Vlakke meetkunde en geogebra

Transcriptie

1 Vlakke meetkunde en geogebra Open de geogebra-app. Kies het algebra- en tekenvenster. Aan de linkerkant zie je het algebravenster en rechts daarvan het tekenvenster met een x-as en een y-as. Om een rooster te krijgen, kiezen we de knop en daarna de knop. Om de assen uit te zetten, tik je op. Als je de assen weer terug wil hebben, klik je nogmaals op. In de menubalk aan de bovenkant, vind je een aantal tekenopties. Kies en tik daarna in het rooster op het punt (2, 1). In het algebravenster zie je nu dat punt A gedefinieerd is als A = (2, 1). Om het punt B(5, 4) te tekenen kun je in het tekenvenster op het punt (5, 4) tikken, maar je kunt het punt ook ingeven via het invoerveld in het algebravenster. Geef in het invoerveld in: B = (5,4). Om de lijn door de punten A en B te tekenen, kiezen we voor de knop en daar voor rechte door twee punten (dus nogmaals de knop B. ).Tik nu op de punten A en In het algebravenster zie je nu de formule die bij deze lijn hoort: a: x + y = 1. Je hoeft nu nog niet te weten hoe we aan deze formule komen. Als je een getekend object niet wil tonen, kun je in het algebravenster bij dat object op het blauwe bolletje drukken. Laat de lijn AB eerst verdwijnen en daarna weer zichtbaar worden. Omdat we de punten A en B zelf hebben gekozen, noemen we ze onafhankelijke objecten. Vlakke meetkunde en geogebra Pagina 1

2 De lijn a door de punten A en B is een afhankelijk object, want deze lijn hangt af van de gekozen punten A en B. Als we een van de twee punten veranderen, verandert ook de lijn a. Druk op en verplaats punt B naar het punt B = (8,3). In het algebravenster veranderen de coӧrdinaten van punt B en de formule van lijn a automatisch. In de tekening zien we dat het punt (5, 2) op lijn a ligt. Kies en daarna punt op object en tik op het punt (5, 2), dit wordt punt C. Omdat punt C een afhankelijk object is, kunnen we punt C met over lijn a verplaatsen. We gaan nu een nieuwe tekening maken. Kies en daarna bestand, nieuw, niet opslaan en kies weer het algebra- en tekenvenster. Teken de punten A(1, 2), B(9, 1) en C(3, 3). Kies voor veelhoek en teken ABC (klik achtereenvolgens op A, B, C en A ). Om A te meten, kiezen we hoek en tikken achtereenvolgens op de punten B, A en C. Geogebra meet hoeken altijd tegen de wijzers van de klok in. Tik achtereenvolgens op de punten C, A en B en je ziet dat de buitenhoek van A gemeten wordt. Met de knop maak je deze stap ongedaan. Je kunt een hoek ook meten door de twee benen van de hoek aan te tikken. Meet B door eerst zijde BC en daarna zijde AB aan te raken. Vlakke meetkunde en geogebra Pagina 2

3 Om de lengte van lijnstuk AB te meten kiezen we en daarna afstand of lengte en vervolgens tikken we op de punten A en B (of op zijde AB). In hetzelfde submenu vind je een knop waarmee je de oppervlakte van een figuur kunt bepalen. Bepaal de oppervlakte van ABC. Als we nu punt C verplaatsen, zien we dat alle meetgegevens automatisch worden aangepast. Opgave 1: Teken ABC met A( 2, 3), B(7, 1) en C(0, 3). a. Meet A en C. b. Meet AB. c. Bepaal de oppervlakte van ABC. Opgave 2: a. Teken de lijn a door de punten A( 2, 5) en B(4, 2). Wat is de formule die bij lijn a hoort? b. Teken punt C(4, 5) en teken met de knop de lijn b door punt C loodrecht op lijn a. Wat is de formule die bij lijn b hoort? c. Teken met de knop het snijpunt van de lijnen a en b. Wat zijn de coӧrdinaten van dit snijpunt? d. Teken met de knop de lijn door punt C die evenwijdig is met lijn a. Wat is de formule van deze lijn? Vlakke meetkunde en geogebra Pagina 3

4 AFSTANDEN Opgave 3: a. Teken het punt M(1, 2). b. Om de cirkel te tekenen met middelpunt M en straal 3 kiezen we de knop en daarna de knop cirkel met middelpunt en straal. Tik op punt M en vul voor de straal 3 in. c. Kies een willekeurig punt A op de cirkel. Teken met de knop lijnstuk AM en bepaal de lengte van AM. d. Verplaats punt A op de cirkel. Je ziet dat de lengte van lijnstuk AM steeds hetzelfde blijft. Definitie: de cirkel c met middelpunt M en straal r is de verzameling van alle punten P waarvoor geldt: d(p, M) = r. Hierbij is d(p, M) de afstand van P tot M. Opgave 4: a. Teken in de tekening van opgave 3 de cirkel met middelpunt N(6, 2) en straal 5. b. Bepaal de coӧrdinaten van de snijpunten van beide cirkels. De snijpunten B en C zijn de punten P waarvoor geldt: PM = 3 en PN = 5. Vlakke meetkunde en geogebra Pagina 4

5 Definitie: de afstand van een punt P tot een lijn l is de lengte van het kortste lijnstuk van punt P naar lijn l. Dat lijnstuk staat dan loodrecht op lijn l. d(p, P ) = PP waarbij PP l Opgave 5: Teken de lijn l door de punten A( 3, 2) en B(7, 1). In het algebravenster heet de lijn a. Om dit te veranderen kiezen we en daarna en veranderen we de naam van a in l. Om de naam van de lijn ook in het tekenvenster te zien vinken we label tonen Naam aan. In hetzelfde menu kun je bij kleur eventueel de kleur van de lijn veranderen en bij stijl de lijndikte en de lijnsoort (stippellijn of doorgetrokken lijn). Neem P = (2, 3). Om de afstand van punt P naar lijn l te bepalen, tekenen we eerst een lijn door punt P loodrecht op lijn l. Bepaal het snijpunt Q van deze loodlijn met lijn l. Bepaal d(p, l) door de afstand tussen de punten P en Q te bepalen. Omdat punt P een onafhankelijk object is en punt Q een afhankelijk object, vinden we door punt P te verplaatsen steeds de afstand van dat punt P tot lijn l. We gaan nu op zoek naar punten op een bepaalde afstand van een lijn. Teken in een nieuw bestand lijn l door de punten A( 2, 3) en B(7,0). Teken het punt C(4, 1) op lijn l. Teken de cirkel met middelpunt C en straal 3. Teken de lijn m door punt C loodrecht op lijn l. De snijpunten van deze loodlijn m met de cirkel zijn de punten D en E. Vlakke meetkunde en geogebra Pagina 5

6 Voor deze punten D en E geldt: d(d, l) = d(e, l) = 3. Als we nu punt C over lijn l verplaatsen, dan verplaatsen de punten D en E automatisch mee. Deze punten lijken op twee rechte lijnen te liggen. Om dit te controleren zetten we in het menu eigenschappen van de punten D en E de optie spoor tonen aan en verplaatsen punt C over lijn l. Je ziet dat nu de baan van de punten D en E wordt getekend. We krijgen nu dus twee lijnen die evenwijdig zijn met lijn l op afstand 3 van lijn l. Conclusie: alle punten P waarvoor geldt d(p, l) = a liggen op twee lijnen evenwijdig met l. Om deze twee evenwijdige lijnen te tekenen gebruiken we niet de optie spoor, maar kiezen we een andere manier. Teken nogmaals lijn l door de punten A( 2, 3) en B(7,0). Teken een cirkel met middelpunt A en straal 3. Teken de lijn m door punt A loodrecht op lijn l. De snijpunten van m met de cirkel zijn de punten C en D. Teken door C en D de lijnen evenwijdig met lijn l. Opgave 6: a. Teken de cirkel met middelpunt M(3, 2) en straal 4.` b. Teken lijn l door de punten A(1, 3) en B(6, 2). c. Bepaal de coӧrdinaten van de punten P waarvoor geldt: d(p, M) = 4 en d(p, l) = 2. Vlakke meetkunde en geogebra Pagina 6

7 Lijnen in een driehoek Teken de punten A(2, 1) en B(6, 1). We zoeken nu de punten P waarvoor geldt: AP = 3 en BP = 3. Omdat AP = 3 ligt punt P op een cirkel met middelpunt A en straal 3. Teken deze cirkel. Omdat ook moet gelden BP = 3 tekenen we de cirkel met middelpunt B en straal 3. Omdat P op beide cirkels moet liggen, is P dus het snijpunt van deze cirkels. Teken deze twee snijpunten. Teken op dezelfde manier de punten P waarvoor geldt: AP = BP = 4. Doe dit ook voor de punten waarvoor geldt AP = BP = 5 en AP = BP = 6. Alle punten die je nu getekend hebt, lijken op een rechte lijn te liggen. Controleer dit door een lijn l te tekenen door twee van de gevonden snijpunten. Deze lijn l lijkt loodrecht te staan op lijnstuk AB. Teken het snijpunt M van lijn l en lijnstuk AB. Meet de hoek tussen de lijn l en het lijnstuk AB en bepaal de lengte van AM en BM. Alle punten die even ver van een punt A als van een punt B afliggen, liggen op een lijn die loodrecht staat op lijnstuk AB en die gaat door het midden van lijnstuk AB. Daarom noemen we deze lijn de middelloodlijn van AB. Definitie: de middelloodlijn van een lijnstuk AB gaat door het midden van lijnstuk AB en staat loodrecht op lijnstuk AB. De middelloodlijn van lijnstuk AB is een symmetrieas van het lijnstuk. Daarom ligt elk punt van de middelloodlijn even ver van A als B. Vlakke meetkunde en geogebra Pagina 7

8 Voor ieder punt P op de middelloodlijn van AB geldt: AP = BP. In Geogebra kun je met de knop de middelloodlijn van een lijnstuk tekenen. Opgave 7: Teken ABC met A(1, 3), B(9, 1) en C(3, 2). a. Teken van iedere zijde van ABC de middelloodlijn. Deze drie middelloodlijnen lijken door een punt te gaan. b. Teken het snijpunt S van de middelloodlijnen. c. We gaan nu bewijzen dat de drie middelloodlijnen door een punt gaan. Vul in: omdat S op de middelloodlijn van AB ligt geldt: AS = omdat S op de middelloodlijn van BC ligt geldt:. Hieruit volgt dat AS = CS dus.. d. Omdat AS = BS = CS kunnen we nu dus een cirkel tekenen met punt S als middelpunt van straal AS. Deze cirkel gaat dan ook door de punten B en C. Teken deze cirkel. Deze cirkel noemen we de omgeschreven cirkel van ABC. Definitie: de omgeschreven cirkel van een driehoek is de cirkel die door de hoekpunten van de driehoek gaat. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek is het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden van de driehoek. In Geogebra kun je deze cirkel tekenen met de knop cirkel door drie punten. Vlakke meetkunde en geogebra Pagina 8

9 Om driehoeken te kunnen tekenen waarvan een of meerdere hoeken bekend zijn, moeten we eerst leren hoe dit met Geogebra gaat. Teken lijnstuk AB met A(1, 2) en B(7, 1). Kies de optie hoek met gegeven grootte en tik eerst op punt B en daarna op punt A. Vul bij hoek 60 in en kies OK. Er is nu bij punt A een hoek van 60 getekend en er is een punt B getekend. Als je nu de met de knop halfrechte door twee punten de halflijn AB tekent dan heb je een hoek van 60 getekend. Teken op een soortgelijke manier bij punt B een hoek van 50 en kies voor de optie wijzerzin. Opgave 8: a. Teken ABC met AB = 4, A = 120 en B = 40. b. Teken de omgeschreven cirkel van ABC. Opgave 9: Van ABC is gegeven dat AB = 6, AC = 3 en de straal van de omgeschreven cirkel is 4. Teken ABC. Opgave 10: Ga naar de site en kies de pagina wiskunde. Kies opgave 10 en kies vervolgens Open met Geogebra. Zoek stapsgewijs het middelpunt van deze cirkel. Vlakke meetkunde en geogebra Pagina 9

10 In de brugklas heb je geleerd dat een bissectrice een lijn is die een hoek door midden deelt. Teken een halflijn a door de punten A( 2, 2) en B(8, 0) en een halflijn b door de punten A en C(3, 5). Teken met de knop bissectrices de bissectrice van A door achtereenvolgens de punten B, A en C te kiezen. Teken een willekeurig punt D op de bissectrice en bepaal d(d, a) en d(d, b). Verplaats nu punt D over de bissectrice, wat valt je op? Definitie: de bissectrice van een hoek is de halflijn die de hoek door midden deelt. Voor elk punt op de bissectrice geldt dat de afstand tot het ene been gelijk is aan de afstand tot het andere been. Opgave 11: a. Teken ABC met A( 2, 2), B(8, 2) en C(2, 4). b. Teken de bissectrices van de drie hoeken van ABC, het snijpunt is D. c. Teken punt E op zijde AB zo dat DE loodrecht op AB staat. Bepaal de lengte van DE. d. Teken de cirkel met middelpunt D en straal h (=lengte van DE). De getekende cirkel noemen we de ingeschreven cirkel van ABC. Opgave 12: a. Teken de punten A( 2, 1), B(4, 0) en C(1, 4). Teken A met de benen l en m, waarbij l door B en m door C gaat. b. Teken punt P waarvoor geldt: d(p, l) = d(p, m) en PA = PC. Vlakke meetkunde en geogebra Pagina 10

11 Opgave 13: a. Teken ABC met AB = 6, BC = 9 en AC = 5. b. Teken de ingeschreven cirkel van ABC. Opgave 14: Van ABC is gegeven dat AB = 8 en A = 60 en de straal van de ingeschreven cirkel is 2. Teken stapsgewijs ABC. Opgave 15: In de tekening hiernaast zijn de lijnen l en m getekend. De lijnen vormen vier hoeken die elk een bissectrice hebben. a. Wat weet je van alle punten P waarvoor geldt d(p, l) = d(p, m)? b. Vul in: S 1 + S 2 + S 3 + S 4 = S 1 = en S 3 = dus S 2 + S 2 + S 3 + = 2 S S 3 = S 2 + S 3 = Opgave 16: a. Teken de lijn l door de punten A( 2, 1) en B(4, 0) en de lijn m door A en punt C(0, 5). b. Teken alle punten P waarvoor geldt: d(p, l) = d(p, m) en PO = PB. Vlakke meetkunde en geogebra Pagina 11

12 Teken de punten A(1, 2), B(9, 2), C(3, 3). Teken met de knop Midden het punt D dat precies midden tussen A en B ligt. Teken ADC en DBC en bepaal van beide driehoeken de oppervlakte. Verplaats punt C en merk op dat steeds geldt Opp( ADC) = Opp( DBC). Omdat lijn CD er voor zorgt dat de driehoek in twee even grote stukken wordt verdeeld, noemen we deze lijn een zwaartelijn. Definitie: Een zwaartelijn van een driehoek is een lijn vanuit een hoekpunt naar het midden van de tegenoverliggende zijde. In een driehoek gaan de drie zwaartelijnen door één punt, dit punt noemen we het zwaartepunt Z. Opgave 17: a. Teken ABC met A( 1, 2), B(7, 3) en C(1, 3). b. Teken de zwaartelijnen AD, BE en BF en het zwaartepunt Z. c. Bepaal de lengte van AZ en DZ. Bepaal de lengte van BZ en EZ. Bepaal de lengte van CZ en FZ. Wat valt je op? Controleer dit door punt C te verplaatsen. Opgave 18: a. Teken de punten A( 2, 1), C(4, 5) en D(2, 0). Teken lijnstuk CD. b. CD is een zwaartelijn van ABC. Teken ABC. Vlakke meetkunde en geogebra Pagina 12

13 Opgave 19: Van ABC is gegeven dat AB = 5 en AC = 4. De zwaartelijn vanuit punt C heeft een lengte van 6. Teken ABC. We hebben eerder gezien dat als we in ABC de afstand van punt A tot zijde BC willen weten, dat we dan een lijn door punt A loodrecht op zijde BC moeten tekenen. Deze lijn AD noemen we de hoogtelijn uit A in ABC. Zo kunnen we natuurlijk ook de hoogtelijn BE vanuit punt B en de hoogtelijn CF vanuit punt F tekenen. Als we een stomphoekige driehoek hebben dan moeten we de zijde soms verlengen om een hoogtelijn te kunnen tekenen. Vlakke meetkunde en geogebra Pagina 13

14 Opgave 20: Teken ABC met A(1, 1), B(8, 2) en C(2, 5). Teken de hoogtelijnen van ABC. Als het goed is gaan de drie hoogtelijnen door één punt. Opgave 21: Teken ABC met A(3, 2), B(8, 2) en C( 1, 3). Teken de hoogtelijnen van ABC. Opgave 22: In deze opgave gaan we bewijzen dat de drie hoogtelijnen van een driehoek altijd door één punt gaan. a. Teken ABC met A(2, 1), B(6, 1) en C(3, 4). b. Teken de drie hoogtelijnen van ABC. c. Teken achtereenvolgens de parallellogrammen ABDC, ABCE en AFBC. d. Waarom is de hoogtelijn vanuit A van ABC de middelloodlijn van zijde EF? e. Welke bijzondere lijnen van DEF zijn de hoogtelijnen van ABC? f. Waarom gaan de drie hoogtelijnen van ABC door één punt? Opgave 23: a. Van ABC is A = 75, AC = 4,5 en de lengte van de zwaartelijn CM is 5. Teken ABC. b. Van PQR is Q = 50, QR = 7 en de lengte van de zwaartelijn RS is 5,5. Teken PQR. Let op, er zijn twee mogelijkheden! c. Van ABC is A(0, 3) en B(7, 3). Punt H(3, 1) is het hoogtepunt van ABC. Teken ABC. Vlakke meetkunde en geogebra Pagina 14