirkel is dus. Noem de hoogte TT. zijde TT kwadraat De hoogte is TT, cm c De inhoud is ( π), 6, 9 cm 89

13 d 9 De straal van de grondcirkel is keer zo groot. De inhoud is dus keer zo groot. De inhoud is 6, 9 9 cm. D-6a Zie de grafieken hiernaast. Voor geldt f( ) p Elke grafiek gaat door (, ). c p ( ) p p + p p D p ( p ) D p + p + d De grafieken raken elkaar als D. p + p+ ( p+ )( p+ ) p + of p + p of p D- Als n > dan geldt n + > n en n + > n De langste zijde is dus AC, hoek B is de rechte hoek. Als de driehoek rechthoekig is moet gelden AC AB + BC ( n + ) ( n ) + ( n) ( n + ) n + n + ( n ) n n + ( n) n n + n + n n + + n Dit klopt, de driehoek is rechthoekig. D-8 zijde kwadraat PQ 6 QR 8 PR PR P V M T R In de ruit PTRV staan de diagonalen loodrecht op elkaar en delen elkaar middendoor. De driehoeken PMT en PQR zijn gelijkvormig, want ze heen dezelfde hoek ij punt P en een hoek van 9. Hieruit volgt PM PQ dus 6 PT PR PT 6 PT 6 6PT PT, de zijden van de ruit zijn dus cm lang. y O p p 6 p