Delta Nova 5. Didactische wenken. Analyse deel lesuren. N. Deloddere N. De Wilde R. Op de Beeck Y. Paduwat P. Tytgat

Transcriptie

1 Delta Nova 5 Analyse deel lesuren Didactische wenken N. Deloddere N. De Wilde R. Op de Beeck Y. Paduwat P. Tytgat

2

3 Algemeen De structuur van de hoofdstukken biedt kansen om leerlingen actiever bij de lessen te betrekken. Via goed gekozen instapopdrachten kunnen leerlingen zelf eigenschappen ontdekken of aanknopingspunten vinden met wat ze al kennen. Niet alle instapopdrachten zullen door de leerlingen zelfstandig gevonden worden. Die opdrachten kunnen hun doel bereiken als ze gestuurd worden door de leerkracht. De moeilijkheidsgraad van de verwerkingsopdrachten wordt systematisch opgebouwd. Het is voor deze leerlingen belangrijk om voldoende eerste-reeksoefeningen te maken vooraleer de complexere problemen aan bod te laten komen. Een beperkt aantal verwerkingsopdrachten staat onmiddellijk na de theorie; deze dienen om de nieuwe begrippen en eigenschappen vast te zetten. Op het einde van het hoofdstuk vind je dan een veelheid aan opdrachten per paragraaf, ingedeeld in drie reeksen. Binnenklasdifferentiatie is met het aangeboden materiaal perfect mogelijk, aangezien voor elke paragraaf ook voldoende moeilijker opdrachten zijn opgenomen voor leerlingen die de basis sneller verwerken. De studiewijzers geven hen voldoende houvast om op eigen kracht de gepaste moeilijke oefeningen te selecteren. De herhalingsopdrachten op het einde van elk hoofdstuk kunnen door de leerlingen gebruikt worden als oefenmateriaal ter voorbereiding van summatieve toetsen of examens. Ze kunnen ook als basis dienen voor groepswerken in de klas. De nadruk ligt sterk op probleemoplossende vaardigheden, wat niet betekent dat het rekentechnische verwaarloosd wordt. Het is de bedoeling om door afwisselende opdrachten een veelheid aan wiskundige vaardigheden te ontwikkelen. Daarom dat ook voldoende grafische opdrachten zijn opgenomen. Met de studiewijzers willen we leerlingen enerzijds een overzicht geven van wat ze per paragraaf moeten kennen (theorie, formules) en kunnen (rekenvaardigheden, types opdrachten). Door hier telkens opdrachten bij te vermelden, willen we hen anderzijds ook stimuleren om zelfstandig extra oefeningen te maken, zowel in de klas als thuis. Dit laat leerlingen ook toe om aan hun eigen tempo opdrachten te maken in de klas. De studiewijzers zijn ook in Word-formaat beschikbaar via Knooppunt, mocht je een aangepaste versie willen maken. 3

4 Opbouw van het boek Waarom een gewijzigde opbouw? De opbouw van het boek is ontstaan na het raadplegen en afwegen van suggesties in verschillende bronnen. Vooreerst is er het leerplan, dat ook als inspiratiebron fungeerde voor de vernieuwde opbouw van de vorige uitgave van Delta 5 Analyse 6-8u Deel 2: Voor de studie van afgeleiden en limieten is de spiraalaanpak bekend. Bij veeltermfuncties maken de leerlingen kennis met de betekenis van een afgeleide. De berekeningen zijn nog eenvoudig, maar toepassingen zoals vraagstukken over extrema worden al behandeld. Ingewikkeldere rekenregels komen pas aan bod bij die functies waar ze nuttig voor zijn. Het voordeel van deze aanpak is dat er meer aandacht kan gaan naar de betekenis en de toepassingen van afgeleiden. (p. 38, onze onderlijning) De theoretische volgorde is eerst limieten en dan afgeleiden, omdat het begrip limiet gebruikt wordt in de definitie van het begrip afgeleide. Men staat voor een keuze, want anderzijds heeft men, om de betekenis van het begrip afgeleide te begrijpen, geen formele limietdefinitie en rekentechnieken voor het berekenen van limieten nodig. Een intuïtief begrip van limiet volstaat. Dat limietbegrip kan vrij eenvoudig ontstaan vanuit een aantal tabellen van functiewaarden waarbij de idee van (het dubbel en geconditioneerd) naderen naar wordt ingebouwd. Ook bij deze leerlingen kan dus gestart worden met afgeleiden zonder een lang verdiepend hoofdstuk over limieten ter voorbereiding. [ ]. Verdere wiskundige verfijningen kunnen later besproken worden bij ingewikkeldere functies. Precies de intuïtievere aannames uit voorgaand proces kunnen vanuit een wiskundig kritische ingesteldheid de aanleiding zijn om dit achteraf grondiger te onderzoeken. (p. 39, onze onderlijning) Ook in andere leerboeken wordt de opbouw van sommige leerstofonderdelen soms opgesplitst in een informeel en formeel deel. Dit gebeurt bijvoorbeeld voor limieten in het boek Calculus van Howard Anton (5 e editie, ISBN ). Verder verscheen in het didactisch wiskundetijdschrift Uitwiskeling het schitterende artikel Begrippen definiëren in de analyse (UW 25/4), waarin een doordachte opbouw in meerdere fasen werd uitgewerkt. Dit artikel geeft een mooie, didactisch doordachte uitwerking van de ideeën uit het leerplan en vormde daarom een belangrijke inspiratiebron. Kenmerkend voor al deze bronnen is dat het verwerven van inzicht de hoofdbekommernis is om het begrip afgeleide naar voor te schuiven. Aangezien het hierbij niet de bedoeling is de moeilijkere aspecten te vermijden, maar gewoon te verplaatsen naar een geschikter ogenblik voor de leerling, hebben we gezocht naar een nieuwe opbouw die een snel conceptueel inzicht en een hoog wiskundig niveau, ook voor 8u-leerlingen, combineert. 4

5 De nieuwe opbouw Hieronder vindt u een beknopt overzicht per hoofdstuk, met naast de tekst de hoofdparagrafen en, wanneer nuttig, subparagrafen. Niet alle subparagrafen zijn dus vermeld. Deel I Het boek begint met een informeel eerste deel, waarin het limietbegrip nog niet wordt gedefinieerd. In hoofdstuk 6 wordt de afgeleide f ( a ) gedefinieerd als richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in P(a, f(a)). De afgeleide is in deze fase een grafisch concept, dat verband houdt met ogenblikkelijke verandering. Het algebraïsch berekenen van de afgeleide gebeurt via het differentiequotiënt van f en x, waarbij het naderen van x tot a intuïtief gebeurt. Door het limietbegrip nog niet te funderen in rijen of ε-δ-definities, kan de afgeleide sneller worden ingevoerd en kunnen leerlingen in een achttal lessen veeltermfuncties afleiden, hoeken tussen krommen bepalen en fysische toepassingen met behulp van afgeleiden oplossen. H6 Afgeleiden van veeltermfuncties 6.1 Afgeleide in een punt 6.2 Afgeleide functie 6.3 Afgeleiden van veeltermfuncties 6.4 Enkele toepassingen op afgeleiden 1 Hoeken tussen twee snijdende krommen 2 Rakende krommen 3 Snelheid en versnelling H7 Verloop van veeltermfuncties 7.1 Stijgen, dalen, extrema en afgeleiden 7.2 Extremumproblemen 7.3 Hol en bol, buigpunten 7.4 Verloop van veeltermfuncties In hoofdstuk 7 wordt het verloop van veeltermfuncties bestudeerd, waarbij het hol en bol verloop meteen zorgt voor een zinvolle toepassing van de tweede afgeleide. Ook extremumproblemen, die in Deel 1 al geregeld aan bod kwamen, worden nu exact opgelost via een tekentabel van de eerste afgeleide van de te maximaliseren of minimaliseren grootheid. Na deze twee korte hoofdstukken zijn al heel wat facetten van de afgeleide aan bod gekomen: ogenblikkelijke verandering, richtingscoëfficiënt van de raaklijn, maat voor het stijgen en dalen of hol en bol verloop van een functie, middel om extrema en buigpunten te ontdekken, instrument om snelheid af te leiden uit de positie en versnelling uit snelheid of positie In de hoofdstukken 9 en 10 komen al deze aspecten een tweede keer aan bod, maar nu toegepast op rationale en irrationale functies. Het is de bedoeling dat deze dubbele behandeling voor een grondiger inzicht in de verschillende aspecten van de afgeleide zorgt, dan wanneer ze slechts één keer aan bod komt, in de laatste hoofdstukken van het boek. Vanuit de eindtermen beschouwd, realiseert dit eerste deel de algemene eindtermen rond dit onderwerp. De specifieke eindtermen komen aan bod in het tweede deel. 5

6 Deel II In de inleiding van Deel II ontdekken de leerlingen dat er functies zijn waarvoor het niet meteen duidelijk is of ze al dan niet een afgeleide hebben in een bepaald punt. Aangezien ze op dat ogenblik al vertrouwd zijn met de verschillende betekenissen van de afgeleide, kunnen ze beter aanvoelen waar het schoentje wringt, dan wanneer dit als inleiding van het boek was vermeld. H8 Limieten en continuïteit 8.1 Limieten 1 Notatie en informele omschrijving (V) 2 ε-δ-definitie (V) 3 Formele definities van andere limieten (V) 4 Limieten en ongelijkheden 8.2 Limieten berekenen 8.3 Asymptoten en limieten 1 Verticale asymptoten 2 Horizontale en schuine asymptoten 8.4 Continuïteit 8.5 Eigenschappen van continue functies (V) Hoofdstuk 8 bereidt de oplossing voor van de problemen die in de inleiding van Deel II werden aangestipt: het intuïtieve limietbegrip wordt ingeruild door de formele ε-δdefinities en wordt aangevuld met een aantal rigoureus bewezen eigenschappen. De rekenregels voor eindige en oneindige limieten worden aangebracht en (sommige) bewezen, met bijzondere aandacht voor het omgaan met onbepaaldheden. Er wordt van de gelegenheid gebruik gemaakt om asymptoten te definiëren op basis van limieten en deze nu ook voor irrationale functies te bepalen. Ook continuïteit wordt in dit hoofdstuk ingevoerd. Verschillende eigenschappen van continue functies, zoals bijvoorbeeld de stelling van Weierstrass of de tussenwaardestelling, zijn enkel nodig voor wie ook in hoofdstuk 10 alle eigenschappen rigoureus wil bewijzen. De meeste bewijzen in dit hoofdstuk zijn verdiepingsleerstof, wat telkens met een V in de tekst wordt aangegeven. In hoofdstuk 9 worden de problemen uit de inleiding van Deel II definitief opgelost. De afgeleide wordt nu immers geherdefinieerd als limiet van een differentiequotiënt. De afleidbaarheid van een functie in een bepaald punt kan hierdoor altijd gekoppeld worden aan het bestaan van een limiet en dit kan nu ondubbelzinnig aangetoond of ontkracht worden via de ε-δ-definitie. Na een korte bespreking van afleidbaarheid, worden de nieuwe definitie voor de afgeleide en de geziene eigenschappen nu gebruikt om de resterende rekenregels voor afgeleiden te bewijzen: product, quotiënt en rationale macht van een functie. H9 Afgeleiden II 9.1 Afgeleide en afleidbaarheid 1 Limietdefinitie van afgeleide 2 Afleidbaarheid 3 Continuïteit en afleidbaarheid 9.2 Afgeleiden berekenen 1 Afgeleide van een product 2 Afgeleide van een quotiënt 3 Afgeleide van een macht 6

7 Hoofdstuk 10 neemt het verloop van functies op een meer kritische wijze onder de loep. Dit is nodig, omdat zich bij functies die geen veeltermfuncties zijn, fenomenen voordoen die in hoofdstuk 7 nog niet naar boven kwamen. Er wordt onderzocht onder welke voorwaarden het lokale stijgen of dalen (in een punt) gebruikt kan worden om iets over het globale stijgen of dalen (in een interval) te besluiten. De rigoureuze afleiding, die gebruik maakt van de stelling van Rolle en Lagrange, is verdiepingsleerstof. Ook het verband tussen het hol en bol verloop van een functie en de tweede afgeleide wordt nu op een rigoureuze manier aangetoond. Deze nauwkeurig geformuleerde voldoende voorwaarden voor stijgen/dalen en hol/bol verloop worden tenslotte gebruikt om het verloop van rationale en irrationale functies te onderzoeken. Hoewel in hoofdstuk 10 dezelfde aspecten als in hoofdstuk 7 worden onderzocht, is er toch geen overlap tussen beide hoofdstukken. Ging het in hoofdstuk 7 vooral om het toepassen van de nieuwe begrippen op eenvoudige functies, in hoofdstuk 10 gaat het om het begrijpen van de wiskundige verbanden tussen globale en lokale eigenschappen en de voorwaarden waaronder die verbanden al dan niet gelden. H10 Afgeleiden II 10.1 Extrema en afgeleiden 10.2 Stijgen, dalen en afgeleiden 1 Globaal en lokaal verloop van een functie (V) 2 Stelling van Rolle (V) 3 Middelwaardestelling van Lagrange 4 Voldoende voorwaarden voor stijgen, dalen, extrema 10.3 Hol en bol verloop en afgeleiden 1 Voldoende voorwaarden voor hol en bol verloop en buigpunten 2 Voldoende voorwaarde voor extrema: tweede afgeleide-test 10.4 Verloop van rationale en irrationale functies Een gelijkaardig onderscheid geldt voor Deel I en Deel II. In het eerste worden begrippen ingevoerd met als doel ze snel in te zetten om allerlei problemen op te lossen. De focus ligt op wat een afgeleide doet. Deel II streeft naar een wiskundig gefundeerde opbouw en een diep inzicht in de relaties tussen begrippen als limiet, continuïteit, afgeleide en het verloop van functies. Enkel in de opdrachten komen toepassingen uit Deel I soms terug, wanneer nieuwe functies afgeleid kunnen worden of wanneer gekende problemen met nieuwe technieken aangepakt kunnen worden (asymptoten met limieten, afleidbaarheid met continuïteit ). Daarmee vullen alle hoofdstukken elkaar mooi aan en is de overlap minimaal. 7