Vergelijkingen van cirkels en lijnen

Transcriptie

1 Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes ( ) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12,

2 Vergelijkingen van lijnen y b m = tan α = x a voor alle punten (x, y) op de lijn. y b = m (x a) is dus een vergelijking van de lijn. m heet de helling van deze lijn. September 12,

3 Twee lijnen heten parallel of evenwijdig als ze dezelfde helling hebben. Maar twee vertikale lijnen zijn natuurlijk ook evenwijdig. Twee lijnen met vergelijkingen { y b = m1 (x a) snijden elkaar loodrecht y b = m 2 (x a) ( onder een hoek π ) als m 1 m 2 = 1 2 Maar horizontale-en verticale lijnen snijden elkaar natuurlijk ook loodrecht. September 12,

4 Vergelijkingen van cirkels (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 is dus een vergelijking van de cirkel. September 12,

5 Vergelijking van een ellips Een ellips is de verzameling punten met de eigenschap dat de som van de afstanden tot twee verschillende punten F 1 en F 2 (de brandpunten) constant is (2a). Als F 1 en F 2 als coördinaten ( c, 0) en (c, 0) hebben dan heeft de ellips twee snijpunten A 1 en A 2 met de x-as met als coöordinaten ( a, 0) en (a, 0). Is b 2 = a 2 c 2 (b > 0) dan heeft de ellips als vergelijking x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. September 12,

6 Vergelijking van een hyperbool Een hyperbool is de verzameling punten met de eigenschap dat de absolute waarde van het verschil van de afstanden tot twee verschillende punten F 1 en F 2 (de brandpunten) constant is (2a). Als F 1 en F 2 als coördinaten ( c, 0) en (c, 0) hebben dan heeft de hyperbool twee snijpunten A 1 en A 2 met de x-as met als coöordinaten ( a, 0) en (a, 0). Is b 2 = c 2 a 2 dan heeft de hyperbool als vergelijking x 2 a 2 y2 b 2 = 1. September 12,

7 Vergelijking van een parabool Een parabool is de verzameling punten met de eigenschap dat de afstand tot een gegeven punt F (het brandpunt) gelijk is aan de afstand tot een gegeven lijn (de richtlijn). Als A en F als coördinaten ( p 2, 0) en (p, 0) hebben 2 dan heeft de parabool als vergelijking y 2 = 2p x. September 12,

8 De hyperbool heeft als asymptoten y = ± b a x. De excentriciteit e is gelijk aan de afstand van F i tot O gedeeld door de afstand van A i tot O. (De index i is hierbij afwezig of gelijk aan 1 of 2.) Er geldt dus 0 < e < 1 voor de ellips, September 12,

9 De hyperbool heeft als asymptoten y = ± b a x. De excentriciteit e is gelijk aan de afstand van F i tot O gedeeld door de afstand van A i tot O. (De index i is hierbij afwezig of gelijk aan 1 of 2.) Er geldt dus 0 < e < 1 voor de ellips, e > 1 voor de hyperbool en e = 1 voor de parabool. September 12,

10 Als niet (0, 0) maar (h, k) de top is van de parabool en het centrum van de ellips en de hyperbool dan worden hun vergelijkingen (y k) 2 = 2p (x h) (x h) 2 a 2 + (x h) 2 a 2 (y k) 2 b 2 = 1 (y k) 2 b 2 = 1 September 12,

11 Functies A, B zijn verzamelingen. Een functie van A naar B voegt aan elk element van A precies één element van B toe. Zo n functie wordt meestal gegeven door een voorschrift f. A heet het domein, B heet het codomein, {f(x) x A} B heet het bereik en {(x, f(x)) x A} heet de grafiek van de functie. September 16,

12 Manieren om een functie te representeren Verbaal (d.m.v. woorden) Numeriek (d.m.v. een tabel) Visueel (d.m.v. een diagram of een tekening van de grafiek) Algebraïsch (d.m.v. een functievoorschrift) September 16,

13 Vertikale lijntest Een kromme in het platte vlak is de grafiek van een functie als elke vertikale lijn deze grafiek ten hoogste één keer snijdt. Een functie f heet stuksgewijs gedefinieerd als een voorschrift op disjuncte delen van het domein van f verschillend is. September 16,

14 Even en oneven functies Laat het domein van een functie f een symmetrisch interval I rond 0 zijn. { even als f( x) = f(x) Dan heet f oneven als f( x) = f(x) voor alle x I. September 16,

15 Stijgende en dalende functies Laat I het domein van een functie f zijn. stijgend als f(x 1 ) f(x 2 ) strikt stijgend als f(x 1 ) < f(x 2 ) f heet dalend als f(x 1 ) f(x 2 ) strikt dalend als f(x 1 ) > f(x 2 ) voor alle x 1, x 2 I met x 1 < x 2. September 16,

16 Verschillende typen functies Machtsfuncties Polynomiale functies Rationale functies Algebraïsche functies Trigoniometrische functies Exponentiële functies Logaritmische functies Transcedente functies (Alle functies die niet algebraïsch zijn.) September 16,

17 Transformaties van standaardfuncties Als een functie f bekend is dan kan hiermee een nieuwe functie g worden verkregen door de grafiek van f te verschuiven in de richting van de x-as of de y-as. Verder kan een nieuwe functie g worden verkregen door de grafiek van f te vermenigvuldigen met een factor in de richting van de x-as of de y-as. September 16,

18 Verschuiven f(x) = x 2, 1 x 1 g(x) = f(x + 1), 2 x 0 h(x) = g(x) + 2 = f(x + 1) + 2, 2 x 0 September 16,

19 Vermenigvuldigen met een factor f(x) = sin x, π 2 x π ( 2 x ) g(x) = f, π x π 2 h(x) = 3 g(x), π x π September 16,

20 Combinaties van functies Laat f : A R en laat g : B R. Laat verder ter afkorting : C = A B. Dan worden de functies f ± g, f g en f g gedefinieerd door: (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) voor alle x C (f g)(x) = f(x) g(x) voor alle x C ( ) f (x) = f(x) voor alle x C met g(x) = 0 g g(x) September 16,

21 De samenstelling van functies Laat f een functie zijn met domein A f en laat g een functie zijn met domein A g. Dan is de samengestelde functie h van f en g gedefinieerd op A = {x A g g(x) A f } en h(x) = f(g(x)). Notatie f g = h(x). Dus (f g)(x) = f(g(x)) voor x A September 16,

22 Eigenschappen van exponenten Laten a, b R + a x+y = a x a y voor alle x, y R. a x y = ax voor alle x, y R. ay (a x ) y = a xy voor alle x, y R. (ab) x = a x b x voor alle x R. September 16,

23 Exponentiële functies Laat a R +. De functie f die gegeven wordt door f(x) = a x heet exponentiële functie met grondtal a. f(x) = 1 x g 1 (x) = 2 x g 2 (x) = ( 1 2) x = 2 x = g 1 ( x) h 1 (x) = 3 x h 2 (x) = ( 1 3) x = 3 x = h 1 ( x) k 1 (x) = 4 x k 2 (x) = ( 1 4) x = 4 x = k 1 ( x) September 16,

24 Exponentiële functies g(x) = 2 x h(x) = 3 x k(x) = a x Het grondtal a is zo gekozen dat de helling van de raaklijn aan de grafiek van k gelijk is aan 1. a = e September 16,

25 Injectiviteit/surjectiviteit Een functie f : A B heet één-één duidig of injectief als f(x 1 ) = f(x 2 ) voor alle x 1 = x 2, x 1, x 2 A Een functie f : A B heet op of surjectief als B het bereik van f is. Een functie die zowel injectief als surjectief is heet bijectief. September 16,

26 Inverse functies Horizontale lijntest Een functie is injectief als als elke horizontale lijn haar grafiek ten hoogste één keer snijdt. Als f : A B een bijectieve functie is dan bestaat er een functie g : B A met de eigenschap dat f(x) = y g(y) = x. De functie g wordt de inverse van f genoemd en genoteerd als f 1. Dus f(x) = y f 1 (y) = x. September 16,