2 Basisfuncties Sinusfunctie Cosinusfunctie Tangensfunctie... 6

Transcriptie

1 Inhoud 1 Voorbereidende opdracht. 2 2 Basisfuncties Sinusfunctie Cosinusfunctie Tangensfunctie Veralgemeende goniometrische functies Spiegeling rond de X-as (Sp) Verticale vergroting met factor a > 0 (VVG*a) Horizontale verkleining met factor b > 0 (HVK*b) Horizontale verschuiving over c (HVS+c) en verticale verschuiving over d (VVS+d) Synthese. 14

2 Goniometrische functies Dirk Danckaert Sint-Norbertusinstituut Duffel Februari 2013 Inleiding. Een functie is elke regel die aan een gegeven (ook wel origineel of startwaarde genoemd) een resultaat koppelt dat we beeld- of functiewaarde noemen. Meestal gebruikt men de letter x als symbool voor het origineel en y als symbool voor de bijhorende beeldwaarde. Men stelt daarbij nog de voorwaarde dat met elke x-waarde hoogstens één y-waarde overeenkomt. We geven functies een éénlettersymbool, bv. f, en noteren dat f : x y als de functie f de waarden x en y aan elkaar koppelt. Omdat er hoogstens één y-waarde bij x hoort kunnen we deze y-waarde ondubbelzinnig noteren als f(x). Dit noemen we functienotatie. Met elke hoek α komt één enkele waarde voor de sinus overeen. Dit bepaalt dus een functie, waarin het origineel een hoek is (α) en de het beeld een getalwaarde (sin α). Drukken we echter zoals gebruikelijk in de Wiskunde de hoek α uit als α = x rad dan wordt de waarde van sin α functie van de zuiver numerieke coëfficiënt x. We krijgen zo een R R-functie, die op gelijke voet staat met de eerder bestudeerde algebraïsche functies. Dit noemen we de (standaard) sinus-functie. Op volledig analoge manier definiëren we de cosinus- en tangensfunctie. Het ligt nu voor de hand om ook deze functies voor te stellen d.m.v. een grafiek en de vraag te stellen naar nulpunten, teken, asymptoten,..., enz.. Deze goniometrische functies zijn het onderwerp van deze paragraaf.

3 Sint-Norbertusinstituut Duffel 2 1 Voorbereidende opdracht. Gebruik je RT om de tabel op de volgende bladzijde in te vullen, telkens met drie beduidende cijfers. In de tabel vind je de waarden terug van sin x, cos x en tan x waarbij x (uitgedrukt in radialen, zoals het hoort in de Wiskunde) varieert van 1,1π tot +1,1π in stappen van 0,1π = 18. Merk op dat hiermee het volledige hoekbereik van 2π = 360 bemonsterd wordt. Om efficiënt te werken gebruik je de ingebouwde tabelfunctie van je RT (menuknoppen [Y=], [TblSet] en [Table]). De onderstaande schermafdrukken helpen je op weg. Gebruik de tabelwaarden om met de hand de grafieken te schetsen van de functies y = sin x, y = cos x en y = tan x. Duidelijkheid is hierbij belangrijker dan precisie. Hou je daarom aan de volgende richtlijnen. Teken elke grafiek op een apart A4-blad, commercieel geruit en liggend georiënteerd. Teken eerst in potlood en werk de grafiek pas uit in inkt als je zeker bent dat ze volledig correct is. Teken de X-as ongeveer in het midden, in de lengte van het blad. Gebruik als schaal op de X-as: π = 10 ( lange ) ruitjes. De schaal op de Y -as mag je zelf kiezen, maar neem ze niet te klein. Zorg dat de grafiek het blad zo goed mogelijk vult, maar gebruik geen breukdelen van ruitjes. Elk paar (x, y) uit de tabel duid je aan als een klein kruisje op de grafiek. Overdrijf niet met schaalaanduidingen op de assen: 4 onderverdelingen horizontaal en verticaal moeten volstaan. Voorzie elke grafiek van een duidelijke titel.

4 Sint-Norbertusinstituut Duffel 3 x (rad) y = sin x y = cos x y = tan x 1,1π 0,309 1,0π 0,000 0,9π 0,309

5 Sint-Norbertusinstituut Duffel 4 2 Basisfuncties. 2.1 Sinusfunctie. Definitie. sin : R R : x y = sin x = sin(x rad) Grafiek. Eigenschappen. 1. dom sin x = R bld sin x = [ 1, 1] 2. x R : sin(x + k 2π) = sin x In woorden: y = sin x is een periodieke functie met periode p = 2π. 3. x R : sin x = sin( x) In woorden: het punt S(0, 0) is een symmetriepunt van graf sin(x). 4. x R : sin( π x) = sin( π + x) 2 2 In woorden: de rechte s : x = π is een symmetrie-as van graf sin(x). 2 Opmerkingen. Eigenschap (2.) drukt uit dat graf sin x bestaat uit een herhaling van identieke stukken met lengte 2π, bv. het deel in de strook x [ π, π], of dat in x [0, 2π]. Het zijn eindige bouwstenen die toelaten om de hele grafiek op te bouwen door opeenvolgende verschuivingen. Het woord

6 Sint-Norbertusinstituut Duffel 5 periode staat zowel voor één enkele van die bouwstenen als voor de lengte p = 2π van zo een bouwsteen. Formules (2-4) drukken elk een symmetrieëigenschap uit van graf sin x, namelijk verschuivingssymmetrie, puntsymmetrie en lijn- of spiegelsymmetrie. Elk van deze symmetrieëigenschappen heb je vroeger onder een andere vorm reeds leren kennen, maar wordt nu op een nieuwe manier zichtbaar op de grafiek. Stel je namelijk x, x + k 2π, x en π ± x voor als hoeken 2 in een goniometrische cirkel dan blijkt: x en x + k 2π zijn gelijke hoeken, ±x zijn tegengestelde hoeken (TH), π 2 ± x zijn supplementaire hoeken (SH). De grafiek heeft nog (een oneindig aantal) andere symmetrieassen en - punten, die echter stuk voor stuk een gevolg zijn van de twee genoemde symmetrieën. 2.2 Cosinusfunctie. Definitie. cos : R R : x y = cos x = cos(x rad) Grafiek.

7 Sint-Norbertusinstituut Duffel 6 Eigenschappen. 1. dom cos x = R bld cos x = [ 1, 1] 2. x R : cos(x + k 2π) = cos x In woorden: y = cos x is een periodieke functie met periode p = 2π. 3. x R : cos x = cos( x) In woorden: de rechte s : x = 0 is een symmetrie-as van graf cos x. 4. x R : cos( π 2 x) = cos( π 2 + x) In woorden: het punt S( π, 0) is een symmetriepunt van graf cos x. 2 Je kan analoge opmerkingen formuleren als voor de sinusfunctie. 2.3 Tangensfunctie. Definitie. tan : R R : x y = tan x = tan(x rad) Grafiek.

8 Sint-Norbertusinstituut Duffel 7 Eigenschappen. 1. dom tan x = R\{ π ± kπ} (k Z) 2 bld tan x = R 2. De verticale rechten l : x = π ± k 2π zijn asymptoten van graf tan x. 2 Ze verdelen de grafiek in een oneindig aantal afzonderlijke takken. 3. x π ± kπ : tan(x + kπ) = tan x 2 In woorden: y = tan x is een periodieke functie met periode p = π. 4. x R : tan x = tan( x) In woorden: het punt S(0, 0) is een symmetriepunt van graf tan x. Opmerkingen. De gekende formule tan x = sin x laat toe om de eigenschappen van de tangensfunctie af te leiden uit die van de sinus- en cos x cosinusfunctie. De VA en de beperking op het domein van de tangensfunctie worden verklaard doordat tan x onbepaald is van type 1 0 als x = π 2 ± kπ. Aangezien de functies y = sin x en y = cos x allebei periode p = 2π hebben moet y = tan x automatisch ook periode 2π hebben. De minimale periode is echter kleiner: onder de substitutie x x + π veranderen y = sin x en y = cos x allebei van teken, zodat y = tan x onveranderd blijft. Ook hier heb je de symmetrieëigenschappen vroeger reeds onder een andere vorm leren kennen: x en x + π zijn antisupplementaire hoeken, x en x uiteraard tegengestelde hoeken. 3 Veralgemeende goniometrische functies. Goniometrische functies komen erg veel voor in toepassingen uit allerlei disciplines, maar slechts zelden in hun basisvorm zoals we die hier hebben leren kennen. Bijna altijd is de grafiek in horizontale en/of verticale richting getransformeerd. Meestal gaat het hierbij om verschuivingen en/of vergrotingen of verkleiningen. Bij een getransformeerde grafiek hoort ook een gewijzigde

9 Sint-Norbertusinstituut Duffel 8 definitieformule. Hieronder laten we zien hoe de meetkundige transformaties van de grafiek weerspiegeld worden in de definitieformule van de functie. 3.1 Spiegeling rond de X-as (Sp). We vertrekken van de basisvorm van de sinusfunctie. We schrijven f(x) = sin(x) voor de definitieformule van de functie vóór transformatie en g(x) (nog te bepalen) voor de definitieformule na transformatie. Op de figuur hieronder staan beide grafieken samen getekend, over een lengte van (iets meer dan) één periode. Uiteraard komt een spiegeling rond de X-as gewoon overeen met een tekenverandering van de y-coördinaat op de figuur. We besluiten dat voor een spiegeling rond X, g(x) = sin x. We noteren dit besluit als y = sin(x) Sp y = sin(x). Rond de periode van de functies y = ± sin(x) hebben we een aansluitende rechthoek getekend, de perioderechthoek. Deze perioderechthoek ondergaat de zelfde transformaties als de grafiek, maar is gemakkelijker voor te stellen. In horizontale richting wordt de perioderechthoek in tweeën gedeeld door de lijn van gemiddeld niveau, die hier samenvalt met de X-as.

10 Sint-Norbertusinstituut Duffel 9 In verticale richting verdelen we de perioderechthoek in vier stroken, waarvan de grenzen samenvallen met de symmetriepunten en -assen van de grafiek. De perioderechthoek, vóór en na transformatie, heeft een totale lengte p = 2π en een hoogte y = 1 aan beide zijden van de lijn van gemiddeld niveau. Is de perioderechthoek eenmaal getekend, dan kan je gemakkelijk met de hand een vrij nauwkeurig beeld schetsen van de sinusgrafiek, met de juiste symmetrie en afmetingen. 3.2 Verticale vergroting met factor a > 0 (VVG*a). Het is niet de bedoeling om elke transformatie apart te beschouwen, maar wel om ze onderling te combineren. Hieronder (in stippellijn) zie je voor de eenvoud enkel de grafiek van y = sin x, maar je moet in gedachten ook de gespiegelde grafiek van y = sin x erbij zien. Vóór transformatie is m.a.w. f(x) = ± sin x, met één van beide tekens naar keuze. Voor een VVG geldt voor de functie g(x) na transformatie uiteraard dat g(x) = a f(x), (grafiek in volle lijn in de figuur hieronder) of nog y = ± sin(x) VVG a y = ±a sin(x).

11 Sint-Norbertusinstituut Duffel 10 Opmerkingen. De perioderechthoek na transformatie krijgt verticale afmetingen y = a aan beide zijden van de lijn van gemiddeld niveau. Op de figuur is duidelijk dat voor een echte vergroting a > 1 moet zijn. Stellen we 0 < a < 1 dan is de transformatie in feite een verticale verkleining. We kunnen echter de zelfde formule gebruiken en voor de eenvoud gebruiken we ook in beide gevallen het woord vergroting. Voor a = 1 blijft de grafiek ongewijzigd. Negatieve a-waarden worden niet gebruikt om vergrotingen mee te beschrijven. Een eventueel ( )-teken wordt altijd apart geschreven en heeft ook een aparte betekenis (een spiegeling). 3.3 Horizontale verkleining met factor b > 0 (HVK*b) Ook hier wordt de nieuwe transformatie gecombineerd met de voorgaande. vóór transformatie is dus f(x) = ±a sin x. De grafiek van f(x) is hieronder in stippellijn getekend. De getransformeerde grafiek van g(x) krijgt opnieuw een volle lijn. Duid op een willekeurige plaats

12 Sint-Norbertusinstituut Duffel 11 x een punt aan op graf g(x). Hiermee komt een punt op de plaats bx overeen op de grafiek van f(x), met de zelfde y-waarde. M.a.w. g(x) = f(bx), of nog y = ±a sin(x) HVK b y = ±a sin(bx). Opmerkingen. Ook de periode wordt een factor b kleiner. De perioderechthoek na transformatie krijgt dus horizontale afmetingen p = 2π b Hadden we gekozen om met een horizontale vergroting te werken dan hadden we een gebroken vorm x/b moeten schrijven als argument voor de sinusfunctie. Net om breuken te vermijden werken we liever met verkleiningen. Op de figuur is te zien dat voor een echte verkleining b > 1 moet zijn. Stellen we 0 < b < 1 dan is de transformatie in feite een horizontale vergroting. We kunnen echter de zelfde formule gebruiken en voor de

13 Sint-Norbertusinstituut Duffel 12 eenvoud gebruiken we ook in beide gevallen het woord verkleining. Voor b = 1 blijft de grafiek ongewijzigd. Negatieve b-waarden kunnen niet gebruikt worden om vergrotingen of verkleiningen mee te beschrijven. 3.4 Horizontale verschuiving over c (HVS+c) en verticale verschuiving over d (VVS+d). De functie vóór transformatie is f(x) = ±a sin(bx). Duid op een willekeurige plaats x een punt aan op de grafiek van de getransformeerde functie g(x). Hiermee komt een punt overeen op graf f(x) op de plaats x c, met de zelfde y-waarde. M.a.w. g(x) = f(x b), of nog y = ±a sin(bx) HVS+c y = ±a sin [b(x c)]. Tellen we bij die laatste y-waarde nog een constante d op, dan verschuift de grafiek ook nog in verticale richting. We noteren y = ±a sin [b(x c)] VVS+d y = ±a sin [b(x c)] + d.

14 Sint-Norbertusinstituut Duffel 13 Het resultaat zie je hieronder. Voor de eenvoud is enkel de niet-gespiegelde grafiek getekend. Opmerkingen. De perioderechthoek (PR) verandert uiteraard niet van afmetingen bij verschuiving. Het centrum van de PR heeft coördinaten (x = c, y = d). Op de figuur is de horizontale verschuiving naar rechts en de verticale naar boven getekend (met de richting op de assen mee). Hiermee komen positieve waarden c, d > 0 overeen. Voor verschuivingen in de andere richting moeten we geen nieuwe formules afleiden: het volstaat c < 0 en/of d < 0 te nemen. In tegenstelling tot vergrotingen of verkleiningen zijn voor verschuivingen beide tekens voor de parameters toegelaten. Voor c = d = 0 blijft de grafiek ongewijzigd.

15 Sint-Norbertusinstituut Duffel 14 4 Synthese. Naast veralgemeende sinusfuncties hebben we ook veralgemeende cosinusfuncties en tangensfuncties. Deze laatste spelen echter niet zo een grote rol in toepassingen en laten we daarom verder buiten beschouwing. Veralgemeende sinusfunctie. Dit is de functie die x y = ±a sin [b(x c)] + d, (a, b > 0, c, d willekeurig). De grafiek van een veralgemeende sinusfunctie ontstaat uit die van de basisfunctie y = sin x door een verticale vergroting met factor a (verkleining als 0 < a < 1), een horizontale verkleining met factor b (vergroting als 0 < b < 1), een horizontale verschuiving over c (naar rechts als c > 0, naar links als c < 0), een verticale verschuiving over d (naar boven als d > 0, naar onder als d < 0). Een eventueel ( )-teken duidt op een voorafgaande spiegeling rond de X-as. We noteren deze transformaties kort als VVG a, HVK b, HVS+c, VVS+d en Sp. Om de grafiek van een veralgemeende sinusfunctie te tekenen volstaat het om de perioderechthoek (PR) te construeren met centrum in (x = c, y = d) en afmetingen p = 2π horizontaal op 2a verticaal. b

16 Sint-Norbertusinstituut Duffel 15 Veralgemeende cosinusfunctie. Dit is de functie die x y = ±a cos [b(x c)] + d, (a, b > 0, c, d willekeurig). De meetkundige betekenis van de parameters a, b, c en d en het eventuele ( )-teken vooraan is dezelfde als bij de algemene sinusfunctie. Om de grafiek van een algemene cosinusfunctie te tekenen construeer je de zelfde PR als voor een sinusfunctie. Het enige verschil is dat een cosinusfunctie een symmetrie-as heeft in het midden en de zijkanten van de PR met twee symmetriepunten daartussen. Voor een sinusfunctie is dat net andersom. Vaktaal. Al wie te maken krijgt met veralgemeende sinus- of cosinusfuncties hoort de betekenis te kennen van de volgende vaktermen. De parameter a is de amplitude van de functie. Dit is de halve hoogte van de grafiek, gemeten van minimum- tot maximumwaarde. De parameter b is de pulsatie. Het is de enige parameter die je niet direct als een lengte kan aflezen op de grafiek. Om de pulsatie te bepalen meet je in plaats daarvan de periode p, die in een eenvoudig, symmetrisch verband staat met de pulsatie: p = 2π b ; b = 2π p Dikwijls schrijft men b = 2πf. De parameter f = 1 is de frequentie. p De frequentie is het aantal periodes per lengteëenheid op de X-as. De combinatie b(x c) stelt een hoek voor in een goniometrische cirkel. Deze hoek noemen we de fase. In het centrum van de PR is x = c en vinden we het punt met fase nul van de grafiek. Over de hele PR varieert de fase van 180 tot De lijn y = d is de lijn van gemiddeld niveau (ook wel: evenwichtslijn) van de functie.

17 Sint-Norbertusinstituut Duffel 16 Oefeningen. Tekenen van grafieken. Schets de grafieken van de volgende veralgemeende sinus- of cosinusfuncties. Bepaal eerst de getalwaarde van a, b, c en d en ga na of er een spiegeling moet gemaakt worden. Teken daarna de perioderechthoek (PR) en minstens drie periodes van de grafiek. Hou rekening met de volgende richtlijnen en tips. Elke grafiek op een apart A4-blad, met de X-as in de lengte getekend. Kies de horizontale schaal zo dat je een even aantal ruitjes krijgt voor de lengte van de PR, zodat je die gemakkelijk in 2 en 4 kan verdelen. Gebruik de ruitjes op je blad! Zorg dat het centrum van de PR bij (x = c, y = d) op de roosterlijnen valt. Vermijd halve ruitjes, en gebruik nooit nog kleinere onderverdelingen. Horizontale schaal groot (maar denk eraan: je moet ruimte hebben voor 3 periodes), verticale schaal klein kiezen. Niet meer dan één perioderechthoek tekenen. Teken eerst de lijn van gemiddeld niveau, dan het centrum van de PR, dan de PR zelf, verdeeld in 4 verticale stroken. Teken dan pas een eerste periode. Werk af. 1. y = 2 sin ( 1 2 (x π 3 ) y = 3 cos ( 2(x 3π 4 )) 2 3. y = 1 2 sin ( 3(x + π 4 )) 1 4. y = 2 cos(x + 2π 3 ) y = sin(3x + π 2 ) y = 3 cos(3x + 3π) y = sin(3x + π) 3 8. y = sin( 2x + π) 3 9. y = 2 cos( x 5π) y = 2 sin( x π)