Werk met de applet. Bedenk steeds welke parameter a, b, c en/of d je moet aanpassen. Experimenteer tot je de regelmaat kunt formuleren!

Transcriptie

1 5 Transformaties Verkennen MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Functies en grafieken Transformaties Inleiding Verkennen Werk met de applet. Bedenk steeds welke parameter a, b, c en/of d je moet aanpassen. Experimenteer tot je de regelmaat kunt formuleren! Theorie en voorbeelden MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Functies en grafieken Transformaties Theorie In de Theorie, pagina 1 en in Voorbeeld 1 kun je zien hoe de grafieken van g 1 (x) = f(x + c 1 ) en g 2 (x) = f(x) + c 2 kunnen ontstaan door die van y = f(x) te verschuiven. Opgave 1 Werk in Voorbeeld 1 met de applet. Gegeven is de grafiek van functie f met een onbekend voorschrift f(x). a) Maak de grafiek van g 1 (x) = f(x + 2). Hoe ontstaat de grafiek van g 1 uit die b) Maak de grafiek van g 2 (x) = f(x) + 2. Hoe ontstaat de grafiek van g 2 uit die Neem nu aan dat f(x) = x 3 4x. c) Schrijf het voorschrift van g 1 op. d) Schrijf het voorschrift van g 2 op. e) Oefen dit met andere functies g 1 en g 2. In de Theorie, pagina 2 en in Voorbeeld 2 kun je zien hoe de grafieken van g 1 (x) = f(c 1 x) en g 2 (x) = c 2 f(x)kunnen ontstaan door die van y = f(x) te vermenigvuldigen in horizontale of verticale richting. Opgave 2 Werk in Voorbeeld 2 met de applet. Gegeven is de grafiek van functie f met een onbekend voorschrift f(x). a) Maak de grafiek van g 1 (x) = f(2 x). Hoe ontstaat de grafiek van g 1 uit die b) Maak de grafiek van g 2 (x) = 2 f(x). Hoe ontstaat de grafiek van g 2 uit die Neem nu aan dat f(x) = x 3 4x. c) Schrijf het voorschrift van g 1 op. d) Schrijf het voorschrift van g 2 op. e) Oefen dit met andere functies g 1 en g 2. STICHTING MATH4ALL 01 NOV

2 Opgave 3 In de applet van Voorbeeld 3 kun je alle vier de transformaties toepassen op functie f. Geef bij elk van de volgende functies aan welke transformaties je moet toepassen om de grafiek uit die van f te laten ontstaan. (Let op de volgorde!) a) g(x) = 2 f(x) + 3 b) h(x) = f(x 4) + 2 c) k(x) = 2 f(x) d) l(x) = f(3x) + 2 e) m(x) = 2 f(3(x 1)) + 4 Opgave 4 Schrijf het functievoorschrift op van g als de grafiek uit die van f ontstaat door a) in de y-richting met 2 te vermenigvuldigen en dan 1 omhoog te schuiven; b) in de x-richting met 2 te vermenigvuldigen en dan 3 in de y-richting te verschuiven; c) in de x-richting 4 te verschuiven en dan in de y-richting 2 te verschuiven; d) in de x-richting met 0,5 te vermenigvuldigen en dan in de x-richting 4 te verschuiven; e) In de x-richting 4 te verschuiven en dan in de x-richting met 0,5 te vermenigvuldigen en tenslotte in de y-richting 2 te verschuiven. Opgave 5 Werk nu met je grafische rekenmachine. Ga uit van de basisfunctie y 1 = x 2. a) Breng de grafiek van y 1 in beeld met de standaardinstellingen van het venster. b) Breng nu de volgende vier variaties op de grafiek van y 1 in beeld: - y 2 = x y 3 = (x + 2) 2 - y 4 = 2 x 2 - y 5 = (2 x) 2 Onderzoek bij elk van die grafieken welke transformatie er moet worden toegepast op de grafiek van y 1 om die grafiek te krijgen. c) De grafiek van y 6 = 1 2 (x 3) ontstaat ook door transformaties uit die van y 1. Welke transformaties moeten er achtereenvolgens worden toegepast? d) Door welke transformaties ontstaat de grafiek van y 7 = x 2 uit die van y 1? e) Welke algemene vorm heeft het voorschrift van een functie die door transformaties ontstaat uit die van y 1 = x 2? f) Hoe kun je door gebruik te maken van transformaties de top van de parabool y = 2(x 12) bepalen? Opgave 6 Gegeven is de functie f(x) = 0,25(x 5) De grafiek van deze functie kan door transformaties ontstaan uit die van de bijbehorende basisfunctie. a) Welke basisfunctie is dat? b) Welke transformaties moeten er dan achtereenvolgens worden toegepast? c) Bepaal nu het minimum van de grafiek van deze functie. Voor welke waarde van x treedt dit minimum op? STICHTING MATH4ALL 01 NOV

3 Opgave 7 Je ziet hier de grafiek van y 1 = x 2 in de standaardinstellingen van het venster van je rekenmachine. Bekijk de zes grafieken in de standaardinstellingen van het venster van de grafische rekenmachine. Ze zijn allemaal ontstaan uit transformatie van de grafiek van y 1. Geef bij elke grafiek aan welke transformatie er is toegepast. Schrijf ook het juiste functievoorschrift op. a) b) c) d) e) f) Opgave 8 In de vorige opgave heb je gewerkt met transformaties van de functie y 1 = x 2. Je kunt zo ook werken met andere basisfuncties zoals y = x 3, y = x en y = 1 x : Vanuit een gegeven formule de bijbehorende basisfunctie herkennen en voorspellen (door transformaties op te schrijven) waar de grafiek ligt. Vanuit een gegeven grafiek bedenken welke transformaties er op de bijbehorende basisfunctie zijn toegepast en dan het functievoorschrift opschrijven. Oefen dit met één van je medeleerlingen. Opgave 9 Bekijk de Toepassing van het werken met transformaties. De grafiek van de functie f met f(x) = (x 20) komt met de standaardinstellingen van het venster op je grafische rekenmachine niet in beeld. Leg uit, hoe je door het toepassen van transformaties de vensterinstellingen in één klap zo kunt maken, dat die grafiek wel goed in beeld komt. Verwerken Opgave 10 Ga uit van de basisfunctie f(x) = x. De grafieken van de onderstaande functies kun je door transformatie van deze basisfunctie krijgen. Geef bij elk van die functies aan welke transformaties dat zijn. a) y 2 = 1 2 f(x) b) y 3 = f(x 4) + 2 c) y 4 = 2 f(x) d) y 5 = f(3x) + 2 STICHTING MATH4ALL 01 NOV

4 Opgave 11 Hier zie je vijf keer het venster van je grafische rekenmachine in de basisinstellingen. De grafiek is die van y 1 = x 3. De overige grafieken zijn door transformatie uit die basisfunctie ontstaan. Geef bij elke functie het juiste voorschrift. a) b) c) d) Opgave 12 Hier zie je de grafiek van een functie y 1 = f(x). Neem de grafiek over op een roosterblad. Teken de grafieken van de volgende functies. Schrijf erbij welke transformaties je toepast. a) y 2 = f(x 2) b) y 3 = 2 f(x) c) y 4 = f(x) 2 d) y 5 = f(2x) 1 Opgave 13 Een weggeslingerde kogel beschrijft de volgende baan: h = 0,02 (x 10) Het moment van loslaten ligt op h = 2 m. Dit is bij x = 0. h en x zijn beide in meter uitgedrukt. a) Leg uit met behulp van transformaties hoe je de volledige baan van de kogel op de grafische rekenmachine in beeld kunt krijgen. b) Bereken hoe ver deze kogelstoter met zijn kogel komt. c) Na hoeveel meter is de kogel weer even hoog als op het moment van loslaten? Testen Opgave 14 Hier zie je de grafiek van een functie y 1 = f(x). Welke transformaties moet je toepassen om de grafiek te krijgen van de volgende functies? a) y 2 = f(x 3) b) y 3 = 0,5 f(x) + 1 c) y 4 = f(3x) STICHTING MATH4ALL 01 NOV

5 Opgave 15 Om de grafiek van f(x) = 10 x + 50 goed in beeld te krijgen op je grafische rekenmachine, moet je weten hoe deze ontstaat door transformatie van de bijbehorende basisfunctie. a) Welke basisfunctie is dat? b) Welke transformaties moet je op de grafiek van de basisfunctie toepassen? c) Schrijf op bij welke vensterinstellingen de grafiek van f goed in beeld komt. Opgave 16 Je ziet hier de grafiek van een functie g die door transformatie is ontstaan uit de grafiek van f(x) = x 3. De grafiek van g gaat door (7,6). Schrijf het bijpassende functievoorschrift op. STICHTING MATH4ALL 01 NOV

6 Antwoorden 1a) 2 in de x-richting verschuiven b) 2 in de y richting verschuiven c) g 1(x) = (x + 2) 3 4(x + 2) d) g 2(x) = x 3 4x + 2 e) - 2a) met 0,5 in de x-richting verm. b) met 2 in de y richting verm. c) g 1(x) = (2x) 3 4(2x) = 8x 3 8x d) g 2(x) = 2(x 3 4x) = 2x 3 8x e) - 3a) verm. in y-richting met 2 en dan 3 verschuiven in y-richting b) 4 verschuiven in x-richting en dan 2 verschuiven in y-richting c) verm. in y-richting met 1 en dan 2 verschuiven in y-richting d) verm. met 1/3 in x-richting en dan 2 verschuiven in y-richting e) eerst 1 verschuiven in x-richting, dan met 1/3 verm. in x-richting, dan met 2 verm. in y-richting en dan 4 in y-richting verschuiven 4a) g(x) = 2 f(x) + 1 b) g(x) = f(0,5x) 3 c) g(x) = f(x 4) 2 d) g(x) = f(2x 4) 3 e) g(x) = f(2(x 4)) 2 5a) - b) y 2: grafiek y 1 verschuiven in y-richting met 2 y 3: grafiek y 1 verschuiven in x-richting met 2 y 4: grafiek y 1 verm. in y-richting met 2 y 5: grafiek y 1 verm. in x-richting met 1/2 c) eerst 3 verschuiven in x-richting, dan met ½ verm. in y-richting en dan 4 verschuiven in y-richting d) verm. met 1 in y-richting of spiegelen t.o.v. x-as e) eerst 12 in x-richting verschuiven, dan met 2 verm. in y-richting en dan 10 verschuiven in y-richting 6a) y = x 4 b) eerst 5 in x-richting verschuiven, dan met 0,25 verm. in y-richting, dan 10 verschuiven in y-richting c) de top van y = x 4 is (0,0) en de top van f is (na de transformaties) dus (5, 10): min.f(5) = 10 7a) y = x 2 3 b) y = (x 3) 2 c) y = 0,5x 2 d) y = x 2 e) y = (x 2) 2 4 f) y = 0,5(x + 3) [ 10,10]x[ 10,10] is standaard 20 in x-richting verschuiven en 200 in y-richting verschuiven 10a) in y-richting met ½ verm. b) 4 naar rechts en 2 naar boven schuiven. c) in x-richting met 1 verm en 2 in y-richting verschuiven. d) in x-richting met 1/3 verm. en 2 in y-richting verschuiven. 11a) y = x b) y = (x 4) 3 c) y = 0,25x 3 d) y = (x 2) eigen docent laten controleren 13a) y = x 2 10 in x-richting schuiven en 4 in y-richting schuiven. Neem 0 x 25 nemen. Er wordt ook met 0,02 verm, dus 0 y 5 is voldoende. b) 24,14 m c) Na 20 m. 14a) 3 in de y-richting verschuiven b) met ½ in de y-richting verm. en dan 1 in de y-richting verschuiven c) met 1/3 in de x-richting verm. 15a) y = x b) met 10 in de y-richting verm. en dan 50 in de y-richting schuiven c) b.v. [0,10]x[50,100] 16. g(x) = 0,5(x 5) STICHTING MATH4ALL 01 NOV