Extra oefeningen goniometrische functies. Juist of fout? Leg uit. Indien fout, volstaat het een tegenvoorbeeld te geven. ...

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Extra oefeningen goniometrische functies. Juist of fout? Leg uit. Indien fout, volstaat het een tegenvoorbeeld te geven. ..."

Melissa de Coninck
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Extra oefeningen goniometrische functies Oefening 1: Juist of fout? Leg uit. Indien fout, volstaat het een tegenvoorbeeld te geven. a. Elke periodieke functie heeft een (kleinste) periode. b. Er bestaat een rationale functie die periodiek is. c. Zij f een functie waarvoor f beperkt tot 0,rechtsperiodiek is en f beperkt tot,0linksperiodiek is. Dan is f periodiek. Oefening : Schrijf volgende algemene sinusfuncties in standaardvorm. a. f x cos x 5 b. f x sinx cos x Tip: c. f x sinx cos x... Oefening : Welke transformaties moet je uitvoeren op de sinusfunctie gx f x sinx 5 8 te verkrijgen? Geef bij iedere stap een duidelijke schets. sinx om de functie Oefening 4: Een draaimolen op de kermis maakt horizontale en verticale bewegingen. De hoogte (in meter) van de vloer van de attractie in functie van de tijd t (in seconden) is ht 1, 8 sin t, a. Hoe hoog bevindt de vloer van de attractie zich bij de start? b. Plot de grafiek van ht met behulp van je GRM. Noteer de vensterinstellingen waarvoor de grafiek duidelijk op je GRM verschijnt en neem een schets over op je blad. c. Een toeschouwer laat een handtas met hoogte 0 cm vallen. Dreigt de handtas verpletterd te worden? Los algebraïsch op.

2 d. Hoe lang bevindt de vloer zich hoger dan m per draaibeweging? Los op met behulp van je GRM. Oefening 5: Gegeven is de functie f x sin 5x a. Toon aan dat f een algemene sinusfunctie is en bepaal de periode van f. b. Schets de grafiek van f. Bewerkingen met periodieke functies Eigenschap 1: Zij fx een periodieke functie met periode P. Dan geldt (voor k > 0): (i) de functie f x k (ii) de functie f x is periodiek met periode P, k is periodiek met periode P, (iii) de functie k f x is periodiek met periode P, (iv) de functie f k x is periodiek met periode P k, Eigenschap : Zij fx een periodieke functie met periode P. Dan is de functie 1 fx ook een periodieke functie met periode P. Eigenschap : Zij fx een periodieke functie met periode P en gx een periodieke functie met periode Q. Dan is f + g een periodieke functie P. Schrijven we in dat geval Q P Q als onvereenvoudigbare breuk m n, dan is de periode van f + g gelijk aan n P.

3 We tonen eigenschap aan aan de hand van volgende voorbeelden. Voorbeeld 1: 1 f x sin x 1 en 1 g x sin x Na het plotten (m.b.v. Geogebra of GRM) zien we dat f + g periodiek is. Om de periode te bepalen, zoeken we een r > 0 waarvoor: x IR : f gx r f gx f gx r Of nog: x IR : f x r gx r f x gx f x r gx r Daaraan zal zeker voldaan zijn als x IR : f x r f x f x r en gx r gx gx r We verwachten dan ook dat de periode van f +g een geheel veelvoud is van de periode van f en een geheel veelvoud van de periode van g. De periode P van f is 4 en de periode Q van g is 6. Zo geldt x IR dat: f x f x 4 f x 8 f x 1... g x g x 6 g x 1 g x 18...

4 Zodat x IR : f x gx f x 1 gx 1. We vermoeden dan ook dat de periode van f + g gelijk is aan 1. Deze werkwijze slaagt omdat er een geheel veelvoud is van P dat ook een geheel veelvoud is van Q, namelijk P Q. Anders uitgedrukt, P. We kunnen dus stellen dat: Q P f g is periodiek Q En schrijven we P Q als een onvereenvoudigbare breuk, dan vinden w de periode van f + g terug: P f g is periodiek met periode P Q 1. Q Voorbeeld : f x cos x en gx cos x De periode P van f is en de periode Q van g is. Zo geldt x IR dat: f x f x f x f x... g x g x g x 4 g x 6... Omdat geen breuk is, zullen we er niet in slagen om een geheel veelvoud van te vinden dat ook een geheel veelvoud van is. We vermoeden dan ook dat f + g geen periodieke functie is, met andere woorden: P f g is niet periodiek Q Er rest ons te bewijzen dat f + g niet periodiek is. Stel, uit het ongerijmde, dat f + g tpch periodiek is, zodat er een reëel getal r > 0 bestaat waarvoor geldt: x IR : cos x cos x cos x r cos x r Dan geldt in het bijzonder voor x = 0 dat: cos 0 cos 0 cos r cosr wat strijdig is, want dan zou r = 0 moeten zijn.

5 Oefening 6: De volgende grafieken stellen de grafiek van een algemene sinusfunctie voor. Bepaal telkens een mogelijk functievoorschrift. (a) (b) (c)

6 Oefening 7: Beantwoord bij onderstaande functies telkens de volgende vragen. (i) (ii) (iii) Is de functie periodiek? Zo ja, lees de periode af. Stelt de functie een algemene sinusfunctie voor? Zo ja, bewijs je antwoord. Is de functie oneven, even of geen van beide? Indien even of oneven, bewijs je antwoord. f is een even 1 functie x domf : f x f x f is een oneven functie x domf : f x f x (a) f x 4 sinx sin x 1 x f x 6 sin (b) 1 Y-as is een symmetrie-as voor de grafiek van f. De oorsprong is een symmetriemiddelpunt voor de grafiek van f.

7 (c) x 100 f x sin 4 (d) f x 4000 cos x 1000 x 4 Oefening 8: Bewerkingen met periodieke functies. Ga na of de volgende functies periodiek zijn en zo ja, bepaal de periode. (a) 1 1 f x tan x 5 5 x (b) f x sin cos x (c) f x sec x 5 csc x (d) f x sinx cos x tan x

8 Oplossingen Oefening 1: a. Fout. b. Juist. c. Fout. Oefening : a. f x b. f x c. Oefening : 10 sin x 4 sinx 4 f x sin x 1 Transformaties + schets. Oefening 4: a., meter b. Grafiek x min : x max : 9 y min : 1 y max : 5 c. Neen. d.,7 seconden Oefening 5: a. f x b. Grafiek. Oefening 6: sin10 x 0 a. f x sinx 1 f x 4 sinx b.

9 1 f x sin x c. Oefening 7: a. (i) Periodiek, P = (ii) (iv) Neen. Knik in x = Oneven b. (i) Periodiek, P = (ii) Ja. f x sinx 1 (iii) Even c. (i) Niet periodiek. (ii) Neen, want niet periodiek. (iii) Even d. (i) Niet periodiek. (ii) Neen, want niet periodiek. (iii) Even Oefening 8: a. Periodiek, P = 1 b. Periodiek, P = 4 c. Niet periodiek d. Periodiek, P =

Vergelijkbare documenten

HOOFDSTUK 4: GONIOMETRISCHE FUNCTIES

1 HOOFDSTUK 4: GONIOMETRISCHE FUNCTIES 1 Periodieke functies 2 1.1 Op verkenning 2 1.2 Periodieke functie 2 1.3 Periode-interval, evenwichtslijn en amplitude 4 1.4 De perioderechthoek 4 1.5 Oefeningen