Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011"

Ferdinand Smits
6 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen met het complex getal z = x + iy, en het punt Q vereenzelvigen met het complex getal ω 2 z, welke transformatie is het dan die P omzet in Q? Maak een figuur! vraag 1.2: Stel een veeltermvergelijking op van zo laag mogelijke graad en met reële coëfficiënten, waarvan ω een wortel is. Leg uit! vraag 1.3: Stel een veeltermvergelijking op van de vorm z k = a, k N, k 0, a R, met een zo klein mogelijke waarde van k, waarvan ω een wortel is. Bepaal de overige wortel(s) van deze veeltermvergelijking in polaire vorm en druk deze uit als natuurlijke macht(en) van ω. Teken alle wortels in het complexe vlak. vraag 1.4: Bepaal in zijn meest eenvoudige gedaante het getal ω + ω 3 + ω 7 + ω 9. vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 7 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen met het complex getal z = x + iy, en het punt Q vereenzelvigen met het complex getal ω 2 z, welke transformatie is het dan die P omzet in Q? Maak een figuur! vraag 1.2: Stel een veeltermvergelijking op van zo laag mogelijke graad en met reële coëfficiënten, waarvan ω een wortel is. Leg uit! vraag 1.3: Stel een veeltermvergelijking op van de vorm z k = a, k N, k 0, a R, met een zo klein mogelijke waarde van k, waarvan ω een wortel is. Bepaal de overige wortel(s) van deze veeltermvergelijking in polaire vorm en druk deze uit als natuurlijke macht(en) van ω. Teken alle wortels in het complexe vlak. vraag 1.4: Bepaal in zijn meest eenvoudige gedaante het getal ω+ω 3 +ω 5 +ω 9 +ω 11 +ω 13.

2 vraag 2: Gegeven de matrices p 4/5 3/5 x u A = 4/5 9/25 12/25 X = y Y = v 3/5 12/25 16/25 z w De actie van de matrix A op het punt met cartesiaanse coördinaten (x, y, z) resulteert in het punt met cartesiaanse coördinaten (u, v, w) derwijze AX = Y. vraag 2.1: Voor welke waarde(n) van de reële parameter p is rang(a)=3? vraag 2.2: Voor welke waarde(n) van de reële parameter p is rang(a)=2? vraag 2.3: Een fixpunt onder de actie van de matrix A is een punt met coördinaten (x, y, z) derwijze AX = X. Bepaal, m.b.v. de rij-echelonmethode, alle fixpunten onder de actie van de gegeven matrix A. vraag 2.4: Een fixvlak onder de actie van de matrix A is een vlak waarvan elk punt onder de actie van de matrix A wordt omgezet in een punt van hetzelfde vlak. Stel nu p = 0 en bepaal de cartesiaanse vergelijking van alle fixvlakken onder de actie van de gegeven matrix A. vraag 2: Gegeven de matrices p 3/5 4/5 x u A = 3/5 16/25 12/25 X = y Y = v 4/5 12/25 9/25 z w De actie van de matrix A op het punt met cartesiaanse coördinaten (x, y, z) resulteert in het punt met cartesiaanse coördinaten (u, v, w) derwijze AX = Y. vraag 2.1: Voor welke waarde(n) van de reële parameter p is rang(a)=3? vraag 2.2: Voor welke waarde(n) van de reële parameter p is rang(a)=2? vraag 2.3: Een fixpunt onder de actie van de matrix A is een punt met coördinaten (x, y, z) derwijze AX = X. Bepaal, m.b.v. de rij-echelonmethode, alle fixpunten onder de actie van de gegeven matrix A. vraag 2.4: Een fixvlak onder de actie van de matrix A is een vlak waarvan elk punt onder de actie van de matrix A wordt omgezet in een punt van hetzelfde vlak. Stel nu p = 0 en bepaal de cartesiaanse vergelijking van alle fixvlakken onder de actie van de gegeven matrix A.

3 vraag 3.1: Van de functie f is het volgende gekend: (i) het definitiegebied van f is dom(f) = R =], + [; (ii) f is continu in R; (iii) f is een oneven functie; (iv) f is afleidbaar in ], 0[ ]0, + [ en niet afleidbaar in x = 0; (v) f bezit 3 nulpunten, te weten: a, 0, a met a > 0; (vi) f bezit 2 nulpunten, te weten: b, b, met 0 < b < a; (vii) lim x f(x) = ; (viii) de grafiek van f vertoont geen enkele asymptoot. Schets de grafiek van f en geef de verschillende elementen in de redenering. vraag 3.2: Beschouw de integraal I = π π sin(mx) sin(nx) dx Hierin zijn m en n gehele parameters. Gevraagd: Voor welke waarden van m en n is I verschillend van nul? Leg uit. vraag 3.1: Van de functie f is het volgende gekend: (i) het definitiegebied van f is dom(f) = R =], + [; (ii) f is continu in R; (iii) f is een even functie; (iv) f is afleidbaar in ], 0[ ]0, + [ en niet afleidbaar in x = 0; (v) f bezit 3 nulpunten, te weten: a, 0, a met a > 0; (vi) f bezit 2 nulpunten, te weten: b, b, met 0 < b < a; (vii) lim x f(x) = + ; (viii) de grafiek van f vertoont geen enkele asymptoot. Schets de grafiek van f en geef de verschillende elementen in de redenering. vraag 3.2: Beschouw de integraal I = π π cos(mx) cos(nx) dx Hierin zijn m en n gehele parameters. Gevraagd: Voor welke waarden van m en n is I verschillend van nul? Leg uit.

4 vraag 4: Gegeven zijn de cirkel C 1 met middelpunt O 1 en straal R 1 en de cirkel C 2 met middelpunt O 2 en straal R 2, met R 1 > R 2. De afstand tussen beide middelpunten bedraagt d met d > R 1 + R 2. Men beschouwt een zogenaamde gemeenschappelijke binnenraaklijn van beide cirkels, dit is een rechte die raakt aan beide cirkels, waarbij deze cirkels aan weerszijden liggen van deze gemeenschappelijke raaklijn. De respectieve raakpunten noemt men T 1 en T 2. vraag 4.1: Bepaal de afstand tussen T 1 en T 2 als functie van enkel d, R 1 en R 2. vraag 4.2: Bepaal O 1 O 2 O 1 T 1 als functie van enkel d, R 1 en R 2. vraag 4.3: Bepaal O 1 O 2 O 2 T 2 als functie van enkel d, R 1 en R 2. vraag 4.4: Er bestaat juist één cirkel die gaat door T 1, T 2 en O 2 (dit moet u niet bewijzen); noem deze cirkel C 3. Deze cirkel C 3 snijdt de rechte O 1 T 1 in een punt P. Beschouw nu ook nog de cirkel C 4 met middellijn O 1 O 2. Bewijs dat P op C 4 ligt. vraag 4: Gegeven zijn de cirkel C 1 met middelpunt O 1 en straal R 1 en de cirkel C 2 met middelpunt O 2 en straal R 2, met R 1 > R 2. De afstand tussen beide middelpunten bedraagt d met d > R 1 +R 2. Men beschouwt een zogenaamde gemeenschappelijke buitenraaklijn van beide cirkels, dit is een rechte die raakt aan beide cirkels, waarbij deze cirkels aan dezelfde kant liggen van deze gemeenschappelijke raaklijn. De respectieve raakpunten noemt men T 1 en T 2. vraag 4.1: Bepaal de afstand tussen T 1 en T 2 als functie van enkel d, R 1 en R 2. vraag 4.2: Bepaal O 1 O 2 O 1 T 1 als functie van enkel d, R 1 en R 2. vraag 4.3: Bepaal O 1 O 2 O 2 T 2 als functie van enkel d, R 1 en R 2. vraag 4.4: Er bestaat juist één cirkel die gaat door T 1, T 2 en O 2 (dit moet u niet bewijzen); noem deze cirkel C 3. Deze cirkel C 3 snijdt de rechte O 1 T 1 in een punt P. Beschouw nu ook nog de cirkel C 4 met middellijn O 1 O 2. Bewijs dat P op C 4 ligt.

5 vraag 5: Bechouw de verzameling H van de hoekpunten van een regelmatige 9-hoek. vraag 5.1: Hoeveel driehoeken bestaan er waarvan de drie hoekpunten tot de verzameling H behoren? vraag 5.2: Hoeveel driehoeken bestaan er waarvan de drie hoekpunten tot de verzameling H behoren en waarvan juist één zijde tevens zijde is van de gegeven 9-hoek? vraag 5.3: Hoeveel driehoeken bestaan er waarvan de drie hoekpunten tot de verzameling H behoren en waarvan twee zijden tevens zijde zijn van de gegeven 9-hoek? vraag 5.4: Hoeveel driehoeken bestaan er waarvan de drie hoekpunten tot de verzameling H behoren en waarvan tenminste één zijde tevens zijde is van de gegeven 9-hoek? vraag 5: Beschouw de verzameling H van de hoekpunten van een regelmatige 11-hoek. vraag 5.1: Hoeveel driehoeken bestaan er waarvan de drie hoekpunten tot de verzameling H behoren? vraag 5.2: Hoeveel driehoeken bestaan er waarvan de drie hoekpunten tot de verzameling H behoren en waarvan juist één zijde tevens zijde is van de gegeven 11-hoek? vraag 5.3: Hoeveel driehoeken bestaan er waarvan de drie hoekpunten tot de verzameling H behoren en waarvan twee zijden tevens zijde zijn van de gegeven 11-hoek? vraag 5.4: Hoeveel driehoeken bestaan er waarvan de drie hoekpunten tot de verzameling H behoren en waarvan tenminste één zijde tevens zijde is van de gegeven 11-hoek?

Vergelijkbare documenten

(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!

Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;