Noordhoff Uitgevers bv

Transcriptie

1 Vlak en kegel bladzijde a Als P ( x,, ) de projectie van P op het Ox-vlak is, dan is driehoek OP P een gelijkbenige rechthoekige driehoek met OP P = Dan is OP = x + en is PP = z Met de stelling van Pthagoras vind je dat x + = z b O(,, ) c Twee rechte lijnen: =± z d Invullen van = z in x + = z geeft x + z = z x + z = Deze vergelijking heeft als oplossing x = en z = en dus is ook = De oplossing is O(,, ) e De gezamenlijke vergelijkingen x + = en z = beschrijven de cirkel in het vlak z = met middelpunt (,, ) en straal a Er moet gelden P(, λ, λ ) en hieruit volgt dat de -coördinaat van elk punt P op lijn m het dubbele is van de z-coördinaat Dus = z b De projectie van P op de -as is het punt P (,, ) Voor de afstand PP geldt ( x ) + ( ) + ( z ) = x + z c Voor een punt Px (,, z) op de kegel geldt dat de lijn OP steeds dezelfde hoek a met de -as blijft maken Als P in het vlak x = ligt geldt tana = PP x + z Als P niet in dit vlak ligt geldt tan POP = = dus moet OP Kwadrateren geeft x + z = d Aan x + z = = en aan = Een cirkel e Aan x + = x = en z = Een hperbool f z 8 8 O 8 8 x bladzijde 8 a Die moet gelijk zijn aan een halve tophoek, dus b Dan is de hoek groter dan en kleiner dan x + z a Voor de halve tophoek a geldt tana = = a = tan a 7 Dus maakt V een hoek die groter is dan de halve tophoek met de as en dus is de doorsnede een ellips b De doorsnede is dan een cirkel met straal ( ) = En dus geldt x + = ( ) = Moderne wiskunde e editie uitwerkingen vwo D deel =

2 a b c Twee snijdende lijnen Eén lijn Eén punt Parabool bladzijde a AF = ( ) + ( ) = = en ook de afstand van A tot de x-as is b De afstand van B tot de x-as is en BF = ( ) + ( ) = 7 = c De afstand van P tot de x-as is p + Verder is ook PF = ( p ) + ( p + ) = p + ( p ) = p + p p + = p + p + = ( p + ) = p + 7a PF = ( x ) + ( ) = x + ( ) b dp (, r) = + want tot de x-as is de afstand en tot de lijn = is de afstand + c x + ( ) = + Kwadrateren en de index weglaten geeft x + ( ) = ( + ) x + + = + + x =+ x = 8 8a RF = ( x ) + ( c) = x + ( c) en drr (, ) = + c Gelijkstellen geeft x + ( c) = + c b Kwadrateren geeft x + ( c) = ( + c) x + c + c = + c + c x c = c en dus is x = c bladzijde a Gebruik het resultaat van opdracht 8b Dan is c = en dus is de vergelijking x = = 8 b c = c = Het brandpunt is F(, ) en de richtlijn is = c Dan is c = en dus is c = De top is T(, ) en een vergelijking is ( ) = ( x ) = x d Neem = dan is = x+ x = dus snijpunt (, ) Neem x = dan is ( ) = = ± dus snijpunten (, ) en (, + ) e 8 O 7 8 Top (, ); c= c= dus is x = de richtlijn en is F(, ) het brandpunt Moderne wiskunde e editie uitwerkingen vwo D deel

3 a Top (, ) en c = Deze liggende parabool heeft richtlijn x = en brandpunt F(, ) b = x = x = x of = x = x c P(, ) ligt op de grafiek van f f ( x) = = f () = x x De vergelijking van de raaklijn is = ( x ) + = x + d Q(, ) ligt op de grafiek van g g ( x) = g ( ) = x De vergelijking van de raaklijn is = ( x ) = x+ = x a Uit = ( x ) volgt dat c = Het punt (, ) is de top van deze liggende parabool De richtlijn is x = en het brandpunt is (, ) d b = x = = x x d x c Dus is de helling in (, ) gelijk aan vergelijking van de raaklijn De helling van de raaklijn in (, ) is gelijk aan = en is = ( x ) + = x de 7 = = 8 De vergelijking van de raaklijn m is = ( x ) + = x + d Het snijpunt S van de lijn m met de -as is (, ) e Een raaklijn door (, ) is van de vorm = ax + Snijden van deze lijn met parabool p geeft de vergelijking ( ax + ) = x Omdat het om een raaklijn gaat mag deze vergelijking precies één oplossing voor x hebben ax + ax + = x a x + ( a ) x + = Van de laatste vergelijking moet de discriminant D gelijk aan zijn, dus ( a ) a = Dit geeft 8a a+ a = a + a = Verder herleiden geeft a + a = ( a )( a+ ) = Dus is a = of a = De andere raaklijn door (, ) is dus = x+ Omdat = staan deze beide raaklijnen loodrecht op elkaar a Als je x = + r invult in de vergelijking van de cirkel krijg je ( r ) + ( ) = r Dit kun je herleiden tot r r+ + ( ) = r ( ) = ( r ) Dit laatste is de vergelijking van een parabool b De top is (, ) = (, ) Uit c = volgt c = en dus is de richtlijn: x = en is het brandpunt (, ) c De richtlijn is dan de lijn = Voer een schuifknop voor r in en de vergelijkingen: ( x ) + ( ) = r en = r Laat vervolgens het spoor tekenen van de beide snijpunten Je krijgt dan het volgende resultaat A O r = Moderne wiskunde e editie uitwerkingen vwo D deel F B

4 Ellips bladzijde a M(, ) en straal b M P 8 O 8 A F Er geldt r = d( M, c) = d( M, P) + d( P, A) = PM + PF PF = r PM c PF = r PM ( x ) + ( ) = ( x ) + ( ) d ( x ) + = ( x + ) + ( x ) + = ( x + ) + + ( x + ) + ( x + ) + = ( x ) + ( x + ) + ( x + ) + = ( x ) + ( x + ) = + x e (( x+ ) + ) = ( + x) ( x+ ) + = + x+ x ( x+ ) + = + x+ x ( x + 8x+ ) + = + x+ x x + = x + = x + = a Stel = dan x = x =± =± Stel x = dan = =± Dus zijn de snijpunten met de assen: (, ), (, ), (, ) en (, ) b Stel x = dan is = = =± ±, 87 Dus snijpunten (, ±, 87) Stel x = dan is = = =± ±, 87 Dus snijpunten (, ±, 87 ) Stel x = dan is = = =± ±, Dus snijpunten (, ±, ) Stel x = dan is = = =± ±, Dus snijpunten (, ±, ) Moderne wiskunde e editie uitwerkingen vwo D deel

5 c A O B C D E F G H De lengte van de horizontale (lange) as is en de lengte van de verticale (korte) as is = De halve horizontale as is de wortel van de noemer van x en de halve verticale as is de wortel van de noemer van bladzijde 7 a x x + = + = b Lengte horizontale as: = en lengte verticale as: = Omdat = + c c = ± zijn de brandpunten (, ) en (, ) c De afstanden zijn ( x + ) + ( ) en ( x ) + ( ) d Dan zou moeten gelden (indices weglaten): ( x+ ) + + ( x ) + = ( x+ ) + + ( x ) + = ( x+ ) + + ( x ) + = De linker kant verder uitwerken en gebruiken dat = x geeft x + x+ + x + x x+ + x = x + x+ + x x + = ( x+ ) + ( x ) = x+ + x = (Voor een punt op de ellips is x < en dus is ( x ) = x) a Lengte horizontale as is dus a = Lengte verticale as is dus b = Verder is het snijpunt van de beide assen het punt (, ) Dit geeft als vergelijking ( x ) + ( ) = b Lengte korte as is dus b = Omdat c = is a = + = Het snijpunt van de assen is (, ) en de vergelijking is x + = c De lengte van de korte horizontale as is dus is a = Omdat c = is b = a + c = + = Vergelijking: x + = Moderne wiskunde e editie uitwerkingen vwo D deel

6 d Lengte lange as is dus is a = De afstand tussen de beide brandpunten is dus is c = Dan is = b + b = Het snijpunt van de assen is (, ) en een vergelijking is ( x ) + ( ) = 7a Invullen in a = b + c geeft = + c c = 8 = Dus moet de afstand tussen de paaltjes, meter zijn b De lengte van het touw is dan de som van de afstand tussen de brandpunten en de afstanden tot de brandpunten Het eerste is, m en het laatste is de lengte van de lange as dus = m Samen heeft hij, m touw (en nog iets voor een knoop) nodig c Omdat a = en b = is een vergelijking: x + = 8a x x + = + = 8 Lengte horizontale as = 8, lengte verticale as 8 = 7 8 = + c c = en dus zijn brandpunten (, ± ) = (, ± ) b c D C O B A x + = Maak het stelsel door de vergelijking van de cirkel met x + = te vermenigvuldigen Het verschil van beide vergelijkingen geeft dan x = x = en dus is x =± x = invullen in de cirkelvergelijking geeft = =± Dus zijn er vier snijpunten: (, ), (, ), (, ) en (, ) a x + ( x+ q) = x + ( x + qx + q ) = x + x + 8qx + q = x + 8qx + q = Moderne wiskunde e editie uitwerkingen vwo D deel 7

7 a 8 q q q q q Met de abc-formule krijg je x = ± 8 = 8 ± ( ) = 8q± q = 8, q±, q, de x-coördinaten van A en B q Voor de x-coördinaat van C geldt dan x = 8 = 8, q C b Als de discriminant is, dus als q = Dat is het geval als q =± c Voor de -coördinaat van C geldt = 8, q + q =, q C Uit x = 8, q en =, q volgt x = C C C C Dus liggen de punten C op de lijn = x Hperbool bladzijde 8 M 8 S F O 8 PM = PS + r = PF + r PF = PM r b PF = PM r ( x ) + ( ) = ( x ) + ( ) ( x ) + = ( x+ ) + c ( x ) + = ( x+ ) + ( x+ ) + + x x+ + = x + x+ + ( x+ ) + + x = x ( x+ ) + + ( x+ ) + = x+ ( x+ ) + = x+ (( x+ ) + ) = ( x + ) x + x+ + = x + x + 8 x + = x = x = a x = invullen geeft = dus geen oplossing = invullen geeft x =± Dus toppen (, ) en (, ) Moderne wiskunde e editie uitwerkingen vwo D deel P

8 b = mx invullen geeft de vergelijking x m x = x m x = Herleiden geeft x = x = = of m m m x = = m m Snijpunten zijn m, en m m, m m m c Voor m > zijn er oplossingen en heeft de lijn = mx dan snijpunten met de hperbool Naarmate m positief is maar steeds dichter bij komt, komen de snijpunten steeds verder weg te liggen In het geval van m = liggen de snijpunten onbeperkt ver weg Dit komt overeen met de asmptoten van de hperbool m = m = ± = ± = ± Dus zijn de asmptoten =± x d m > m < < m < e c = + = dus zijn de brandpunten ( ±, ) bladzijde a = invullen geeft x = en dus zijn de toppen: ( ±, ) c = + 8 = en dus zijn de brandpunten: ( ±, ) b =± 8 x =± x a ( x+ ) + ( ) ( x ) + ( ) = ( x+ ) + ( x ) + = b ( x+ ) + = ( x ) + + ( x+ ) + = ( x ) ( x ) + + x + x+ + = x x ( x ) + + x = x+ 8 ( x ) + + x = 8 ( x ) + x = ( x ) + ( x ) = (( x ) + ) x x+ = ( x x+ + ) x x+ = x x+ + x = x = c = geeft x = Dus zijn de toppen: ( ±, ) d Het gaat om dezelfde brandpunten De afstand van E tot F is en de afstand van E tot F is Dus is het absolute verschil en daarmee zal de groene hperbool voldoen aan ( x+ ) + ( x ) + = Dit herleiden geeft: ( x+ ) + = ( x ) + + ( x+ ) + = ( x ) + + ( x ) + + x + x+ + = x x+ + + ( x ) + + x = x+ (x ) + + x = ( x ) + ( x ) = ( x ) + x x+ = x x+ + x = x = Moderne wiskunde e editie uitwerkingen vwo D deel

9 a Omdat =± x asmptoten zijn geldt a = b Omdat (, ) op de hperbool ligt moet a = Een vergelijking is x = x = b Dan liggen de toppen op de -as! En moet b = en weer is a = b Een vergelijking is x + = x = a Omdat =± x asmptoten zijn geldt a = b Gezien de ligging van het punt(, ) moet de vergelijking de vorm x = x = a a a hebben Invullen van (, ) geeft a = = 7 =, dus is de vergelijking x = x = b De brandpunten zijn dan (, c ) met c Dus F (, ) en F (, ) Verschuiven en spiegelen bladzijde = + = c = of c = a + = x ( + ) = x+ ( + ) = ( x + ) b De top is (, ) dus is de verschuiving naar links en omlaag geweest 7a Het snijpunt van de smmetrieassen is (, ) De toppen vind je als snijpunten van de lijn = met de hperbool Invullen geeft ( x ) = x = of x = 8 Dus zijn de toppen: (, ) en (8, ) Omdat c = + = is c = en zijn de brandpunten ( ±, ) dus (, ) en (, ) Voor de asmptoten geldt ( ) ( ) x + = ( x ) = ( + ) Dit laatste geeft ( x ) = ± ( + ) = ± ( x ) = x 8 en = x, de asmptoten b ( ) ( x+ ) = Ook voor de toppen, de brandpunten en de asmptoten moet je de x en verwisselen Dit geeft toppen (, ) en (, 8), de brandpunten (, ) en (, ) en de asmptoten x = 8 = x+ en x = = x x 8a + = b = + c c = en dus zijn de brandpunten ( ±, ) c Je moet dan x vervangen door x a en vervangen door = + De vergelijking van de nieuwe ellips is ( x ) + ( + ) brandpunten (7, ) en (, ) Moderne wiskunde e editie uitwerkingen vwo D deel = en de nieuwe

10 bladzijde Dan is het punt (, 8) de top en de waarde van de parameter c is dan De vergelijking is dan ( 8) = ( x ) of = x + x + 7 a x + + x+ + = x + x+ + + = ( x+ ) + ( + ) = + ( x + ) + ( + ) = ( x+ ) ( + ) + = b Het snijpunt van de smmetrieassen is (, ) De toppen vind je door te snijden met de lijnen x = en = Dit geeft ( + ) = = of = dus de toppen (, ) en (, ) respectievelijk ( x+ ) = x = of x = dus de toppen (, ) of (, ) Voor de parameter c geldt c = = 7 Dus zijn ( ± 7, ) de brandpunten c Spiegelen in de x-as komt overeen met het vervangen van door Dus krijg je ( x+ ) ( + ) = a x x = ( x + x) = Kwadraatafsplitsen geeft dan ( ) ( x+ ) = = ( ) ( x+ ) = b Het snijpunt van de smmetrieassen is (, ) De toppen vind je als snijpunten met de lijn x = Je vindt dan ( ) = en dus zijn de toppen: (, ± ) Voor de waarde van de parameter c geldt c = + = Dus zijn de brandpunten (, ± ) c ( ) ( x+ ) = = x+ =± ( x+ ) en dus zijn de asmptoten: = x+ en a Het snijpunt van de smmetrieassen is (, ) De lengte van de halve horizontale as is 7 en de lengte van de halve verticale as is Dit geeft de vergelijking ( x ) ( + ) + = b Voor de parameter c geldt c = = Dus zijn de brandpunten ( ±, ) c Dan moet je de variabelen x en wisselen d Dit geeft ( ) ( x ) + + = ( x+ ) + ( ) = Het snijpunt van de smmetrieassen is dan (, ) De brandpunten zijn (, ± ) De toppen zijn (, ), (, ), ( 7, ) en (, ) a Neem = dan is x = en de toppen zijn ( ±, ) Voor de parameter c geldt c = + = Dan zijn de brandpunten (, ) en (, ) 8 Moderne wiskunde e editie uitwerkingen vwo D deel

11 b Top (, ) verschuift naar (8, ) dus is de verschuiving naar rechts en omhoog c De smmetrieas x = moet dan overgaan in de lijn x = Dit lukt als je spiegelt in de lijn x = Tenslotte moet je daarna het beeld nog omhoog schuiven d Het snijpunt van de smmetrieassen van k is het punt (, ) Dit geeft de vergelijking ( x ) ( ) = Voor de toppen geldt (± +, + ) dus (8, ) en (, ) Brandpunten (7, ) en (, ) Voor de asmptoten geldt: ( ) ( ) x = ( x ) = ( ) waaruit volgt: = x + en = x + + Kegelsneden onderzoeken bladzijde abc - d Een ellips met brandpunten M en F e Het snijpunt van de smmetrieassen is het midden van MF, dus (, ) De vergelijking van de ellips is van de vorm ( x ) + + = a b De waarde van a is de lengte van de halve horizontale as, dus a = De waarde van b is de lengte van de halve verticale as Die is wat lastiger te vinden Zorg dat het punt C loodrecht boven F komt te liggen Dan is C(, ) en dus is b = De vergelijking van de ellips is ( x+ ) + = ab - c k = geeft de vergelijking x+ = 8 d Dit herschrijven geeft ( ) = ( x+ 8 ) Dus is ( 8, ) de top en is de waarde van de parameter c = Het brandpunt is ( 7, ) en de richtlijn is x = e k < f k > bladzijde a - b Voor q = krijg je de cirkel x + + x+ = ( x+ ) + ( + ) = Middelpunt (, ) en straal, c Voor q = krijg je x + x+ =, de vergelijking van een parabool d Voor q > krijg je een ellips Omdat je voorq = een cirkel krijgt zal het groter of kleiner dan zijn van q het verschil maken Je kunt dit met GeoGebra onderzoeken met als resultaat: < q < : lange as horizontaal q > : lange as verticaal Moderne wiskunde e editie uitwerkingen vwo D deel

12 e Voor q = krijg je de vergelijking x + x+ = Met kwadraatafsplitsen kun je dit herleiden tot ( x ) ( ) = ( x ) = ( ) en dus geldt ( x ) = ± ( ) en dit geeft twee rechte lijnen 7a Ellips b ( x x) + ( + ) = ( x ) + ( + ) = ( x ) ( + ) + = c De smmetrieassen zijn x = en = d Lengte van de horizontale as is en de lengte van de verticale as is Voor de waarde van de parameter c geldt c = = 7 De brandpunten liggen op de verticale as, dus (, ± ) 8abc - d Punt P ligt op afstand r van (, ) en op afstand r van (, ) dus is het verschil e De afstand van de top tot (, ) moet verschillen met de afstand tot (, ) en op de x-as liggen Dus is dit het punt (, ) De middelpunten van de cirkels zijn de brandpunten Voor deze tak is dat (, ) f Verwissel de beide middelpunten van de cirkels Dit geeft de vergelijkingen ( x+ ) + = r en ( x ) + = ( r ) Nog eenvoudiger is het om de waarden van r aan te passen Neem < r < 7 Gemengde opdrachten bladzijde a Eén van de pennen bevindt zich in het snijpunt van de sleuven b Lange as: AC = 8 en korte as: BC = c Volgt uit de stelling van Pthagoras EC DC d AEC ~ BCD = = AC BC x x x e = = = 8 x Dus liggen de punten C op de x + =, een ellips 8 a m: = 7, x, 7x = en de x-as heeft vergelijking = Punten op de bissectrice hebben gelijke afstand tot beide lijnen x x = = ( ) + + Dit geeft x = ± Dit kun je herleiden tot = x en = x b De absolute waarde van -coördinaat is de afstand tot de horizontale as Dus = =± Moderne wiskunde e editie uitwerkingen vwo D deel

13 c Het middelpunt moet op de bissectrice, in dit geval = x liggen Dus middelpunt (, ) of (, ) De vergelijkingen: ( x ) + ( ) = respectievelijk ( x+ ) + ( + ) = d Stel (a, b) is het middelpunt van de cirkel Dan ligt dit punt op afstand van lijn m en raakt daar in (, ) aan m Dan is de vergelijking van de vorm: ( x a) + ( b) = a Ook moet gelden dat b dus is a+ b= b= a De vergelijking van de cirkel is ( x a) + ( + a) = (, ) invullen geeft a + a = a = a = of a = en dan is b = 8 en b = 8 8 Dus is M (, ) en is de vergelijking ( x+ ) + ( ) = 8 en is M (, ) en is de vergelijking ( x ) + ( + ) = a De parabool = ( x+ k) heeft top ( k, ) Deze top moet liggen in (, ) of in (, ) Dus k = of k = b Dan is er een waarde van x als oplossing en moet er sprake zijn van raken c x + x+ k = x + x+ k = Dan moet de discriminant van deze vergelijking zijn: ( k ) = Dit geeft k = bladzijde a Aflezen uit de grafiek: (, ) en (, ) b De afstand van (, ) tot (, ) is Dus toppen beeldgrafiek: ( ±, ) Vergelijking beeldgrafiek: x = Brandpunten ( ±, ) c De brandpunten van f liggen op de lijn = x op afstand van O(, ) Dus zijn de brandpunten F (, ) en F (, ) a - b,c A r =, D C O S B T Een hperbool d De helling van lijn BC is λ dus is λ de helling van lijn OS OS: = λ x e De helling van lijn AC is λ en dus heeft deze lijn vergelijking = x + λ Moderne wiskunde e editie uitwerkingen vwo D deel

14 f λ = x x+ x λ x = λ en dus x λ T = λ λ Dan is T = λ λ = λ λ λ g Uit = λ x volgt λ= Dit invullen in x = λ x λ geeft x = x ( ) x x Dit laatste kun je herleiden tot x = x + = x Aan de laatste vergelijking kun je zien dat het inderdaad om een hperbool gaat Test jezelf bladzijde 8 T-a Als q = dan is = de vergelijking van het vlak V De doorsnede van V met de kegel is dan een cirkel b Het vlak V: + z= is dan evenwijdig aan de lijn m De doorsnede is dan een parabool c De hoek die het vlak V dan maakt met de as van de kegel moet dan kleiner zijn dan de halve tophoek van In het Oz-vlak stelt + qz = een lijn voor Je kunt de vergelijking van deze lijn schrijven als z = q + Dan moet gelden < < q q Dat is het geval als q < of als q > Dit laatste kun je inzien met een plot van = x T-a = x ( ) = x + Dus ( ) = ( x+ ) b De top is (, ) en de waarde van de parameter c is Dus is het brandpunt ( 8, ) en is de richtlijn x = c Dan is c = en is er sprake van een bergparabool met top (, ) Dus geldt ( x+ ) = 8( ) T-a x x = ( x x) + ( ) + 8 = ( x ) + ( ) = 8+ ( x ) + ( ) = ( x ) ( ) + = b Stel = dan is ( x ) = x = of x = Dit geeft de toppen (, ) en (, ) Stel x = dan is ( ) = = of = Dit geeft de toppen (, ) en (, ) c Voor de parameter c geldt c = = Het snijpunt van de smmetrieassen is (, ) en de lange as is de verticale as De brandpunten zijn (, ± ) Moderne wiskunde e editie uitwerkingen vwo D deel

15 T-a Dat is het snijpunt van de beide asmptoten Dus moet je x = x+ oplossen De oplossing is x = en dus is (, 7) het smmetriepunt b O c Omdat het punt van smmetrie het punt (, 7) is heeft de vergelijking de vorm ( x ) ( 7) = Als je let op de hellingen van de asmptoten volgt a b b =± b = a en dus is de vergelijking van de vorm ( x ) ( ) 7 = a a a Invullen van bijvoorbeeld (, 7) geeft ( ) = en dus a = a Dit geeft als vergelijking ( x ) ( ) 7 = d Voor de waarde van de parameter c geldt c = = 8 De brandpunten liggen op de lijn = 7 zodat ( ± 8, 7) = ( ±, 7) de brandpunten zijn bladzijde T-a p : = ( x ) dus is (, ) de top, is c =, is het brandpunt (, ) en is x = de richtlijn b x = ( ) c Dan moet (, ) verschoven worden naar(, ) dus is de translatie d p :( x ) = ( + ) ( x ) = Moderne wiskunde e editie uitwerkingen vwo D deel

16 e = ( x ) Dan moet je oplossen: ( x ) = Uit de eerste vergelijking leid je af dat x = Dit invullen in de tweede vergelijking geeft ( ) = = = 8 = of = De bijbehorende waarden van x zijn: x = respectievelijk x = 7 De snijpunten zijn (, ) en (7, ) T-a De afstanden van A of B tot elk van de middelpunten verschillen b De middelpunten van de cirkels zijn (, ) en (, ) De toppen liggen dus op de lijn x = De afstand tussen de beide middelpunten is Voor de afstanden van een top tot elk middelpunt moet het verschil zijn, dit is het geval voor de punten (, ) en (, ) c De afstand tussen de toppen is, dus b = De afstand van brandpunt (, ) tot het smmetriepunt (, ) is, dus is c = Voor de parameter a geldt a = = d ( x ) ( ) = T-7a Met de stelling van Pthagoras vind je b=± ( a ) Dus B(, ± ( a ) ) b P verdeelt het lijnstuk AB in stukken met lengte en Dit geeft dat x =, a en = b= ± a,, P P c Door eerst te kwadrateren vereenvoudig je de vergelijkingen tot x =, a en =, ( a ) en elimineer je a Omdat x =, a a = x geldt =, ( x ) = x Dit laatste schrijf je als x + =, een ellips d Q is het midden van AB dus x = a en =± a Q Q Dus x =, a en =, ( a ) =, a Elimineren van a geeft = x x + =, een cirkel Moderne wiskunde e editie uitwerkingen vwo D deel 7