5. berekenen van limieten en asymptoten

Transcriptie

1 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten. berekenen van ieten en asymptoten.. inleiding Algebraïsche uncties zijn uncties die geconstrueerd kunnen worden met enkel de constante en identieke unctie, en de bewerkingen som, verschil, product, quotiënt, veelvoud, macht en worteltrekking. Uit vorig hoodstuk weten we dat de constante en de identieke unctie continu zijn en dat al deze bewerkingen de continuïteit bewaren. Bijgevolg zijn algebraïsche uncties altijd continu op hun domein. Voor elk (niet-geïsoleerd) punt van het domein is de iet dus gelijk aan het beeld. Het eerste wat we dan ook altijd doen bij het zoeken van een iet is het beeld zoeken. Als dat bestaat, is dat meteen ook de iet. Als we het beeld niet vinden, krijgen we een goede aanduiding van wat we moeten doen om de iet te vinden... ieten van veeltermuncties... VOORBEELD : :. Het domein is, zoals bij alle veeltermuncties,, en dus hoeven we alleen een iet te zoeken in + en in -. In alle andere punten is de iet gelijk aan het beeld. We zoeken de iet naar + m.b.v. eigenschappen : en de iet naar - : - -

2 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten niet gedeiniee rd Nochtans, als je de graiek maakt, zie je dat ook de iet in - zou moeten gelijk zijn aan +. We gaan dus op een andere manier op zoek. Als we de hoogstegraadsterm buitenzetten, blijkt de iet van wat overblijt tussen de haakjes, altijd gelijk te zijn aan. De iet van onze veeltermunctie is dus gewoon gelijk aan de iet van de hoogstegraadsterm, en die kan nooit een onbepaaldheid opleveren. Dat systeem kunnen we nu dus altijd toepassen. Boven het gelijkheidsteken schrijven we dan. Ook de iet in + gaan we vana nu zo zoeken, ook al leverde de vorige methode de oplossing. We krijgen :... REGEL De iet van een veeltermunctie in + o in - is de iet van de hoogstegraadsterm. - -

3 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten ieten van rationale uncties... VOORBEELD 7 : :. Het domein is, zoals bij alle rationale uncties, \{nulpunten van de noemer}, en dus zoeken we de ieten in + en in -, en in de nulpunten van de noemer. In alle andere punten is de iet gelijk aan het beeld. De ieten in + en in - gebruiken hetzelde systeem als bij veeltermuncties, want rationale uncties zijn quotiënten van veeltermuncties Volledig analoog vinden we dezelde iet in -. De nulpunten van de noemer zijn - en. Ook daar berekenen we de iet. We proberen altijd eerst met invullen. Dat leert ons o we een iet hebben van de vorm teller over o van de vorm over. Beiden vragen een verschillende oplossingsmethode. 7 Deze laatste iet is zeker. Een tekenschema leert ons dat er een linker- en een rechteriet aan te pas komt.

4 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten () - + De etra actor heet geen invloed meer op het resultaat, en dus besluiten we : en Deze laatste iet is zeker. Een tekenschema bepaalt het teken () + + We besluiten : 7... LIMIET IN ± De iet van een rationale unctie in + o in - is de iet van het quotiënt van de hoogstegraadstermen. Vergeet niet te vereenvoudigen! - -

5 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten... LIMIET IN EEN NULPUNT VAN DE NOEMER DAT GEEN NULPUNT IS VAN DE TELLER De iet van een rationale unctie in een nulpunt van de noemer dat geen nulpunt is van de teller, is altijd. Het teken wordt bepaald door een tekenschema. Daarbij kan de iet uiteenvallen in een linker- en een rechteriet.... VOORBEELD 8 : :. De nulpunten van de noemer zijn en. Het nulpunt is geen nulpunt van de teller en de iet daarvan zoeken we zoals in vorig voorbeeld. is echter nulpunt van de noemer én van de teller. Dat merken we als we invullen. We krijgen een derde methode. 8 OIF We hebben de oorspronkelijke unctie vervangen door een continue vervanging. De iet van de oorspronkelijke unctie in het punt is gelijk aan het beeld van van de continue vervanging. We moeten dus enkel nog invullen : LIMIET IN EEN NULPUNT VAN DE NOEMER DAT OOK NULPUNT IS VAN DE TELLER De iet van een rationale unctie in een nulpunt van de noemer dat ook nulpunt is van de teller, is gelijk aan het beeld van de continue vervanging van die unctie. Ontbind daartoe de unctie in actoren en schrap de gemeenschappelijke actoren van teller en noemer. - -

6 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten.. oeeningen... bereken van volgende veeltermuncties de ieten in ± a) : : b) : : c) : : 7 8 d) : : 8... bereken van volgende rationale uncties de ieten in ± en in de gegeven punten a) b) c) d) e) ) g) : : 6 in en 8 : : 6 in - en : 6 : in en 7 : : in en 8 : : in - en 8 : : in - en : : in - en zoek nu zel de punten h) : : - 6 -

7 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten ieten van irrationale uncties... LIMIET IN EEN NULPUNT VAN DE NOEMER DAT GEEN NULPUNT IS VAN DE TELLER De iet van een irrationale unctie in een nulpunt van de noemer dat geen nulpunt is van de teller, is altijd. Het teken wordt bepaald door een tekenschema. Meestal is er enkel een linker- o enkel een rechteriet.... VOORBEELD 6 : :. De nulpunten van de noemer zijn en. We zoeken daar de ieten Deze laatste iet is zeker. Een tekenschema bepaalt het teken. We besluiten : 6. Uit hetzelde tekenschema volgt : 6 6 en dus : () + +

8 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten LIMIET IN EEN NULPUNT VAN DE NOEMER DAT OOK NULPUNT IS VAN DE TELLER De iet van een irrationale unctie in een nulpunt van de noemer dat ook nulpunt is van de teller, is gelijk aan het beeld van de continue vervanging van die unctie. Ontbind daartoe de unctie in actoren en schrap de gemeenschappelijke actoren van teller en noemer. Als het ontbinden problemen oplevert, vermenigvuldigen we teller en noemer met de toegevoegde.... VOORBEELDEN : :. Het nulpunt van de noemer is. Dit is echter nulpunt van de noemer én van de teller. Dat merken we als we invullen. TGV 6 OIF. : : Het nulpunt van de noemer is. TGV OIF 6 6

9 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten Opnieuw brengt een tekenschema de oplossing () + + We besluiten :.... LIMIET IN ± De iet van een irrationale unctie in + o in - is de iet van (het quotiënt van) de hoogstegraadsterm(en). Vergeet niet te vereenvoudigen indien mogelijk! Als de hoogstegraadstermen problemen opleveren, vermenigvuldigen we met de toegevoegde...6. VOORBEELDEN want - - -

10 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten.6. oeeningen.6.. bereken van volgende irrationale uncties de ieten in ± (indien mogelijk) en in de gegeven punten a) b) c) : : 6 in : : 6 in en : : in d) : : in 8 e) 8 : : in - en zoek nu zel de punten ) g) : : : : bereken van volgende irrationale uncties de ieten in ± a) : : b) : : c) : : d) : : a b e) : : 6 ) : : - -

11 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten g) : :.6.. bereken van volgende uncties de ieten in de ophopingspunten van het domein die niet tot het domein behoren a) : : b) : : c) : : 6 d) : 6 : 6 e) : : ) : : 6 g) : : h) : : i) : : 6 6 j) : : 7 - -

12 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten a.6.. bereken als a a a) : : 7 b) : : c) d) : : : : n e) : : ) : :.6.. a 7 : :. Als, bereken dan a en deze iet a b : : bereken dan a en b en deze laatste iet.. Als en,.6.7. a b : : 6 b.. Als, bereken dan a en.6.8. bereken van volgende rijen de ieten a) n t : IN : n n b) c) t : IN : n t : IN : n n 7n n n d) t : IN : n n n - -

13 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten.7. asymptoten.7.. HORIZONTALE EN VERTICALE ASYMPTOTEN : VOORBEELD : :. Dom = \{-,} We zoeken de ieten in -, -, en + deze iet valt uiteen in een linker- en een rechteriet : 7 De betekenis van deze ieten is belangrijk : langs links begint de unctie op hoogte - op breedte - gaat de unctie langs links helemaal naar beneden; langs rechts begint ze helemaal boven op breedte hebben we een gat ; de unctie is doorboord en 7 kan opgevuld worden met het punt, langs rechts eindigt de unctie op hoogte - We zeggen dat de unctie in - een verticale asymptoot heet en een horizontale asymptoot op hoogte -. We zien dit ook op de graiek : een asymptoot raakt op oneindig. - -

14 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten VA : = - en HA : y = SCHUINE ASYMPTOTEN : VOORBEELD : :. Dom = \ We zoeken de ieten in -, en +, - -

15 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten Er is opnieuw duidelijk een verticale asymptoot in =, maar langs links en rechts gaat de unctie oneindig laag en oneindig hoog. Er is dus geen horizontale asymptoot. Dit wordt bevestigd op de graiek : We zien nu echter een schuine asymptoot met vergelijking y. Deze asymptoot vinden is niet zo gemakkelijk. We gebruiken volgende deinitie..7.. ASYMPTOTEN : DEFINITIES De rechte met vergelijking = a is een verticale asymptoot bij de graiek van de unctie asa o a a De rechte met vergelijking y = b is een horizontale asymptoot bij de graiek van de unctie asa b o b De rechte met vergelijking y = a + b is een schuine asymptoot bij de graiek van de unctie asa a b o a b - -

16 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten Schuine asymptoten kan je enkel vinden als je de getallen a en b kan vinden. Daarvoor bestaan volgende ormules : a en b a bewijs Als y = a + b een SA is, dan zal het verschil tussen deze rechte en de unctie in oneindig, nul worden. Noem V a b dan is a V b en V. Dan is : a a V b Verder is : b a V en dus is : b b a V a.7.. HET AANTAL ASYMPTOTEN Verticale asymptoten kunnen alleen voorkomen in nulpunten van de noemer. Er kunnen dus maimaal zoveel VA zijn als de graad van de noemer. Het aantal horizontale en schuine asymptoten samen kan hoogstens twee zijn, want er zijn alleen in - en in + ieten te zoeken..7.. NOG ENKELE VOORBEELDEN : : met dom = ]-,-] U [,+ [ VA : geen : het enige nulpunt van de noemer valt buiten het domein HA : twee ieten zoeken y = - y = SA : er zijn reeds twee horizontale asymptoten - 6 -

17 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten : : VA : geen noemer, dus geen verticale asymptoten HA : twee ieten zoeken geen HA geen HA SA : nog twee schuine asymptoten mogelijk a b TGV SA : y = - + a b TGV SA : y = - 7 -

18 hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten.8. oeeningen.8.. bereken alle asymptoten van volgende uncties a) : : b) c) d) : : : : : : 6 e) : : 7 ) : : g) : : h) : : 6 i) : : 8 j) : : cot.8.. als de unctie : : een asymptoot heet a a 6 met vergelijking =, bereken dan a en alle andere asymptoten. b.8.. als de unctie : : twee asymptoten heet a b 6 met vergelijkingen = en y =, bereken dan a en b en alle andere asymptoten. a als de unctie : : twee asymptoten heet b a 6 met vergelijkingen = - en =, bereken dan a en b en alle andere asymptoten