Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december Meetkunde

Transcriptie

1 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 december 2012

2 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 Vlakke Vectoren Vergelijking van een rechte 2 Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte

3 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte coördinaat van een vector - scalair product van 2 vectoren - evenwijdige vectoren - orthogonale vectoren A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ) en OA = a, OB = b OP = AB = OB OA. coördinaat van vector AB en coördinaat van punt P: (x o, y o ) = (b 1 a 1, b 2 a 2 ) scalair product of inproduct: a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 a b [ a, b zijn lineair ] afhankelijk a1 a rang 2 < 2 b 1 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2 = 0 a b a b = 0 a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0 a 1 a 2 b 2 b 1 = 0

4 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte Afstanden en hoeken A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ) en OA = a, OB = b, P(x 1, y 1 ) en de rechte k : ax + by + c = 0 Lengte (norm) van de vector OP: OP = x1 2 + y 1 2 Lengte van lijnstuk [AB]: AB = AB = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 Afstand van P tot de k: ax 1 + by 1 + c a 2 + b 2 Hoek γ tussen de vectoren a en b: a b cos γ = a = b a 1 b 1 + a 2 b 2 a a2 2 b b2 2 cos γ > 0 0 o < γ < 90 o cos γ < 0 90 o < γ < 180 o cos γ = 0 γ = 90 o (γ is scherp) (γ is stomp) (γ is recht)

5 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte midden van een lijnstuk - zwaartepunt van een driehoek A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ), C(c 1, c 2 ) M is het midden van lijnstuk [AB] [ x y 2OM = OA + OB OM = 1 2 ( OA + OB) ] = 1 ([ 2 a1 a 2 ] [ b1 + b 2 ]) Z is het zwaartepunt van driehoek ABC = 1 [ 2 a1 + b 1 a 2 + b 2 3 OZ = OA + OB + OC OZ = 1 3 ( OA + OB + OC) ] [ x y ] = 1 ([ 3 a1 a 2 ] [ b1 + b 2 ] [ c1 + c 2 ]) = 1 [ 3 a1 + b 1 + c 1 a 2 + b 2 + c 2 ]

6 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte vergelijking van een cirkel De cirkel c(m; r) is bepaald door zijn middelpunt M(x o, y o ) en zijn straal R (x x o ) 2 + (y y o ) 2 = R 2.. de omgeschreven cirkel van een driehoek. Het middelpunt is het snijpunt van de middelloodlijnen van twee zijden van de driehoek. De middelloodlijn van een lijnstuk [AB] is de verzameling van de punten die op gelijke afstand liggen van A en van B de ingeschreven cirkel van een driehoek. Het middelpunt is het snijpunt van de binnenbissectrices van twee hoeken van de driehoek. De unie van de bissectrices van een hoek bepaald door twee rechten a en b is de verzameling van de punten die op gelijke afstand liggen van a en b. (neem dan de binnenbissectrice)

7 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte collineaire punten - oppervlakte parallellogram en driehoek A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ), C(c 1, c 2 ), D(d 1, d 2 ) A, B, C zijn collineair AB, AC zijn lineair afhankelijk b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 = 0 a 1 a 2 1 b 1 b 2 1 c 1 c 2 1 = 0 { AB = DC ABCD is een parallellogram A, B, C niet collineair Oppervlakte van het parallellogram ABCD is b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 = a 1 a 2 1 b 1 b 2 1 c 1 c 2 1 Oppervlakte van de driehoek ABC is 1 2 van de inhoud van parallellogram ABCD.

8 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte rechte door de oorsprong-richtingsgetallen-normaalvector De rechte met vergelijking ax + by = 0 is de verzameling van alle vectoren die orthogonaal zijn met (a, b) en evenwijdig met ( b, a). (a, b) (x, y) ax + by = 0 x b y a = 0 (x, y) ( b, a) Voor de rechte ax + by = 0 en voor elke rechte evenwijdig met deze rechte is p( b, a) een richtingsvector ( b, a) een stel richtingsgetallen a b de richtingscoëfficiënt n(a, b) een normaalvector

9 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte algemene vergelijking van een rechte en parametervoorstelling van een rechte Algemene vergelijking van een rechte is van de gedaante ax + by + c = 0 met (a, b) (0, 0). We kunnen dit opvatten als een stelsel met 1 vergelijking, 2 onbekenden en met rang gelijk aan 1. De oplossingen zijn van de gedaante [ x y ] [ = r b a ] + [ a1 a 2 ] [ ] [ x a1 = r y a 2 b a Dit is een parametervoorstelling van de rechte met parameter r waarbij (b, a) een richtingsvector is van de rechte en (a 1, a 2 ) een punt van de rechte. Als (x, y) een oplossing is dan zijn de vectoren (x a 1, y a 2 ) en (b, a) lineair afhankelijk (zie volgende dia). ]

10 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte rechte door een punt met een bepaalde richting Rechte k door het punt A(a 1, a 2 ) en 1 met richtingcoëfficiënt ω: y a 2 = ω(x a 1 ) 2 met normaalvector (a, b): a(x a 1 ) + b(y a 2 ) = 0 3 met stel richtingsgetallen of richtingsvector p(ρ 1, ρ 2 ): dan is (ρ 2, ρ 1 ) normaalvector: ρ 2 (x a 1 ) ρ 1 (y a 2 ) = 0 P(x, y) k AP en p zijn lineair afhankelijk x a 1 y a 2 ρ 1 ρ 2 = 0 x y 1 a 1 a 2 1 ρ 1 ρ 2 0 = 0 4 evenwijdig met de rechte ax + by + c = 0: a(x a 1 ) + b(y a 2 ) = 0 5 loodrecht op de rechte ax + by + c = 0: b(x a 1 ) a(y a 2 ) = 0 6 evenwijdig met de x-as: y = a 2 7 evenwijdig met de y-as: x = a 1

11 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte rechte door twee punten Rechte door 2 punten A(a 1, a 2 ) en B(b 1, b 2 ) is de rechte door punt A(a 1, a 2 ) en met richtingsvector AB(b 1 a 1, b 2 a 2 ) n(b 2 a 2, (b 1 a 1 )) is normaalvector: (b 2 a 2 )(x a 1 ) (b 1 a 1 )(y a 2 ) = 0 P(x, y) AB AP en AB zijn lineair afhankelijk x a 1 y a 2 b 1 a 1 b 2 a 2 = 0 x y 1 a 1 a 2 1 b 1 b 2 1 = 0 Rechte bepaald door zijn doorgangen met x-as en y-as A(p, 0) en B(0, q): x p + y q = 1

12 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte rechte AB als evenwijdige met OP of als rechte door A met normaalvector ON - loodlijn op AB door A

13 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte onderlinge ligging van twee rechten - bespreken van oplosbaarheid van een (2 2)-stelsel Stelsel met de vergelijkingen van twee rechten k en m: { k : ax + by + c = 0 m : a x + b y + c = 0 1 k m [ = S: één ] oplossing als a b rang a b = 2 a b a b 0 [ ] 2 a b k m als rang a b = 1 a b a b = 0 [ ] a b c 1 k m = φ: geen oplossingen als rang a b c = 2 [ ] a b c 2 k = m: 1 oplossingen als rang a b c = 1

14 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte concurrente rechten - coëxistentievoorwaarde van een (3 2)-stelsel Stelsel van de vergelijkingen van drie rechten k, m en n: k : ax + by + c = 0 m : a x + b y + c = 0 n : a x + b y + c = 0 het stelsel oplosbaar a b k, m en n zijn concurrent rang a b = 2 a b a b c a b c a b c = 0 a b rang a b = 2 a b

15 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec coördinaat van een vector - scalair product en vectorieel product van 2 vectoren - evenwijdige vectoren - orthogonale vectoren A(a 1, a 2, a 3 ), B(b 1, b 2, b 3 ) en OA = a, OB = b OP = AB = OB OA. coördinaat van vector AB en coördinaat van punt P: (x o, y o, z o ) = (b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ) scalair product of inproduct: a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 vectorieel product ( n a en n b ) a a b = n = 2 a 3 b 2 b 3, a 3 a 1 b 3 b 1, a 1 a 2 b 1 b 2 a b [ a, b zijn lineair ] afhankelijk a1 a rang 2 a 3 < 2 a b 1 b 2 b b = o 3 a b a b = 0 a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0

16 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec afstanden en hoeken A(a 1, a 2, a 3 ) met OA = a en B(b 1, b 2, b 3 ) met OB = b, P(x 1, y 1, z 1 ) en het vlak α : ax + by + cz + d = 0 Lengte (norm) van de vector OP: OP = x1 2 + y z2 1 Lengte van lijnstuk [AB]: AB = AB = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + (a 3 b 3 ) 2 Afstand van P tot het vlak α: ax 1 + by 1 + cz 1 + d a 2 + b 2 + c 2 Hoek γ tussen de vectoren a en b: a b cos γ = a = b a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a a2 2 + a2 3 b b2 2 + b2 3 cos γ > 0 0 o < γ < 90 o cos γ < 0 90 o < γ < 180 o cos γ = 0 γ = 90 o (γ is scherp) (γ is stomp) (γ is recht)

17 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec midden van een lijnstuk - zwaartepunt van een driehoek - zwaartepunt van een viervlak A(a 1, a 2, a 3), B(b 1, b 2, b 3), C(c 1, c 2, c 3), D(d 1, d 2, d 3) M is het midden van [AB] 2OM = OA + OB OM = 1 ( OA + OB) 2 x y = 1 a 1 b 1 2 a 2 + b 2 = 1 a 1 + b 1 2 a 2 + b 2 z a 3 b 3 a 3 + b 3 Z is het zwaartepunt van driehoek ABC x y z 3OZ = OA + OB + OC OZ = 1 3 ( OA + OB + OC) = 1 a 1 b 1 c 1 3 a 2 + b 2 + c 2 = 1 3 a 3 Z is het zwaartepunt van viervlak ABCD b 3 c 3 a 1 + b 1 + c 1 a 2 + b 2 + c 2 a 3 + b 3 + c 3 4OZ = OA + OB + OC + OD OZ = 1 4 ( OA + OB + OC + OD) x y z = 1 4 a 1 + b 1 + c 1 + d 1 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 a 3 + b 3 + c 3 + d 3

18 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec vergelijking van een boloppervlak of sfeer Vergelijking van een sfeer S(M; r) met middelpunt M(x o, y o, z o ) en straal R is (x x o ) 2 + (y y o ) 2 + (z z o ) 2 = R Het middelpunt van de omgeschreven sfeer van een viervlak is het snijpunt van de middenloodvlakken van drie ribben van het viervlak die niet in eenzelfde zijvlak liggen. Het middenloodvlak van een lijnstuk [AB] is de verzameling van de punten die op gelijke afstand liggen van A en B. Het middelpunt van een sfeer die raakt aan twee snijdende vlakken ligt in een bissectorvlak van de snijdende vlakken. De unie van de bissectorvlakken van twee snijdende vlakken is de verzameling van de punten die op gelijke afstand liggen van de twee snijdende vlakken.

19 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec collineaire punten - parallellogram en zijn oppervlakte A(a 1, a 2, a 3 ), B(b 1, b 2, b 3 ), C(c 1, c 2, c 3 ), D(d 1, d 2, d 3 ) A, B, C zijn [ collineair AB, AC zijn] lineair afhankelijk b1 a rang 1 b 2 a 2 b 3 a 3 < 2 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a { 3 AB = DC ABCD is een parallellogram A, B, C niet collineair Oppervlakte van een parallellogram ABCD is AB AC = b 2 a 2 b 3 a 3 2 c 2 a 2 c 3 a 3 + b 3 a 3 b 1 a 1 2 c 3 a 3 c 1 a 1 + b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 = AB AC sin γ Oppervlakte van een driehoek ABC is 1 2 van de oppervlakte van het parallellogram ABCD. 2

20 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec coplanaire punten - parallelleppipedum, viervlak en hun inhoud A(a 1, a 2, a 3), B(b 1, b 2, b 3), C(c 1, c 2, c 3), D(d 1, d 2, d 3) A, B, C zijn coplanair AB, AC, AD zijn lin afh b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 rang c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 < 3 d 1 a 1 d 2 a 2 d 3 a 3 b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 a 1 a 2 a 3 1 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 d 1 a 1 d 2 a 2 d 3 a 3 = 0 b 1 b 2 b 3 1 c 1 c 2 c 3 1 = 0 d 1 d 2 d 3 1 Inhoud van een parallellepipedum geconstrueerd met de drie lin. onafh. vectoren AB, AC en AD is ( AB AC) AD = b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 a 1 a 2 a 3 1 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 d 1 a 1 d 2 a 2 d 3 a 3 = b 1 b 2 b 3 1 c 1 c 2 c 3 1 d 1 d 2 d 3 1 Inhoud van een viervlak ABCD is 1 van de inhoud van het parallellepipedum 6 geconstrueerd met de drie lin. onafh. vectoren AB, AC en AD.

21 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec vlak door de oorsprong - normaalvector - richtingsvectoren Het vlak met vergelijking ax + by + cz = 0 is de verzameling van alle vectoren die orthogonaal zijn met (a, b, c). (a, b, c) (x, y, z) ax + by + cy = 0 Voor het vlak ax + by + cz = 0 en elke vlak evenwijdig met dit vlak is n(a, b, c) een normaalvector. elke oplossing (x, y, z) van ax + by + cz = 0 de coördinaat van een richtingsvector.

22 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec algemene vergelijking van een vlak en parametervoorstelling van een vlak Algemene vergelijking van een vlak is van de gedaante ax + by + cz + d = 0 met (a, b, c) (0, 0, 0). We kunnen dit opvatten als een stelsel met 1 vergelijking, 3 onbekenden en met rang gelijk aan 1. De oplossingen zijn van de gedaante x y z = r b a 0 +s c 0 a + a 1 a 2 a 3 x a 1 y a 2 z a 3 = r b a 0 +s Dit is een parametervoorstelling van het vlak met parameters r en s waarbij (b, a, 0) en (c, 0, a) twee lineair onafhankelijke richtingsvectoren zijn van het vlak en (a 1, a 2, a 3 ) een punt van het vlak. Als (x, y, z) een oplossing is dan zijn de vectoren (x a 1, y a 2, z a 3 ), (b, a, 0) en (c, 0, a) lineair afhankelijk (zie volgende dia). c 0 a

23 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec vlak bepaald door een punt en een richting Vlak α door het punt A(a 1, a 2, a 3) en 1 mt normaalvector (a, b, c) of evenwijdig mt vl ax + by + cz + d = 0: a(x a 1) + b(y a 2) + c(z a 3) = 0 2 met 2 lin. onafh. richtingsvectoren p(p 1, p 2, p 3) en q(q 1, q 2, q 3) : vlak gaat dr A( en heeft normaalvector ( n p en n q) ) p n = p q = 2 p 3 q 2 q 3, p 3 p 1 q 3 q 1, p 1 p 2 q 1 q 2 : p 2 p 3 q 2 q 3 (x a 1)+ a 3 a 1 q 3 q 1 (y a 2)+ a 1 a 2 q 1 q 2 (z a 3) = 0 P(x, y, z) α AP, p en q zijn lineair afhankelijk x a 1 y a 2 z a 3 x y z 1 p 1 p 2 p 3 q 1 q 2 q 3 = 0 a 1 a 2 a 3 1 p 1 p 2 p 3 0 = 0 q 1 q 2 q evenwijdig met het (x, y)-vlak: z = a 3 4 evenwijdig met de (y, z)-vlak: x = a 1 5 evenwijdig met het (z, x)-vlak: y = a 2

24 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec vlak bepaald door twee punten en met een richtingsvector Vlak dr A(a 1, a 2, a 3 ) en B(b 1, b 2, b 3 ) en rv p(p 1, p 2, p 3 ). vlak gaat dr A en heeft normaalvector n = AB p P(x, y, z) α AP, x a 1 y a 2 z a 3 b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 p 1 p 2 p 3 AB en p zijn lineair afhankelijk x y z 1 = 0 p 1 p 2 p 3 1 b 1 b 2 b 3 1 = 0 p 1 p 2 p 3 0 Vlak door A en B en evenwijdig met de x-as ((1, 0, 0) is rv): een ( normaalvector is b 2 a 2 b 3 a 3 0 0, b 3 a 3 b 1 a 1 0 1, b 1 a 1 b 2 a (0, b 3 a 3, (b 2 a 2 )). De x-term ontbreekt in de vergelijking analoog voor een vlak evenwijdig met de y-as en een vlak evenwijdig met de z-as. )

25 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec vlak bepaald door drie niet collineaire punten Vlak door 3 nt coll ptn A(a 1, a 2, a 3 ), B(b 1, b 2, b 3 ), C(c 1, c 2, c 3 ) is vl dr pt A(a 1, a 2, a 3 ) en met 2 lin onafh rv AB(b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ) en AC(c 1 a 1, c 2 a 2, c 3 a 3 ) vlak gaat door A en heeft normaalvector n = AB AC P(x, y, z) vlak(abc) AP, AB en AC zijn lineair afhankelijk x a 1 y a 2 z a 3 x y z 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 = 0 a 1 a 2 a 3 1 b 1 b 2 b 3 1 = 0 c 1 c 2 c 3 1 Vlak bepaald door zijn doorgangen met de coördinaatassen A(p, 0, 0), B(0, q, 0) en C(0, 0, r): x p + y q + z r = 1

26 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec onderlinge ligging van twee vlakken Stelsel { met de vergelijkingen van twee vlakken α en β: α : ax + by + cz + d = 0 n = (a, b, c) β : a x + b y + c z + d = 0 n = (a, b, c ) [ ] 1 a b c α β = s: 1 opl. als rang a b c = 2 ( n, n lin. onafh. ) richtingsvector ( van s is: ) n n b c = b c, c a c a, a b a b (dit is een oplossing van het corresponderend homogeen stelsel) [ ] 2 a b c α β als rang a b c = 1 ( n, n lin. afh. ) [ ] a b c d 1 α β = φ als rang a b c d = 2 [ ] a b c d 2 α = β: 2 oplossingen als rang a b c d = 1

27 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec vergelijkingen van een rechte in verschillende gedaanten De vergelijkingen van de rechte in de vorm van een stelsel: De rechte k als doorsnede van 2 vlakken met normaalvectoren resp. { n(a, b, c) en n (a, b, c ) met n n = (ρ 1, ρ [ 2, ρ 3 ) (0, 0, ] 0): ax + by + cz + d = 0 a b c a x + b y + c z + d en rang = 2 = 0 a b c Parametervoorstelling van de rechte (oplossingen van het stelsel): x y z = r ρ 1 ρ 2 ρ 3 + a 1 a 2 a 3 x a 1 y a 2 z a 3 = r Vergelijkingen van de rechte in de vorm van een evenredigheid x a 1 ρ 1 = y a 2 ρ 2 = z a 3 ρ 3 = r als ρ 1 0, ρ 2 0, ρ 3 0 Met A(a 1, a 2, a 3 ) k en p(ρ 1, ρ 2, ρ 3 ) een richtingsvector van k ρ 1 ρ 2 ρ 3

28 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec rechte door een punt en met een bepaalde richting Rechte k door het punt A(a 1, a 2, a 3 ) en 1 met p(ρ 1, ρ 2, ρ 3 ) of op α : ρ 1 x + ρ 2 y + ρ 3 z + d = 0: P(x, [ y, z) k AP en p zijn ] lineair afhankelijk x a1 y a 2 z a 3 rang < 2 ρ 1 0,ρ 2 0,ρ 3 0 ρ 1 ρ 2 ρ 3 x a 1 = y a 2 = z a 3 ρ 1 ρ 2 ρ 3 { 2 ax + by + cz + d = 0 evenwijdig met k : a x + b y + c z + d = 0 : { a(x a1 ) + b(y a 2 ) + c(z a 3 ) = 0 a (x a 1 ) + b (y a 2 ) + c (z a 3 ) = 0 { z = a3 3 evenwijdig met het (x, y)-vlak: x a 1 ρ 1 = y a 2 { ρ 2 4 x = a1 evenwijdig met de z-as: y = a 2 5 analoog voor de andere coördinaatvlakken en coördinaatassen.

29 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec Onderlinge ligging van twee rechten - coëxistentievoorwaarde van een (4 3)-stelsel Meetkundige behandeling voor de onderlinge ligging (met richtingsvectoren en punten) staat tussen haakjes. k en{ m zijn geven door een stelsel vergelijkingen. a1 x + b k : 1 y + c 1 z + d 1 = 0 ( p is rv van k) a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 (A is pt van k) { a2 x + b m : 2 y + c 2 z + d 2 = 0 ( q is rv van m) a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 (B is pt van m) Het stelsel met de vier vergelijkingen heeft 1 rang gelijk aan drie ( p, q lin. onafh.) en is 1 onoplosbaar dan zijn k en m kruisend ( p, q, AB lin. onafh.) 2 oplosbaar dan zijn k en m snijdend ( p, q, AB lin. afh.) 2 rang gelijk aan twee ( p, q lin. afh.) en is 1 onoplosbaar dan zijn k en m strikt evenwijdig ( p, AB lin. onafh.) 2 oplosbaar dan zijn k en m samenvallend ( p, AB lin. afh.).

30 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec Onderlinge ligging van een rechte en een vlak - oplosbaarheid van een (3 3)-stelsel Meetkundige behandeling voor de onderlinge ligging (met richtingsvectoren en punten) staat tussen haakjes. Vlak { α : ax + by + cz + d = 0 ( n(a, b, c) nv van α) en rechte a1 x + b k : 1 y + c 1 z + d 1 = 0 ( p is rv van k) a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 (A is pt van k) Het stelsel met 3 vergelijkingen ax + by + cz + d = 0 a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 heeft: a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 1 rang gelijk aan drie ( p n) en is altijd oplosbaar met 1 oplossing, de rechte snijdt het vlak in 1 punt 2 rang gelijk aan twee ( p n) en is 1 onoplosbaar dan is de rechte strikt evenwijdig met het vlak (A α) 2 oplosbaar dan ligt de rechte in het vlak (A α)

31 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec Opstellen van vergelijking van rechte in het vlak en vlak in de ruimte Heeft men twee punten A en B van de rechte of van het vlak dan is AB een richtingsvector van de rechte of van het vlak. Rechte in het vlak: zoeken naar een punt A(a 1, a 2 ) en naar een normaalvector (a, b): vergelijking is a(x a 1 ) + b(y a 2 ) = 0 Heeft men een richtingsvector p(ρ 1, ρ 2 ) dan is een normaalvector n: n p dus (a, b) = (ρ 2, ρ 1 ). Vlak in de ruimte: zoeken naar een punt A(a 1, a 2, a 3 ) en naar een normaalvector (a, b, c): vergelijking is a(x a 1 ) + b(y a 2 ) + c(z a 3 ) = 0 Heeft men twee lin. onafh. richtingsvectoren p(p 1, p 2, p 3 ) en q(q 1, q 2, q 3 ) dan is een ( normaalvector n: n p en n q dus ) p (a, b, c) = p q = 2 p 3 q 2 q 3, p 3 p 1 q 3 q 1, p 1 p 2 q 1 q 2 :