Didactische wenken bij het onderdeel analyse

Transcriptie

1 Didactische wenken bij het onderdeel analyse Didactische wenken bij het onderdeel analyse 1/21 1. Eindtermen analyse Eindtermen ASO tweede graad ET 22 3 (4) aspecten van een functie ET 23 Standaardfuncties ET 24 Transformaties van grafieken ET 25 Precalculus-informatie aflezen uit grafiek ET 26 1stegraadsfunctie: van tabel, grafiek naar voorschrift ET 33 y = ax + b, in toepassingen: a? b? ET 27 Ongelijkheden 1ste en 2de graad ET 30 Snijpunten van rechten en parabolen ET 31 Problemen beschreven door 1ste en 2de graadsfuncties ET 32 Di erentiequotiënt Didactische wenken bij het onderdeel analyse 2/21

2 1. Eindtermen analyse Eindtermen TSO - KSO tweede graad Tabellen en grafieken ET 16,17 Tabel opstellen, grafiek tekenen in contextsituatie ET 18 Tabel en grafiek interpreteren ET 19 Onderlinge ligging van twee grafieken Omgaan met formules ET 20 Verbanden beschrijven met formules E ect van ene variabele op andere ET 21 Berekenen waarde voor variabele met formule Samenhang tussen tabellen, grafieken formules ET 22 3 (4) aspecten van een functie Eerstegraadsfuncties ET 23 Tekenen grafiek 1stegraadsfunctie ET 24 Info aflezen uit grafiek 1stegraadsfunctie Didactische wenken bij het onderdeel analyse 3/21 1. Eindtermen analyse Eindtermen ASO derde graad ET 14 ET 15-18,20 ET 19 ET ET 26 ET ET 31 ET 32 Info aflezen uit grafiek Afgeleiden van veeltermfuncties Afgeleiden herkennen buiten de wiskunde Exponentiële en logaritmische functies, precalculus Invoeren radialen Grafisch onderzoek van goniometrische functies Problemen wiskundig modelleren Tabellen en grafieken als hulpmiddel voor functievoorschriften, vergelijkingen en ongelijkheden Didactische wenken bij het onderdeel analyse 4/21

3 1. Eindtermen analyse Specifieke eindtermen ASO derde graad ET 6 ET 7 ET 8 ET 9 ET 10 ET 11 ET 12 Onderzoek verloop functies. Theoretische onderbouw begrippen uit analyse Eerste en tweede afgeleide Bepaalde en onbepaalde integraal Problemen wiskundig modelleren Gebruik van rekenregels, formules en manuele rekentechnieken Gebruik ict Didactische wenken bij het onderdeel analyse 5/21 1. Eindtermen analyse Eindtermen TSO-KSO derde graad ET 10 ET 11 ET 12 ET 13 Info aflezen uit grafiek, eventueel aangevuld met tabellen Grafiek tekenen van eenvoudige functies, evt. m.b.v. ict Veranderingen a.d.h.v. di erentiequotiënten Problemen met gegeven functioneel verband oplossen Didactische wenken bij het onderdeel analyse 6/21

4 2. Twee rode draden Soorten functies Veeltermfuncties Rationale functies Irrationale functies Goniometrische functies Cyclometrische functies Exponentiële functies Logaritmische functies Onderzoeksmiddelen Precalculus domein bereik Calculus nulwaarden tekenonderzoek even/oneven,... continuïteit, limieten, afgeleiden, integralen,... Didactische wenken bij het onderdeel analyse 7/21 3. Leerplannen Stevige aanzet analyse in tweede graad! Laten renderen in derde graad Het verweven van de rode draden: GO! versus VVKSO VVKSO: precalculus alle functies, daarna calculus GO!: precalculus veeltermfuncties en rationale functies, daarna calculus Reële rijen en reeksen: analyse of discrete wiskunde? Didactische wenken bij het onderdeel analyse 8/21

5 4. Functie als concept Empirische functie $ Wiskundige functie Formele definitie reële functie Formele definitie versus conceptuele betekenis Statisch en dynamisch karakter De functiemachine Voorstellingen van een functie! eindtermen: 3 (4) aspecten Bijzondere functies: afbeelding, injectie, bijectie Didactische wenken bij het onderdeel analyse 9/21 5. Aspecten van een functie: tabel, grafiek en voorschrift Grafiek Functie Tabel Voorschrift Doel: Keuze geschikte representatie Vlot overstapen van ene naar andere representatie Andere representaties van een functie: Venn-diagram Pijlenketting Nomogram Pijlendiagram Didactische wenken bij het onderdeel analyse 10 / 21

6 6. Terminologie en notaties f : R! R : x 7! f (x) =y of f = (x, y) 2 R 2 y = f (x) Voorschrift: y =... of f (x) =... ; argument en beeld Grafiek 6= functie, voorschrift 6= functie, grafiek 6= voorschrift! Gebruik passende terminologie Nulwaarde: abscis van het snijpunt van de grafiek met de x-as! VVKSO: nulpunt 6= snijpunt Veelterm - vergelijking - voorschrift Inverse relatie - inverse functie: notatie f 1 Abusievelijke notaties: sin 2 x, ln 2 x, f 1 Formeel rekenen Didactische wenken bij het onderdeel analyse 11 / Tweede graad: transformaties van grafieken Standaardfuncties, functies met voorschriften y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 x, y = p x Wijzigingen van voorschriften! invloed op grafiek y = f (x)+k, y = f (x + k), y = k.f (x) Onderzoekend leren m.b.v. ict Eerst verticaal verschalen, dan pas verticaal verschuiven Functie met voorschrift y = x niet geschikt om verschillende wijzingen te illustreren VVKSO, sommige leerplannen TSO: uitgebreide sinusfunctie Ict! y = f (k.x)? Focus op kenmerkende punten: top, buigpunt, snijpunt asymptoten Didactische wenken bij het onderdeel analyse 12 / 21

7 8. Wijzigen of omvormen van voorschriften van functies Vereenvoudigen of omvormen van voorschriften van functies 1 f (x) = x 2 3x +2 x 1 2 g(x) = x 3 + x x h(x) = (x + 2)p x p x 4 k(x) =ln x 1 x +1 Didactische wenken bij het onderdeel analyse 13 / Continuïteit, limieten en afgeleiden Het begrip continuïteit in de leerplannen Definitie van limieten en continuïteit Intuïtieve definitie via grafiek en tabel Definitie via reële rijen - -definities Twee varianten Functie continu in 1? lim x!0 p x Stelling van Bolzano of tussenwaardenstelling Onbepaaldheden 1 1, 0.1, 0 0, 1 1, 11, 1 0, 0 0 Didactische wenken bij het onderdeel analyse 14 / 21

8 9. Continuïteit, limieten en afgeleiden Afgeleid getal, afgeleide : vaak terugvallen op meetkundige betekenis DE afgeleide $ EEN primitieve Notaties f 0 = Df = df dx Opsporen van extrema m.b.v. afgeleiden:...) f bereikt een extremum in a Buigpunt van de grafiek van een functie Extremumvraagstukken: gegeven, gevraagd, oplossing, antwoord Regel van l Hôpital Theorie: welke bewijzen? hoe anders theorie ondervragen? Greep op grafieken d.m.v. rechten: globaal! asymptoten lokaal! raaklijnen Didactische wenken bij het onderdeel analyse 15 / Veeltermfuncties Omgekeerde vragen: grafiek! voorschrift Bibliotheek aan grafieken opbouwen Via transformaties: alle veeltermfuncties met graad 0, 1 en 2, maar niet alle hogeregraadsfuncties Omgekeerde vragen: tabel! voorschrift x y Didactische wenken bij het onderdeel analyse 16 / 21

9 11. Rationale functies domf = R \{nulwaarden noemer} Nulwaarden noemer! verticale asymptoten of perforaties. Onderscheid? Tekenverloop: geen kerkhof Limieten: cloak of invisibility Horizontale en schuine asymptoten Vergelijking van de graden teller en noemer Euclidische deling Aantal asymptoten Didactische wenken bij het onderdeel analyse 17 / Irrationale functies domf kan bestaan uit deelintervallen Nulwaarden: oplossen irrationale vergelijkingen Limieten: regel HGTN0 (hoogstegraadstermen niet nul) Asymptoten Formules van Cauchy Aantal asymptoten Didactische wenken bij het onderdeel analyse 18 / 21

10 13. Goniometrische en cyclometrische functies Radialen! Zowel redeneren op grafiek als op goniometrische cirkel Algemene sinusfunctie met voorschrift y = a sin(b(x Voortbouwen op transformaties tweede graad. Selectie eenheidscel c)) + d Cyclometrische functies als inverse van goniometrische functies met beperkt domein Didactische wenken bij het onderdeel analyse 19 / Exponentiële en logaritmische functies Rekenregels Groeiprocessen forfaitaire groei! lineair procentuele groei! exponentieel Limieten: grafische ondersteuning Toepassingen: logaritmische schaal bv. geluidsniveau N (db) N = log I Didactische wenken bij het onderdeel analyse 20 / 21

11 15. Integralen Volgorde? Eerst bepaalde integraal (ondersom, bovensom, Riemannsom), dan onbepaalde integraal (verzameling van primitieve functies); verband: middelwaardestelling en hoofdstellingen Eerst onbepaalde integraal, dan bepaalde integraal Georiënteerde oppervlakte Meetkundige toepassingen: inhoud van omwentelingslichaam, booglengte van een vlakke kromme, manteloppervlakte van een omwentelingslichaam Stelling van Guldin Didactische wenken bij het onderdeel analyse 21 / 21