Algemene sinusfunctie - Afstandsleren 61

Transcriptie

1 61 10 ALGEMENE SINUSFUNCTIE 10.1 Astronomische daglengte Onder astronomische daglengte verstaan we de tijd die verloopt tussen zonsopgang en zonsondergang. Die tijd varieert van dag tot dag. Bij het begin van de lente (21 maart) en de herfst (21 september) is de daglengte ongeveer 12 uur. Voor Ukkel bedraagt deze daglengte (uitgedrukt in uren en minuten) ongeveer: Datum Daglengte 8u42 10u30 12u18 14u12 15u48 16u30 Datum Daglengte 15u48 14u12 12u18 10u24 8u42 8u0 Gevraagd : bestaat er een functievoorschrift dat het verband aangeeft tussen de astronomische daglengte en de dag van het jaar? kan men de daglengte bepalen voor een willekeurige dag van het jaar, bijvoorbeeld op 5 mei? 10.2 Analyse van het probleem Om een duidelijker beeld te krijgen van het probleem, volstaat het de waarnemingen uit te zetten in een grafiek. Aangezien wij in de wiskunde bij functieonderzoek meestal werken met functies in R zullen wij de numerieke gegevens eerst omrekenen naar reële waarden d.w.z. : minuten omrekenen naar decimale uren; datum vervangen door de rangorde van de dag van het jaar. Dit leert de volgende tabel gegevens : Dag Daglengte 8,7 10,5 12,3 14,2 15,8 16,5 Dag Daglengte 15,8 14,2 12,3 10,4 8,7 8,0

2 62 Plot deze punten in dit assenstelsel en verbind ze door een vloeiende lijn. Welke vorm herken je in deze grafiek? Om het wiskundige voorschrift van deze (benaderende) functie te bepalen, maken we eerst een studie van de algemene sinusfunctie De algemene sinusfunctie De grafiek van de algemene sinusfunctie : [ b(x c) ] d f : x asin + kan uit de grafiek van de sinusfunctie met voorschrift y = sin x afgeleid worden door uitrekkingen en verschuivingen. We trachten aan de hand van concrete voorbeelden uit te zoeken welke rol de coëfficiënten a, b, c en d vervullen in het voorschrift. We vertrekken van de gewone sinusfunctie die je al kent van vroeger.

3 De functie y = sin x We schetsen de grafiek van de functie y = sin x hieronder: Van deze functie ken je het : de (of bereik): de : de : We voeren nog drie nieuwee begrippen in: de : dit is een horizontale lijn waarrond de grafiek zich beweegt. de van de sinusoïde is: de : dit is de grootste uitwijking ten opzichte van de. de van de sinusoïde is: de : dit is het aantal doorlopen s in het interv val [ 0,2π] de van de sinusoïde is:......

4 De rol van b Schets de grafiek van de volgende functies f 1 : y = sin(2x) f 2 : 1 y = sin x 2 Bepaal voor deze twee functies: Bepaal voor deze twee functies: f 1 f 2 Welk verband is er tussen de grafieken van f en f 1?... Welk verband is er tussen de grafieken van f en f 2?... De grafiek van y = sin(bx) wordt bekomen door de grafiek van y = sin x De De De......

5 De rol van c Schets de grafiek van de volgende functies π f 3 : y = sin x 4 f 4 : π y = sin x + 2 Bepaal van deze twee functies: f 3 f 4 Welk verband is er tussen de grafieken van f en f 3? Welk verband is er tussen de grafieken van f en f 4? De grafiek van y = sin(x-c) wordt bekomen door de grafiek van y = sin x De... De... De......

6 De rol van a f 5 : y = 2 sin(x) f 6 : y = 1 sin(x) 2 Bepaal van deze twee functies: f 5 f 6 Welk verband is er tussen de grafieken van f en f 5? Welk verband is er tussen de grafieken van f en f 6? De grafiek van y = a sin x wordt bekomen door de grafiek van y = sin x..... De... De... De

7 De rol van d f 7 : y = sin(x) 1 f 8 : y = sin(x) + 2 Bepaal van deze twee functies: f 7 f 8 Welk verband is er tussen de grafieken van f en f 7? Welk verband is er tussen de grafieken van f en f 8? De grafiek van y = sin x + d wordt bekomen door de grafiek van y = sin x De... De... De