Functies. Verdieping. 6N-3p gghm

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm"

Transcriptie

1 Functies Verdieping 6N-p gghm

2 Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x) x X f ( x) x Y X f ( x) x Y X

3 Y f( x) 1 x X Y f ( x) x X Welke van deze functies kun je (lijn)spiegelen in de Y-as? Welke functies kun je puntspiegelen in de oorsprong? Even en oneven functies Definitie - Een functie heet een even functie als de grafiek in de Y-as gespiegeld kan worden. - Een functie heet een oneven functie als de grafiek in de oorsprong ge(punt)spiegeld kan worden.

4 TIP: Als je een figuur gaat puntspiegelen in een punt dan is dat hetzelfde als dat je de figuur 180 o draait om het spiegelpunt. Oefening 1 a Ga na of f ( x) x een even of oneven functie is. b Is f ( x) 5x 10x een even of oneven functie? c En f ( x) 5x 10x 5? d x 1 Ga na of f( x) even / oneven / geen van beide is. x e Ga na of f ( x) 10 x misschien een even of oneven functie is. f Ga na of f ( x) x 5x even / oneven / geen van beide is. Misschien is het je al opgevallen; als je alleen naar de grafiek kijkt dan neem je bij sommige functies snel de verkeerde beslissing. Je kunt echter ook het functievoorschrift gebruiken om te beslissen of een functie misschien even of oneven is. Als voorbeeld kijken we naar de functie f( x) x Dit is een even functie, je kunt de grafiek immers spiegelen in de Y-as. Als we alleen naar het functievoorschrift kijken dan valt op dat als je b.v. x = neemt dat daar hetzelfde uitkomt als wanneer je x = neemt: f () 7 en f ( ) ( ) 7 Om zeker te weten dat dit bij alle mogelijke waarden voor x klopt doen we het volgende: Neem een getal a, Bereken de functiewaarde die bij deze a hoort, dus f ( a ) berekenen, Doe dit ook voor a, dus f ( a) berekenen, Zijn de uitkomsten hetzelfde dan is f ( x ) een even functie. Voorbeeeld f( x) x f( a) a f( a) ( a) a Uitkomst is hetzelfde dus f ( x ) is een even functie. Oefening Gebruik nu de f ( a ) / f ( a) methode toe voor de functies uit oefening 1 Definitie Bij een even functie is f ( a) f( a)

5 Of een functie oneven is kun je ook algebraïsch controleren. Als je in een oneven functie een x-waarde uitrekent en je doet dat ook met de tegengestelde x-waarde dan moet er steeds het tegengestelde uitkomen. Voorbeeld: f ( x) x f () 8 en f ( ) ( ) 8 dus f() f( ) of f (10) en f ( 10) ( 10) 1000 dus f(10) f( 10) en ook f ( a) a en f ( a) ( a) a dus f ( a) f( a) Definitie Bij een oneven functie is f ( a) f( a) Oefening Controleer alle functies uit oefening 1 of ze oneven zijn of niet. LET OP Het stappenplan om algebraïsch na te gaan of een functie even / oneven is of niet is dus als volgt: Oefening 4 Ga van de volgende functies na of we even, oneven of geen van beide zijn: a f ( x) x x x b f( x) x c f( x) x 5 d f( x) x 5 x

6 Transformaties Een transformatie in de wiskunde is een verandering van de functie / grafiek. We behandelen enkele eenvoudige transformaties. Verticale verschuiving Plot de grafiek van f ( x) x met de GRM. Stel het venster zo in dat 10 X 10 en 100 Y 100 Ga nu met de cursor vlak in de buurt van de top van de parabool staan. De cursor verandert in een pijltjeskruis. Je kunt nu de grafiek oppakken en verplaatsen. Verplaats de grafiek ALLEEN naar boven of naar beneden en kijk goed hoe het functievoorschrift verandert. Schrijf je observatie hieronder op: Als de grafiek naar boven dan: Als de grafiek naar beneden gaat dan:

7 Regel: Als de grafiek van f ( x ) verticaal verplaatst wordt over c eenheden naar boven dan is het functievoorschrift gxvan ( ) de beeldgrafiek gx ( ) f( x) c (als je dus naar beneden schuift is de waarde van c dus negatief!) Oefening 5 Geef steeds het functievoorschrift van de beeldfunctie gx: ( ) a De grafiek van f ( x) x wordt eenheden naar boven geschoven. b De grafiek van f( x) x 10 wordt 5 eenheden naar boven geschoven. c De grafiek van f ( x) 10 x wordt eenheden naar boven geschoven. d De grafiek van f ( x) x 5x wordt 5 eenheden naar beneden geschoven. e f g De grafiek van De grafiek van De grafiek van f( x) x 5x wordt eenheden naar beneden geschoven. f( x) x 5x wordt eenheden naar beneden geschoven. f( x) wordt 1 eenheden naar boven geschoven. x 4

8 Horizontale verschuiving Een grafiek van een functie kun je ook horizontaal verschuiven. Plot de grafiek van f ( x) x met de GRM. Stel het venster zo in dat 5 X 5 en 100 Y 100 Ga nu met de cursor vlak in de buurt van de top van de parabool staan. De cursor verandert in een pijltjeskruis. Je kunt nu de grafiek oppakken en verplaatsen. Verplaats de grafiek ALLEEN naar links of naar rechts en kijk goed hoe het functievoorschrift verandert. Schrijf je observatie hieronder op: Als de grafiek naar rechts gaat dan: Als de grafiek naar links gaat dan:

9 Regel: Als de grafiek van f ( x ) horizontaal verplaatst wordt over c eenheden naar rechts dan is het functievoorschrift gxvan ( ) de beeldgrafiek gx ( ) f( x c) (als je naar links schuift is het functievoorschrift van de beeldgrafiek dus gx ( ) f( x c) ) Vuistregel: Bij horizontaal verschuiven vervang je x door x c bij schuiven naar rechts En bij schuiven naar links vervang je x door x+c. Voorbeeld Gegeven f x x x ( ) 4 1 Gevraagd Het functievoorschrift van de beeldgrafiek als de grafiek van f ( x ) horizontaal eenheden naar rechts verschoven wordt. Oplossing: eenheden naar rechts betekent x vervangen door x Dus wordt gx ( ) ( x ) 4( x ) 1 Uitwerken geeft gx x x x x x ( ) Oefening 6 Geef steeds het functievoorschrift van de beeldfunctie gx: ( ) (je hoeft de uitkomst nog niet te vereenvoudigen) a b c d e f De grafiek van f ( x) x wordt eenheden naar rechts geschoven. De grafiek van f( x) x 10 wordt eenheden naar links geschoven. De grafiek van f ( x) 10 x wordt eenheden naar links geschoven. De grafiek van f ( x) x 5x wordt 5 eenheden naar rechts geschoven. De grafiek van f( x) x 5x wordt eenheden naar rechts geschoven. De grafiek van f( x) wordt 1 eenheden naar rechts geschoven. x 4 Hier WEL vereenvoudigen!! Eigenschap: Als je een grafiek bij een functie verschuift, horizontaal of verticaal, dan verandert de vorm van de grafiek niet.

10 Verticale vermenigvuldiging Je kunt een grafiek van een functie ook vermenigvuldigen. We kijken naar een vermenigvuldiging ten opzichte van de X-as. De hoogte (de functiewaarde) van de grafiek wordt telkens met een bepaald getal vermenigvuldigd. Bij grafiek van f(x) hiernaast staan 7 stippellijntjes. De lengte van de lijntjes is de Y-waarde (= functiewaarde) van de grafiek op dat punt. Als de grafiek met vermenigvuldigd wordt ten opzichte van de Y-as dan worden de lijnstukjes allemaal drie keer zo groot om de beeldgrafiek g(x) te krijgen. Maak alle lijnstukjes drie keer zo groot en teken de beeldgrafiek g(x) zo goed mogelijk. Hiernaast staat een andere grafiek. De beeldgrafiek is ontstaan door de grafiek hiernaast vertikaal met te vermenigvuldigen. Teken (construeer) de beeldgrafiek.

11 Je hebt nu grafisch vermenigvuldigd. We kunnen de zaak ook weer algebraïsch bekijken. Als je de grafiek verticaal vermenigvuldigd met een factor c dan wordt het functievoorschrift van de beeldfunctie dus ook met c vermenigvuldigd. Regel: Als de grafiek van f ( x ) verticaal vermenigvuldigd wordt met een factor c dan is het functievoorschrift gxvan ( ) de beeldgrafiek gx ( ) c f( x) Voorbeeld: Geef het functievoorschrift van de beeldfunctie g(x) als vermenigvuldigd wordt. f ( x) x x verticaal met factor Oplossing: g( x) f( x) (x x) 6x 4x Oefening 7 Geef steeds het functievoorschrift van de beeldfunctie g(x): a f ( x) x wordt verticaal vermenigvuldigd met 4, b vermenigvuldig x 1 f ( x) 5x 10x in de Y-richting met factor c f( x) wordt t.o.v. de X-as met 4 vermenigvuldigd x d f ( x) 10 x verticaal vermenigvuldigen met factor 10. Oefening 8 Gegeven is f ( x) x a geef het functievoorschrift g(x) van de beeldgrafiek als de grafiek van f ( x ) vier eenheden naar rechts geschoven wordt. b geef het functievoorschrift h(x) van de beeldgrafiek als de grafiek van gx ( ) drie eenheden naar beneden geschoven wordt. c Geef het functievoorschrift k(x) van de beeldgrafiek als de grafiek van h(x) met factor ten opzichte van de X-as vermenigvuldigd wordt. d Plot de grafieken van f(x), g(x), h(x) en k(x) en maak een schets. e Wat kun je zeggen over de vorm van een grafiek bij verschuiven? En bij vermenigvuldigen? f Wat kun je zeggen over de plaats van de nulpunten bij verticaal vermenigvuldigen?

12 Horizontale vermenigvuldiging Bij het horizontaal vermenigvuldigen van een grafiek wordt niet de afstand tot de X-as vermenigvuldigd maar de afstand tot de Y-as. Hieronder staat de grafiek van een functie f(x). Vermenigvuldig de grafiek van f(x) horizontaal (ten opzichte van de Y-as) met factor Vermenigvuldig de grafiek hieronder horizontaal met factor

13 Als we weer algebraïsch gaan vermenigvuldigen geldt voor horizontaal vermenigvuldigen de volgende regel: Als de grafiek van f ( x ) horizontaal vermenigvuldigd wordt met een factor c dan is x het functievoorschrift gxvan ( ) de beeldgrafiek gx ( ) f c Voorbeeld: Geef het functievoorschrift van de beeldfunctie g(x) als factor vermenigvuldigd wordt. f ( x) x x horizontaal met Oplossing: x x x 1 1 gx ( ) f ( x) ( x) 4 x x Oefening 9 Geef steeds het functievoorschrift van de beeldfunctie g(x): a f ( x) x wordt horizontaal vermenigvuldigd met, b vermenigvuldig f ( x) 5x 10x in de X-richting met factor c f ( x) 4x wordt t.o.v. de X-as met 4 vermenigvuldigd d f ( x) 10 x horizontaal vermenigvuldigen met factor 10. Oefening 10 Gegeven is de functie f( x) x 4 a Maak een schets van de (standaard)grafiek van y x b Maak nu een schets van de grafiek van f(x), zonder de GRM te gebruiken. Oefening 11 Gegeven zijn de functies f ( x) x 8x, gx ( ) x 4x, hx ( ) x 4x 4en kx ( ) ( x ) 4( x ) 4 a Leg uit welke transformaties steeds zijn toegepast bij de pijltjes: f ( x) g( x) h( x) k( x) b Plot en schets de grafieken van de functies met de GRM. c De grafiek van k(x) lijkt erg op de grafiek van een standaardfunctie, welke? d Herleid k(x). oefening 1 We gaan uit van de standaardgrafiek y x. a Maak een schets van de standaardgrafiek. b vermenigvuldig de standaardgrafiek verticaal (= t.o.v. X-as) met 1 en geef het bijbehorende functievoorschrift k(x) c vermenigvuldig k(x) horizontaal met 1 en geef het bijbehorende functievoorschrift l(x) d Vermenigvuldig l(x) verticaal met 1 en geef het bijbehorende functievoorschrift m(x)

14 Absolute waarde Plot de functie f ( x) 0,5x met de GRM. Maak hiernaast een schets. (denk aan de vensterinstellingen) Maak het scherm leeg en plot nu de functie gx ( ) 0,5x De rechte strepen ( absoluut-strepen ) zijn in te voeren door de format - toets, naast de 9, te gebruiken. Maak ook weer hiernaast een schets. Wat is de invloed van de absoluutstrepen? Gegeven is de functie hx ( ) x Schets hiernaast de grafiek van de functie ix ( ) x zonder de rekenmachine te gebruiken. Controleer je antwoord met de GRM.

15 oefening 1 Gegeven is de functie a b f ( x) x 4x en gx ( ) f( x) Plot en schets de grafiek van f(x). Schets nu, zonder de GRM te gebruiken, de grafiek van g(x). oefening 14 1 a Schets de grafiek van f( x) zonder de GRM te gebruiken. x b controleer je antwoord m.b.v. de GRM. oefening 15 a Plot de grafiek van f ( x) sin( x) Stel het venster in met,5 X,5 en 1,5 Y 1,5 Zorg ervoor dat de GRM ingesteld staat op graden en niet op radialen. Maak een schets. b Maak in dezelfde figuur met kleur een schets van gx ( ) sin( x) oefening 16 a Leg uit waarom b f x ( ) x 4 gelijk is aan Is f( x) x 4 ook gelijk aan gx Waarom? gx ( ) x 4? ( ) x 4

16 Stijgen en dalen Het gedrag van een functie kun je beschrijven in termen van stijgen en dalen. Het is in vele gevallen belangrijk om te weten hoe een grafiek bij een functie verloopt. Denk maar aan de winst van een onderneming of de groei van ziektekiemen, het verloop van bevolkingsaantallen, etc. We onderscheiden de volgende gevallen: Grafiek / functie is constant Grafiek/functie neemt gelijkmatig toe of af (lineaire daling / stijging) Grafiek / functie neemt steeds meer of minder toe of af (afnemende of toenemende daling / afnemende of toenemende stijging) Geef hiernaast bij elk voorbeeld aan om wat voor soort stijging / daling het gaat.

17 Met deze benamingen kun je nu het verloop van een grafiek beschrijven. De grafiek hiernaast is eerst constant(i), dan is er een toenemende stijging(ii) gevolgd door een afnemende stijging(iii) en dan weer een toenemende daling(iv) gevolgd door een afnemende daling(v) waarna de grafiek weer toenemend stijgt(vi) en tenslotte een constante stijging(vii). Geef nu in de figuur hierboven aan welke gebieden bedoeld worden. Oefening 17 a Plot de grafiek van f( x) x 4x x 10. Maak een schets. b Beschrijf zoals in het voorbeeld hiervoor het verloop van de grafiek. Oefening 18 a Plot de grafiek van f( x) x 9 b Beschrijf het verloop van de grafiek Oefening 19 a Maak een schets van de grafiek van f ( x) 0,5x 5x b Beschrijf het verloop van de grafiek c Wat gebeurt er precies tussen de stijging en de daling?

18 Hellingen We hebben gezien dat de stijging of daling van een grafiek belangrijk kan zijn. Tot nu toe hebben we gekeken hoe een grafiek stijgt of daalt. Nu gaan we kijken hoeveel een grafiek stijgt of daalt. Dit doen we aan de hand van een voorbeeld. Iemand maakt een rit van uur met de auto. Er wordt een grafiek gemaakt van de afgelegde afstand tijdens de rit van uren. Dat geeft de volgende grafiek: Beantwoord nu de volgende vragen: De rit duurde twee uren. Welke afstand werd er afgelegd? Bereken de gemiddelde snelheid over de hele rit. Wat was de gemiddelde snelheid in het eerste uur? Wat was de gemiddelde snelheid in het eerste halfuur? Waar werd sneller gereden, in het eerste halfuur of in het laatste halfuur? Hoe zie je dat aan de grafiek?

19 We kijken nu naar een klein deel van de grafiek. Het deel tussen Tijd = 1,5 uur en Tijd = uur. De gemiddelde snelheid tussen 1,6 uur en 1,9 uur: De helling van de lijn is hier ongeveer 64 De gemiddelde snelheid tussen 1,7 uur en 1,9 uur: De helling van de lijn is hier ongeveer 54 De gemiddelde snelheid tussen 1,8 uur en 1,9 uur De helling van de lijn is hier ongeveer 41 De snelheid op T = 1,9 uur. De helling van de (raak)lijn is hier ongeveer 7 Teken de raaklijn aan de grafiek (op de vorige bladzij) op Tijd = 0,5 Uur. Teken ook de raaklijn aan de grafiek op Tijd = 1,5 Uur. Wat hebben de twee raaklijnen te maken met de snelheid van de auto?

20 Bij een tijd-afstandsgrafiek is de snelheid gelijk aan de helling van de grafiek. Je kunt de snelheid berekenen door de helling van de raaklijn te berekenen. Met de GRM Plot de grafiek van de functie f ( x) 150x 50x Vensterinstellingen : 0,1 < X < 10 < Y < 50 Druk op de MENU knop, Kies 7: Punten en lijnen Kies : Punt op Klik vervolgens op de grafiek van f(x) en dan nogmaals ergens op de grafiek. Je hebt nu een punt gemaakt dat altijd op de grafiek ligt. Druk op de MENU knop, Kies 7: Punten en lijnen Kies : Raaklijn

21 Klik op het punt dat je hiervoor op de grafiek gemaakt hebt. Er wordt een raaklijn aan de grafiek getekend. Om nu de helling van de raaklijn te berekenen gaan we als volgt te werk: Druk op de knop MENU, Kies 8:Meting, Kies :Helling Klik op de raaklijn die je hiervoor gemaakt hebt. En klik nu op de plaats waar je het getal (de helling) op het scherm wilt hebben. Druk nu op de esc knop om het punt met raaklijn op de grafiek te verplaatsen en je zult zien dat de berekende helling mee verandert. Op welke tijd was de snelheid het hoogst? Hoeveel km hadden ze toen afgelegd?

22 De grafiek van de helling. In het voorgaande heb je gezien dat de helling van een grafiek een interessant gegeven kan zijn. We gaan nu wat dieper in op de helling van een willekeurige grafiek. Plot de grafiek van f ( x) x Neem als vensterinstellingen: 10 < x < 10 en 10 < y < 110 Maak weer een punt op de grafiek waarin je de raaklijn tekent. Laat de GRM de helling van de raaklijn berekenen. Het handigste is het wanneer je de coördinaten van het punt en de bijbehorende helling ergens midden op het scherm zet. Als je nu het punt over de grafiek beweegt dan kun je de coördinaten aflezen en ook de bijbehorende helling. Vul nu de onderstaande tabel in. Probeer de x-waarden zo nauwkeurig mogelijk in te stellen voordat je de y-waarde en de helling invult. x-waarde y-waarde helling van de grafiek Om te zien of er een verband bestaat tussen de helling van de grafiek van f ( x) x en de bijbehorende x-waarde moet je de grafiek van de helling tekenen in het assenstelsel op de volgende bladzij. De grafiek van van f(x) is ook alvast getekend.

23 Beantwoord de volgende vragen: Geef de formule die hoort bij de grafiek van de helling (de hellingsgrafiek) f(x) is een kwadratische functie, de grafiek is een parabool. Wat voor soort grafiek is de hellingsgrafiek? Wat voor soort functie hoort bij de hellingsgrafiek? Als de grafiek van f(x) daalt (links van de Y-as) wat is er dan met de hellingsgrafiek aan de hand? En als de grafiek van f(x) stijgt?

24 Oefening 0 Plot de grafiek van gx ( ) x En doe hetzelfde als we met de grafiek van f ( x) x gedaan hebben. Vul onderstaande tabel in en teken in onderstaand assenstelsel weer de hellingsgrafiek. Beantwoord ook weer de vragen. x-waarde y-waarde helling van de grafiek Geef de formule die hoort bij de grafiek van de helling (de hellingsgrafiek) g(x) is een derde machtsfunctie. Wat voor soort grafiek is de hellingsgrafiek? Wat voor soort functie hoort bij de hellingsgrafiek? De grafiek van g(x) stijgt alleen maar. Hoe zie je dit terug in de hellingsgrafiek?

25 Uit het voorgaande blijkt dat er een verband bestaat tussen de grafiek en zijn helling. Het tekenen van de hellingsgrafiek laat dit verband zien. De TI-nspire kan bij elke grafiek de grafiek van de helling zelf tekenen. De manier is eigenlijk eenvoudig: Vul in het formule-invoer-veld de functie in waarvan je de hellingsfunctie wilt plotten. We nemen nu als voorbeeld de functie gx ( ) x Stel het venster in op 5 < X < 5 en 70 < Y < 70 d dx Voer vervolgens in f()= x f1 () x Hierbij moet je de t toets gebruiken. De TI tekent meteen de hellingsgrafiek: Wil je nu de hellingsgrafiek van bijvoorbeeld f( x) 5x 15x 0plotten dan hoef je alleen f1(x) aan te passen: Oefening 1 Plot nu de hellingsgrafiek van gx ( ) 5x 15x 0. Probeer de verschillen en overeenkomsten met de hellingsgrafiek van f(x) hierboven te verklaren.

26 Oefening In de volgende afbeeldingen staat steeds de grafiek van een functie. Maak telkens een schets van de hellingsfunctie.

27 Oefening Hieronder zijn een paar grafieken getekend van de hellingsfunctie. Maak een schets in elk assenstelsel van de functie zelf.

28 Oefening 4 Geef in de grafieken van oefening steeds aan waar de helling 0 is en waar de helling het grootst is.

29 Differentiëren We hebben gezien dat de hellingsfunctie altijd één graad lager is dan de originele functie. Als f ( x) x dan was de hellingsfunctie (meestal afgeleide functie of afgeleide genoemd) gelijk aan x. We noteren de hellingsfunctie of afgeleide functie als f (x). Dus als f ( x) x dan is f '( x) x Verder hebben we hiervoor ook al gezien dan als f ( x) x dat f '( x) x Als je te maken hebt met machtsfuncties dan kun je heel makkelijk, zonder GRM, de hellingsfunctie bepalen. Regel voor het bepalen van de afgeleide functie: n n 1 Als f ( x) x dan is f '( x) n x Voorbeeld : f ( x) 8 x dan is f '( x) 8 x 8x Oefening 5 Bepaal van de onderstaande functies de afgeleide functie: 4 a f ( x) x 10 b gx ( ) x 5 8 c hx ( ) x x We breiden de bovenstaande regel een beetje uit: n als f ( x) c x dan is f '( x) c n x n 1 Voorbeeld: f ( x) 5 x dan is f '( x) 5 x 15x 1 Oefening 6 Bepaal de afgeleide functie van onderstaande functies: a f ( x) 4x d f ( x) 4x b c f ( x) 15 f ( x) 10 x e x f f ( x) x 4x f x 4 5 ( ) 7x 5

30 Raaklijnen Met de rekenmachine is het vrij makkelijk om een raaklijn aan een grafiek te tekenen en de vergelijking van de raaklijn te vinden. Zonder GRM is dit ook niet zo moeilijk. Je hebt een formule nodig en de helling van de grafiek. Voorbeeld: Uitwerking: Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f ( x) 4x x in het punt met x = 1 Eerst de helling van f(x) in x = 1 bepalen met de hellingsfunctie. Hellingsfunctie: f '( x) 4 x x 1x x Bij x = 1 is de helling f '(1) En bij x = 1 is de functiewaarde: f (1) En de vergelijking van de raaklijn wordt nu: y 10 ( x 1) Herleiden: y 10x 10 en dus y 10x 7 De algemene wiskundige regel: De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f(x) in het punt met x = a is: y f '( a) ( x a) f( a) Oefening 7 Gegeven is de functie f ( x) x a Bepaal, zonder gebruik te maken van de GRM, de vergelijking van de raaklijn bij x = 1 b Controleer met de GRM of het antwoord dat je bij a gegeven hebt juist is. Oefening 8 x 1 Gegeven is de functie gx ( ) x 1 a Bepaal met de GRM de helling van de grafiek van g(x) bij x = 4 b Bepaal de vergelijking van de raaklijn zonder gebruik te maken van de GRM. Oefening 9 4 Gegeven is hx ( ) 0,5x 4x a Bepaal het functievoorschrift van de afgeleide functie. b Bereken de helling van h(x) bij x =. Daalt of stijgt de grafiek bij x =? En bij x = 1? c Bereken ook de helling van h(x) bij x =. Daalt of stijgt h(x) hier?

31 Oefening 0 Gegeven is de functie f ( x) x 4x a Bepaal f (x) b Welke helling heeft de grafiek van f(x) als je precies in de top van de grafiek kijkt? c Voor welke waarde van x is f (x) = 0? d Bereken de coördinaten van de top van f(x). e Controleer je antwoord met de GRM.

32 Gemengde oefeningen 1 Hieronder staan grafieken. Geef steeds aan of de bijbehorende functies even, oneven of geen van beide zijn. Schets hieronder in de assenstelsels achtereenvolgens de grafiek van een even functie, een oneven functie en een functie die geen van beide is (eigen inbreng, niet de functies van de vorige opdracht!) Gegeven is de functie f ( x) x 96x a Ga met een berekening na of f(x) even, oneven of geen van beide is. b Bereken de snijpunten met de Y-as c Bereken de snijpunten met de X-as. d Maak een tabel en teken de grafiek. e Geef het domein van f(x) f Bepaal f (x) g Bereken voor welke x er geldt f (x)=0 h Geef de coördinaten van de toppen van f(x). 4 Gegeven is de functie gx ( ) 4x 6xen het punt P(1, ) a Laat zien dat het punt P op de grafiek van g(x) ligt. b Bereken de helling van de grafiek in dit punt (met de GRM of anders). c Geef de vergelijking van de raaklijn in P aan de grafiek.

33 5 Gegeven is de functie f( x) 4x 6 Geef steeds het functievoorschrift g(x) van de beeldgrafiek als: a de grafiek van f(x) over eenheden naar boven geschoven wordt. b de grafiek van f(x) over eenheden naar links geschoven wordt. c de grafiek van f(x) verticaal met vermenigvuldigd wordt. d de grafiek van f(x) horizontaal met 4 vermenigvuldigd wordt. e de grafiek van f(x) eerst 4 eenheden naar rechts geschoven wordt en dan verticaal met vermenigvuldigd wordt. f de grafiek van f(x) eerst verticaal met vermenigvuldigd wordt en daarna 4 eenheden naar rechts geschoven wordt. 6 Een productiemaatschappij maakt CD s en rekent een prijs per CD die afhankelijk is van het te leveren aantal. Het verband wordt gegeven door: p 0,00q 16,5 Hierin is p de verkoopprijs per CD en q het aantal CD s. De productiekosten K van één CD (in euro s) hangen af van het aantal CD s dat gemaakt wordt. Dit verband wordt gegeven door de formule: 4500 K 0, 5 q a Bereken de winst per CD bij q = Hoe groot is dan de totale winst? 4500 b Leg uit dat je met de formule W 0,00q 16,00 direct de winst q uit kunt rekenen bij elk aantal geproduceerde CD s. c Hoe groot is de maximale winst per CD? d Schets in één figuur de grafieken van p, K en W. e Geef in je tekening aan hoe je het antwoord van opdracht c) zowel in de grafieken van p en K als in de grafiek van W kunt terugvinden. f De formule voor de totale winst is TW 0, 00q 16, 00q Is de totale winst ook maximaal als de winst per CD maximaal is? Licht je antwoord toe. 7 4 Gegeven is de functie hx ( ) x 1,5x x a Plot en schets de grafiek van h(x) waarbij 1,5 < x <,5 b Geef in de schets nauwkeurig aan waar de grafiek toenemend stijgend, afnemend stijgend, toenemend dalend, afnemend dalend of constant is.

34 8 Van een product is de opbrengst TO gegeven door de formule TO 48q 0, 006q waarbij q het aantal verkochte artikelen is en TO de totale opbrengst in euro s. a b c d e f Plot de grafiek van TO. Vensterinstellingen opschrijven. Voor welke waarden (ongeveer) van q is de bovenstaande formule zinvol? Bereken de opbrengst bij 000 producten. Bereken de extra opbrengst als de productie toeneemt van 000 tot 001 stuks. Bepaal de helling van de grafiek bij q = 000. Wat valt op? Bij welke aantallen geproduceerde artikelen is de extra opbrengst minder dan 5 euro? 9 Een vuurpijl wordt afgeschoten. De baan van de pijl wordt door de volgende functie beschreven: h t 7.5t Waarin h de hoogte is waarop de vuurpijl zich bevindt na t seconden. a b c d Plot en schets de grafiek van de hoogte. Na hoeveel seconden komt de vuurpijl weer op de grond? Wat is de maximale hoogte van de vuurpijl? Na hoeveel seconden is de snelheid van de vuurpijl het grootst? 10 Gegeven zijn de functies f( x) x 10x 7 en gx ( ) x x a Bereken (zonder GRM) de nulpunten van f(x). b Bereken (zonder GRM) de coördinaten van de top van f(x). c Doe hetzelfde voor g(x) d Welke translatie(s) moet je toepassen op de grafiek van f(x) om de grafiek van g(x) als beeld te krijgen? 11 x 18 Gegeven is de functie f( x) x 5 a Bereken de snijpunten van de grafiek met de assen (dus zonder GRM). b Geef de vergelijking van de horizontale asymptoot. c Geef ook de vergelijking van de verticale asymptoot. d Maak een tabel en teken de grafiek.

35 1 Een bepaalde tropische koorts veroorzaakt een kortdurende verandering van de lichaamstemperatuur van de patiënt. Het verloop van de lichaamstemperatuur wordt beschreven door de volgende formule: T 7 0, (5 d) d Hierbij is T de temperatuur in C en d het aantal uren dat de patiënt ziek is. Als de patiënt weer een temperatuur heeft van 7 C is de koortsaanval voorbij, daarna geldt de formule ook niet meer. a b Bereken na hoeveel uur de koortsaanval voorbij is. Bereken na hoeveel tijd de patiënt de maximale temperatuur bereikt en geef deze temperatuur ook. Een lichaamstemperatuur van boven de 40 C wordt vaak als kritiek gezien. c Bereken hoelang (in minuten nauwkeurig) de situatie van de patiënt kritiek is. 1 Gegeven zijn de functies f( x) x x en gx ( ) 4x 7. a Bereken de nulpunten van de grafiek van f. b Bereken de coördinaten van de top van de grafiek van f. c Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van f en g. Rond de coördinaten zo nodig af op twee decimalen. d Los op: f ( x) g( x) 14 Gegeven zijn de functies f ( x) x x x 4 en gx ( ) x. a Teken op roosterpapier de grafieken van f en g voor 1 x b hoeveel nulpunten heeft f op het interval 1 x? c Bereken de coördinaten van de snijpunten van f en g op decimalen nauwkeurig. d Bereken exact (zonder GRM) het nulpunt van g. e Bereken (met GRM) alle nulpunten van f, op decimalen nauwkeurig. f Bereken de coördinaten van het maximum op 1 x

36

37 Antwoorden Oefening 1 a f ( x) x is even b f ( x) 5x 10x is oneven c f ( x) 5x 10x 5? Niet even en niet oneven. d x 1 f( x) is oneven x e f ( x) 10 x is niet even en niet oneven f f ( x) x 5x lijkt oneven maar de functie is niet oneven en niet even! Oefening a f ( a) a f ( a) ( a) a f ( a) f( a) dus f(x) is even b f ( a) 5a 10a f ( a) 5( a) 10 a 5a 10a f ( a) f( a) dus f(x) is niet even c f( a) 5a 10a 5 f( a) 5( a) 10 a 5 5a 10a 5 f ( a) f( a) dus f(x) is niet even a 1 d f( a) a ( a) 1 a 1 a 1 f( a) f ( a) f( a) dus f(x) is niet even a a a e f ( a) 10 a f ( x) 10 a 10 a f ( a) f( a) dus f(x) is niet even f f ( a) a 5a f ( a) ( a) 5( a) a 5a f ( a) f( a) dus f(x) is niet even Oefening a f ( a) a f ( a) ( a) a f ( a) f( a) dus f(x) is niet oneven. b f ( a) 5a 10a f ( a) 5( a) 10 a 5a 10a f ( a) f( a) dus f(x) is oneven. c f( a) 5a 10a 5 f( a) 5( a) 10 a 5 5a 10a 5 f ( a) f( a) dus f(x) is niet oneven. a 1 d f( a) a ( a) 1 a 1 a 1 f( a) f ( a) f( a) dus f(x) is oneven. a a a e f ( a) 10 a f ( x) 10 a 10 a f ( a) f( a) dus f(x) is niet oneven. f f ( x) a 5a

38 f ( a) ( a) 5( a) a 5a f ( a) f( a) dus f(x) is niet oneven. Oefening 4 a f ( a) a a f ( a) ( a) a a a Niet gelijk, niet tegengesteld dus f(x) is niet even en niet oneven. a a b f( a) a ( a) a a a f( a) a a Niet gelijk, niet tegengesteld dus f(x) is niet even en niet oneven. c f( a) a 5 f( a) a 5 a 5 Niet gelijk, niet tegengesteld dus f(x) is niet even en niet oneven. d f( a) a 5 f( a) a 5 a 5 Niet gelijk, niet tegengesteld dus f(x) is niet even en niet oneven. Oefening 5 a b c d gx ( ) x e gx ( ) x 10 5 x 15 f gx ( ) 10 x 1 x g g x x x x x ( ) Oefening 6 a gx ( ) ( x 6) d b c gx ( ) ( x ) 10 e gx ( ) 10 ( ) x f g( x) x 5x x 5x gx x x gx ( ) 1 x 4 ( ) 5 gx x x ( ) ( 5) 5( 5) gx x x ( ) ( ) 5( ) gx ( ) ( x 1) 4 x Oefening 7 a b gx ( ) 4 ( x) 1 8x c gx ( ) (5x 10 x) 10x 0x gx ( ) 4 x x 1 8x 4 d gx ( ) x x x

39 Oefening 8 a gx ( ) ( x 4) b hx ( ) ( x 4) c kx ( ) ( x 4) 6 d zie hiernaast. e Bij verschuiven, horizontaal en vertikaal, blijft de vorm van de grafiek gelijk. Bij vermenigvuldigen verandert de vorm van de grafiek meestal. f De nulpunten (snijpunten met de X-as) blijven op hun plaats bij verticale vermenigvuldiging. Oefening 9 x 1 a f ( x) ( ) ( x) 9 x x x b f ( x) 5( ) 10( ) 5( x) 10( x) 8 x 5x c f ( x) 4 4x 16x x 10 1 d f ( x) x Oefening 10

40 Oefening 11 a f( x) verticaal verm. met 0,5 g( x) gx ( ) verticaal 4 eenheden omhoog schuiven hx ( ) hx ( ) horizontaal eenheden naar re schuiven kx ( ) b c d De grafiek van k(x) lijkt op de grafiek van kx x x ( ) ( ) 4( ) 4 kx x x x ( ) kx x x x ( ) 4 4 kx ( ) x y x oefening 1 a zie hiernaast b kx ( ) x c lx ( ) x d mx ( ) x x Oefening 1 a Vensterinstellingen opschrijven!!

41 oefening 14 oefening 15 a Vensterinstellingen! b oefening 16 a De grafiek van f( x) x 4 ligt helemaal boven de X-as, het is immers een dalparabool. De absoluutstrepen hebben dan dus geen invloed! b De grafiek van f( x) x 4 ligt gedeeltelijk onder de X-as (bergparabool!!) De grafiek van f x ( ) x 4 gx ( ) x 4 ligt boven de X-as (behalve de nulpunten). is dus niet gelijk aan gx ( ) x 4.

42 Oefening 17 a zie hiernaast Vensterinstellingen opschrijven!! b De grafiek is eerst afnemend dalend, dan toenemend stijgend, dan afnemend stijgend en tenslotte toenemend dalend. Oefening 18 a zie hiernaast (vensterinstellingen!) b De grafiek is steeds afnemend stijgend Oefening 19 a zie hiernaast (.!) b De grafiek is eerst afnemend stijgend en dan toenemend dalend. c Tussen de stijging en de daling loopt de grafiek héél kort horizontaal Oefening 0 x y helling Oefening 1 De helling-grafiek van gx ( ) 5x 15x 0 is exact dezelfde als de hellingsgrafiek van f( x) 5x 15x 0. Het verschil tussen f(x) en g(x) is alleen maar een verticale verschuiving van 60 eenheden. De helling van de beide grafieken is niet veranderd!

43 Oefening

44 Oefening Oefening 4 Zie afbeeldingen hierboven. Grootste helling: Bij het de kruisjes Helling 0 bij de open rondjes.

45 Oefening 5 5 a f '( x) 4x b g'( x) 10 9 x c h'( x) 5x 8x 4 7 Oefening 6 a f '( x) 4 x 1x d f '( x) 4 b 9 f '( x) 150x e f '( x) 1x 0x c 1 f '( x) 6x 6x f f '( x) 1x Oefening 7 a f '( x) 4x f '(1) en f (1) 1 raaklijn: y f '( a) ( x a) f( a) y 4( x 1) y 4x b Grafiek plotten (venster!), punt op de grafiek maken, raaklijn laten tekenen en dan helling van de raaklijn meten. Daarna de lijn y 4x erbij plotten. 4 Oefening 8 a Grafiek plotten (venster!), punt op de grafiek maken, raaklijn laten tekenen en dan helling van de raaklijn meten. Bij x = 4 is de helling ongeveer 0, b Je weet nu f '(4) 0, en f (4) Dus de raaklijn in (4, ) wordt: y 0, ( x 4) dus y 0,x 4, Oefening 9 4 Gegeven is hx ( ) 0,5x 4x a h'( x) x 8x b h '() Bij x = daalt de grafiek want de helling is negatief. h '(1) Bij x = 1 stijgt de grafiek, de helling is immers positief. c h '() h(x) daalt niet en stijgt ook niet. De grafiek loopt horizontaal.

46 Oefening 0 Gegeven is de functie a f '( x) x 4 b Precies op de top van de grafiek (bergparabool!) loopt de grafiek horizontaal. De helling is daar dus 0. c f (x) = 0 x 4 0 x 4 x Dus voor x = is f (x) = 0, ofwel de top zit bij x =. d f () 4 4 coördinaten van de top: (, 4) e zie hiernaast.

47 Uitwerking gemengde oefeningen 1 De grafieken zijn achtereenvolgens oneven, even en geen van beide. De oneven grafiek moet te puntspiegelen zijn in de oorsprong, De even grafiek moet spiegelsymmetrisch zijn in de Y-as. Een grafiek die noch even noch oneven is, mag dus niet aan één van bovenstaande eisen voldoen. a b c d f ( a) a 96a f ( a) ( a) 96 ( a) f ( a) a 96a f ( a) f( a) dus niet even f ( a) ( a 96 a) a 96a f ( a) f( a) dus f(x) is oneven. f (0) snijpunt met de Y-as is (0, 0) x 96x 0 xx ( 48) 0 x 0 ( x 48) 0 x 0 of x 48 of x 48 snijpunten met de X-as: (0,0), ( 48,0) en ( 48,0) x y e D f f f '( x) 6x 96 g f (x) = 0 6x 96 0 h (4) x 96 f x 16 en x 4 x 4 f en ( 4) 56 Dus de coördinaten van de toppen zijn (4, 56) en ( 4, 56)

48 4 a b g(1) dus P(1, ) ligt op de grafiek. Met GRM: -plotten, -punt op grafiek maken -raaklijn in dat punt maken -helling meten Zonder GRM: g'( x) 8x 6 g '(1) helling in P is dus c raaklijn: y g'(1) ( x 1) g(1) 5 a b c d y ( x 1) y x 4 gx ( ) 4x 4 gx ( ) 4( x ) 6 gx ( ) (4x 6) 1x 18 x x 1 gx ( ) 4 ( ) x gx ( ) 4( x 4) 6 8( x 4) 1 e 6 a Productiekosten per CD: K 0, 5 0, 5 1,15 q 5000 Prijs per CD: p 0,00q 16,5 0, ,5 1,5 euro Winst per CD: 1,5 1,15 = 0,10 euro Totale winst is dus ,10 = 500 euro b Winst per CD is : 4500 W p K ( 0, 00q 16, 5) ( 0, 5) q Haakjes wegwerken vereenvoudigen: 4500 W 0,00q 16, 5 0, 5 q 4500 W 0,00q 16,00 q

49 c De maximale winst per CD is het maximum van W. GRM, formule invoeren, plotten, grafiek analyseren, maximum. Geeft ( 1.E+,8.64 ) als maximum: Venster: 1 < X < 5000 en 1 < Y < 10 d De maximale winst per CD wordt behaald bij een productie van 10 CD s. De maximale winst bedraagt 8,65 euro. Venster: 1 < X < 5000 en 1 < Y < 17 e f In de grafiek van W is het gewoon het maximum in de grafiek. In de grafieken van p en K is het punt te vinden door de p- grafiek evenwijdig te verschuiven totdat het de raaklijn is geworden aan de grafiek van K. De totale winst is niet maximaal als de winst per CD maximaal is. De winst per CD was maximaal bij een productie van 10 stuks. GRM, formule invoeren, plotten, grafiek analyseren, maximum. Geeft (.67E+,1.68E+4 ) als maximum. De totale winst is dus maximaal bij een productie van 670 stuks. De totale winst is dan euro.

50 7 a venster 1,5 < x <,5 en < y < b Voor 1,5 < x < 0 is de grafiek afnemend stijgend. Voor 0 < x < 0,8 is de grafiek toenemend stijgend Voor 0,8 < x < 1,47 is de grafiek afnemend stijgend En voor 1,47 < x <,5 is de grafiek toenemend dalend.

Functies. Verdieping. 6N-3p gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p gghm Functies Verdieping 6N-p 010-011 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2010-2011 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2010-2011 gghm Functies Verdieping 6N-p 010-011 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de ijehorende grafiek. Je mag de GRM hierij geruiken. Y f ( x) x X

Nadere informatie

2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] 2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Werk met de applet. Bedenk steeds welke parameter a, b, c en/of d je moet aanpassen. Experimenteer tot je de regelmaat kunt formuleren!

Werk met de applet. Bedenk steeds welke parameter a, b, c en/of d je moet aanpassen. Experimenteer tot je de regelmaat kunt formuleren! 5 Transformaties Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Functies en grafieken Transformaties Inleiding Verkennen Werk met de applet. Bedenk steeds welke parameter a, b, c en/of

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

11 ) Oefeningen. a) y = 2x 1 f) y = x 2 + 3x 4. b) y = 1 3 x2 x + 1 8. g) y = 1 x 2. c) y = x 3 x 2 +1 h) y = 6. d) y = x 2 4 i) y = x 2 5.

11 ) Oefeningen. a) y = 2x 1 f) y = x 2 + 3x 4. b) y = 1 3 x2 x + 1 8. g) y = 1 x 2. c) y = x 3 x 2 +1 h) y = 6. d) y = x 2 4 i) y = x 2 5. 11 ) Oefeningen 1) Vergelijkingen van functies Welke vergelijkingen stellen een rechte voor? Welke vergelijkingen stellen een parabool voor? Welke vergelijkingen stellen noch een rechte noch een parabool

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

2.1 Lineaire formules [1]

2.1 Lineaire formules [1] 2.1 Lineaire formules [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Werk het Practicum Functies en de [GR] door tot aan Families van functies. Onthoud alvast de uitdrukking karakteristieken van een functie.

Werk het Practicum Functies en de [GR] door tot aan Families van functies. Onthoud alvast de uitdrukking karakteristieken van een functie. 2 Domein en bereik Verkennen grafieken Domein en bereik Inleiding Verkennen Werk het Practicum Functies en de [GR] door tot aan Families van functies. Onthoud alvast de uitdrukking karakteristieken van

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. 2. Verbanden Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband

Nadere informatie

Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling)

Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling) Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf.1 : Snelheden (en helling) Les 1 Benadering van de helling tussen twee punten Definities Differentiequotiënt = { Gemiddelde helling }

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Kwadratische functies

Hoofdstuk 2 - Kwadratische functies Hoofdstuk - Kwadratische functies Hoofdstuk - Kwadratische functies Voorkennis V-1a y = 3(x ) 3 x 3 6x 1 y = 6x 1 b y = 9( 4x 4) 3 4x 4 9 36x 36 y = 36x 36 c y = x( x 7) 3 x 7 x x 7x y = x 7x V-a y = (

Nadere informatie

META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies

META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies Wat heb ik nodig: GR of afgeleide? Hoe ziet de grafiek eruit? Moet ik de afgeleide berekenen? Kan ik bij deze functie de afgeleide berekenen? Welke

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 7 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: functie invoerwaarde

Nadere informatie

Oef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1

Oef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1 Herhalingsoefeningen Tweedegraadsfuncties Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1

Nadere informatie

De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een xy-assenstelsel: naar boven, een negatief getal schuift de parabool naar beneden.

De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een xy-assenstelsel: naar boven, een negatief getal schuift de parabool naar beneden. Samenvatting H29: Parabolen en Hyperbolen De standaard parabool heeft als formule y = x 2 Deze vorm moet je vlot en netjes kunnen tekenen. De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een

Nadere informatie

7.1 Ongelijkheden [1]

7.1 Ongelijkheden [1] 7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 1. Lineair verband. 1a. na 1 min 36 cm, na min. 3 cm, daling 4 cm per minuut. b. h = 40 4t h in cm en t per minuut b. k: rc = -3 m: rc = 0.5 p: rc

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

Kwadratische verbanden - Parabolen klas ms

Kwadratische verbanden - Parabolen klas ms Kwadratische verbanden - Parabolen klas 01011ms Een paar basisbegrippen om te leren: - De grafiek van een kwadratisch verband heet een parabool. - Een parabool is dalparabool met een laagste punt (minimum).

Nadere informatie

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap 1 Rekenen met procenten, basispunten en procentpunten... 1 2 Werken met indexcijfers... 3 3 Grafieken maken en lezen... 5 4a Tweedegraads functie: de parabool...

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. 5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige

Nadere informatie

buigpunt (0,0) randpunt (0,0) domein [0, > asymptoot y=0 snijpunt y-as (0,1) bereik <0, >

buigpunt (0,0) randpunt (0,0) domein [0, > asymptoot y=0 snijpunt y-as (0,1) bereik <0, > De standaardfuncties: = = = Parabool top (0,0) buigpunt (0,0) randpunt (0,0) domein [0, > = f ( ) = = log( ) hyperbool vert. asymptoot =0 hor. asymptoot y=0 asymptoot y=0 snijpunt y-as (0,) bereik

Nadere informatie

Grafieken 1. a) de snijpunten met de x-as. b) het snijpunt met de y-as. c) de coördinaten van de top.

Grafieken 1. a) de snijpunten met de x-as. b) het snijpunt met de y-as. c) de coördinaten van de top. Grafieken 1 In het moduul verbanden hebben we gezien hoe we de grafiek van een lineair verband zoals y = 3 x + 5 moeten tekenen, dat wordt een rechte lijn. We noemen de functie y = 3 x + 5 ook wel een

Nadere informatie

Voorkennis. 66 Noordhoff Uitgevers bv 11 0, en y = = ,33 = y = 4x(x 2) y = 19x(1 2x) y = 3x( x + 5) y = 4x(4x + 1)

Voorkennis. 66 Noordhoff Uitgevers bv 11 0, en y = = ,33 = y = 4x(x 2) y = 19x(1 2x) y = 3x( x + 5) y = 4x(4x + 1) Hoofdstuk 0 - De abc-formule Hoofdstuk 0 - De abc-formule Voorkennis V-a y = 5 = 8 5 = en y = ( ) 5 = 8 5 = b y = + 8 = 6 = 6 en y = + 8 = 0,6 6 8 c y = + ( ) = + = = 6 en y = ( ) + ( ) = 9 6 = 9 + 8 =

Nadere informatie

EERSTE AFGELEIDE TWEEDE AFGELEIDE

EERSTE AFGELEIDE TWEEDE AFGELEIDE Lesrief EERSTE AFGELEIDE etreme waarden raaklijn normaal TWEEDE AFGELEIDE uigpunten 6/7Np GGHM03 Inleiding Met ehulp van de grafische rekenmachine kun je snel zien of de grafiek daalt of stijgt. Het horizontaal

Nadere informatie

Functies en symmetrie

Functies en symmetrie lesbrief Functies en symmetrie (even en oneven functies) 7N5p 013 gghm Symmetrie Bij grafieken van functies hebben we te maken met twee soorten symmetrie: lijnsymmetrie en puntsymmetrie. In deze lesbrief

Nadere informatie

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte.

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte. Grafieken, functies en verzamelingen Eerst enkele begrippen Grafiek In een assenstelsel teken je een grafiek. Assenstelsel Een assenstelsel bestaat uit twee assen die elkaar snijden: een horizontale en

Nadere informatie

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 Inleiding Bij Module F1 heb je geleerd dat Formule, Verhaal, Tabel, Grafiek en Vergelijking altijd bij elkaar horen. Bij Module F2 heb je geleerd wat een

Nadere informatie

Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo

Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo Bijlage 7 Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo Deze vragen kunnen gebruikt worden om aan het eind van klas 3 havo/vwo na te gaan in hoeverre leerlingen in staat zijn te

Nadere informatie

Hoofdstuk A9 Hellinggrafieken - alternatief

Hoofdstuk A9 Hellinggrafieken - alternatief Hoofdstuk A9 Hellinggrafieken - alternatief Hellinggrafieken a. Maak instap opgaven I-a en I-b (zonder de formules van instap opgave I- te gebruiken). snelheid (m/s) tijd (seconden) b. Hoe kun je met de

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : De Tabel

Hoofdstuk 1 : De Tabel Hoofdstuk 1 : De Tabel 1.1 Een tabel maken De GR heeft 3 belangrijke knoppen om een tabel te maken : (1) Y= knop : Daar tik je de formule in (2) Tblset (2nd Window) : Daar stel je de tabel in. Er geldt

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Het opstellen van een lineaire formule.

Het opstellen van een lineaire formule. Het opstellen van een lineaire formule. Gegeven is onderstaande lineaire grafiek (lijn b). Van deze grafiek willen wij de lineaire formule weten. Met deze formule kunnen we gaan rekenen. Je kan geen lineaire

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

6 Ongelijkheden. Verkennen. Uitleg. Theorie en voorbeelden. Los het probleem rond de huur van een kopieermachine op.

6 Ongelijkheden. Verkennen. Uitleg. Theorie en voorbeelden. Los het probleem rond de huur van een kopieermachine op. 6 Ongelijkheden Verkennen Ongelijkheden Inleiding Verkennen Los het probleem rond de huur van een kopieermachine op. Uitleg Ongelijkheden Theorie Opgave 1 In de Uitleg zie je hoe de ongelijkheid 0,05v

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine

Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Voorkennis: kwadratische vergelijkingen bladzijde V-a pp ( + ) b kk ( 0) c xx ( + ) d k( 8k 7) e qq ( + 9) f 0, tt+ ( ) g 7r( 9r) h p( 7p+ ) V-a fx () = x( x + ) b Nt

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 Functies en de GRM. Kern 1 Functies met de GRM. Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk 2, Functies en de GRM 1. 1 a. b Na ongeveer 6 dagen.

Hoofdstuk 2 Functies en de GRM. Kern 1 Functies met de GRM. Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk 2, Functies en de GRM 1. 1 a. b Na ongeveer 6 dagen. Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk, Functies en de GRM Hoofdstuk Functies en de GRM Kern Functies met de GRM a H (dm) 5 Na ongeveer 6 dagen. 6 8 0 t a De functie heeft geen functiewaarde voor X < 0.

Nadere informatie

WISNET-HBO NHL update jan. 2009

WISNET-HBO NHL update jan. 2009 Tweedegraadsfuncties Parabolen maken WISNET-HBO NHL update jan. 2009 Inleiding In deze les leer je wat systeem brengen in het snel herkennen van tweedegraadsfuncties. Een paar handige trucjes voor het

Nadere informatie

De eerste stappen met de TI-Nspire 2.1 voor de derde graad

De eerste stappen met de TI-Nspire 2.1 voor de derde graad De eerste stappen met TI-Nspire 2.1 voor de derde graad. Technisch Instituut Heilig Hart, Hasselt Inleiding Ik gebruik al twee jaar de TI-Nspire CAS in de derde graad TSO in de klassen 6TIW( 8 uur wiskunde)

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 50075005 Haags Montessori Lyceum (c) 0 Inleiding In deze leerroute gaan we kijken naar goniometrische functies: De eenheidscirkel

Nadere informatie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

MATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn

MATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn Codelijst: : de dynamisch gegenereerde waarde van INVUL: invuloefening ( Short answer ) KLEUR: gebruik kleur! MATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn MC: multiple

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden 7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Maandag 27 mei 1.0 16.0 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,

Nadere informatie

8.0 Voorkennis ,93 NIEUW

8.0 Voorkennis ,93 NIEUW 8.0 Voorkennis Voorbeeld: In 2014 waren er 12.500 speciaalzaken. Sinds 2012 is het aantal speciaalzaken afgenomen met 7%. Bereken hoeveel speciaalzaken er in 2012 waren. Aantal 2014 = 0,93 Aantal 2012

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Hoofdstuk 1 Formules, grafieken en vergelijkingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Les 1 Lineaire verbanden Definitie lijn Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = richtingscoëfficiënt

Nadere informatie

Formules grafieken en tabellen

Formules grafieken en tabellen Formules grafieken en tabellen Formules invoeren Met kom je op het formule-invoerscherm. Reeds ingevoerde formules wis je met C. Krijg je niet een scherm waarop Y, Y,... te zien zijn kies dan bij eerst

Nadere informatie

. noemer noemer Voorbeelden: 1 Breuken vereenvoudigen Schrijf de volgende breuken als één breuk en zo eenvoudig mogelijk: 4 1 x e.

. noemer noemer Voorbeelden: 1 Breuken vereenvoudigen Schrijf de volgende breuken als één breuk en zo eenvoudig mogelijk: 4 1 x e. Tips: Maak de volgende opgaven het liefst voorin in één van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, werk hem dan uit tot waar je kunt en ga verder met de volgende

Nadere informatie

SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN

SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN 1. SOMGRAFIEK Walter De Volder Breng onder Y 1 en Y 2 de vergelijking van een rechte in. Stel Y 3 = Y 1 + Y 2. Construeer de drie grafieken. Onderzoek verschillende

Nadere informatie

Paragraaf 5.1 : Machten en wortels

Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Machtsregels SPECIAAL GEVAL MACHTREGEL 1 : MACHTREGEL 2 : MACHTREGEL : a p a q = a p+q a p aq =

Nadere informatie

Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten.

Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. Theorie lineair verband Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. In het dagelijks leven wordt vaak gebruik gemaakt van

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2 opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen 1 Versie DD 2014

opdracht 1 opdracht 2 opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen 1 Versie DD 2014 Algebra Anders Parabolen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1 We beginnen heel eenvoudig met y = x Een tabel en een grafiek is snel gemaakt. top x - -1 0 1 3 y 0 1 4 + 1 + 3 toename tt + a)

Nadere informatie

Lessen wiskunde uitgewerkt.

Lessen wiskunde uitgewerkt. Lessen Wiskunde uitgewerkt Lessen in fase 1. De Oriëntatie. Les 1. De eenheidscirkel. In deze les gaan we kijken hoe we de sinus en de cosinus van een hoek kunnen uitrekenen door gebruik te maken van de

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie.

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. 14.0 Voorkennis De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. Evenwichtsstand = (min + max)/2 = (-100 + 300)/2 = 100 Amplitude = max evenw.

Nadere informatie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)

Nadere informatie

Vergelijkingen van cirkels en lijnen

Vergelijkingen van cirkels en lijnen Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1. x - -1 0 1 3 y 4 1 0 1 4 9-3 -1 + 1 + 3 +5 toename tt + + + + a) + b) De toename is steeds een nieuwe rand. De randen

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen) Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband tussen

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

Basisvormen (algebraische denkeenheden) van algebraische expressies/functies

Basisvormen (algebraische denkeenheden) van algebraische expressies/functies Basisvormen (algeraische denkeenheden) van algeraische epressies/functies,,,..,,, g g, log( ), sin(), cos() polynoomfuncties gerokenfuncties, vermenigvuldigingsfunctie Soort functies Standaardvormen met

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt kg lengte in m gewicht in kg 7 9 c d gewicht in kg lengte in m m weegt kg dus m weegt kg meter e startgetal hellingsgetal V-a y + Dus ( ) y

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - De afgeleide

Hoofdstuk 8 - De afgeleide Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt,, kg lengte in m gewicht in kg,,, 7, 9,, gewicht in kg lengte in m c m weegt kg dus m weegt, kg,, d, meter, e startgetal, hellingsgetal, V-a

Nadere informatie

Tweedegraads functies. Introductie 89. Leerkern 89

Tweedegraads functies. Introductie 89. Leerkern 89 Open Inhoud Universiteit leereenheid 3 Wiskunde voor milieuwetenschappen Tweedegraads functies Introductie 89 Leerkern 89 De parabool y = x 89 De grafiek van een tweedegraads functie 9 3 Domein en bereik

Nadere informatie

Groep I les 1/3 HS 8 verschillende functies

Groep I les 1/3 HS 8 verschillende functies Groep I les 1/3 HS 8 verschillende functies Hoi, dit is het eerste deel van jouw programma voor dit hoofdstuk. Er zijn verschillende soorten opgaven: O betekent ontdekkende opgaven, K om te kiezen, A afsluitend

Nadere informatie

1.1 Differentiëren, geknipt voor jou

1.1 Differentiëren, geknipt voor jou 1.1 Differentiëren, geknipt voor jou Je hebt leren omgaan met hellings of, wat hetzelfde is: s. We frissen de begrippen en rekenmethoden die hierbij horen nu wat op. Stel dat je met een (gewone) schaar

Nadere informatie

Het berekenen van coördinaten van bijzondere punten van een grafiek gaat met opties uit het CALC-menu.

Het berekenen van coördinaten van bijzondere punten van een grafiek gaat met opties uit het CALC-menu. Toppen en snijpunten We gaan uit van de formule y 0,08x 1,44x 6,48x 3. Voer deze formule in op het formule-invoerscherm (via!) en plot de grafiek met Xmin = 0, Xmax = 14, Ymin = 5 en Ymax = 14. In de figuur

Nadere informatie

Functiewaarden en toppen

Functiewaarden en toppen Functiewaarden en toppen Formules invoeren Met [Y=] kom je op het formule-invoerscherm. Reeds ingevoerde formules wis je met [CLEAR]. Krijg je niet een scherm waarop Y1, Y2,... te zien zijn, kies dan bij

Nadere informatie

Om het startgetal te vinden vul je een punt van de lijn in, bijvoorbeeld (2, 8). Dan: 8= dus startgetal 12.

Om het startgetal te vinden vul je een punt van de lijn in, bijvoorbeeld (2, 8). Dan: 8= dus startgetal 12. Blok Vaardigheden bladzijde 8 a l gaat door (0, 8) dus startgetal 8 l gaat door (0, 8) en (8, ), dus 8 naar rechts en omlaag ofwel naar rechts en 0, omlaag. Het hellingsgetal is dan 0, b y- 0, x 8 c Evenwijdig

Nadere informatie

HP Prime: Functie App

HP Prime: Functie App HP Prime Graphing Calculator HP Prime: Functie App Meer over de HP Prime te weten komen: http://www.hp-prime.nl De Functie-App op de HP Prime Gebruik! om het keuzescherm voor de applicaties te openen en

Nadere informatie

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] 6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde

Nadere informatie

exponentiële standaardfunctie

exponentiële standaardfunctie 9.0 Voorkennis In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is

Nadere informatie

Eerstegraads functies en rechte lijnen. Introductie 45. Leerkern 46

Eerstegraads functies en rechte lijnen. Introductie 45. Leerkern 46 Open Inhoud Universiteit leereenheid Wiskunde voor milieuwetenschappen Eerstegraads functies en rechte lijnen Introductie 5 Leerkern 6 De grafiek van een eerstegraads functie 6 Van grafiek naar functievoorschrift

Nadere informatie

Formules en grafieken Hst. 15

Formules en grafieken Hst. 15 Formules en grafieken Hst. 5. De totale kosten zijn dan : 0,5. 0000 = 0.000 dollar. Dan zijn de kosten per ton, dollar. De prijs is dan :,. 0.000 = 4.000 dollar. 0,50 dollar per ton en 4000 mijl. Aflezen

Nadere informatie

Extra oefeningen goniometrische functies. Juist of fout? Leg uit. Indien fout, volstaat het een tegenvoorbeeld te geven. ...

Extra oefeningen goniometrische functies. Juist of fout? Leg uit. Indien fout, volstaat het een tegenvoorbeeld te geven. ... Extra oefeningen goniometrische functies Oefening 1: Juist of fout? Leg uit. Indien fout, volstaat het een tegenvoorbeeld te geven. a. Elke periodieke functie heeft een (kleinste) periode. b. Er bestaat

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

Wisnet-HBO. update maart. 2010

Wisnet-HBO. update maart. 2010 Wat is Differentiëren? 1 Wat is differentiëren? Wisnet-HBO update maart. 2010 Differentiëren is eigenlijk het differentiaalquotient bepalen. Je begint met het delen van uiterst kleine verschillen op elkaar.

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie