Uitwerkingen goniometrische functies Hst. 11 deel B3

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Uitwerkingen goniometrische functies Hst. 11 deel B3"

Transcriptie

1 Uitwerkingen goniometrische functies Hst. deel B. f() = sin(-) = -sin() g() = cos(-) = cos () h() = sin( + ) = cos() j() = cos( + ) = -sin() k() = sin ( + ) = -sin () l() = cos ( + ) = -cos (). Zie ook de figuur. Er geldt: Punt P heeft een draaiingshoek van α en heeft de coördinaten ( p, y p ) Bij het punt R. hoort een draaiingshoek van - α. De coördinaten van R zijn : R = y p en y R = P y P = sin (α) = cos ( - α ) Verder geldt: Punt S heeft de draaiingshoek van + α en y S = -y P sin ( + α) = -sin(α) c. Ook geldt : S = - P cos (α + ) = - cos(α) d. Veronderstel een willekeurigpunt P met coördinaten P en y P. Je kan altijd een rechthoekige driehoek maken en dan Pyth. daarin toepassen.. Dat geeft dan : ( ) ( ) P + y = Ook al zijn de en/ of de y coördinaten negatief dan wordt het minteken opgeheven door de kwadraten. We krijgen dan : cos (α) + sin (α) = ( ) + = + + = + d. sin( + ) = cos ( + ) = cos( + ) cos( ) sin( ) sin( ) c. ( ) p sin( ) = sin( ) = cos ( ) = cos( ) cos( + ) = cos( + ) = sin( + ) = sin( + ). c. ( ) = + sin( α) cos( α) sin ( α) sin( α)cos( α) cos ( α) = α + α α = sin( α)cos( α) α sin ( ) cos ( ) sin( )cos( ) sin ( α) + cos ( α) sin ( α) cos ( α) cos ( α) cos ( α) cos ( α) = + = + tan ( α)

2 sin() sin() + tan ( ).cos ( ) = + cos ( ) cos ( ) = + cos ( ) cos ( ) ( ) = + = cos() sin() cos ( ). sin ( ) + cos( ) = cos ( ) + cos( ) cos ( ) + sin( ) = sin ( ) + sin = sin ( ) + sin( ) ( ) = + sin ( ) sin( ) sin ( ) + cos ( ) + cos( ) = cos ( ) + cos ( ) + cos( ) = cos ( ) + cos( ) c. ( ). = + + k = ( + ) + k = 7 + k = + k = k. = + k Op het interval [0, ] krijgen we dan : ; ; sin( ) = cos( + ) cos( ( )) = cos( + ) cos( ) = cos( + ) 7. sin ( + 0,) = cos() cos (0, - 0, ) = cos() cos() = cos() = +.k = - +.k = -k. = k = -k = k.. Oplossingen : 0 ; ; ; sin() = -cos() sin() = cos ( + ) sin() = sin (0, - - ) sin() = sin ( - 0, ) = - 0, + k = - (- 0, ) + k = -0, + k =, + k = 8 + k. = 7 + k. Oplossingen : ; ; ; ; en c. sin () + 0,cos() = cos () + 0,.cos() = - cos () + 0,.cos() = 0 cos() (0, cos() ) = 0 cos() = 0 cos () = 0, = 0, + k = + k = - + k De oplossingen zijn : 0, ;, ; ; d. cos( ) = - cos( + ) cos( ) = cos( + + ) = k = k - = + + k = - - k = - - k = - k. De oplossingen zijn : - ; ; ;

3 e. sin( + ) = sin() sin () sin() = sin() = = 0, + k = 0, + k De oplossingen zijn : 0, ;, f..sin () + cos () + cos() = 0 ( cos () ) + cos () + cos () = 0 cos () + cos () + cos () = 0 -cos () + cos() + = 0 Stel cos () = p -p + p + = 0 p p = 0 (p )(p + ) = 0 p = p = - cos () = (kan niet) cos() = - = + k De oplossing is: = 8a cos (t) = sin(0, t) cos (t) = cos(0, - 0,t) t = 0, - 0,t + k t = -0, + 0,t - k,t = 0, + k, t = -0, - k t = + k. t = k. De oplossingen zijn : ; ; ; ; sin t cos sin t cos sin t = = + = sin t t t sin sin( t = t ) = t + k = ( t ) + k t = t + k t = + t+ + k 7t = + k t = 9 + k 9 t = + k. t = k. 7 7 De oplossingen zijn : ; ; ; 7 ( t) ( t ) 9. sin( ) = sin( ) sin( ) = 0 sin() = sin() = + k = - +k c. sin() = cos () niet algebraïsch. d. sin () = sin ( + ) niet algebraïsch e. sin() = sin( + ) = + + k = - ( + ) + k f. sin () = sin () niet algebraïsch. 0. f() = sin () en g() = -cos() op het interval [0, ]. V as, V y as, y = cos( ) y= cos( ) g( ) = cos( )

4 g() = -cos () Er is een spiegeling t.o.v. de -as. En de periode is. f ( ) = sin( ) = = + k = + k c. Binnen het interval krijgen we : = = d. g ( ) = cos( ) = cos( ) = cos( ) = cos( ) = + k = - + k = + k = - + k Binnen het interval krijgen we : = = = = e. Eerst gaan we berekenen f() = g() : sin( ) = cos( ) cos( ) = cos( + ) = + + k = + k = + k = + k = k. = + k Op het gegeven interval krijgen we dan : = = = Oplossing f g: =. f() = sin( ) en g ( ) = cos( + ) op het interval [0 ;, ] f() = sin( ) : de ev. stand is 0 ; de amplitude is ; de periode is en het beginpunt is 0,. g ( ) = cos + : de ev. stand is 0 ; de amplitude is ; de periode is en het beginpunt is 0, Hier is sprake van een sp. en T(,0). De periode begint hier in het punt (,-)

5 Zie de figuur. y f O / / g c. f( ) = 0 sin( ) = 0 = k = + k = + k =,, op [0, ] g ( ) = 0 cos( + ) = 0 + = + k = + k =, op [0, ] d. Eerst: f( ) = sin( ) = ; sin ( ) = = + k = + k = 7 + k = + k = 7 + k = + k 7 =,, op [0, ] f( ) > grafiek 7 < < < e.

6 f( ) = g( ) sin( ) = cos( + ) cos( ( ) = cos( + + ) cos( + ) = cos( + ) + = + + k + = + k = + k = + k = + k = k 9 = 9, op [0, ] 9,0 f( ) g( ) grafiek < < 9 9. Zie figuur. AC In OAC sin( α) = = AC AB = sin( α) gespiegeld in -as, dus AB = AC OAB AB OA OB OA OB In cos-regel: = + cos( α) ( α ) sin( ) = + cos( α) sin ( ) cos( ) α = α cos( ) sin ( ) α = α. Bekend is : cos( t u) = cos( t) cos( u) + sintsin( u) Vervang nu u door -u. cos( t+ u) = cos( t) cos( u) + sint sin( u) = cos( t) cos( u) sint sin( u) Nu uitgaan van de somformule van de cosinus: cos( t+ u) = cos( t) cos( u) sint sin( u) c.. Vervang nu u door u 0, en we weten sin (u 0, ) = -cos(u) cos( t+ u 0, ) = cos( t) cos( u 0, ) sint sin( u 0, ) sin( t+ u) = cos t.sin( u) sin( t).( sin( u)) sin( t+ u) = cos t.sin( u) + sin( t).sin( u) sin( t u) = sin( t) cos( u) cos( t) sin( u) Vervang u door u sin( t+ u) = sin( t) cos( u) cos( t) sin( u) = sin( t) cos( u) + cos( t) sin( u)

7 7 sin( t+ u) = sin t cosu+ cost sin u Neem: t = u = A sin( A+ A) = sin A cos A+ cos A sin A sin( A) = sin A cos A cos( t+ u) = cost cosu sin t sin u Neem: t = u = A cos( A+ A) = cos A cos A sin A sin A ( ) ( ) cos( ) = cos sin A A A ( ) ( ) ( A) ( A) ( A) ( A) A = A A cos( ) cos sin (zie () ) = + + cos sin + cos( A) = cos cos( A) = cos ( ) ( ) ( A) ( A) ( A) ( A) A = A A cos( ) cos sin (zie () ) = + cos sin cos( A) = sin cos( A) = sin cos ( ) cos( A) cos( A) = cos ( A) cos ( A) = + cos( A) A = + cos( A) sin ( A) sin ( A) cos( A) A = = = sin ( ) cos( A) sin( ).cos( ) = sin( ) sin( ) cos( ) = sin( ) sin( ) = sin( ) = + k = + + k = + k = + + k = + k = + + k cos ( ) = cos( ) + + = + cos ( ) cos( ) (zie som ) = + 0,cos() = 0 = 0, + k. = 8 + k. cos( ) cos( )

8 8 c. ( ) sin = cos( ) + cos( ) = cos( ) + (zie som ) -,cos() = 0,7 cos () = -0, = + k = - + k ( ) d. sin( ) + cos( ) =, sin ( ) + sin( ).cos( ) + cos ( ) =, + sin() =, sin() = 0, = + k = + k. = + k = + k 7. y =sin ( ) + cos( ) Er geldt : cos() = sin () sin () = cos() sin () = 0, 0,.cos() y = 0, 0,cos() + cos() y O / / y = 0, + 0,cos() Je kan dit resultaat ook vanuit de grafiek krijgen. We zien dan : amplitude 0, ; ev. stand is 0, en de periode is en het is een cosinus. Zie nu ook bij onderdeel Toevallig al gedaan!! 8. sin( t+ u) = sin() t cos( u) + cos() t sin( u) sin( ) = sin( + ) = sin( ) cos( ) + cos( ) sin( ) = + = sin( ) sin ( ) + sin( ) cos ( ) = + sin( ) ( sin ( )) cos( ) sin( )cos( ) ( ) sin( ) sin ( ) sin( ) sin ( ) = sin( ) sin ( ) 9 cos( α) = sin ( α) sin ( α) = cos( α); Neem α = = y= cos( ) ( cos( ) ) = cos( ) sin ( ) y= cos( ) + cos( ) = cos( ) sin ( ) cos( ) y=

9 9 cos( t+ u) = cos( t) cos( u) sin( t) sin( u) cos( ) = cos( + ) = cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) = cos( ) ( cos ( ) ) sin( ) sin( )cos( ) = cos ( ) cos( ) sin ( ) cos( ) = cos ( ) cos( ) ( cos ( )) cos( ) = cos ( ) cos( ) cos( ) + cos ( ) = cos ( ) cos( ) ook kan: bekend uit a: sin( ) = sin( ) sin ( ) ( ) cos() = sin( ) = sin( + ) = sin( ) = sin( ) + sin ( ) = cos( ) + cos ( ) 0. -cos(a) = cos(a + ) -cos() = cos( + ) sin() = cos(0, - ) c. cos() = sin () sin () = cos() sin () = 0, 0,cos() sin () = 0, 0,.cos() d. cos() = cos () cos () = cos() + cos () = 0,cos() + 0, cos () = 0,cos(,) + 0, e. cos() = sin () ook kan : cos() = sin (0, - ). B = - A en y B = y A ; C = - A en y C = -y A.. f ( p) = p.cos( p) = p.cos( p) = f( p) f is symmetrisch in de oorsprong. g( p) = p.sin( p) = p. sin( p) = p.sin( p) y-as is as van symmetrie.. Gegeven: f ( ) = cos ( ).sin( ) f ( p) = cos ( p).sin( p) = cos ( p). sin( p) = cos ( p).sin( p) = f( p ) f is puntsymmetrisch in O.

10 0 f( p) = cos ( p).sin( p) = sin ( p).cos( p) f ( + p) = cos ( + p).sin( + p) = cos ( p).cos( p) = sin ( p).cos( p) = sin ( p).cos( p) f(0, - p) = f(0, + p) f is symmetrisch in de lijn = 0,.. Gegeven: f ( ) = sin( ) cos( ) f( p) = sin( p).cos( p) = ( p p ) ( p + ). sin( ).cos( ) cos( ).sin( ). cos( ).cos( ) sin( ).sin( p ) =.cos( p) +.sin( p).cos( p) sin( p) =.cos( p) f( + p) = sin( + p).cos( + p) = ( p + p ) ( p ). sin( ).cos( ) cos( ).sin( ). cos( ).cos( ) sin( ).sin( p ) =.cos( p) +.sin( p).cos( p) sin( p) =.cos( p) Samen met onderdeel a volgt nu : f(- p ) = f( + p) De lijn = is as van symmetrie.. Gegeven : f() = co() + sin() + f( p) = cos( p) + sin( p) + = + + cos( ).cos( p) sin( ).sin( p) sin( ).cos( p) cos( ).sin( p) + =.cos( p) +.sin( p) +.cos( p).sin( p) + =.cos( p) + + = = + + f( p) cos( p) sin( p) cos( ).cos( p) sin( ).sin( p) sin( ).cos( p) cos( ).sin( p) + =.cos( p).sin( p) +.cos( p) +.sin( p) + =.cos( p) + Uit deze berekeningen volgt: f ( p) = f( + p) f is symmetrisch in de lijn =. = + + = + + f( p) cos( p) sin( p) cos( ).cos( p) sin( ).sin( p) sin( ).cos( p) cos( ).sin( p) + =.cos( p) +.sin( p) +.cos( p) +.sin( p) + =.sin( p) +

11 + = = f( p) cos( p) sin( p) cos( ).cos( p) sin( ).sin( p) + sin( ).cos( p) + cos( ).sin( p) + =.cos( p).sin( p) +.cos( p).sin( p) + =.sin( p) + Uit bovenstaande berekeningen volgt : f( p) + f( + p) = sin( p) +.sin( p) + = en b =. = Deze som is gelijk aan b f is puntsymmetrisch t.o.v. het punt (,).. f '( ) = cos( ) y = sin( ); y = nderiv( y,, ) c. y = cos( ) y = nderiv( y,, ) f '( ) = sin( ) 7. f() = sin() In de figuur zien we de grafiek van de afgeleide van f. f () =.cos() c. g() = cos () dan g () = -.sin () 8. De afgeleide van y = cos(a) is de afgeleide van y = sin(0, + A) = cos (0, + A) = - sin (A) De afgeleide van y = cos (A) is dus : y = -sin (A) 9.

12 d d d d sin( a + b) d = cos( a + b). ( a) = cos( a + b) d cos( a + b) d = sin( a + b). ( a) = sin( a + b) d ( ) ( ) 0. f ( ) = + sin( ) f '( ) =.cos( ). = 8cos( ) g ( ) = 0 + cos( ( )) g'( ) = sin( ( )). = 8sin( ( )) c. h ( ) =.cos( ) h'( ) =.cos( ) +.( sin( )) = cos( ).sin( ) d. j( ) =.cos( ) j'( ) =.cos( ) +.( sin( )). = cos( ).sin( ) e. k k ( ) =.sin( ) '( ) =.sin( ) +.cos( ). =.sin( ) +.cos( ) f. l ( ) =.sin( ) l'( ) =.sin( ) +.cos( ). =.sin( ) +.cos( ). f( ) = tan( ) f '( ) =..= cos ( ) cos ( ) sin( ) sin( ) g ( ) = tan ( ) = tan( ) g'( ) =.tan( ). =.. = ( ) cos ( ) cos( ) cos ( ) cos ( ) c. sin( ) h ( ) = cos( ).tan( ) = cos( ). = sin( ) h'( ) = cos( ) cos( ). I : f ( ) = sin( ).sin( ) f '( ) = cos( ).sin( ) + sin( ).cos( ) = sin( ).cos( ) II: ( ) f ( ) = sin( ) f '( ) =.sin( ).cos( ) III: f ( ) = sin ( ) = cos( ) f '( ) =.( sin( ). = sin( ) = sin( ).cos( ) Onderdeel II geeft mij het miste werk en heeft dus mijn voorkeur. f ( ) = ( cos( ) ) f '( ) = cos( ) sin( ) = sin( ).cos( ) ( ) g( ) = sin( ) g'( ) = sin( ) cos( )

13 c. ( ) h ( ) = + cos( ) h'( ) = 0+ cos( ) sin( ) = sin( ).cos( ) d. ( ) j( ) = + sin( ) j'( ) = + sin( ) cos( ). f ( ) = ( sin( ) ) f '( ) = ( sin( ) ) cos( ) ( ) ( ) g( ) = sin( ) g'( ) = sin( ) + sin( ) cos( ) = sin ( ) +.sin( ).cos( ) c. ( ) h ( ) = cos ( ) = cos( ) h'( ) =.cos( ).( sin( )). = cos( ).sin( ) d. ( ). j j ( ) = cos( ) '( ) =.cos( ).( sin( )). =.cos( ).sin( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = f ( ) = sin( ) + sin( ) f '( ) =. sin( ).cos( ) + cos( ) = cos ( ).cos( ) + cos( ) = cos( ) cos ( ) cos( ) cos( ) cos ( ) cos( ) cos( ) cos ( ) c. ( ) ( ) g ( ) = sin( ).cos( ) g'( ) = sin( ).cos( ).cos( ) + sin ( ).( sin( )) = = = sin( ). sin ( ) sin ( ) sin( ) sin ( ) sin ( ) sin( ) sin ( ) tan( ) sin( ) h ( ) = = tan( ). =. = sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 0 ( sin( )) sin( ) h'( ) = = cos ( ) cos ( ). f( ) = + sin( ) op het interval [0, ] De amplitude is ; ev. stand is ; T (, ) en de periode is. Zie de figuur. Voor een horizontale raaklijn geldt : f () = 0 cos( ) = 0 = + k. = + k = = De gevraagde punten zijn : (, ) en (, -) Andere manier: y O f / / /

14 7. De toppen van de normale sinusfunctie zijn ( (,) en ( (, ) Op deze functie is een verm. toegepast met factor (dus amplitude ) en een translatie ( T (, ) De toppen zijn dus : (, ) en (, -) f( ) = + sin( ) f '( ) = cos( ).= cos( ) Voor de toppen geldt: f '( ) = 0 cos( ) = 0 = + k. = + k. = + k. De toppen in één periode zijn : ( ),0 en (, ) De periode van f is k Alle toppen zijn dus : ( k ) +.,0 en ( +., ) Nu de andere methode bij g ( ) = + cos( + ) g heeft de periode. = De eerste top is bij het beginpunt. Dat is bij + = + = 0 = = Daar is nu het maimum. Aangezien de periode is weten we nu ook dat het minimum is bij = - + =. Nu deze waarden invullen. De toppen zijn : ( + k., ) en ( + k.,) c. h ( ) = sin( + ) Het beginpunt bij h is bij =. De periode is. Er is ook een spiegeling. De eerste top bij = +. = De andere top is bij = + =. Deze waarden invullen geeft de toppen. ( + k., ) en ( + k., ) d. j( ) = cos( ) De periode is. Er is verder een translatie omlaag. De toppen zij dus bij = 0, 0, en periodes verder. De toppen zijn : (0 + k, -) en (0, +k, -) 8. f( ) = cos( ) sin( ) + op het domein [0, ] Eerst f () f '( ) = sin( ). cos( ) = sin( ) cos( ) f '( ) = 0 sin( ) cos( ) = 0 sin( ) = cos( ) sin( ) = cos( ) cos( + ) = cos( )

15 + = + k + = + k = + = + k k = + k = + k = 7 A ( ) ; B B () (, ); (, ) C () ; D D () (,); (, ). op [0, ],, A = y = f = = y = f = A B C = y = f = = y = f = C D Zie de figuur hiernaast: het aantal oplossingen van de vergelijking f ( ) = p is gelijk aan het aantal snijpunten van de grafiek met de horizontale lijn y = p. Sterker nog: de oplossingen van de vergelijking zijn de -coördinaten van de snijpunten. Het zal duidelijk zijn dat er vier snijpunten zijn als geldt: p "tussen" en, ligt: p <,. 9. f ( ) = + cos( ) op het domein : [0, 7]. f( ) = + cos( ) f '( ) = sin( ) f '( ) 0 sin( ) 0 sin( ) = = =,, = = + k = + k op [0, 7] f '( ) = sin( ) = sin( ) = ; = + k = + k 7 7, = = + k = + k op [0, 7] 0. f ( ) = cos ( ) op het domein [0, ] Horizontale raaklijn f () = 0 f '( ) =.cos ( ).( sin( )) f '( ) = sin( ).cos ( ) f () = 0 sin() = 0 cos () = 0 = 0 + k = 0, + k. Op het gegeven interval krijgen we dus : 0 ; ; ; 0, ;,. De coördinaten van de punten zijn dus : (0, ) ; (, -) ; (, ) ; (0, ; 0) en (,,0)

16 a. cos( ) f( ) = sin( ) cos( ) f( ) = 0 = 0 cos( ) = 0 sin( ) = = Stel C(, 0) ; D(, 0) + + f '( ) = = sin( ).( sin( ) cos( ).( cos( )) sin( ) sin ( ) cos ( ) sin( ) = ( sin( ) ) ( sin( ) ) ( sin( ) ) f '( ) = f '( ) = k: y= + b door C(, 0) p: y= + b door D(, 0) 0= + = 0= + b b b b = k: y= + p: y=. cos( ) sin( ) + f( ) = f '( ) = ; sin( ) sin( ) ( ) f '( ) = 0 sin( ) + = 0 sin( ) = = = Uit de grafiek zien we dat hier de maimale en minimale waarden zijn. Nu is : ( ). f = = Het totale bereik is dus : [, ] en f ( ) ( ). = = F ( ) = cos( ) F'( ) =.( sin( )). = sin( ) = f( ) F() is een primitieve van f(). G ( ) = sin( ) G'( ) =.cos( ).= cos( ) = g ( ) G() is een primitieve van g(). ( ) sin ( ) ( ) cos( ) f = F = + c g ( ) = cos( ) G ( ) = sin( ) + c

17 7 h ( ) = sin( + ) H ( ) = cos( + ) + c c. j( ) = cos( ) J( ) = sin( ) + c d.. ( cos( )) d sin( ) + = + = +. 0 = ( ) sin( ) d = cos( ) + = ( 8 ) ( 8 ) = + 8. Gegeven : f() = +.cos( ) y Snijpunten met de -as +.cos( ) = 0 = + k = + k = + k = + k = + k = + k De grenzen zijn bij = =. O Opp. O / / / 7/ 9/ De oppervlakte is : ( ) d + cos = + sin( ) sin(, ) ( sin ( ) ) + + = + 0, + =, + =. sin ( ) y = is geen primitieve van f() = sin () want de afgeleide wordt nu : y =..sin ( ).cos( ) = sin (). cos() Deze afgeleide is niet gelijk aan y = sin ().

18 8 cos( A) = sin ( A) sin ( A) = cos( A) sin ( A) = cos( A ) Met deze formule erbij krijgen we nu : f ( ) = sin ( ) = cos( ) c. Een primitieve van f() is nu : F ( ) = sin( ) + c 7 f( ) = cos ( ) ; apart: cos( ) = cos ( ) cos ( ) = + cos( ) f( ) = cos ( ) = + cos( ) F( ) = + + c sin( ) g ( ) = sin ( ) ;bekend: cos( ) = sin ( ) sin ( ) = cos( ) sin ( ) cos( ) = g ( ) = sin ( ) = cos( ) G ( ) = sin( ) + c c. f ( ) = sin( ).cos( ) We kennen de formule sin(a)=sin(a).cos(a) sin(a).cos(a) = sin( A ) Als we deze formule gaan toepassen dan krijgen we : f ( ) = sin( ).cos( ) =.sin( ).cos( ) = sin( ) F( ) = cos( ) + c 8. f ( ) tan ( ) tan ( ) F( ) tan( ) = = + = + c f ( ) tan ( ) tan ( ) F( ) tan( ) = + = + + = + +c 9. sin( ).cos( ) d=.sin( ).cos( ) d=.sin( ) d= cos( ) = = ( sin ( ) ) d = ( sin ( ) ) d apart: cos(a) = sin (A) sin (A) = 0, 0,.cos(A) Nu deze formule gaan toepassen ( sin ( ) ) d = (. ( cos( ) )) d = + cos( ) d =

19 9 + cos( ) d= sin( ) = = 7 7 = 0. f ( ) = sin( ) op het interval [0, ] 0 0 ( ) I = sin ( ) d ; Apart : cos( A) = sin ( A) sin ( A) = cos( A) sin ( ) = cos( ) ( ) ( + 0) ( 0 0) = sin( ) 8 0 I = cos( ) d= = y V / O / /. f ( ) = sin ( ) + sin( ) f f f '( ) = 0 cos( ) sin( ) + = 0 ( ) = sin ( ) + sin( ) '( ) = sin( ) cos( ) + cos( ) ( ) cos( ) = 0 sin( ) = op [0, ] =,, 0,. Waarbij van 0 en bekend is dat ze niet gemakkelijk als eact getal geschreven kunnen worden, maar waarvoor geldt: sin( 0) = sin( ) =. Zie nu grafiek: 0 f ( ) 8 m f ( ) = m f( ) = 0 B = [, ] min. f( ) = ( ) = = f 8 De snijpunten met de -as sin ( ) + sin( ) = 0 p + p = 0 p= p= sin( ) = sin( ) = op [0, ] d = = = Opp vlakdeel = ( sin ( ) + sin( ) ) grafiek

20 0 Nu is cos( ) = sin ( ) sin ( ) = cos( ) sin ( ) = cos( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin ( ) + sin( ) d= cos( ) + sin( ) d = cos( ) + sin( ) d= + = + =. f( ) = sin ( ) + sin( ) + op het interval [0, ] f( ) = sin ( ) + sin( ) + ; f( ) = 0 sin ( ) + sin( ) + = 0 stel sin( ) = + + = 0 p p p ( p+ ) = 0 p= = = 7 7, = sin( ) sin ( ) = + k = + k op [0, ] ( ) Opp = sin ( ) + sin( ) + d= 7 Apart : cos( ) = sin ( ) sin ( ) = cos( ) ( cos( ) sin( ) ) d ( cos( ) sin( ) ) d sin( ) cos( ) = 7 + = + ( 7 + ) = ( 8 ) 8 8 =. Gegeven : f( ) = sin( ) ; D = [, ] De periode is /(0,) = ; ew. stand is, ; de amplitude is Er is sprake van een spiegeling. Zie de figuur. f c. f( ) = 0 sin( ) = sin( ) = = + k = + k = + k = + k =, op [, ] ( ) OppV = sin( ) d = cos( ) = ( ) ( ) + = Opp V =

21 ( ) Inh = ( f ( )) d = ( f( )) d= sin( ) d ( ) 9 ( ) = sin( ) d= 9sin( ) + 9sin ( ) d Apart : ( 9 ) Stel h ( ) = 9sin( ) + 9sin ( ) Nu is cos( ) = sin ( ) sin ( ) = cos( ) sin ( ) = cos( ) 9 ( ) ( ) ( 9sin( ) cos( ) ) h ( ) = 9sin( ) cos( ) = 9sin( ) + cos( ) = ( ) ( ) Inhoud = 9sin( ) cos( ) d = + 8cos( ) sin( ) = ( ) ( ) = = 9 De gevraagde inhoud is : 9 Opmerking: We gaan in het vervolg veel uit van de formules : y= asin( c( t b)) + d of y= acos( c( t b)) + d Hierin heeft a te maken met de amplitude, verder geldt : c = en we gaan uit periode van de translatie : Tbd (, ).. Rondgang is seconden de periode is dus. De amplitude is en er is sprake van een positieve draairichting. yp = sin t De amplitude is weer. De periode is ook en ook weer een positieve draairichting P = cos t. De r.c. van de lijn y = - + is - In ABM hebben we te maken met een rechthoekige driehoek en hoeken van. AB = MB Stel de zijde is + = = 8 = AB = BM = De coördinaten van A zijn : A = - en y A = +.

22 . Gegeven : = + cos( t) y = + sin( t) op het interval [0, ] y t = 0 De periode is. Nu het ¾ deel. De draairichting is links om. Het middelpunt is (-, ) en de straal is. Het beginpunt is (, ). Het eindpunt is (-, ). O Snijpunt y-as = cos(t) = 0 cos(t) = 0, t = Het snijpunt is (0, + ) c. Snijpunt met l : y = + invullen + sin(t) = - + cos(t) + sin(t) = cos(t) sin(t) = cos(t) t = t = De punten zijn dus : B(- +, + ) en C(- -, - ) d. Links van de lijn = - De snijpunten van de kromme met deze verticale lijn. - + cos(t) = - cos(t) = - cos(t) = -0, t = t =. De kromme gaat linksom en het eerste snijpunt is bij t = De kromme is links van de lijn = - voor < t <. Kleine vergissing. Het vorige gedeelte was eact: Nu met GR. Voer in : y = - + cos() en y = - Met intersect vinden we de snijpunten bij = t,09 en bij = t,9. Bij t,09 hebben we het bovenste snijpunt en de kromme gaat linksom. De kromme is links van de lijn = - voor,09 < t <,9. 7. Hoeksnelheid is rad/s ω = ; m.p. is (, ) en r = Beginpunt is (8,) = + cos( t) De p.v. van de kromme is : y = + sin( t) Eerst de t-waarden berekenen van de snijpunten van de kromme met de -as. y = 0 + sin(t) = 0 Voer in y = + sin() en y = 0 Met intersect vinden we : = t,9 = t,78. Tussen die twee waarden is de sinus negatief. Het aantal seconden onder de -as is dus ongeveer,777,9 0,8 sec.

23 8. Gegeven de kromme : interval [0, ]. = + cos( t) y = + sin( t) op het ω = De kromme draait links om. Het m.p. is (, ). Het beginpunt bij t = 0 is bij het punt ((, ). De straal is. Zie de figuur. y A O t = 0 Snijpunt met de -as y = sin(t) = 0 sin(t) = sin(t) = 0, t = + k. t = + k. t = + k. t = + k. Binnen het interval geeft dit t = t =. t = geeft het punt (0, ; 0) (niet gevraagd) en t = geeft het punt (-, ; 0) A is dus het punt (-, ; 0). c. K snijden met = -, 0, + cos( t) =, cos( t) = cos( t ) = cos( t) = cos t = + k. t = + k. t = + k. t = + k. Verder ligt t binnen het gegeven interval t = t = Zie verder de schets van de grafiek Voor alle t met < t < liggen de punten van K links van de lijn = -,. d. Eerst de snijpunten met y = sin(t) = - Voer in y = - + sin() en y = - Intersect geeft t,. We zien verder aan de grafiek van y = - + sin(t) dat rechts van het snijpunt de grafiek onder de hoogte - ligt. Het gevraagde geldt voor :,9 < t 9. y P P = cos( t) = sin( t) met t in seconden. Snijpunten met y = + invullen in de vergelijking. sin(t) = cos(t) + Voer in : y = sin() en y = cos() + Met intersect vinden we de snijpunten bij = t,7 en bij = t, Dit nu invullen in de gegeven parametervoorstelling. Dit geeft de snijpunten (0,8 ;,8) en (-,8 ; -0,8)

24 Nu de kromme snijden met de lijn = cos(t) = cos(t) =0, Tussen het interval [0, ] krijgen we dan t = of t =. Tussen deze waarden is de waarde van cos(t) minder dan. We moeten echter de waarden boven de krijgen. (In de parameterkromme dus rechts van de!!!! ) We moeten dan dus t nemen tussen - en nemen. De middelpuntshoek is dan dus 0 De totale omtrek van de cirkel is. = De gevraagde lengte is. =. c. Q = cos( t) yq = sin( t) We hebben dus te maken met de punten P en Q op twee verschillende cirkels. In de rechthoekige driehoek PQR gaan we nu Pyth. toepassen. PQ = PR + RQ Nu de coördinaten invullen: R Q O P PQ = ( cos() t cos() t ) + ( sin() t sin() t ) = cos (t) - cos(t).cos(t) + cos (t) + sin (t) sin(t).sin(t) + sin (t) = cos (t) + sin (t) + cos (t) + sin (t) -cos(t).cos(t) 8sin(t).sin(t).cos(t) = - cos(t).(cos(t) + sin (t)) = - cos(t).(- sin (t) + sin (t)) = - cos(t) PQ = cos( t) d. E r moet gelden : cos( t) >, Voer in : y = cos( t ) en y =, Intersect geeft t 0,8 en t,7. Zie nu de schets: Aflezen geeft een tijdsverschil van,7 0,8 =, sec. 0. P = cos( t) Gegeven : y sin( P = t) Q heeft sec. achterstand Op het tijdstip t = is Q op de beginsituatie van punt P. T(,0)

25 cos( Q = ( t )) yq = sin( ( t )) Als je nu t = invult dan heb je de beginsituatie van punt P.. Advies: Maak een schets van de situatie. y In deze schets zien we dat P onderin begint en omhoog en naar rechts gaat. Een tabel geeft het volgende beeld van P. O Het punt P heeft een faseachterstand van t.o.v. de beginsituatie in het punt (7,-) De periode is : = 0,8, We moeten ook nog rekening houden met de evenwichtsstanden en de amplitudes. P = + cos(,( t 0, ) yp = + sin(,( t 0, )) Anders: P heeft een kwart cirkel achterstand t.o.v. het beginpunt (7,-) P = + cos(, t. ) P = + cos(,t 0, ) y sin(,. ) yp sin(,t 0, ) P = + t = + (,-) (,-) (,-) Voer de beide functies in. Maak de mode parameter. We lezen dan bij t = in de tabel af : P t= (, ; -,8) c. In de eerste schets van de cirkel zien we dat punt P voor het eerst in punt (,-) komt na ¾ van de periode.. De omlooptijd is = = Het gevraagde tijdstip is dus :. ω, voor t = 0, d. Snijpunten met de -as - + sin(,(t 0,) = 0 sin(,(t 0, ) = Voer in y = sin(,( 0, ) en y = = t 0,9 of = t,9 Nu deze waarden invullen in P P,78 of P, De coördinaten zijn : (,78 ; 0) en (, ; 0).

26 m.p. (,) en r = ; T = periode = 0, ω = = Op t = 0, dan P in punt 0, (,) Dit is dus het punt op dezelfde hoogte als het m.p. en rechts van het m.p. Het beginpunt is nu in feite bij t = 0, P = + cos ( t 0,) met t in seconden. yp = + sin ( t 0,) Q heeft een voorsprong van 0, sec. op punt P Het beginpunt van Q is dus 0, sec eerder Q = + cos (( t+ 0, ) 0,) Q t=0,-0, = P t=0, Voor punt Q geldt : yq = + sin (( t+ 0, ) 0,) y Q Q = + cos ( t+ 0,) = + sin ( t+ 0,) met t in seconden. R = + cos( t ) c. Voor R geldt : We gaan de formules van punt R anders schrijven yr = + sin( t ) zodat de translatie en dus het tijdverschil duidelijk tot uiting komt R = + cos( t ) R = + cos( ( t 0, )) R heeft een achterstand van yr = + sin( t ) yr = + sin( ( t 0, )) 0, t.o.v. het beginpunt (, ). R heeft dus een achterstand van 0, t.o.v. punt P. Aangezien de totale periode 0, seconde is. Mag je ook zeggen dat R een voorsprong heeft van 0, seconde.. ω = rad/s en m.p. (-,) en straal. Bij t = 0 is P(,) Het meest rechtse punt van de cirkel. y P P = + cos( t) = + sin( t) Q heeft een faseachterstand van op P..periode =.0, = de formules voor Q Q = + cos ( t ) worden nu : met t in seconden. yq = + sin ( t ) Anders: Q heeft een faseachterstand van t.o.v. punt P. Dan heeft Q dus een achterstand van. = De vergelijkingen worden nu : Q = + cos( t ) y sin Q = + ( t )

27 7 Nu P in (-, ) dus boven in: De fasevoorsprong t.o.v. punt (,) is dus. Vervolgens de fasevoorsprong is t.o.v. het punt (-, ) Totale fasevoorsprong is dus : + =.periode =.0, = de formules voor Q worden nu : Q = + cos ( t+ ) yq = + sin ( t+ ) Anders: Q heeft een fasevoorsprong van t.o.v. P. Zoals al vermeld heeft Q een voorsprong van t.o.v. het punt (-,) De voorsprong is dus :. = De vergelijkingen zijn dus : Q = + cos t+ ) yq = + sin t+ c. Nu P(-, ) voor t = 0 Eerst een fasevoorsprong van t.o.v. het punt (,). Vervolgens een faseachterstand van t.o.v. punt (-, ) We krijgen uiteindelijk een fase voorsprong van = t.o.v. punt (, ). = 8 Anders: Zoals al vermeld is de fasevoorsprong t.o.v. het punt (,). = De vergelijkingen worden dus : ( t ) ( t ) Q = + cos + y sin Q = + + ( t) ( t) ( t ) ( t ) Q = + cos ( t+ ) 8 yq = + sin ( t+ ) 8. Dus de voorsprong is ( t ) ( t ). P = + cos Q = + cos + R = + cos y sin P = + yq = + sin + yr = + sin De voorsprong van Q op P is deel van de cirkel De fasevoorsprong is:

28 8 De achterstand van R op 0, dat is dus het ¼ deel van de cirkel faseachterstand is. c. De achterstand van R op Q is + =. De faseachterstand is dus : Je kan dus ook zeggen dat R een fasevoorsprong heeft van dus. 7 = op Q. Het faseverschil is dan. r = 0 cm Stand I omw./s T = seconde. c = ω = = 0 P = 0 cos(0 t) Punt Q heeft een faseachterstand van t.o.v. P. yp = 0sin(0 t).periode =. = Q = 0cos 0 ( t ) yq = 0sin 0 ( t ) Je kan ook zeggen : faseachterstand is de achterstand is. = ( t ) ( t ) Q = 0cos 0 yq = 0sin 0 Punt R heeft een achterstand van t.o.v. P.periode =. = R = 0cos 0 ( t ) ` yr = 0sin 0 ( t ) Weer anders. Faseachterstand van. van de cirkel dus. ( t ) ( t ) Q = 0cos 0 yq = 0sin 0

29 9 Stand II v = 08 km/u = = 080 = 0 m/s. We kennen de formule v = ω. r met 00 0 r = 0, m ω = v 0 r = 0, = rad/s De vergelijkingen worden nu : ( t) ( t) P = 0cos 0 yp = 0sin 0 met en y in cm en t in seconden. rol I : r = 0 cm en rol II : r = cm. m.p. rol I is (0,0) en m.p. rolii is (,0) ; T I = sec. Draairichting van rol I is negatief. en c = ω = P = 0cos( t) = yp = 0sin( t) Nu rol II. De draairichting is nu positief.. Nu geldt dat de omtrek van rol II. = 0 is. De omlooptijd T is nu dus sec. c = ω = =. Verder is het m.p. (,0). Ook moeten we nog rekening houden dat punt Q een fasevoorsprong van de kleine rode cirkel.periode =. = heeft t.o.v. het rechtse punt op Q = + cos ( t+ ) De vergelijkingen van punt Q zijn nu : met en y in cm en t in yq = sin ( t+ ) seconden. Bij een fasevoorsprong van 0, is de voorsprong een halve cirkel. De vergelijkingen kan je dus ook als volgt schrijven : Q = + cos( t+ ) yq = sin( t+ ) Per seconden gaat er.0 cm papier tussen de rollen door per uur wordt dat dus : cm meter.

30 0 7. ω = - rad/s. ( t) ( t) P = + cos yp = + sin y 7 Voer in in GR. We krijgen dan bij t =, P. (-, ;,) c. Het punt (-,-) wordt bereikt na van de trillingstijd. De trillingstijd is. De drie gevraagde tijdstippen zijn : 0, sec ;, sec en, sec. d. y-as snijden geeft : - + cos(- t) = 0 cos(-t) = 0, t = k t = t k. t. + + k 7 = + = +k Invullen geeft de punten ( 0,+ ) en ( 0, ) e. Even een hulptekening: Noem het snijpunt links van de oorsprong A en het middelpunt M. Dan geldt : cos( AMO) = 0, AMO,8.. De totale middelpuntshoek behorend bij het gedeelte van de cirkel onder de -as is dan ongeveer,.. rad. De lengte van het gedeelte van de cirkel onder de -as is dan :,..... P t=? O 0, P t=0 8. diameter is meter ; capsules ; T = 0 min ; Beginpunt (0, ) Het beginpunt is bovenin. De vergelijkingen zijn : = 7,.cos( t+ ) y 7, 7,.sin = + ( t + ) Saskia heeft dus een faseachterstand van De achterstand is dan dus een kwart cirkel. 8 De bewegingsvergelijkingen van Saskia zijn dan dus : 7,.cos( t ) = + = 7,.cos( t+ ) y 7, 7,.sin = + ( t+ ) y= 7, + 7,.sin( t+ )

31 c. De gevraagde snelheid is de afgelegde weg gedeeld door de gebruikte tijd. Een omwenteling in 0 minuten. Daarom omwentelingen per uur. De snelheid is gelijk aan de gemiddelde snelheid is dan :..7, = 70. meter/uur = 0,8 km/uur d. Hoogte boven de 00 meter. Dus vanaf het middelpunt boven, meter. Nu geldt : cos( AMB) =, 7, AMB,08 rad CMA,9.. rad. De gevraagde tijd is :,9....0min 0,0...min Het aantal seconden is dan ongeveer sec.

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0.

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. 12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. Dit is in de punten (1,0) en (-1,0) (1,0) heeft draaiingshoek 0 (-1,0) heeft

Nadere informatie

= cos245 en y P = sin245.

= cos245 en y P = sin245. G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a b overstaande rechthoekszijde PQ PQ sinα = (in figuur 8.) sin = = PQ = sin 0, 9. schuine zijde OP aanliggende rechthoekszijde OQ OQ cosα = (in figuur 8.) cos =

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Periodieke functies

Hoofdstuk 4 - Periodieke functies Hoofdstuk - Periodieke functies ladzijde 98 V-a Na seconden. Het hart klopt c, millivolt = slagen per minuut. V-a Ja, met periode ; nee; misschien met periode. Evenwichtsstand y = ; -; y =. Amplitude is

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 Goniometrie. 8.1 De eenheidscirkel. Opgave 1: PQ 1 OQ 1. Opgave 2: Opgave 3: GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H8 1-1 - AUGUSTINIANUM (LW)

Hoofdstuk 8 Goniometrie. 8.1 De eenheidscirkel. Opgave 1: PQ 1 OQ 1. Opgave 2: Opgave 3: GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H8 1-1 - AUGUSTINIANUM (LW) Hoofdstuk 8 Goniometrie 8. De eenheidscirkel Opgave : PQ a. sin 6 PQ sin 6 0,9 OQ cos6 OQ cos 6 0, b. P0,;0,9) Opgave : a. POQ 80 6 PQ 0,9 OQ 0, P0,;0,9) b. cos 0, sin 0,9 x P cos 0, y P sin 0,9 c. POQ

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden 7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde B

Samenvatting wiskunde B Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!

Nadere informatie

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] 6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde

Nadere informatie

OEFENPROEFWERK VWO B DEEL 3

OEFENPROEFWERK VWO B DEEL 3 Formules OEFENROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK GONIOMETRISCHE FORMULES cos( t u) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) sin( A) sin( A)cos( A) sin( t u) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( t u) cos( t)cos( u) sin(

Nadere informatie

Oefenexamen 2 H1 t/m H13.2 uitwerkingen. A. Smit BSc

Oefenexamen 2 H1 t/m H13.2 uitwerkingen. A. Smit BSc Oefenexamen H t/m H3. uitwerkingen A. Smit BSc Een bewegend vierkant (naar methode Getal en Ruimte) De baan van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: ቐ x P t = sin t y P t

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a a 8 8. Ageleiden bladzijde 5 Uit de ormule voor de omtrek van een cirkel (omtrek r ) volgt dat een volledige cirkel (60 ) overeenkomt met radialen. Een halve cirkel (80 ) komt dus overeen met radialen.

Nadere informatie

9.1 Recursieve en directe formules [1]

9.1 Recursieve en directe formules [1] 9.1 Recursieve en directe formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is een getallenrij. De getallen in de rij zijn de termen. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk - Periodieke functies Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde V-a De omtrek van de eenheidscirkel is π = π. Hierij hoort een hoek van zowel π radialen als 0. Dus 80 komt overeen met π radialen. V-a

Nadere informatie

Paragraaf 8.1 : Eenheidscirkel

Paragraaf 8.1 : Eenheidscirkel Hoofdstuk 8 Goniometrische functies (H4 Wis B) Pagina 1 van 10 Paragraaf 8.1 : Eenheidscirkel Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ) = x coordinaat

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot II

Eindexamen vwo wiskunde B pilot II Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosu sintsinu cos( tu) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t11 sin t www - 1 - Een regenton

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II ier tappen ij het tappen van bier treden verschillen op in de hoeveelheid bier per glas. Uit onderzoek blijkt dat de hoeveelheid bier die per glas getapt wordt bij benadering normaal verdeeld is met een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 1330-1630 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage Dit eamen bestaat uit 16 vragen Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 007 tijdvak woensdag 0 juni 13.30-16.30 uur wiskunde 1, ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 5 bladzijde 9 ab f g h i j functie nr 5 Domein [ 0, 0, Bereik [ 0, [ 0, 0, c D k B k, 0 0, d Spiegelen in de -as geeft het tegengestelde bereik, dus, 0]. e u ( ) en yu ( ) u f D q, 0 0, ; B q 0, a [, b

Nadere informatie

a. Lengte PQ = f(1,5) = 2 Opp.(OPQR) = OP. PQ = 1,5. 2 = 1,5 2 b. Nu x P = p PQ = f(p) = 5 2p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5

a. Lengte PQ = f(1,5) = 2 Opp.(OPQR) = OP. PQ = 1,5. 2 = 1,5 2 b. Nu x P = p PQ = f(p) = 5 2p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5 Uitwerkingen Hst 5 Toepassingen. Gegeven de functie: f ( ) = 5 a. Lengte PQ = f(,5) = Opp.(OPQR) = OP. PQ =,5. =,5 Nu P = p PQ = f(p) = 5 p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5 p c. Voer in : y = p. 5 p Met

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ)

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2017-II

wiskunde B pilot vwo 2017-II wiskunde B pilot vwo 017-II Formules Goniometrie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin(

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2017-II

wiskunde B pilot vwo 2017-II Twee machten van maimumscore 5 f' ( ) = ln() + ln() Uit f' ( ) = volgt dat = Dus + = ( = ) Hieruit volgt = a+ a, met a =, moet minimaal zijn De vergelijking a = moet worden opgelost Dit geeft Hieruit volgt

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking. G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 08 tijdvak maandag 4 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2018-I

wiskunde B vwo 2018-I Formules Goniometrie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) sin( t) sin( t)cos( t) cos(

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Goniometrische verhoudingen ladzijde 9 V-a vereenkomstige hoeken zijn gelijk. 7 7, c PR 7, AC, 7, QR 7, BC, 7, 0 V-a In deze driehoeken is A C en ook zijn de hoeken ij U en V gelijk. CR AQ

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur Eamen VW 017 tijdvak woensdag 1 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 74 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 - Periodieke functies

Hoofdstuk 7 - Periodieke functies Voorkennis: Goniometrische verhoudingen ladzijde 9 V-a vereenkomstige hoeken zijn gelijk. 7 7, c PR 7, AC, 7, QR 7, BC, 7, 0 V-a In deze driehoeken is A C en ook zijn de hoeken ij U en V gelijk. CR AQ

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 13 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 13 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden).

stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden). Samenvatting door Sterre 1437 woorden 5 mei 2018 7.8 3 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Vocabulair Algebraïsch stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen

Nadere informatie

wiskunde B pilot havo 2015-I

wiskunde B pilot havo 2015-I Hangar Door constructies in de vorm van een bergparabool te gebruiken, kunnen grote gebouwen zonder inwendige steunpilaren gebouwd worden. Deze manier van bouwen werd begin vorige eeuw veel gebruikt voor

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2016-I

wiskunde B vwo 2016-I wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 18 mei uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 18 mei uur Eamen VW 016 tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur wiskunde (pilot) it eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie

Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie 0. voorkennis Het differentiequotiënt Het differentiequotiënt van y op de gemiddelde verandering van y op [ ] is: A B de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de

Nadere informatie

Verbanden en functies

Verbanden en functies Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

) translatie over naar rechts

) translatie over naar rechts Hoofdstuk opmerkingen/adviezen Leer deze grafieken precies! Zorg dat je de volgende formules ziet in de grafieken: Periode sinus, cosinus en tangens: resp,, sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) c a k a k

Nadere informatie

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x)) 5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 2019 tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Examen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 08 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 5 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2008-II Een eponentiële functie De functie f is gegeven door f( ) = e. is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as. B is het snijpunt van de raaklijn aan de grafiek van f in met de -as. Zie figuur 1. figuur

Nadere informatie

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00

Nadere informatie

wiskunde B bezem vwo 2018-II

wiskunde B bezem vwo 2018-II wiskunde bezem vwo 08-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren De Wageningse Methode &6 WO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk egels voor differentiëren Paragraaf Opnieuw sinus en inus a. -, 0, ; -, ; -, ; -, b. (,sin) (-0, ; 0,9), met de G Op dezelfde hoogte:,

Nadere informatie

Paragraaf 11.0 : Voorkennis

Paragraaf 11.0 : Voorkennis Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +

Nadere informatie

Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen

Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Les 1 : Vectoren tekenen Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. 10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan

Nadere informatie

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )

Nadere informatie

2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] 2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. 1 maximumscore 3 Er zijn 7 gouden medailles in Dit is 44(%) (of 43,8(%) of 43,75(%)) 1

Vraag Antwoord Scores. 1 maximumscore 3 Er zijn 7 gouden medailles in Dit is 44(%) (of 43,8(%) of 43,75(%)) 1 VMBO KB 011-I Vraag Antwoord Scores Olympische medailles 1 maximumscore 3 Er zijn 7 gouden medailles in 008 1 7 16 100 1 Dit is 44(%) ( 43,8(%) 43,75(%)) 1 maximumscore 3 In 000 behaalde Nederland op ongeveer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 havo 2004-II

Eindexamen wiskunde B 1-2 havo 2004-II Eindexamen wiskunde B - havo 004-II 4 Beoordelingsmodel Bacteriecultuur Maximumscore beschrijven hoe met de GR het maximum van N = 00t 3 + 300t + 900t + 000 voor 0 t 4 kan worden berekend Het aantal bacteriën

Nadere informatie

wiskunde B havo 2019-I

wiskunde B havo 2019-I Formule van Wilson maximumscore Uitgaande van gelijke temperatuur en diepte wordt het verschil in snelheid dus bepaald door het verschil in zoutgehalte Er geldt: v =,9( 7 5),9( 5) Het gevraagde verschil

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VWO 008 tijdvak woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B1 Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 50075005 Haags Montessori Lyceum (c) 0 Inleiding In deze leerroute gaan we kijken naar goniometrische functies: De eenheidscirkel

Nadere informatie

ICT - Cycloïden en andere bewegingen

ICT - Cycloïden en andere bewegingen ICT - Ccloïden en andere bewegingen bladzijde 80 a ( 0, ) b Als de middelpuntshoek radiaal is, is de bijbehorende booglengte: omtrek π π = meter. er seconde wordt er over radiaal gedraaid en wordt er dus

Nadere informatie

Verloop van goniometrische en cyclometrische functies

Verloop van goniometrische en cyclometrische functies Verloop van goniometrische en cyclometrische functies Meetkundige definitie Definities sin tan cos cos cot sin sec cos csc sin Hoofdformules sin + cos tan + sec cos cot + csc sin cot tan sin 0 cos tan

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Eindexamen vmbo gl/tl wiskunde I

Eindexamen vmbo gl/tl wiskunde I Beoordelingsmodel Snelwandelen maximumscore 4 50 km is 50 000 meter 3 uur, 35 minuten en 47 seconden is gelijk aan 947 seconden 50 000 = 3,86 (m/s) 947 Het antwoord: 3,9 (m/s) maximumscore maximale snelheid

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 19 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 19 juni uur Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Paragraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen

Paragraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen Hoofdstuk 12 Goniometrische Formules (V5 Wis B Pagina 1 van 8 Paragraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen Les 1 Gonio vergelijkingen oplossen met herleidregels Definitie Er zijn een aantal omschrijfregels

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 018 tijdvak 1ti maandag 14 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h Een regenton maximumscore h V ( rx ( )) dx π 0 00 ( rx ( )) ( x x ) + Een primitieve van + x x is x+ 7 x x π Dus V ( h 7 h h ) + 00 π π V h+ h h h+ h h 00 0 ( ) ( ) maximumscore Het volume van de regenton

Nadere informatie

Voorbeeldtentamen Wiskunde B

Voorbeeldtentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Datum: Najaar 2018 Tijd: 3 uur Aantal opgaven: 6 Voorbeeldtentamen Wiskunde B Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.

Nadere informatie

0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen

0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen 0. voorkennis Periodieke verbanden Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen Er zijn twee verschillende tekendriehoeken: de 45-45 -90 driehoek en de 30-0 -90 -driehoek. Kenmerken

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni uur Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen; het eamen bestaat uit 4 vragen.

Nadere informatie

Wiskunde D voor HAVO. Periodieke functies Gert Treurniet

Wiskunde D voor HAVO. Periodieke functies Gert Treurniet Wiskunde D voor HAVO Periodieke functies Gert Treurniet . Inleiding Een toon is een trilling. De trilling van lucht brengt ons trommelvlies in beweging. De beweging van ons trommelvlies nemen we waar als

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B pilot havo II

Eindexamen wiskunde B pilot havo II Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - II Beoordelingsmodel Mosselen maximumscore L = 9 invullen in de gegeven formule geeft C 5 De hoeveelheid gefilterd water is (ongeveer) 5 = 8 ml per dag Dit is meer

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2. Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B

5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B Boekverslag door P. 1778 woorden 11 januari 2012 5.7 103 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Wiskunde Hoofdstuk 1 Formules en Grafieken 1.1 Lineaire verbanden Van de lijn y=ax+b is de

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Sinusoïden

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Sinusoïden Uitwerkingen ij _ Voorkennis: Sinusoïden V_ a A( π, ), B( π, ), C( π, ) en D(π, ) Met de rekenmachine : Y = sinx Y = Met CALC, Intersect of G-Solve, ISCT: c V_ a x,6, x,5 of x,67 Bij een verschuiving van

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-II

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-II Eindeamen vwo wiskunde 04-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Antwoorden Wiskunde B Hoofdstuk 1 boek 2

Antwoorden Wiskunde B Hoofdstuk 1 boek 2 Antwoorden Wiskunde B Hoofdstuk 1 boek 2 Antwoorden door een scholier 7212 woorden 16 maart 2005 4,6 58 keer beoordeeld Vak Wiskunde B uitwerking Havo NG/NT 2 Hoofdstuk 1 De afgeleide functie 1.1 Differentiaalquotient

Nadere informatie