d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

Transcriptie

1 Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat is naar boven afgerond 05 minuten. c. Kijk waar de grafiek het snelste daalt. Dat is op de tijdstippen t = t = 6 8,85 uur. 6,8 uur en op d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t = 6,8 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,97 cm per minuut. I-. a. In Vlissingen is het getijdenverschil het grootst. b. Tot den Helder wordt het getijdenverschil kleiner, daarna neemt het getijdenverschil toe. c. In Delfzijl duurt eb ongeveer 6,5 uur en vloed duurt ongeveer 5,5 uur. d. De gemiddelde snelheid van de waterverandering is tijdens eb ongeveer,5 meter per 6,5 uur. (de verticale schaal ontbreekt, misschien heb je iets aan de, meter hoogte in Vlissingen) e. In IJmuiden is het verschil het grootst. I-. a,b. Omdat de verticale schaalverdeling ontbreekt, is het lastig om precieze uitspraken te doen. In Vlissingen lijkt de getijdenpoort korter dan in Den Helder. De stroomsnelheden in Vlissingen zijn groter dan in den Helder. Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - -

2 . a. Hiernaast staan in één figuur getekend de grafieken van f(x) = sin(x) en g(x) =sin(x). De grafiek van g ontstaat door op de grafiek van f een verticale lijnvermenigvuldiging t.o.v. de x-as toe te passen met factor. De amplitude wordt daardoor keer zo groot. Hiernaast staan in één figuur getekend de grafieken van f(x) = sin(x) en h(x) = sin(x). De grafiek van h ontstaat door op de grafiek van f een horizontale lijnvermenigvuldiging t.o.v. de y-as toe te passen met factor. De periode wordt daardoor keer zo klein. b. Hiernaast staan in één figuur getekend de grafieken van k(x) = cos(x) en m(x) =+cos(x). De grafiek van m ontstaat door de grafiek van f omhoog te schuiven De periode en amplitude veranderen niet. Hiernaast staan in één figuur getekend de grafieken van k(x) = cos(x) en n(x) = cos(x +). De grafiek van n ontstaat door de grafiek van f naar links te schuiven De periode en amplitude veranderen niet.. a. g(x) = cos(6x) De grafiek van g ontstaat door op de grafiek van y = cos(x) een horizontale lijnvermenigvuldiging t.o.v. de y-as toe te passen met factor 6. De amplitude is en de periode is 6 =. b. k(x) =+cos(0,x) De grafiek van k ontstaat door op de grafiek van y = cos(x) eerst een horizontale lijnvermenigvuldiging t.o.v. de y-as toe te passen met factor 5 en daarna de grafiek omhoog te schuiven. De amplitude is en de periode is 0, =0. c. h(x) = cos(x + 0,) De grafiek van h ontstaat door op de grafiek van y = cos(x) 0, naar links te verschuiven De amplitude is en de periode is. d. m(x) = 5cos(x) De grafiek van m ontstaat door op de grafiek van y = cos(x) eerst een horizontale lijnvermenigvuldiging t.o.v. de y-as toe te passen met factor en daarna een verticale lijnvermenigvuldiging t.o.v. de x-as toe te passen met factor 5. De amplitude is 5 en de periode is =. Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - -

3 . a. De periode van u is = 0,0 seconde. 00 b. De periode gedeeld door de frequentie. c. De periode is /50 seconde, dusu = sin(00t).. a. u = sin(500 t). De periode is =. De frequentie is 50 Hz b. v = 0,0 sin(00t). De periode is = 50. De frequentie is,75 Hz a. amplitude periode frequentie u =sin(0t) 0,05 0 Hz v =sin(0( t +0,0)) 0,05 0 Hz b. De grafiek van v is t.o.v. de grafiek van u met 0,0 naar links verschoven. c. Een periode is 0,05. De verschuiving is dus 0,6 = 60% van de periode. 0, 6. a. De periode is /0 = 0,05 en de amplitude is 0,5. b. De grafiek van u is 0,005 verschoven t.o.v. de grafiek van v. Dat is een faseverschil van 0,005/0,05 = 0,. c. Als het faseverschil 0, is, dan is de verschuiving 0, x 0,05 = 0,0075. Het functievoorschrift wordt: w = 0,8sin(80(t-0,0075)). 7. Als twee trillingen met gelijke frequentie en amplitude geen faseverschil hebben, dan wordt de amplitude verdubbeld. Voorbeeld: sin(t) + sin(t) =8sin(t) Als het faseverschil 0,5 is dan wordt de amplitude nul omdat de twee trillingen elkaar opheffen. Voorbeeld: sin(t) + sin((t-)) = 0 8. a. In de figuur hiernaast zijn de grafieken geplot van y = -0,5 en van f(x) = -0,5+ sin( x) en van g(x) = -0,5+ sin( (x- )). De periode van f en van g is. b. De amplitude is en de evenwichtsstand is -0,5. c. De grafiek van f moet een naar rechts geschoven worden om de grafiek van g te krijgen. Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - -

4 9. a. De periode is 6, de amplitude is en de evenwichtsstand is 5. b. De grafiek van f ontstaat door een verschuiving van naar links. c. Het faseverschil is /6. 0. a. 8 - De amplitude is =, de evenwichtsstand is b. De periode is -(-) = (van top tot top) 8 + = Het getal b vindt je door = te berekenen. c. Mogelijke functievoorschriften zijn o.a.: y = + sin( (x - )) {de grafiek is verschoven t.o.v. y = + sin( x) } y = -sin( x) {een minteken omdat de sinuslijn begint met dalen} y = + cos( (x - )) {de grafiek is verschoven t.o.v. y = + cos( x). a. De evenwichtsstand is, de amplitude is en de periode is 8. b. Je kan c = nemen omdat de sinuslijn in (,) stijgend door de evenwichtsstand gaat. c. Bijvoorbeeld: y =+sin( (x -)) =+sin( (x -)) 8. links midden rechts amplitude,5 evenwichtsstand 0 - periode 6 formule y =sin( x) y = -+sin( (x -)) y =+ sin((x - )) andere formule y =cos( (x -)) y = --sin( (x-)) y =+ cos(x). a. Om 8.0 uur hoogwater en om. uur laagwater. Het tijdsverschil 6. uur (dat is 6, uur) is een halve periode. De periode is dus, uur. De hoogste waterstand is 6 meter en de laagste,5 meter. De amplitude is 6-,5 =,75 meter. De evenwichtsstand is 6+,5 =,5 meter. De sinuslijn gaat een kwart periode vóór 8.0 uur door de evenwichtsstand. Dat gebeurt dus om 8,5 -, = 5, uur. Een mogelijke formule is: H(t) =,5+,75sin( (t -5,)) =,5+,75sin(0,5067(t-5,))., In dit geval is het gemakkelijker om een cosinus te gebruiken: H(t) =,5+,75cos(0,5067(t-8,5)) (omdat het om 8,5 uur hoogwater is). a. Nee, omdat je niet of er nog andere toppen tussen zitten. b. Ja, want je kan de amplitude, en periode uitrekenen. c. nee, de amplitude is niet bekend. Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - -

5 5. a. De grafiek staat hiernaast en heeft een periode gelijk aan. b. Een bijpassend functievoorschrift is f(x) = sin(x) c a. Je kan voor f ook nemen: f(x) = + sin((x - )) Voor g krijg je: g(x) = + sin((x + )). b. Samen zijn ze. Je krijgt een rechte lijn. 7. In een eenheidscirkel (dat is een cirkel met straal ) wijst elke hoek x een punt P aan. Van uit de derde klas herinner je dat de sinus van een hoek gelijk is aan de overstaande rechthoekszijde gedeeld door de schuine zijde. PQ PQ Je krijgt dus: sin(x) = = = PQ OP OQ OQ Zo vind je ook: cos(x) = = = OQ OP Omdat in een rechthoekige driehoek de stelling van Pythagoras geldt: OQ +PQ =OP = = Conclusie: (sinx) +(cosx) = Opmerking: de coördinaten van P zijn dus (cos x, sin x). 8. a. Er zijn verticale asymptoten als de noemer nul is. Dat zijn dus de nulpunten van cos x. b. De grafiek snijdt de x-as als de teller nul is, dat zijn dus de nulpunten van de sin x, namelijk (0,0), (,0) enz. 9. a. De grafieken van f(x) ++tan(x) en van y = staan hiernaast getekend. b. Met INTERSECT vind je x,9 en x,9. c. Omdat je weet dat tan(- ) = - kun je f(x)=0 exact oplossen. - < x - en < x, enz. 0. Ik kan het niet op leerling-niveau verklaren. Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - 5 -

6 . a. f(x) =+ tan x =+(tan(x)). De asymptoten zijn x = -, x =, x =, enz. b. De periode van f is. c. sin x cos x sin x cos x +sin x f(x) =+ tan x =+ = + = = cos x cos x cos x cos x cos x. a. - b. Je kan naar de grafiek kijken; amplitude, evenwichtsstand en periode aflezen. Dan vind je f(x) = sin((x - )) Een totaal andere oplossing vind je met behulp van de formule: sin x +cos x = sin x +cos x = dus sin x =-cos x en cos x =-sin x dus f(x) = sin x-cos x = sin x -(-sin x) =sin x -.. a. Als n oneven is, dan is de periode. Als n even is, dan is de periode b. Als n= dan heb je een evenwichtsstand 0,5 en een amplitude 0,5 en een periode. Je probeert dan de grafiek van f(x) = - cos(x) te tekenen en je ziet dat het niet klopt. c. Alleen voor n= en n= is de grafiek een sinusoïde.. a. f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x) b. f(x) = cos(x) f'(x) = -sin(x) 5. a. f(x) = 5cos(x) f'(x) = -5sin(x) b. g(x) =+ sin(x) g'(x) = cos(x) c. h(x) =-sin(x) h'(x) = -cos(x) 6. a. Met de dy/dx knop en x = vind je -, b. Als f'(x) = -sin(5x), dan verwacht je f'( ) = -sin(5 ) = Het antwoord uit opdracht a verschilt een factor 5. c a. f(x) = sin( x) f'(x) = cos( x) ( b. g(x) =cos( x) g'(x) = -sin( x)) = -sin( x) c. h(x) = sin(x) h'(x) = cos(x) d. k(x) = cos(x) k'(x) = ( -sin(x)) = -sin(x) Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - 6 -

7 8. a. De grafiek van g ontstaat door een verschuiving naar links. b. f(x) =sin(x) f'(x) =cos(x) c. f'( ) is de helling van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (, ). Als je de grafiek verschuift (naar links, rechts, omhoog of omlaag) dan verandert de helling van de raaklijn niet. Dus moet f'( ) gelijk zijn aan g'( - ). d. Conclusie: g(x) =sin(x + ) f'(x) =cos(x + ). 9. a. f(x) = sin(x -0,75) f'(x) =cos(x -0,75) b. g(x) = -sin (x +) g'(x) = - cos (x +) = - cos (x +) c. h(x) =+sin (x -) h'(x) = - sin (x -) = - sin (x-) 0. a. De periode is 5 seconden; meet je eigen ademhaling op b. p(t) = -0sin t p'(t) = -0 cos t = -8cos t p'() -7,766 per seconde. De luchtdruk neemt af, dus wordt er uitgeademd. c. De maximale snelheid bij het uitademen is -8 op de tijdstippen t = 0, t =5, t =0, enz. De maximale snelheid bij het inademen is 8 op de tijdstippen t =,5 en t =7,5 en enz.. a. f(x) = d+ a sin(b(x -c)) De factoren a en b vertellen iets over de steilheid van de grafiek. Die factoren kom je dus tegen in de afgeleide. De d en c vertellen iets over verschuivingen. Die spelen geen echte rol bij de afgeleide. b. f(x) = d+ a sin(b(x -c)) f'(x) = ab cos(b(x -c)) c. De evenwichtsstand van f'(x) = ab cos(b(x-c)) is nul. De periode van de grafiek is ook de periode van de raaklijnen, dus ook de periode van de hellingen van de raaklijnen. Dus is de periode van de helling gelijk aan de periode van de functie.. a. Er zijn 9 snijpunten b,c Met INTERSECT vind je dat de twee eerste snijpunten zijn:(-,78;-0,5) en (-0,56;-0,5). Je kan in dit geval de snijpunten exact berekenen: 0,5+sin((x +)) = -0,5 sin((x +)) = -0,50 ((x +)) = - ((x +)) = x + = x + = x = - -,056 x = -,6 Deze waarden vallen buiten het domein, maar je mag bij beide uitkomsten net zo vaak / bijtellen of van af trekken. Dus je vindt: x = -, x = - + = -, x = - + = -, x = - + = -, x = - + = -, enz x = -, x = - + = -, x = - + = -, x = - + =, x = - + =, enz Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - 7 -

8 . a. De periode van sin(x) is, de periode van sin(x) is. De gemeenschappelijke periode is. b. Van f passen er en van g passen er perioden in.. a. De periode van cos( x) is, de periode van sin(x - ) is, de gemeenschappelijke periode is. b. De periode van sin(x) is, de periode van cos( x) is, de gemeenschappelijke periode is. c. De periode van sin(x) is, de periode van cos( x) is, de gemeenschappelijke periode is a. De periode van sin( x) is, de periode van cos( x) is 6, de gemeenschappelijke periode is. b. Hiernaast staan de grafieken op [0,] getekend Snijpunten zijn alleen te vinden met INTERSECT. x,0, x 7,7, x,8, x 7,55, x,65 en x,90. c. Dezelfde waarden en de andere waarden kun je vinden door er bij op te tellen. 6. a. cos(-x) = sin(x). Je kunt de oplossingen van deze vergelijking exact berekenen Als je met INTERSECT werkt vind je: - -,7; - -,6; - -0,5;,57; 7,9. b. sin( x) = cos( x). Je kunt de oplossingen van deze vergelijking exact berekenen. Als je met INTERSECT werkt vind je: -9; -6,6; -,; -,8; 0,6; ; 5,; 7,8. Dit zijn wel exacte oplossingen! c. De perioden van sin( x) en van cos( x) zijn en 6. De gemeenschappelijke periode is dus. 7. In [-00,500] zitten 50 perioden. Op elke periode zijn er 5 gemeenschappelijke punten. In totaal zul je dus 50 oplossingen vinden. a. Als de periode van f gelijk is aan, dan is de waarde van a =. Als de gemeenschappelijke periode van f en g gelijk aan is, dan kan de periode van g bijvoorbeeld of zijn. In deze gevallen is a = of a=. Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - 8 -

9 8. a. sin(x) =cos(x). Je kunt de oplossingen van deze vergelijking niet exact berekenen. Als je met INTERSECT werkt vind je: -5,0; -,89;,5 en,9. b. sin(x) =cos(x) als je beide kanten delen door cos(x), dan krijg je: sin(x) cos(x) = tan(x) = cos(x) cos(x) c. Bij de sinus en bij de cosinus moet tussen de haakjes hetzelfde staan. G-. a. f(x) = asin(bx) f'(x) = abcos(bx) f'(0) = ab De helling van de lijn is, dus moet ab = zijn. b. Als het maximum 5 is, dan a =5 en dus is b = 0,6, maar dat is geen geheel getal. c. Alleen de combinaties a = & b = en andersom zijn toegestaan. G-. a. De lengte van een kwartaal is ongeveer 9,5 dagen als je geen rekening houdt met schrikkeljaren. Dus na 9,5 - = 80,5 dagen snijdt de grafiek de evenwichtsstand. b. De amplitude is (7-8)/ =,5 uren De evenwichtsstand is,5 uur De periode is 65 dagen. De formule: D(t) =,5+,5sin( 65 (t-80,5)) c. D'(t) =,5 cos( (t -80,5)) 0,0775cos( (t-80,5)) d. D'(t) = 0 cos( (t-80,5)) = ( (t-80,5)) = ( (t-80,5)) = t-80,5 = 9,5 t-80,5 =7,75 t =7,5 t =5 De 7 e of de 7 e is de langste dag en de 5 e dag is de kortste dag. 65 e. D'(80) 0,0775cos( (80-80,5)) 0,0775 uren per dag. De daglengte neemt met 0,0775 uur (ongeveer,6 minuten) op die dag toe. G-. a. De helling f'(0) =. De raaklijn is dus y = x. b. Er is één snijpunt als a > of als a < -0,76. (benaderd) c. Twee snijpunten komt nooit voor. d. Zeven snijpunten heb je als (bij benadering) 0,07 < a < 0,8 G-. a. Dat komt niet voor; wel staan ze elke,8 dagen in één lijn met Jupiter en met elkaar. b. Ze staan niet steeds aan dezelfde kant; hun omlooptijden verhouden zich als :. Op het moment t =,8 bijvoorbeeld is Io als weer terug in de uitgangspositie, terwijl Europa een half rondje heeft gemaakt. c. Om de 7, dagen staat Ganymedes in één lijn met Jupiter, Io en Europa. d. Io zie je het snelst bewegen. I'(0)=7 het grootst. Opmerking van je docent: als het op een winteravond helder is, kun je met een gewone verrekijker de manen van Jupiter zien. Een indrukwekkend gezicht. Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - 9 -