WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE

Transcriptie

1 WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE

2 inhoud 1 Algemene grondbegrippen Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling Operaties op verzamelingen De verzameling van de reele getallen R De reele getallen en hun eigenschappen Ordening van getallen, ongelijkheid, absolute waarde Deelverzamelingen en intervallen Vergelijkingen Lineaire vergelijkingen Tweedegraads vergelijkingen Vergelijkingen van de derde en hogere graad Wortelvergelijkingen Modulusvergelijkingen Ongelijkheden Stelsels lineaire vergelijkingen Een voorbeeld als inleiding De eliminatiemethode van Gauss Een voorbeeld van een toepassing: de berekening van een elektrisch netwerk Het binomium van Newton Opgaven 38 2 Vectoralgebra Basisbegrippen Definitie van een vector Gelijkheid van vectoren Parallelle, anti-parallelle en collineaire vectoren Vectoroperaties Rekenen met vectoren in het platte vlak Het ontbinden van een vector in componenten Vectoroperaties Het inwendig product van twee vectoren Lineair onafhankelijke vectoren Een voorbeeld van een toepassing: de resultante van een in een vlak werkend krachtensysteem Rekenen met vectoren in de 3-dimensionale ruimte Het ontbinden van een vector in componenten Vectoroperaties Het inwendig product van twee vectoren Het uitwendig product (of uitproduct) van twee vectoren 84

3 viii Inhoud Blokproduct Lineair onafhankelijke 2.4 Toepassingen in de meetkunde 99 vectoren De vectorvoorstelling van een Iijn Vectorvoorstelling van een vlak Opgaven Functies en krommen Definitie en voorstelling van een functie Definitie van een functie Voorstelling van een functie Eigenschappen van functies Nulpunten Symmetrie Monotonie Periodiciteit Inverse functies Coördinatentransformaties Een voorbeeld als inleiding Translatie van een cartesisch coördinatenstelsel De transformatie van cartesische coördinaten in poolcoördinaten Limiet en continu'iteit van een functie Rijen reele getallen Limiet van een functie Continu'iteit van een functie Discontinui'teiten (gaten, polen, sprangen) Polynoomfuncties (veeltermen) Definitie van een polynoomfunctie Constante en lineaire functies Tweedegraads functies Polynoomfuncties van een hogere graad Het Hornerschema en het berekenen van de nulpunten van eenpoiynoom Interpolate met polynomen Een toepassingsvoorbeeld: buigingslijn (elastische lijn) van een balk Gebvoken rationale functies Definitie van een gebroken rationale functie Nulpunten, polen,'gaten'in het domein Het asymptotisch gedrag van een rationale functie als x oneindig groot wordt Een toepassing: de capaciteit van een bolcondensator Machtsfuncties en wortelfuncties Machtsfuncties met gehele exponenten Wortelfuncties Machtsfuncties met rationale exponenten Toepassingsvoorbeeld: de versnelling van een elektron in een elektrisch veld 219

4 Inhoud ix 3.8 Vergelijkingen van kegelsneden Weergave van een kegelsnede door een algebraische vergelijking van de tweede graad met constante coefficienten Decirkel Deellips Dehyperbool Deparabool Voorbeelden van kegelsneden Goniometrische lunettes Basisbegrippen Sinus-en cosinusfunctie Tangens-en cotangensfunctie Belangrijke relaties tussen de goniometrische functies Toepassingen Cyclometrische functies Het inverteren van de goniometrische functies De functie arcsinus De functie arccosinus De functies arctangens en arccotangens Goniometrische vergelijkingen Exponentiele functies Basisbegrippen Definitie en eigenschappen van exponentiele functies Speciale functietypen die vaak toegepast worden Logaritmische functies Basisbegrippen Definitie en eigenschappen van logaritmische functies Exponentiele en logaritmische vergelijkingen Hyperbolische functies en inverse hyperbolische functies Hyperbolische functies Areafuncties Opgaven Differentiaalrekening Differentieerbaarheid van een functie Hetprobleemvanderaaklijnaaneenkromme De afgeleide van een functie De afgeleiden van de elementaire functies Regels voor het differentieren De factorregel Desomregel De productregel De quotientregel De kettingregel Combinatie van meerdere regels voor het differentieren Logaritmisch differentieren 326

5 X Inhoud De afgeleide van een inverse fundie Het differentieren van impliciete nineties De differentiaal van een fundie Hogere afgeleiden De afgeleide van een fundie (kromme) in parametervoorstelling De afgeleide van een in poolcoördinaten gegeven functie (kromme) Eenvoudige voorbeelden van toepassingen in de natuurkunde en de techniek Toepassingen van de differentiaalrekening Raaklijnen en normalen Linearisering van een functie Monotonie en kromming van een grafiek (kromme) Karakteristieke punten van een kromme Extreembepalingen Onderzoek van krommen Het oplossen van een vergelijking met de benaderingsmethode van Newton-Raphson Opgaven Integraalrekening Integreren als inverse operatie van differentieren Het bepalen van een oppervlakte: de bepaalde integraal Het probleem van het bepalen van een oppervlakte (een voorbeeld) De bepaalde integraal De onbepaalde integraal en de oppervlaktefunctie De hoofdstelling van de differentiaal- en integraalrekening Stamintegralen Het berekenen van een bepaalde integraal met een primitieve fundie Elementaire integratieregels Integratiemethoden De substitutiemethode Parti ele integratie Integreren van gebroken rationale functies door middel van breuksplitsing Numerieke integratiemethoden Oneigenlijke integralen Oneindig integratie-interval integrand met oneindige functiewaarde (pool) Toepassingen Eenvoudige voorbeelden uit de natuurkunde en de techniek Oppervlakte Volume van een omwentelingslichaam Booglengte van een vlakke kromme Oppervlakte van een omwentelingslichaam (ornwentelingsoppervlakken) Arbeid en energie 493

6 Inhoud xi Lineaire en kwadratische gemiddelden Het zwaartepunt van homogene vlakken en lichamen Massatraagheidsmomenten Opgaven Oneindige reeksen, machtreeksen en Taylorreeksen Oneindige reeksen Een voorbeeld als inleiding Basisbegrippen Convergentiecriteria Eigenschappen van convergente resp. absoluut convergente reeksen Machtreeksen Definitie van een machtreeks Convergentiegedrag van een machtreeks Eigenschappen van machtreeksen Taylorreeksen Een voorbeeld als inleiding Machtreeksontwikkeiing van een functie Toepassingen Een voorbeeld van een toepassing: vrije val waarbij rekening wordt gehouden met de luchtweerstand Opgaven Complexe getallen en functies Definitie en weergave van een complex getal Definitie van een complex getal Het complexe vlak Verdere basisbegrippen Voorstelling van een complex getal Complex rekenen De vier basisbewerkingen voor complexe getallen Machtsverheffen Worteltrekken De natuurlijke logaritme Toepassingen van de complexe rekenwijze Symbolische voorstelling van trillingen in een wijzerdiagram Symbolische berekening van een wisselstroomkring Plaatskrommen in het complexe vlak Een inleidend voorbeeld De baan van een parameterafhankelijke complexe grootheid Toepassingsvoorbeelden: eenvoudige netwerkfuncties Inversie van een plaatskromme Opgaven 667 Register 673

7 xii Inhoud Appendix A: Oplossingen van de opgaven Beschikbaar via A.l Algemene grondbegrippen al A.2 Vectoralgebra a7 A.3 Functies en krommen al7 A.4 DifFerentiaalrekening a32 A.5 Integraalrekening a40 A.6 Oneindige reeksen, machtreeksen en Taylorreeksen a57 A.7 Complexe getallen en functies a69