Inverse functies en limieten

Transcriptie

1 Inverse functies en limieten

2 Inverse functies We nemen aan dat A en B deelverzamelingen zijn van R. Een functie f : A B heet één-één duidig of injectief als f (x 1 ) f (x 2 ) voor alle x 1 x 2, x 1, x 2 A Een functie f : A B heet op of surjectief als B het bereik van f is. Dat wil zeggen: als y B dan is er minstens één x A zodat f (x) = y. Een functie die zowel injectief als surjectief is heet bijectief. 16 september

3 Horizontale lijntest Een functie is injectief als als elke horizontale lijn haar grafiek ten hoogste één keer snijdt. Als f : A B een bijectieve functie is dan bestaat er een functie g : B A met de eigenschap dat f (x) = y g(y) = x. Notatie De functie g wordt de inverse van f genoemd en genoteerd als f 1. Dus f (x) = y f 1 (y) = x. 16 september

4 f y = x De grafiek van f 1 De grafiek van f 1 wordt verkregen uit de grafiek van f door deze te spiegelen in de lijn y = x. O f 1 16 september

5 f : R [0, ) wordt gegeven door f (x) = a x. Hierbij is a > 0. Notatie f (x) = a x f 1 wordt genoteerd als log a. Is a = e dan wordt log a y = x meestal genoteerd als ln. O f 1 Er geldt: y = a x x = log a y en dus log a a x = x voor x R en a log a x = x voor x > 0. En in het bijzonder: ln e x = x voor x R en e ln x = x voor x > september

6 Eigenschappen van logaritmische functies Laat a R + en laat r R. log a (x y) = log a (x) + log a (y) voor alle x, y R +. ( ) x log a = log y a (x) log a (y) voor alle x, y R +, log a (x r ) = r log a (x) voor alle x R +, En dus ook: ln(x y) = ln(x) + ln(y) voor alle x, y R +, ( ) x ln = ln(x) ln(y) voor alle x, y R +, y ln(x r ) = r ln(x) voor alle x R +, 16 september

7 log a (x) = ln x ln a voor alle x R+. 16 september

8 y = x f f 1 De inverse van de sinus f (x) = sin(x) voor π 2 x π 2 f 1 wordt genoteerd als arcsin dus f 1 (x) = arcsin x voor 1 x september

9 f 1 y = x De inverse van de cosinus f (x) = cos(x) voor 0 x π f 1 wordt genoteerd als arccos dus f 1 (x) = arccos x voor 1 x 1. f 16 september

10 y = x De inverse van de tangens f 1 f (x) = tan(x) voor π 2 < x < π 2 f 1 wordt genoteerd als arctan dus f 1 (x) = arctan x voor x R. f 16 september

11 Limieten De limiet voor x nadert naar a van f (x) is L wordt genoteerd als lim x a f (x) = L. Maar wat betekent dit eigenlijk? De functie f is gedefinieerd op een open interval rond a met uitzondering van eventueel het punt a zelf. (We kunnen aannemen dat dit interval symmetrisch is.) En verder moet voor alle x met een kleine afstand tot a (x a) gelden dat de afstand van f (x) tot L klein is. 16 september

12 Wat betekent het nu dat voor alle x met een kleine afstand tot a (x a) geldt dat de afstand van f (x) tot L klein is? Definitie Voor alle x met 0 < x a klein is f (x) L klein. De wiskundige definitie van limiet is een nog betere beschrijving hiervan. Een functie f heet continu in a als lim x a f (x) niet alleen bestaat maar bovendien gelijk is aan f (a). 16 september

13 Eigenschappen Laat lim x a f (x) = L en lim x a g(x) = M, c R. Dan geldt 1. lim f (x) + g(x) = lim f (x) + lim g(x) = L + M. x a x a x a 2. lim c f (x) = c lim f (x) = c L. x a x a 3. lim f (x) g(x) = lim f (x) lim g(x) = L M. x a x a x a f (x) lim f (x) 4. lim x a g(x) = x a lim g(x) = L mits M 0. M x a 16 september

14 Limieten en Continuïteit

15 Definitie Een functie f heet continu in a als lim x a f (x) niet alleen bestaat maar bovendien gelijk is aan f (a). Gevolg van de limieteigenschappen Als de functies f en g continu zijn in a en c R dan zijn de functies f + g, cf, f g ook continu in a. Is bovendien g(a) 0 dan is de functie f g ook continu in a. 19 september

16 Definitie Als f : B R een surjectieve functie is en g : A B dan heet de functie h : A R die geggeven wordt door h(x) = f (g(x)) de samenstelling van de functies g en f. Notatie f g Dus (f g)(x) = f (g(x)) voor x A 19 september

17 De volgende stelling wordt al snel gebruikt bij het berekenen van limieten. Stelling Als lim g(x) = b en f is continu in b dan x a (f g)(x) = f ( lim g(x)) = f (b). lim x a x a Hieruit volgt dat als g continu is in a en f is continu in g(a) dan is f g continu in a. lim (f g)(x) = f ( lim g(x)) = f (g(a)) = (f g)(a). x a x a 19 september

18 De limiet voor x nadert van rechts naar a van f (x) is L wordt genoteerd als lim f (x) = L. x a + Maar wat betekent dit eigenlijk? De functie f is gedefinieerd op een (open) interval rechts van a met uitzondering van eventueel het punt a zelf. En verder moet alle x met een kleine afstand tot a (x > a) gelden dat de afstand van f (x) tot L klein is. 19 september

19 Wat betekent het nu dat voor alle x met een kleine afstand tot a (x > a) geldt dat de afstand van f (x) tot L klein is? Voor alle x met 0 < x a klein is f (x) L klein. De wiskundige definitie van limiet is een nog betere beschrijving hiervan. Definitie Een functie f heet rechtscontinu in a als lim f (x) niet alleen x a + bestaat maar bovendien gelijk is aan f (a). 19 september

20 Het zal duidelijk zijn dat op analoge wijze de linkerlimiet kan worden gedefinieerd. Ook kan op analoge wijze een linkscontinue functie worden gedefinieerd. Er geldt: lim f (x) = L en lim x a + lim f (x) = L x a en natuurlijk ook: f (x) = L dan en slechts dan als x a Een functie f is rechtscontinu in a en linkscontinu in a dan en slechts dan als f is continu in a. 19 september

21 Andere notaties lim x a f (x) wordt ook genoteerd als lim f (x) en + x a lim f (x) wordt ook genoteerd als lim f (x). x a x a 19 september

22 De insluitstelling Laat I een open interval zijn en laten de functies f, g en h gedefinieerd zijn op I \{a}. Laat verder g(x) f (x) h(x) voor x I \{a} en lim g(x) = lim h(x) = L. x a x a Dan geldt lim x a f (x) = L. Toepassing sin x lim = 1 x 0 x 19 september

23 Definitie Een functie f : A R heet continu op A als f continu is in elk inwendig punt van A en rechts-en linkscontinu in de eventuele randpunten van A. 19 september

24 Definitie Een functie f : A R heet continu op A als f continu is in elk inwendig punt van A en rechts-en linkscontinu in de eventuele randpunten van A. Alle machtsfuncties, polynomiale functies, rationale functies, trigoniometrische functies, exponentiële functies en hun eventuele inverse functies zijn continu op hun domein. 19 september

25 Als f een continue functie is op haar domein dan kan de grafiek van f worden getekend zonder de pen van het papier te halen. 19 september

26 Tussenwaardestelling Als f : [a, b] R continu is op haar domein en f (a) f (b), f min = min{f (a), f (b)} en f max = max{f (a), f (b)}, dan bestaat er bij elke f min < d < f max een c (a, b) zodat f (c) = d. 19 september

27 De limiet voor x nadert naar van f (x) is L wordt genoteerd als lim f (x) = L. x Maar wat betekent dit eigenlijk? De functie f is gedefinieerd op (a, ) voor zeker a R En verder moet gelden dat hoe groter x des te kleiner is de afstand van f (x) tot L. 19 september

28 Wat betekent het dat hoe groter x des te kleiner is de afstand van f (x) tot L? Voor alle x met x groot is f (x) L klein. De wiskundige definitie van limiet is een nog betere beschrijving hiervan. Analoog kan natuurlijk lim f (x) = L worden gedefinieerd. x We noemen de lijn met als vergelijking y = L een horizontale asymptoot van de grafiek van f. 19 september

29 Bij het onderzoek of de grafiek van een functie f een horizontale asymptoot heeft wordt vaak gebruik gemaakt van de limieten 1 lim x x r = 0 waarbij r > 0. 1 lim x x r = 0 19 september

30 7^ O 11- \ opp^c ^^o ab) ^-t l i DB 1 ^ l DB \, 1 1- " 2_Tr ^. 'SiA^-^^ C lc)

31 1 ^ * L 6^ - ^