Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden

Transcriptie

1 Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden

2 . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode: Bepaal een steunvector en een richtingsvector. 9 PQ ˆ Antwoord: steunvector OP en richtingsvector 6 Dus de vectorvoorstelling is: k : waarbij R. AFSPRAAK: in het vervolg worden richtingsvectoren vereenvoudigd. Dit maakt de berekeningen eenvoudiger.

3 . a. Teken de lijn k door het punt (, ) die evenwijdig is aan de vector. b. Geef een vectorvoorstelling van k. c. Welke van de volgende punten liggen op k? Geef zo mogelijk de bijbehorende waarde van λ. A (, ) ; B ( 6, ); C ( 9, ); D ( ½, ½ ) en E (, ).. a. Geef een vectorvoorstelling van de lijn door: i. de oorsprong O en (, ) ii. A (, ) en B(, ) iii. C (, ) en evenwijdig aan = +. b. Geef een vergelijking van de lijn door: i. de oorsprong O en (, ) ii. A (, ) en B(, ) iii. C (, ) en evenwijdig aan = +.. Zie het voorbeeld op de vorige bladzijde.neem als vectorvoorstelling van de lijn k :. a. Teken het assenstelsel in de figuur. b. Welke waarden van λ hoort bij de punten op k die links van P liggen? c. Welke waarden van λ hoort bij de punten op k die rechts van Q liggen? d. Waarom kun je de richtingsvector wèl en de steunvector niet vereenvoudigen?. a. Onderzoek of de lijn l door de punten A(, ) en B(, ) en de lijn m door de punten C(, ) en D (, ) evenwijdig zijn. p b. De lijnen en zijn evenwijdig. Bereken p. 6 p c. Welke van de volgende drietallen liggen op een rechte lijn: i. A(, ); B(, ) en C(, 7 ) ii. D (, ); E (, ) en F (, )

4 . Gegeven is : l. a. Geef de coördinaten van drie punten die op l liggen. b. Het punt ( p, ) ligt op l. Bereken p. c. Bereken de coördinaten van het punt op l waarvoor de - en - coördinaat gelijk zijn. d. Bereken de coördinaten van het punt op l waarvoor de - coördinaat twee maal zo groot is als de -coördinaat. 6. a. Welke van de volgende lijnen stellen = + voor? : k ; : l : m ; : n b. Geef van elk van de bovenstaande lijnen de vergelijking. c. p en q stellen dezelfde lijn voor. Bereken p en q. d. a en = b + stellen dezelfde lijn voor. Bereken a en b. 7. a. Bereken de snijpunten van de lijn k: + = met de coördinaatassen. b. Geef een vectorvoorstelling van k. c. Geef een vectorvoorstelling van l: + = d. De lijn 8 = c bevat het punt (, ). Bereken c. e. Toon aan dat bij de lijn a + b = c een vectorvoorstelling a a c b hoort.

5 . DE LENGTE VAN EEN VECTOR NOTATIE a Met wordt de lengte van de vector b a bedoeld. b 8. Bereken de lengte van de vector a. b. DE AFSTAND VAN PUNTEN Voor de afstand d van twee punten P en Q geldt: d( P,Q) PQ ( Q P )² ( Q P )². Dit volgt uit de stelling van Pthagoras. 9. Gegeven zijn A(, ); B(, 7) en C(, ). Bereken de lengte van de zijden van Δ ABC.. Gegeven zijn de punten A(, ) en B (p, p+ ). Er geldt AB =. Bereken p.. Bereken de coördinaten van de punten op k : die op een afstand van (, ) liggen.

6 6. HET SNIJPUNT VAN LIJNEN VOORBEELD. Bereken de coördinaten van het snijpunt S van de lijnen 7 : l en m : Oplossing: dus S = ( 7+., +. ) = ( 9, 8). Gegeven zijn de lijnen : l : m ; n: 6 + = 6 : p a. Bereken de coördinaten van het snijpunt van l en m. b. Bereken de coördinaten van het snijpunt van m en n. c. Toon aan dat l en n geen snijpunt hebben. d. Hoeveel snijpunten hebben l en p?. Gegeven is dat de lijnen l : =, 8 : m en a a : n door één punt gaan. Bereken a.

7 . DE NORMAALVECTOR STELLING Voor elke a IR en b IR geldt: a b staat loodrecht op b a a b b Notatie:. We zeggen: b a a a normaalvector van. b is een DEFINITIE: Een normaalvector van een lijn is een vector die loodrecht op de lijn staat. STELLING: a De vector staat loodrecht op de lijn b normaalvector van a b c a a b c, oftewel: b is een VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: een vergelijking van de vorm a + b = c van de lijn k door P en Q. 9 Oplossing: een richtingsvector is PQ ˆ en dus is een 6 k : c normaalvector. Dus.. c c door (, ) en dus k: = -.. Geef een vergelijking van de vorm a + b = c van: 7

8 8 a. de lijn door (, ) en (, 9 ). b. de lijn c. de lijn d. de lijn door (, ) en (, ). Geef een vectorvoorstelling van de lijn a. b. 7 c. d. door de oorsprong O die loodrecht staat op 6. De lijn m gaat door P(, 7) en staat loodrecht op l :. m snijdt l in Q. Bereken PQ.

9 . HET MIDDELPUNT VAN EEN DRIEHOEK Teken in de driehoek hieronder zo nauwkeurig mogelijk het punt M waarvoor geldt: MA=MB=MC 9

10 . ZWAARTELIJNEN, HOOGTELIJNEN EN MIDDELLOODLIJNEN DEFINITIE: Zie de figuur. Een zwaartelijn gaat van een hoekpunt naar het midden van de overstaande zijde. Een hoogtelijn van een hoekpunt loodrecht naar de overstaande zijde. Een middelloodlijn van een zijde AC gaat door het midden F van AC en staat loodrecht op AB.

11 VOORBEELD. Gegeven zijn A(, ), B(, 8 ) en C( 6, 7 ) a. Stel een vectorvoorstelling op van de zwaartelijn k van A. b. Stel een vergelijking op van de middelloodlijn l van AC. c. Stel een vectorvoorstelling op van de hoogtelijn m van C. Antwoord: a. Het midden D van B en C is ( ½, 7½) dus 9 ˆ AD en dus 9 : k b. Het midden F van A en C is (, ) Er geldt: ˆ AC. AC is een normaalvector van l dus l: + = 9. c. AB is een normaalvector van m. Dus m: Gegeven zijn A(, ), B(, ) en C(, ). a. Stel een vectorvoorstelling op van de zwaartelijn van B. b. Stel een vectorvoorstelling op van de middelloodlijn van AB. c. Stel een vergelijking op van de hoogtelijn van C.

12 STELLING De drie zwaartelijnen snijden elkaar in het zwaartepunt Z. Het zwaartepunt verdeelt de zwaartelijnen in stukken met de verhouding :. De drie hoogtelijnen snijden elkaar in het hoogtepunt H. De drie middelloodlijnen snijden elkaar in het middelpunt M. Er geldt MA=MB=MC. M is dus het middelpunt van de cirkel door A, B en C. 8. De punten O(, ), A(, ) en B(,9 ) vormen de driehoek OAB. a. Bereken de coördinaten van het zwaartepunt Z b. Bereken de coördinaten van het middelpunt M c. Bereken de coördinaten van het hoogtepunt H. d. Toon aan dat M, Z en H op één lijn liggen. e. i. Bereken MZ ii. Bereken ZH iii. Bepaal de verhouding MZ : ZH. 9. Gegeven zijn de punten O(, ), A(, ) en B(, ). a. Bereken de vergelijking van de verzameling punten die gelijke afstanden hebben tot A en B. b. Bereken de coördinaten van het punt dat gelijke afstanden heeft tot O, A en B. c. Hoeveel cirkels zijn er mogelijk die door A, B en O gaan? d. Geef de coördinaten van het middelpunt en de straal van de cirkel door O, A en B.. Gegeven zijn A(-, ), B(6, ) en C (-, 6). Er bestaat een cirkel door de hoekpunten van de driehoek ABC. Bereken de coördinaten van het middelpunt en de straal van deze cirkel.. De punten O(, ), A( a, a ) en B( b, b ) vormen de driehoek OAB. Toon aan a b a b dat voor het zwaartepunt geldt: Z,.

13 .6 OEFENOPGAVEN. a. Stel een vergelijking op van de lijn die loodrecht staat op k : en door het punt (, ) gaat. b. en = +q stellen dezelfde lijn voor. Bereken p en q. p. a. Druk de afstand tussen B (a, a ) en C (a, 7a) uit in a. b. De afstand tussen E (, ) en F (, p ) is gelijk aan. Bereken p.. Gegeven is de familie van lijnenl p. p a. Bereken voor welke p het punt, op l p ligt. b. lp is evenwijdig met. Bereken p. c. l p staat loodrecht. Bereken p. d. Bereken voor welke p het punt, op lp ligt.. Gegeven zijn O(, ), A( 6, ) en C(, ). Dit zijn hoekpunten van de rechthoek OABC. a. Geef de coördinaten van B. b. De lijn snijdt één van de zijden van de rechthoek in P en de andere zijde in Q. Bereken PQ. 6. De punten A( 6, ), B(, ) en C(, ) vormen de driehoek ABC. a. Bereken de coördinaten van het zwaartepunt Z b. Bereken de coördinaten van het hoogtepunt H. c. Bereken de coördinaten van het middelpunt M d. Toon aan dat M, Z en H op één lijn liggen. e. i. Bereken ZH ii. Bereken MZ iii. Bepaal de verhouding MZ : ZH.

14 7. Gegeven zijn de lijnen l :, m : en p : 7 n en het punt A(, ). a. Bereken voor welke p de drie lijnen door één punt gaan. b. B is een punt van l zodat AB. Bereken de coördinaten van B. c. l snijdt de -as in R en n snijdt de -as in S. Er geldt: RS =. Bereken de bijbehorende waarde van p.

15 ANTWOORDEN. b. : k c. B (λ = ), D (λ = ½) en E ( λ = ). ai. ii. iii. bi = ½ ii. = + iii. =. b. λ < c. λ > d.*. a. wel evenwijdig b.. a. Oneindig veel antwoorden mogelijk. b.½ c., d., 6. a. l en n b. k: = ; l: = +; m: = ; n: = + c. p= en q = d. a = en b = ½ 7. a. (, ) en (, ) b. c. d. 8. a. b AB = ; AC = en BC =. p = 8 of p = 6. (, ) en (, ). a. (, 7 ) b. ( ½, 9 ) d. oneindig veel.. a. = 7 b. + = c. = d. =. a. b. c. d. 6. PQ = (waarbij Q = (, )) 7. a. 7 b. 6 c. 6 = 8. a., b. (, ) c.(, ) ei ii iii : 9. a. = b. (, ) c. d. M=(, )en r =. M=( ½, )en r = 8. a. = b. p = en q =. a. ² a b. p= of p =. a. ½ b. c. d. Geen enkele p.. a. (6, ) b. 6. a. (, ) b. (, ) c. ( ½, ½ ) ei. 8 ii. 8 iii. : 7. a. b. ( 6, ) of ( 6, ) c. of