Verloop van goniometrische en cyclometrische functies

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Verloop van goniometrische en cyclometrische functies"

Augusta van de Velde
6 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Verloop van goniometrische en cyclometrische functies Meetkundige definitie Definities sin tan cos cos cot sin sec cos csc sin Hoofdformules sin + cos tan + sec cos cot + csc sin cot tan sin 0 cos tan 0 Bekende hoeken cot R 0 R 0 Verwante hoeken Tegengestelde hoeken Supplementaire hoeken sin cos tan cot ( ) sin sin( ) ( ) cos cos( ) ( ) tan tan ( ) ( ) cot cot ( ) sin cos tan cot Complementaire hoeken Anti-supplementaire hoeken ( ) cos sin ( ) ( ) sin cos( ) ( ) cot tan ( ) ( ) tan cot ( ) sin cos tan cot + sin + cos + tan + cot Som en verschil formules cos( ) cos cos + sin sin cos( + ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin sin( + ) sin cos + cos sin tan + tan tan( + ) tan tan tan tan tan( ) + tan tan Verdubbelingsformules sin sin cos cos cos sin cos sin tan tan tan Halveringsformules + cos cos cos sin cos tan + cos Formules van Simpson (product som) ( ) sin ( ) ( ) ( ) ( ) cos( ) sincos sin + + cos cos cos + cos + sinsin cos + t-formules ( t tan ) t t t tan sin cos t + t + t Formules van Simpson (som product) + y y sin + siny sin cos + y y sin siny cos sin + y y cos + cosy cos cos + y y cos cosy sin sin

2 ) Herhaling a) De goniometrische functies De sinusfunctie f Dit is de functie ( ) sin( ) De cosinusfunctie f Dit is de functie ( ) cos( ) Domein: dom f R Beeld: bld f [,] Periode: P De grafiek is symmetrisch om de oorsprong De tangensfunctie f Dit is de functie ( ) tan( ) Domein: dom f R Beeld: bld f [,] Periode: P De grafiek is symmetrisch om de y-as De cotangensfunctie f Dit is de functie ( ) cot( ) Domein: dom f R\ + k k Z Beeld: bld f R Periode: P De grafiek is symmetrisch om de oorsprong b) Goniometrische vergelijkingen (k Z ) Sinusvergelijking: sin sin + k + k Cosinusvergelijking: cos cos + k + k Domein: dom f R\ { k k Z } Beeld: bld f R Periode: P De grafiek is symmetrisch om de oorsprong Tangensvergelijking: tan tan + k Cursus elementaire functies - - S Mettepenningen

3 c) De cyclometrische functies De cyclometrische functies zijn de inverse functies van de goniometrische functies De boogsinusfunctie: f ( ) Bgsin dom f [,] bld f [, ] Tekenverloop: - 0 f ( ) / / Symmetrie: de functie is oneven (symmetrisch om de oorsprong) Stijgen en dalen: - De boogcosinusfunctie: f ( ) Bgcos dom f [,] bld f [ 0, ] f ( ) / ր / Tekenverloop: - 0 f ( ) / / Stijgen en dalen: - f ( ) / ց / Symmetrie: de functie is noch even, noch oneven De boogtangensfunctie: f ( ) Bgtan dom f R bld f ], [ Tekenverloop: 0 + f ( ) Stijgen en dalen: + f ( ) Symmetrie: de functie is oneven (symmetrisch om de oorsprong) Asymptotisch gedrag: lim Bgtan + lim Bgtan De functie heeft dus twee horizontale asymptoten ) Afgeleiden van de goniometrische functies a) De afgeleide van de sinusfunctie De afgeleide in punt a R van de sinusfunctie f ( ) sin ր, wordt gegeven door: a + a f ( ) f ( a) sin sina sin cos f' ( a) lim lim lim a a a a a a a sin ( ) lim + a a f' a lim cos cos cosa, of korter genoteerd: Dsin cos a a 0 a Cursus elementaire functies - - S Mettepenningen

b) De afgeleide van de cosinusfunctie De afgeleide in punt a R van de cosinusfunctie f ( ) cos, wordt gegeven door: a + a f ( ) f ( a) cos cosa sin sin f' ( a) lim lim lim a a a a a a a sin ( ) lim +

4 b) De afgeleide van de cosinusfunctie De afgeleide in punt a R van de cosinusfunctie f ( ) cos, wordt gegeven door: a + a f ( ) f ( a) cos cosa sin sin f' ( a) lim lim lim a a a a a a a sin ( ) lim + a a f' a lim sin sin sina, of korter: Dcos sin a a 0 a Opmerking: dit kan ook met de kettingregel: ( ) ( ) Dcos sin D sec D sectan cos cos cos Gevolgen: ( ) Dsin cos D( csc) D csccot sin sin sin ( ) ( ) ( ) D cos D sin cos sin sin cos Dsin sin Dcos cos + sin cos cos cos cos D( tan) D cos sin Dcos cos Dsin sin cos sin sin sin sin D( cot) D cos D sin Dsin sin sin Voorbeeld : ( ) Voorbeeld : ( ) D sin Dsin + sin D cos + 4sin Voorbeeld : Bereken de limiet lim 0 sin Zonder de regel van l Hôpital is deze limiet heel moeilijk te berekenen, maar nu wordt dit kinderspel: H H H 6 6 lim lim lim lim 6 0 sin 00 0 cos 00 0sin 00 0cos Voorbeeld 4: Een symmetrische dakgoot wordt gevormd door een ijzeren plaat van 4 dm breed te plooien in vier gelijke stukken zoals op de figuur hiernaast De goot is vanboven open en heeft twee evenwijdige wanden Hoe groot moet de hellingshoek genomen worden opdat de inhoud van de goot maimaal zou zijn y Op de figuur zien we dat cos cos en sin y sin y De oppervlakte is dan S S + S + cos + cos sin Het is deze functie die we gaan onderzoeken in het praktische domein 0, Afleiden (naar ) geeft: ds sin sin cos sin sin d + Om de nulpunten te zoeken lossen we de vierkantsvergelijking in sin op, met : Cursus elementaire functies S Mettepenningen

5 ± + sin sin + 0 sin sin sin 4 Stel Bgsin, dan wordt het tekenverloop in het praktische domein 0, : 0 De functie bereikt dus haar maimum als 8'5" ds d S A MAX ) Afgeleiden van de cyclometrische functies a) Afgeleide van een inverse functie B Stel dat f afleidbaar is in y f ( ) en dat ( ) ( ( )) ' ( ) ' ' (Alle andere nulpunten liggen niet in het praktische domein) f' y 0, dan geldt voor de inverse functie ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f b) De afgeleiden van de cyclometrische functies De vorige stelling gebruiken geeft: D( Bgsin) cos Bgsin ( ) + + D( Bgtan) cos ( Bgtan) Bgcos Analoog kan je afleiden dat ( ) 4) Oefeningen D Bereken en vereenvoudig de afgeleide functies: D Bgcot ( ( )) f' f en ( ) a) f ( ) sec( ) b) f ( ) sin c) f ( ) e) sin cos cos + sin f + cos d) ( ) ( ) sin + Bgsin f) f ( ) Bgcos ( ) + Bereken de volgende limieten: a) c) e) sin lim 0 cos lim sin + cos cos lim 0 sin b) sin4 lim cos cos d) lim 0 f) ( ) cos lim tan < f : Cursus elementaire functies S Mettepenningen

Bespreek het volledige verloop van volgende functies: a) f ( ) sin + cos b) f ( ) 4Bgtan 4 Voor welke waarde van [,0] vertoont de functie ( ) sin cos Wat is de functiewaarde van dit maimum?

6 Bespreek het volledige verloop van volgende functies: a) f ( ) sin + cos b) f ( ) 4Bgtan 4 Voor welke waarde van [,0] vertoont de functie ( ) sin cos Wat is de functiewaarde van dit maimum? 5 A en B zijn punten op de positieve -as en y -as, zodat punt P (,) op het lijnstuk [ ] AB ligt is de scherpe hoek die AB maakt met de -as Voor welke waarde van hoek zal de lengte AB minimaal zijn Wat is deze minimale lengte? 6 Bepaal de vergelijking van de raaklijn in P, 6 7 De hoogte van een standbeeld is a, inclusief de hoogte van de sokkel b Bevind je je op afstand van het standbeeld (horizontal gemeten), dan zie je het standbeeld zonder de sokkel onder een hoek θ (zie figuur) a) Bewijs dat θ a b Bgtan Bgtan b) Bewijs dat deze hoek θ maimaal is als ab f + een lokaal minimum? f cos aan de grafiek van ( ) c) Het vrijheidsbeeld is 50 m hoog en staat op een sokkel van 40 m hoog Vanop welke afstand kan je best het vrijheidsbeeld bewonderen? 8 Beschouw een cirkel met straal r Een rechte op afstand r 6 van het middelpunt verdeelt de cirkel in twee cirkelsegmenten In het kleinste segment wordt een veranderlijke rechthoek ingeschreven Bepaal de rechthoek met maimale oppervlakte Cursus elementaire functies S Mettepenningen

Vergelijkbare documenten

Goniometrische functies

Goniometrische functies ) Hoeken - Grondbegrippen a) Definitie van een hoek Een hoek is een georiënteerd paar halfrechten die starten in hetzelfde punt (hoekpunt). Hierbij maken we de afspraak dat positieve