Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel.

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel."

Johanna Claes
8 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel. 1. cos α = 0,25 2. sin α = -0,75 3. tan α = -0,5 Oef 2 Teken in de goniometrische cirkel een hoek α die aan de gegevens voldoet. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel. 1. sin α <0 en cos α < 0 2. sin α >0 en cos α > 0 3. tan α <0 en cos α < 0 Oef 3 Gegeven de hoek α met 0 α 360. Welke waarden kan de hoek α aannemen als 1. cos α = 1 2. sin α = tan α = 0 Oef 4 Vereenvoudig cos² α + cos 4 α Oef 5 Bereken. 1. sin α en tan α als cos α = -0,8 en als α in het tweede kwadrant ligt. 2. cos α en tan α als sin α = -0,2 en als α in het derde kwadrant ligt. Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting 1

tan α = -0,5 Oef 2 Teken in de goniometrische cirkel een hoek α die aan de gegevens voldoet. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel. 1. sin α <0 en cos α < 0 2.

2 Oef 6 Los ΔABC op. 1. a = 5 ; c = 7 ; α = c = 10 ; α = 80 ; a = 16 ; c = 27 ; β = b = 30 ; c = 40 ; α = a = 30 ; b = 30 ; α = Oef 7 Bereken de resultante van twee krachten en die hetzelfde aangrijpingspunt hebben met = 30N en = 45N. 1. De krachten vormen een hoek van De krachten staan loodrecht op elkaar. Oef 8 Bereken de hoek α gevormd door de twee krachten en. = 25 N en = 45 N. De resulterende kracht is 57 N groot. Oef 9 Op de Duinweg is de afstand van het punt A tot het punt B is gelijk aan 12 km. In A wordt de weg gekruist door de Biezenstraat onder een hoek van 115 en in het punt B door de Grasdreef onder een hoek van 120). Op hoeveel kilometer van A en B snijden de Biezenstraat en de Grasdreef elkaar? Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting 2

De krachten staan loodrecht op elkaar. Oef 8 Bereken de hoek α gevormd door de twee krachten en. = 25 N en = 45 N. De resulterende kracht is 57 N groot.

3 Oef 10 Bereken de oppervlakte van ΔABC. 1. ΔABC is gelijkbenig met tophoek = en AC = 25 cm. 2. ΔABC is gelijkzijdig met AB = 9 cm. 3. ΔABC is is gelijkbenig met basis 10 cm en opstaande zijden van 15 cm. Oef 11 In ΔABC is a = 2, b = en c = Bepaal de hoeken van de driehoek. 2. Bepaal zonder te berekenen de hoeken van ΔDEF als d = 4, e = en c = 2. Verklaar. Oef 12 Bereken de oppervlakte van de vierhoek ABCD. Oef 13 Bereken de oppervlakte van een driezijdige piramide waarvan de lengte van elke ribbe gelijk is aan 8 cm. Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting 3

Oef 11 In ΔABC is a = 2, b = en c = 1. 1. Bepaal de hoeken van de driehoek. 2. Bepaal zonder te berekenen de hoeken van ΔDEF als d = 4, e = en c = 2.

4 Oef 14 In Δ ABC is a = 7 cm, b = 8 cm en c = 5 cm. Toon aan dat cos α+ cos β + cos Blz 41 Oef 15 Bepaal de oppervlakte van de gelijkbenige driehoek in functie van de zijde b en de basishoek β. Oef 16 Bereken de hoeken van de gegeven driehoek. Oef 17 Bereken tan α + 3 cos α als sin α = en als α in het vierde kwadrant ligt sin α 5 tan α als cos α = en als α in het derde kwadrant ligt sin² α + cos² α met sin α = 0, sin² α - 4 cos² α met cos α = Oef 18 Als 0 < α < 90, dan is sin α + cos α > 1. Toon aan. Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting 4

Oef 16 Bereken de hoeken van de gegeven driehoek. Oef 17 Bereken. 1. 2 tan α + 3 cos α als sin α = en als α in het vierde kwadrant ligt. 2. 3 sin α 5 tan α als cos α = en als α in het derde kwadrant ligt.

Oef 19 Vereenvoudig. 1. sin² 80 + cos²50 + cos²40 + cos²100 2. tan²30 + tan²45 + tan³60 Oef 20 Toon aan. 1. cos² α + cos²β = 1 2. tan α.

5 Oef 19 Vereenvoudig. 1. sin² 80 + cos²50 + cos²40 + cos² tan²30 + tan²45 + tan³60 Oef 20 Toon aan. 1. cos² α + cos²β = 1 2. tan α. tan β = 1 Oef 21 In 1993 was bij de toren van Pisa voor de grote restauratie- en stabilisatiewerken: AB = 47,77 m; = 60 en AC = 31,93 m. 1. De helling van de toren wordt bepaald door de hoek. Bepaal de hoek. 2. Als B de loodrechte projectie is van het punt B op de rechte AC, dan zie je met de afstand AB hoe ver het punt B vooruitstak over het punt A. Bereken AB. Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting 5

tan β = 1 Oef 21 In 1993 was bij de toren van Pisa voor de grote restauratie- en stabilisatiewerken: AB = 47,77 m; = 60 en AC = 31,93

6 Oef 22 Van ΔABC is c = 8 cm ; = 70 en = 30. Z is het zwaartepunt van ΔABC. Bereken ZA. Oef 23 Toon aan dat. Blz 42 Oef 24 Toon aan dat elke uitdrukking een reëel getal is. 1. (sin α cos α)² + (sin α + cos α)² 2. (tan² α + 1).cos² α 3. -tan² α. Oef 25 Waar of niet waar. Verklaar. Als de helling van een weg dubbel zo groot is als de helling van een andere weg, dan is de hellingshoek van deze weg ook dubbel zo groot. Oef 26 In ΔABC geldt: a = b.cos + c.cos β. Bewijs. Oef 27 Twee vliegtuigen vertrekken vanuit eenzelfde startbaan. Het eerste vliegtuig vertrekt om 10h en het tweede een kwartier later. De richtingen die ze volgen maken een hoek van 34. De snelheid van het eerste vliegtuig is 700 km/h en van het tweede vliegtuig 900 km/h. Hoe ver zijn de vliegtuigen van elkaar verwijderd om 11 h? Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting 6

Als de helling van een weg dubbel zo groot is als de helling van een andere weg, dan is de hellingshoek van deze weg ook dubbel zo groot. Oef 26 In ΔABC geldt: a = b.cos + c.cos β. Bewijs.

7 Oef 28 In de driezijdige piramide [ ] IS [AT] = 10 cm. = = = 90, = 60 en = 45. Bepaal de hoeken α =, β = en = van het grondvlak van de piramide. Oef 29 Gegeven: ΔABC met zwaartelijnen z A, z B en z C. 1. Bewijs dat b² + c² = 2.z A ² + 2. Druk z A ² uit in functie van de zijden a, b en c. 3. Leid uit de formule voor z A ² een gelijkaardige formule af voor z B ² en z C ². 4. Bereken z A ² + z B ² + z C ² en druk de eigenschap uit in woorden.. Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting 7

1. Bewijs dat b² + c² = 2.z A ² + 2. Druk z A ² uit in functie van de zijden a, b en c. 3.

8 Oef 30 Bereken de oppervlakte van ΔABC. Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting 8

Wat is de verhouding van de oppervlakten van de kleine tot de grote gelijkzijdige driehoek? A B C D E 2. Als, dan is gelijk aan: A B C 2k D E -k 3.

9 Wiskunde olympiade 1. De zijden van een gelijkzijdige driehoek worden verdeeld is stukken die zich verhouden als 4 tot 1, zo dat die verdeelpunten zelf een gelijkzijdige driehoek vormen. Wat is de verhouding van de oppervlakten van de kleine tot de grote gelijkzijdige driehoek? A B C D E 2. Als, dan is gelijk aan: A B C 2k D E -k 3. Door een rechte hoek in drie gelijke delen te verdelen en op de opeenvolgende benen vanaf de hoeken, respectievelijk lengten af te passen van 2, 3, 4 en 5 (zie figuur), ontstaan drie driehoeken waarvan de oppervlakten (van klein naar groot) zicht verhouden als: A 2:3:4 B 3:4:5 C 3:6:10 D 4:9:16 E 9:16:25 Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting 9

10 4. Een ornithologe bevindt zich op een hoogte h boven de waterspiegel van een meer. Boven haar ziet ze een vogel onder een hoek α en zijn beeld ziet ze in het water onder een hoek β. Hoe hoog vliegt de vogel boven het meer? A 2h. sin β B 2h. cos β C h. sin (α+β) D E Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting 10

Boven haar ziet ze een vogel onder een hoek α en zijn beeld ziet ze in het

11 Enkele oplossingen Oef cos α = 0,25 2. sin α = -0,75 3. tan α = -0,5 Oef cos² α + cos 4 α = (1 cos² α)² = sin² α Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting 11

12 Oef 6 4. b = 30 ; c = 40 ; α = 50 a² = b² + c² - 2bc.cos α = 30² + 40² cos50 = 957,31 a = 30,94 b² = a² + c² - 2ac.cos β 2ac.cos β a² + c² - b² cos β = = = β = = 8 58 = 0,66956 β = a = 30 ; b = 30 ; α = = = 0,57655 = of = = = β onmogelijk want α + β = 180 = = 09 5 = = 49,02 Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting 12

a = 30 ; b = 30 ; α = 35 12 30 = = 0,57655 = 35 12 30 of = 180-35 12 30 = 144 47 30 = 180 - - β onmogelijk

13 Oef 11 In ΔABC is a = 2, b = en c = Bepaal de hoeken van de driehoek. a² = b² + c² - 2bc.cos 2bc.cos b² + c² - a² cos = b² = a² + c² - 2ac.cos β 2ac.cos β a² + c² - b² cos β = = β = = 30 = = 0 = 90 = β = 60 = 0,5 2. Bepaal zonder te berekenen de hoeken van ΔDEF als d = 4, e = en c = 2. Verklaar. De hoeken zijn 90, 60 en 30 want de driehoeken zijn gelijkvormig. De verhouding van de overeenkomstige zijden is 2. Oef 17 Bereken tan α + 3 cos α als sin α = en als α in het vierde kwadrant ligt. sin² α + cos² α = 1 cos² α = 1 - sin² α = 1 ( )² = cos α = (positief want kwadrant IV) tan α = = = 2 tan α + 3 cos α = = = = Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting 13

De hoeken zijn 90, 60 en 30 want de driehoeken zijn gelijkvormig. De verhouding van de overeenkomstige zijden is 2. Oef 17

14 Oef 29 Gegeven: ΔABC met zwaartelijnen z A, z B en z C. 1. Bewijs dat b² + c² = 2.z A ² + b² = a² + c² - 2.a.c.cos β 2.a.c.cos β = a² + c² - b² a.c.cos β = (1) c² = a² + b² - 2.a.b.cos 2.a.b.cos = a² + b² - c² a.b.cos β = (2) z A ² = ( ) + c² c. cos β = + c² - a. c. cos β (3) z A ² = ( ) + b² b. cos = + b² - a. b. cos (4) (3)+(4): z A ² + z A ² = + c² - a. c. cos β + + b² - a. b. cos b² + c² + - a. c. cos β + b² - a. b. cos z A ² b² + c² = 2. z A ² - + a. c. cos β + a. b. cos b² + c² = 2. z A ² (1) en (2) invullen = 2. z A ² - + = 2. z A ² + 2. Druk z A ² uit in functie van de zijden a, b en c. b² + c² = 2. z A ² + 2. z A ² = b² + c² - z A ² = Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting 14

c. cos β + + b² - a. b. cos b² + c² + - a. c. cos β + b² - a. b. cos z A ² b² + c² = 2. z A ² - + a. c. cos β + a. b. cos b² + c² = 2. z A ² - + + (1) en (2) invullen = 2.

Vergelijkbare documenten

1. cos α = 0,25 2. sin α = -0,75 3. tan α = -0,5

1. cos α = 0,25 2. sin α = -0,75 3. tan α = -0,5 Herhalingsoefeningen Willekeurige driehoeken Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef