Oefeningen analytische meetkunde

Transcriptie

1 Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om de rechte r y. Bepaal de vergelijking van dit spiegelbeeld. ) egelsneden (in basisvorm) De parabool. Van een parabool zijn een punt, de symmetrieas en de topraaklijn gegeven. Construeer het brandpunt en de richtlijn.. De raaklijnen t en A t B in twee verschillende punten A en B van een parabool snijden elkaar in S. Als M het midden is van AB, bewijs dan dat MS evenwijdig is met de as van de parabool. De ellips. A en A ' zijn de toppen op de grote as van de ellips. Neem een willekeurig punt P dat geen top is. De topraaklijn in A snijdt PA ' in R en de raaklijn aan P in S. Bewijs dat S het midden is van AR.. en willekeurige raaklijn aan een ellips met brandpunten F en F snijdt de topraaklijnen in de toppen van de grote as in P en Q. Bewijs dat PF QF en PF QF. Toon aan dat hieruit volgt dat de brandpunten op de cirkel liggen met als middellijn PQ. y. Gegeven is de ellips. Bewijs dat de oppervlakte van het vierkant omgeschreven aan waarvan a b de diagonalen symmetrieassen zijn van gelijk is aan a b. c) De hyperbool y. Punt P ligt op de hyperbool H met toppen T en T. Bewijs dat het product van de a b richtingscoëffiënten van PT en PT een constante is.. Op een hyperbool H neem je twee punten P en P die symmetrisch gelegen zijn ten opzichte van het middelpunt O van H. De raaklijnen in deze punten snijden de asymptoten s en s in een parallellogram dat dezelfde oppervlakte heeft als de assenrechthoek van H. Bewijs dit! Oefeningencursus analytische meetkunde Sven Mettepenningen

2 ) Homogene coördinaten het projectieve vlak. Geef een stel homogene coördinaten van de punten met als koppel cartesische coördinaten: A, B, C, D,5 5,7. Geef het koppel cartesische coördinaten van de punten met als stel homogene coördinaten: A,, B,, C,,7 D8, 8,6. Geef een stel coördinaten van het punt P op oneindig van de volgende rechten: Met als vergelijking: a y by6 c5y7 d Met richtingscoëfficiënt m c) Die gaat door de punten P, en P,4 d) Die gaat door de punten P,, en P 6,, 4. Bewijs dat de volgende punten collineair zijn: P,,, P,, en P 7,, P, y,, P, y, en P, y y, 5. Geef de homogene vergelijking van de rechte PP : P,, en P,,4 P,, en P 4,, 6. Gegeven zijn de punten P,, en P,, Geef een stelsel parametervergelijkingen van PP met twee homogene parameters. Het punt, 9, 6,, P behoort tot PP. Vind de waarden van de bijhorende parameters in dat geval. c) Geef een stel homogene coördinaten van het punt op oneindig van PP. d) Geef een stel homogene coördinaten van het midden van PP. e) Vind een homogene vergelijking van PP. 7. Bepaal een stel homogene coördinaten van het snijpunt S van de rechten d en d : d 4yz en d yz d 4yz en d 68yz P en P,,4. Geef een stel homogene coördinaten van P zodat PP PP. 8. Gegeven zijn,, 9. Gegeven zijn de rechten d yz en d yz Geef de vergelijking van de rechtenbundel met d en d als basiseemplaren. Geef de vergelijking van de rechte uit deze bundel die door het punt P,, gaat. c) Geef de vergelijking van de rechte uit deze bundel die door het oneigenlijke punt Q,, gaat. d) Geef de vergelijking van de rechte uit deze bundel die evenwijdig is met d y4z. e) Geef de vergelijking van de rechte uit deze bundel die evenwijdig is met de y-as.. Stel de vergelijking op van de rechtenbundel die door het punt gaat: de oorsprong O, het punt P, c) het punt P,, Oefeningencursus analytische meetkunde Sven Mettepenningen

3 . Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel zijn gegeven de punten C5, en D, de reële getallen doorloopt. Bewijs dat de middelloodlijn van CD door een vast punt gaat., waarbij. Bepaal de homogene vergelijking van de kromme waarvan je de cartesische vergelijking krijgt. Bepaal, als ze bestaan, een stel homogene coördinaten van de punten op oneindig van. y a y r c) y y d) 4 9y 5 e) y y f) y. Gegeven is de kromme yky y7. Voor welke waarde van kr heeft twee samenvallende punten op oneindig? 5h 4. De rechte d 54y5z wordt ook gegeven door het stelsel parametervergelijkingen: y 5 5h. z 5h Gebruik deze parametervoorstelling om de snijpunten van d met de parabool Waarom vind je op deze manier niet het snijpunt Q,5,5? 4) Imaginaire punten en rechten. Toon aan dat de rechte r 4i 6i y48i geen imaginaire rechte is.. Zijn de volgende puntenparen toegevoegd imaginair? P, i i, i en P,, i i. Door het punt, P y 5z te vinden. P i i i en P i i,,,, A brengen we een imaginaire rechte a aan die b y snijdt. Is het snijpunt reëel of imaginair? 4. Bepaal het reële punt dat gelegen is op de imaginaire rechte met vergelijking: biiy6z c) a i y i c i 6 i yiz 5. Bewijs: als een reële rechte door een imaginair punt gaat, dan gaat ze ook door het toegevoegde punt. 6. Stel de vergelijking op van de reële rechte die door het punt P i, i, gaat. 7. Als twee imaginaire rechten elkaar in een reëel punt snijden, zijn de rechten dan noodzakelijk toegevoegd imaginair? Wat is de duale betekenis hiervan? 8. Hoeveel imaginaire punten liggen er op een reële rechte? Hoeveel reële punten liggen er op een imaginaire rechte? c) Hoeveel imaginaire rechten gaan er door een reëel punt? d) Hoeveel reële rechten gaan er door een imaginair punt? 9. Het midden van twee imaginaire punten, Bepaal het midden van P i, i Bepaal het midden van,, P y en Q y definiëren we ook als en Q5,7 i i P i en Q,, i, M ; y y. c) Bewijs dat het midden van een toegevoegd imaginair puntenpaar reëel is. d) Als het midden van een imaginair puntenpaar reëel is, zijn de punten dan noodzakelijk toegevoegd imaginair?. Bepaal de snijpunten van de rechte d met de parabool P: d y i en P y d iy en P y. Bewijs dat (in een georthonormeerd assenstelsel) elke cirkel door de isotrope punten gaat. Oefeningencursus analytische meetkunde Sven Mettepenningen

4 5) Coördinatentransformaties. Bij een affiene coördinatentransformatie worden de coördinaten van de nieuwe basis gegeven door O ',,, en 8,,,,. Stel de matri M van deze coördinatentransformatie op. Bepaal een stel coördinaten t.o.v., y als t.o.v. ', y ' geldt dat 6,, c) Bepaal een stel coördinaten t.o.v. ', y ' als t.o.v., y geldt dat,, d) Bepaal de vergelijking van d t.o.v. ', y ' als t.o.v.,. en verschuiving van het assenstelsel, Bepaal een stel coördinaten t.o.v. ', y ' als t.o.v., Bepaal de vergelijking van t.o.v. ', y ' als t.o.v., P en, 4, P en Q,,. Q. y geldt dat d yz. y brengt de nieuwe oorsprong in het punt O',. y geldt dat P,4, en Q,,. y geldt dat y 68y6.. Men voert een draaiing uit van het assenstelsel met hoek Bgtan. Bepaal de vergelijking van t.o.v. dit nieuwe assenstelsel als t.o.v. het oude geldt dat 8yy y. 4. Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel, y geldt dat y. Voer nu een draaiing uit van het assenstelsel over een hoek 4. Wat wordt dan de vergelijking van? Welke soort kromme is? 6) egelsneden. Bepaal de componenten van de ontaarde krommen waarvan je de vergelijking krijgt in cartesische coördinaten: y y 5 4 4y 4y y y y. De volgende krommen zijn ontaard in twee toegevoegd imaginaire rechten. Geef telkens hun vergelijking: y 4 yy y5. Bewijs dat een affiene kegelsnede die door de isotrope punten gaat een cirkel is. y 46y 4. Bepaal voor de volgende vergelijkingen van de tweede graad de matri C en de determinanten en : 4y z yz4y 7y6y 4 5. Je krijgt ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel de kwadratische vergelijking gegeven van enkele rechtenparen door de oorsprong. Bepaal de aard van dit rechtenpaar. Staan de componenten loodrecht op elkaar? c) Geef de vergelijkingen van de componenten. y y y4y yy 6. Van welk rechtenpaar is de volgende vergelijking de algemene vergelijking? a b" yy a' yy, met ab" a' 7. Stel de vergelijking op van de ontaarde kegelsnede waarvan de componenten d en d zijn gegeven: d y en d y d iy en 8. Stel de vergelijking op van de ontaarde kegelsnede waarvoor geldt: D,, is een dubbelpunt en P en,, P 5,, liggen op de kegelsnede D,, is een dubbelpunt en de componenten zijn evenwijdig met het rechtenpaar d i y. y 7. Oefeningencursus analytische meetkunde 4 Sven Mettepenningen

5 9. Bewijs dat de volgende kegelsneden ontaard zijn. Bepaal de aard van hun componenten. Bepaal de vergelijking van hun componenten. Bepaal hun dubbelpunt en hun punten op oneindig. c) d) y y y 8 4 y y y y y y yy y Bepaal de parameters en in de vergelijkingen van de kegelsneden opdat aan de voorwaarde wordt voldaan. y is ontaard en bevat precies één reëel eigenlijk punt. y y y 4 4 is ontaard in twee evenwijdige componenten. z yz zy is niet-affien. c). Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel wordt de vergelijking van een affiene kegelsnede gegeven. Bepaal de aard, stel een gereduceerde vergelijking op, en maak een schets van de bijhorende kromme. c) d) y y 5y6 y y y y y y y y y e) y4y. Bewijs dat deze vergelijking een imaginaire kegelsnede voorstelt: y z yzzy. Bespreek de aard van de kegelsneden in functie van de parameter : yy y yy y 4 y c) 7) Meetkundige plaatsen. Voor een driehoek ABC zijn de punten A en B vast en is C een veranderlijk punt. Bepaal de meetkundige plaats van het punt C zodat het product van de zijden AC en BC gelijk is aan het kwadraat van het zwaartelijnstuk uit C.. Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvoor de som van de kwadraten van de afstanden tot de zijden van een gelijkzijdige driehoek constant is.. Gegeven is een parallellogram ABCD en een veranderlijk punt P. De evenwijdige met BC door P snijdt AB in Q en de evenwijdige met AB door P snijdt BC in R. Bepaal de meetkundige plaats van de punten P waarvoor geldt dat QR// AC. 4. en veranderlijke rechte d met vaste richting snijdt de assen van een georthonormeerd assenstelsel met oorsprong O in A en B. Bepaal de meetkundige plaats van het middelpunt van de omgeschreven cirkel van OAB. 5. Gegeven is een driehoek ABC en een veranderlijk punt P. Men trekt in P de loodlijn in A op PA, in B op PB en in C op PC. Bepaal de meetkundige plaats van P zodat deze drie loodlijnen concurrent zijn. 6. Gegeven zijn twee rechten en y, met y. Bepaal de meetkundige plaats van het middelpunt van de cirkels die van een lijnstuk van lengte a en van y een lijnstuk van lengte b afsnijden. Oefeningencursus analytische meetkunde 5 Sven Mettepenningen

6 7. Door een vast punt A brengt men een veranderlijke rechte d aan en door een vast punt B brengt men een rechte e aan die loodrecht staat op d. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van d en e. 8. Ten opzichte van een georthonormeerd zijn gegeven A, en, B. Op de y-as neem je een veranderlijk punt C. Bepaal de meetkundige plaats van het hoogtepunt van de driehoek ABC. A a, en B a, gegeven, met a. Op de y -as. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van AC en BD. 9. Ten opzichte van een assenstelsel zijn de vaste punten liggen de punten C en D zodat OCOD. Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel zijn gegeven de punten,4 A en B, veranderlijke loodlijn op AB snijdt de -as in C en de y -as in D. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van AC en BD.. De driehoek ABC is rechthoekig in het vaste hoekpunt C. De zijde AB is veranderlijk maar heeft een vaste. en richting. Buiten de driehoek construeert men de vierkanten CAD en CBFG. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van AF en BD.. In een assenstelsel is een vast punt A 4, gegeven, waardoor men een veranderlijke rechte d aanbrengt die de y -as snijdt in B. De rechte die B verbindt met het midden van OA snijdt de -as in D. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van d en de evenwijdige met OA door D.. Uit een veranderlijk punt D van een parabool P met top O laat men een loodlijn neer op de as van P. Door het voetpunt trekt men de rechte a evenwijdig met OD en door D trekt men de rechte b evenwijdig met de as van de parabool. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van a en b. 4. Op de parabool P y p neem je twee veranderlijke punten D, y en, y waarvoor geldt dat y y. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van de raaklijnen in D en aan P. D 5. De normaal in een veranderlijk punt van een ellips snijdt de assen van deze ellips in de punten A en B. Bepaal de meetkundige plaats van het midden van AB. 6. Neem een veranderlijk punt D op een ellips met A een top op de hoofdas en als symmetriemiddelpunt O. Noem D ' de loodrechte projectie van D op de nevenas van. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van OD en AD '. 7. Neem een veranderlijk punt D op een ellips met A een top op de hoofdas. Noem D ' en D '' de spiegelbeelden van D om de assen van de ellips. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van AD en D' D ''. (Je krijgt alternatieve vragen als je de ellips in de opgaven 5, 6 en 7 verandert naar een hyperbool H) 8. Op een ellips met lengten van de halve assen en 6 neem je een veranderlijk punt D. De normaal n in D DP snijdt de hoofdas van in. Bepaal de meetkundige plaats van punt P n waarvoor geldt dat P. (We zeggen ook wel dat de deelverhouding van P ten opzichte van het koppel punten D, gelijk is aan.) 9. Door een veranderlijk punt D van een ellips trekt men de loodlijn op de hoofdas die de grote hoofdcirkel C van de ellips snijdt in punt Q (met D aan dezelfde kant van de hoofdas). Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt P van de normaal in D aan en de normaal in Q aan C.. In een veranderlijk punt D van een gelijkzijdige hyperbool H trekt men de raaklijn t. Deze rechte snijdt de asymptoten van H in en '. Bepaal de meetkundige plaats van de middens van D en D '.. en gelijkbenige driehoek ABC is ingeschreven in een vaste cirkel, met A en B C 75. De hoekpunten A, B en C zijn veranderlijk. Bepaal de meetkundige plaats van het zwaartepunt van de driehoek. D D Oefeningencursus analytische meetkunde 6 Sven Mettepenningen

7 . Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel neemt met de veranderlijke punten A op de -as en B op de y -as zodat AB L een constante lengte is. Bepaal de meetkundige plaats van de loodrechte projectie van de oorsprong O op AB. We noemen deze kromme de klavervierkromme. Oefeningencursus analytische meetkunde 7 Sven Mettepenningen