CEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus

Transcriptie

1 CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus

2

3 Inhoud 1. Inleiding Info over Giovanni Ceva Wat zijn Ceva-driehoeken? Enkele voorbeelden P buiten de driehoek? In dit werk Onderzoek P in zwaartepunt Willekeurige driehoek P in hoogtepunt Gelijkzijdige driehoek Gelijkbenige driehoek Rechthoekige driehoek Willekeurige driehoek P in deelpunt Gelijkzijdige driehoek Gelijkbenige driehoek Rechthoekige driehoek Willekeurige driehoek De stelling van Ceva Stelling van Ceva Bewijs van de stelling van Ceva Bewijs in één richting Bewijs in de andere richting

4 1. Inleiding 1.1. Info over Giovanni Ceva Giovanni Ceva was een Italiaans wiskundige uit de 17 e eeuw. Hij werd geboren in 1647 te Milaan en werd alom bekend door zijn beroemde stelling, namelijk de stelling van Ceva. Hij kreeg zijn opleiding in een Jezuïeten klooster en studeerde later af aan de universiteit van Pisa. Uiteindelijk werd hij professor aan de universiteit van Mantua, waar hij de rest van zijn leven zou werken. Ceva bestudeerde meetkunde voor het grootste deel van zijn leven. Naast de stelling van Ceva, herontdekte en publiceerde hij ook de stelling van Menelaos. Uiteindelijk stierf hij ten gevolge van een hartkwaal in Wat zijn Ceva-driehoeken? De Ceva-driehoek van een willekeurig punt P ten opzichte van een driehoek ABC is de driehoek gevormd door de snijpunten van de lijnen door P en de hoekpunten van ABC met de zijden van ABC. ABC noemen we de basisdriehoek 1.3. Enkele voorbeelden In driehoek ABC ligt punt P, de snijpunten D,E en F van de rechten e, f en d met de zijden van de driehoek ABC, vormen een nieuwe driehoek, dit is de Ceva-driehoek van ABC met punt P. e d D f P buiten de driehoek? Wat nu als P buiten de driehoek ligt? Ook hier passen we dezelfde regels toe, met dit verschil, dat we voor de snijpunten met de zijden van driehoek ABC, nu de rechten gaan nemen, gedragen door de zijden van de driehoek ABC. 4

5 Enkele voorbeelden Neem het punt P buiten de driehoek ABC en pas de werkwijze toe. Het snijpunt van AP met BC is F. Het snijpunt van CP met AB is D; en het snijpunt van BP met AC is E. DEF is nu de Ceva-driehoek van ABC met P. Ceva-driehoeken volledig buiten de basisdriehoek Ceva-driehoek gedeeltelijk binnen de basisdriehoek Er zijn gevallen waar de Ceva-driehoek niet bestaat. Dit is namelijk zo als P zodanig gekozen is dat een van de snijpunten niet bestaat. Dus als bijvoorbeeld de rechte BP evenwijdig is aan de rechte AC. Nu bestaat het snijpunt F, en dus ook de driehoek DEF, niet. 5

6 1.4. In dit werk De bedoeling hier is om te zoeken welke regelmaat er in Ceva-driehoeken te vinden zijn. Als we voor het punt P een speciale positie kiezen (vb: P=zwaartepunt,P=hoogtepunt, ), welke overeenkomsten vinden we dan tussen de originele driehoek en de Ceva-driehoek? Om hiertoe te komen, stellen we eerst vermoedens vast, bewijzen we ze voor een aantal speciale (gemakkelijkere) driehoeken, en proberen we dan iets te bewijzen voor een willekeurige driehoek. Als afsluiter vermelden we nog de stelling van Ceva en het bewijs van deze stelling. 6

7 . Onderzoek.1. P in zwaartepunt Een zwaartelijn in een driehoek is de rechte, gedragen door een hoekpunt van die driehoek en het midden van zijn overstaande zijde. Er zijn dus drie zwaartelijnen in elke driehoek. Alle zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in een punt in deze driehoek, dit snijpunt is het zwaartepunt van de driehoek. Ons eerste speciaal geval dat we gaan onderzoeken is als P in het zwaartepunt ligt. Iets wat we vaker gaan gebruiken bij dit deeltje zijn middenparallellen. Dit zijn lijnstukken die de middens van twee zijden van een driehoek met elkaar verbinden. Eigenschappen: - een middenparallel is evenwijdig aan de derde zijde van de driehoek (die zijde die niet snijdt met de middenparallel). - de lengte van een middenparallel is precies de helft van de lengte van de derde zijde Willekeurige driehoek Vermoeden De Ceva-driehoek met P in het zwaartepunt van een gelijkbenige driehoek ABC is gelijkvormig aan deze driehoek en heeft als oppervlakte ¼ van de oppervlakte van ABC en als omtrek de helft van de omtrek van ABC. We vermoeden dit, aangezien zwaartelijnen altijd de zijden halveren en als alle afstanden van een vlakke figuur gehalveerd worden, wordt de oppervlakte vier keer kleiner bewijs Gegeven: driehoek ABC Punt P in het zwaartepunt van driehoek ABC Ceva-driehoek DEF van driehoek ABC met punt P in het zwaartepunt Te bewijzen: DEF = gelijkvormig aan ABC Opp DEF = ¼ opp ABC Omtrek DEF = ½ omtrek ABC Bewijs: Aangezien P in het zwaartepunt van ABC ligt geldt dat: AF = FB ; CE = EA en CD = DB FE ; DE en FD zijn middenparallellen van de driehoek ABC. ½ BC = FE ; ½ AB = DE en ½ AC = FD Je krijgt dus een driehoek waarvan elke zijde overeenkomt met de helft van een zijde van de driehoek ABC driehoek DEF is gelijkvormig aan driehoek ABC met factor ½. 7

8 Hieruit volgt dat de omtrek van DEF de helft is van de omtrek van ABC en dat de oppervlakte van DEF vier keer kleiner is dan die van ABC. En het te bewijzen is aangetoond Besluit De Ceva-driehoek van een driehoek ABC met P in het zwaartepunt van deze driehoek, is gelijkvormig aan deze driehoek met factor ½. 8

9 .. P in hoogtepunt Een hoogtelijn in een driehoek, is de rechte door een hoekpunt van de driehoek, loodrecht op de overstaande zijde van de driehoek. Er zijn dus drie hoogtelijnen in elke driehoek, deze snijden elkaar in één punt, dit is het hoogtepunt van de driehoek...1. Gelijkzijdige driehoek In een gelijkzijdige driehoek, zijn de hoogtelijnen gelijk aan de zwaartelijnen. Het bewijs loopt dus analoog aan het bewijs voor P in het zwaartepunt.... Gelijkbenige driehoek...1. Vermoeden We werken een aantal voorbeelden uit (met geogebra): AB = 4 FC omtrek ceva omtrek ABC oppervlakte ceva oppervlatke ABC We vinden geen enkele regelmaat, dus op het eerste zicht kunnen we zeggen dat er geen verband is. Maar we zullen zien dat er wel effectief een is, gewoon minder duidelijk. We gaan dus een formule zoeken voor de omtrek en de oppervlakte van de Ceva-driehoek in functie van de gegevens van de oorspronkelijke driehoek. 9

10 ... Formule omtrek We beginnen met het zoeken van een formule voor de omtrek van de Ceva-driehoek. Gegeven: gelijkbenige driehoek ABC met basis AB en gelijke benen AC en CB Overeenkomstige hoeken α,β en γ Ceva-driehoek DEF van driehoek ABC met P in het hoogtepunt Zoeken: formule voor omtrek van de Ceva-driehoek Oplossing: 1: DF = AF Driehoek ADB is rechthoekig in D (hoogtelijn uit B op AC DF is een zwaartelijn in driehoek ADB (F is het midden van AB (hoogtelijn uit tophoek van gelijkbenige driehoek) DF is de zwaartelijn uit D van driehoek ADB) DF = AF : DE =? DE is evenwijdig aan AB α = δ en β = ε (twee evenwijdige rechten (DE en AB) en een snijilijn (voor α = δ AC en voor β = ε BC)) CDE is gelijkvormig aan CAB DE = DC AB AC = AC AD AC DE = AB CB 3: AD =? Driehoek ADB is rechthoekig in D cos α = AD AD = AB cos α AB 4: totale omtrek van de Ceva-driehoek = DF + DE = AF + AB = AB ( AB cos α ) CB AB ² cos α CB CB AD = AB AB AD CB 10

11 ...3. Formule oppervlakte Gegeven: gelijkbenige driehoek ABC met basis AB en gelijke benen AC en CB Overeenkomstige hoeken α,β en γ Ceva-driehoek DEF van driehoek ABC met P in het hoogtepunt Zoeken: formule voor oppervlakte van de Ceva-driehoek Oplossing: 1: CF =? sin α = CF CF = sin α AC AC : SF =? (S is snijpunt DE met CF) Thales: CB = CF CF AD SF = AD SF CB = AB sin α cos α = sin α AC AB cos α AC 3: DE =? Zie : bij omtrek : DE = AB AB AD CB 4: totale oppervlakte van de Ceva-driehoek = DE SF = ( AB AB AD CB ) ( AB sin α cos α) = AB sin α (1 AD CB ) Controle AB = 4 Nu gaan we controleren of we met de formule dezelfde waarden bekomen als bij het vermoeden. FC omtrek ceva omtrek ABC oppervlakte ceva oppervlatke ABC De getallen, gevonden met geogebra zijn niet 100% juist omdat geogebra oppervlaktes en omtrekken afrond tot cijfers na de komma. Met formule: FC omtrek ceva omtrek ABC oppervlakte ceva oppervlatke ABC 11

12 4 cos α = cos α = cos α = cos α = cos α = 40 4 ( 4 0 ) 4 + 0² = ² sin ( cos 1 4 ( ) = / 4² sin ( cos )( ) / 4 ( 4 9 ) 4² sin ( cos = / 4 ( ² ) = ² sin ( cos 1 9 )( )( / 4 ( 4 40² ) = ² sin ( cos / 4 0 )(1 0 0 ) 9 9 ) ) 40 )(1 4 = 0.4 = = ) = = Besluit Voor een gelijkbenige driehoek met tophoek C geldt voor de Ceva-driehoek met P in het hoogtepunt: Omtrek Ceva-driehoek = AB ( AB cos α Oppervlakte Ceva-driehoek = AB sin α (1 AD CB ) 4 CB )..3. Rechthoekige driehoek Bij een rechthoekige driehoek hebben we een probleem. De hoogtelijnen op AB en AC zijn namelijk de punten C en B zelf. We hebben dus drie collineaire punten, de Ceva-driehoek bestaat dus niet...4. Willekeurige driehoek Bij een volledig willekeurige driehoek is het moeilijk om goede formules te vinden. Er zijn te veel onafhankelijke dingen. De formules die eventueel gevonden zouden kunnen worden zullen waarschijnlijk ook niet praktisch zijn, te lang en te ingewikkeld. 1

13 .3. P in deelpunt.3.1. Gelijkzijdige driehoek In een gelijkzijdige driehoek, zijn de deellijnen gelijk aan de zwaartelijnen. Het bewijs loopt dus analoog aan het bewijs voor P in het zwaartepunt..3.. Gelijkbenige driehoek Vermoeden We werken een aantal voorbeelden uit. AB = 4 FC omtrek ceva oppervlakte ceva oppervlatke ABC omtrek ABC We vinden geen enkele regelmaat, dus op het eerste zicht kunnen we zeggen dat er geen verband is. Maar we zullen zien dat er wel effectief een is, gewoon minder duidelijk. We gaan dus een formule zoeken voor de omtrek en de oppervlakte van de Ceva-driehoek in functie van de gegevens van de oorspronkelijke driehoek Formule omtrek gegeven: gelijkbenige driehoek ABC met gelijke basis AB en gelijke benen AC en BC overeenkomstige hoeken α,β en γ P is het deelpunt van driehoek ABC Ceva-driehoek DEF van driehoek ABC met P in het deelpunt zoeken: formule voor omtrek van de Ceva-driehoek oplossing: 1: DE =? CS = CE = DE CE BA DE = CF CB BA CA : EF =? Cos-formule in driehoek BEF: EF = BF + BE BF BE cos β 3: totale omtrek Ceva-driehoek: = CE BA + BF + BE BF BE cos β CA 13

14 Formule oppervlakte Gegeven: gelijkbenige driehoek ABC met gelijke basis AB en gelijke benen AC en BC Overeenkomstige hoeken α, β, γ P is het deelpunt van de driehoek ABC Ceva-driehoek DEF van driehoek ABC met P in het deelpunt Zoeken: formule voor oppervlakte van de Ceva-driehoek Oplossing: Noem S het snijpunt van CF met DE 1: DE =? Zie 1: bij formule omtrek: DE = : SF =? SF = AD AD CF SF = CF AC AC CE BA CA : totale oppervlakte Ceva-driehoek: = CE BA AD CF CA ² controle AB = 4 Nu gaan we controleren of we met de formule dezelfde waarden bekomen als bij het vermoeden. FC omtrek ceva omtrek ABC oppervlakte ceva oppervlatke ABC De getallen, gevonden met geogebra zijn niet 100% juist omdat geogebra oppervlaktes en omtrekken afrond tot cijfers na de komma. Met formule: FC cos β = omtrek ceva omtrek ABC ²+1.66² cos β = ²+1.78² cos β = ²+1.9² = 0.47 = 0.49 = 0.50 oppervlakte ceva oppervlatke ABC ² ² ² 3 = 0.38 = 0.46 =

15 3.5 cos β = ²+.01² cos β = ²+.11² cos β = cos β = = 0.50 = 0.49 = 0.49 = ² = ² = ² = ² = Besluit Voor een gelijkbenige driehoek met tophoek C geldt voor de Ceva-driehoek met P in het deelpunt: Omtrek Ceva-driehoek: = CE BA + BF + BE BF BE cos β CA Oppervlakte Ceva-driehoek: = CE BA AD CF CA ².3.3. Rechthoekige driehoek Bij een rechthoekige driehoek is het moeilijk om goede formules te vinden. Er zijn te veel onafhankelijke dingen. De formules die eventueel gevonden zouden kunnen worden zullen waarschijnlijk ook niet praktisch zijn, te lang en te ingewikkeld Willekeurige driehoek Bij een volledig willekeurige driehoek is het moeilijk om goede formules te vinden. Er zijn te veel onafhankelijke dingen. De formules die eventueel gevonden zouden kunnen worden zullen waarschijnlijk ook niet praktisch zijn, te lang en te ingewikkeld. 15

16 3. De stelling van Ceva Als afsluiter vermelden we nog even de stelling van Ceva en bewijzen we deze Stelling van Ceva De stelling van Ceva zegt dat drie lijnen AD, BE en CF, in een driehoek ABC, waarbij D, E en F punten zijn op de overstaande zijden van de respectievelijke hoekpunten A, B en C, elkaar in één gemeenschappelijk punt snijden als en slechts als: AF FB BD DC CE EA = 1 Voorbeeld waar AD, CF en BE elkaar niet in één punt snijden: Voorbeeld waar AD, CF en BE elkaar wel in één punt snijden: 3.. Bewijs van de stelling van Ceva Het bewijs is in twee richtingen geldig, dus moeten we het ook bewijzen voor deze twee richtingen. We splitsen het bewijs dus op in twee delen Bewijs in één richting Gegeven: driehoek ABC Snijpunt K van de rechten AD, BE en CF Te bewijzen: AF FB BD DC CE EA = 1 Bewijs: Teken een rechte door A, evenwijdig aan BC Noem het snijpunt van BE met de evenwijdige rechte G Noem het snijpunt van CF met AG, H 16

17 Nu geldt: overstaande hoeken: Hoek H = hoek KCB Hoek HFA = hoek CFB Hoek AEG = hoek KEC Hoek AKG = hoek BKD Hoek HKA = hoek DKC En: verwisselende binnen hoeken met evenwijdige rechten HG en BC Hoek H = hoek KCD Hoek G = hoek KBD Hieruit volgt dus dat: Driehoek AHF gelijkvormig is aan driehoek BCF Driehoek AEG gelijkvormig is aan driehoek BCE Driehoek AGK gelijkvormig is aan driehoek BDK Driehoek CDK gelijkvormig is aan driehoek AHK AF = AH FB BC CE = BC EA AG AG = AK BD DK AH = AK DC DK (*) (**) uit deze laatste twee volgt dat: BD DC = AG AH (***) Uit (*), (**) en (***) volgt: De stelling is dus bewezen. AF BD CE = AH BC AG = 1 FB DC EA BC AG AH 17

18 3... Bewijs in de andere richting Geg: driehoek ABC D, E en F zijn willekeurige punten op de zijden tegenover respectievelijk A, B en C K is het snijpunt van DE en CF AF BD CE = 1 FB DC EA Te bewijzen: AD gaat ook door K Bewijs: Teken AK met snijpunt D op BC Nu gaan AD, BE en CF door K AF BD CE = 1 FB D C EA AF Gegeven is ook dat: BD CE = 1 FB DC EA Hieruit volgt dus dat D = D AD gaat ook door K De stelling is dus bewezen. 18