De vijfhoek in klas 9

Transcriptie

1 De vijfhoek in klas 9 B. Geels januari 09 Vijf punten op de cirkelrand Als je vijf punten, niet per se regelmatig, op een cirkelrand tekent dan kan je in eerste instantie lijnstukken tekenen. Bij het tekenen van een lijnstuk kies je twee van de vijf punten, waarbij de volgorde van de keuze geen rol speelt. Het gaat dus om een combinatie van uit :. In de periode combinatoriek hebben de negende klassers geleerd dat je dat! = = 0 berekent als: =!! Hieronder zie je dan ook de vijf zijden van het pentagon (vijfhoek) en zijn vijf diagonalen die een pentagram (vijfster) vormen. Als je steeds drie van de vijf punten kiest, zonder volgorde, dan teken je driehoe ken. Daar zijn er ook tien van. = 0 In de figuur hieronder zijn slechts twee van de tien driehoeken getekend. Voor het tekenen van vierhoeken kies je steeds vier van de vijf punten, dat is hetzelfde als zeggen dat je e e n punt uitkiest wat je niet gebruikt: = = Van de vijf mogelijke vierhoeken zijn er hieronder maar twee gekleurd. En als je

2 alle vijf punten kiest dan kan dat natuurlijk maar op e e n manier: = Geen enkel punt uitkiezen kan maar op e e n manier: =. 0 Dit is een goed moment om even terug te komen op de driehoek van Pascal, waarin de keuzes die we hier zagen de zesde rij vormen: Hoeken en bogen Als je vijf punten op de cirkelrand op gelijke afstanden tekent dan wordt de gehele cirkel (60 ) verdeeld in vijf bogen van 7.

3 In de periode cirkelmeetkunde hebben de leerlingen geleerd dat een omtrekshoek gelijk is aan de helft van de boog waarop hij staat. Dus zowel DEC als DAC, als DBC is gelijk aan 6. Daarmee zijn alle hoeken bij de sterpunten gelijk aan bg(cd) = 7 = 6. Een binnenhoek als EFD is gelijk aan de halve ) som van de beide bogen waarop hij staat. Dus EFD = ( bg(ab) + bg(de) = 7. Hetzelfde geldt voor de hoek AGB. ) AGB = ( bg(ab) + bg(ce) = (7 + ) = 08 Daarmee zijn alle hoeken en bogen bepaald. Lengte van de lijnstukken In de figuur hieronder zie je de zijden van de vijfhoek, maar ook de diagonalen. Deze verdelen elkaar ook nog eens in stukken. Zo ontstaan er lijnstukken van verschillende lengtes. Alle driehoeken die je ziet zijn gelijkbenig. Dat betekent dat om te beginnen de lijnstukken van de sterpunten alle gelijk zijn. Omdat de hoeken FAB en AFB gelijk zijn, ze zijn beide 7, zijn ook de lijnstukken als AB en BF gelijk. Je kunt lijnstukken in deze figuur aanwijzen, maar er zijn dus maar vier verschillende lengtes. Van groot naar klein: ˆ ˆ ˆ ˆ diagonalen van de vijfhoek; bv AD lijnstukken ter grootte van de zijden van de vijfhoek; bv AB en AH 0 lijstukken van de sterpunten; bv AF zijden van de binnenste vijfhoek; bv FG Hieronder zullen we zien dat deze lengtes allemaal dezelfde verhouding hebben. Dus AD AB = AB AF = AF () FG Deze lengtes vormen dus een meetkundige rij.

4 Vijf driehoeken In de figuur hierboven kunnen we in totaal driehoeken tellen. Ze zijn allemaal gelijkbenig. ˆ stomphoekige driehoeken ( ) kleine aan de zijden van de vijfhoek bv ABG 0 grote aanweeerszijden van de diagonalen bv ABE en EBI ˆ 0 scherphoekige driehoeken (7 7 6 ) kleinste bv AGF 0 middelste bv ABH grootste bv ACD De kleine en grote stomphoekige driehoeken zijn gelijkvormig. En de drie verschillende scherphoekige driehoeken zijn ook gelijkvormig. Uit deze gelijkvormigheid volgt de verhoudingenreeks in vergelijking (). uit ABD AFB volgt AD AB = AB AF uit AFB FGA volgt AB AF = AF FG AD AB = AB AF = AF FG Verhouding van de zijde en de diagonaal van een vijfhoek In de figuur hieronder is nogmaals een regelmatige vijfhoek op een cirkel getekend. De zijde van de vijfhoek noemen we z en de diagonaal AC = d. Er geldt ABD IDE:

5 En dus kunnen we opschrijven: AB AD = DI CD Omdat DI = d z komt er: z d = d z. z Stel d z = φ, dan komt er: φ = φ. Dat geeft de tweedegraads vergelijking: φ φ = 0 () met oplossingen: φ = ±. Omdat alle afstanden positief zijn komt er: φ = + () Dit is het getal van de gulden snede. In een vijfhoek geldt dus: d = φ z () Daarmee kunnen we de verhoudingereeks () compleet maken: AD AB = AB AF = AF FG = φ Relaties van het getal van de gulden snede Het getal φ heeft een reeks van relaties met zichzelf die het rekenen met φ gemakkelijk maken. Uit de definitie hebben we al φ = φ () Uit de vergelijking () volgt: En dus ook: φ = φ + (6) φ = φ + φ = φ + (7) En vervolgens: φ = φ + φ = φ + (8)

6 Verder hebben φ nodig. Met (): φ = (φ ) = φ φ + En met (6) komt er: φ = φ (9) De relatie van de zijde tot de straal van de omgeschreven cirkel In de onderstaande figuur is de vijhoek en twee van zijn diagonalen getekend. Verder is de straal aangegeven. Er ontstaan twee rechthoekige driehoeken. PBD met hoogte h en PBM met hoogte h r Er geldt d = h + z en r = (h r) + z Aftrekken levert: r d = hr + r ofwel d = hr en h = d r. 6

7 Dit invullen in d = h + z geeft: d = d r + z met relatie (): φ z = φ z + r z herschikken en delen door z φ z : = φ r vermenigvuldigen met r : φ z = r (φ ) φ met positieve wortel: z = r Deze vorm gaan we nu vereenvoudigen met de relaties voor φ. φ met (9): met (6), (7) en (8) : z = ( φ) φ r z = ( φ + φ )(φ ) r z = φ 6φ + φ + φ r z = φ r Nemen we nu de waarde van φ uit vergelijking () dan vinden we: z = + r (0) z = r () z = 0 r () Constructie van de vijfhoek In de cirkel hieronder is een loodrecht kruis door het middelpunt getekend. Punt N ligt op het midden van de straal. Met middelpunt N en straal BN wordt de cirkelboog AB getrokken. Bewering: AB is de zijde van deregelmatige vijfhoek op deze cirkel. Bewijs: In MNB geldt BN = r + ( r) = r. AM = r r. 7

8 In AMB vinden we z = AB = r + ( r r) z = + + r z = 0 r Hetgeen in overeenstemming is met (). Het is niet mogelijk deze geneste wortel te vereenvoudigen. 8