2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE

Transcriptie

1 2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Inleverdatum maandag 8 oktober 2017 voor het college Niet losse velletjes aan elkaar vast. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je mag de theorie gebruiken die op het college of in het boek is behandeld. Je moet het huiswerk op het college inleveren. Handgeschreven (mits goed leesbaar) en getypt mag alletwee. Geef exacte antwoorden, geen decimalen (bijvoorbeeld 4/3 en geen 1, 333, 2 en geen 1, 414). Voor degenen die wel eens van de regel van L Hôpital hebben gehoord: je mag die nog niet gebruiken, die komt pas later in het college ter sprake. Op de volgende bladzijden staan uitgewerkte voorbeelden. Opgave 1. Bepaal het bereik van de onderstaande functies. Ga na of deze functies inverteerbaar zijn en zo ja bepaal hun inverse: i) f : R R : f(x) = x 9 ; ii) f : R \ {1/3} R : f(x) = 8x 3x 1. Opgave 2. Schrijf de volgende getallen als een geheel getal of een breuk: 16 3/ /3 ; 6 log 216; 2 log log 30. Opgave 3. Bereken de volgende ieten: a) x 2 7x x b) 2 + x 2 x c) 3 + x 4 x Opgave 4. Bepaal de verticale asymptoten van f(x) = x Bepaal voor elke verticale 1 asymptoot x = a de ieten f(x) en f(x). x a x a Opgave 5. De functie f is gegeven door x (x < 0), f(x) = (0 x < 5), x (x 5). Ga voor elk van de ieten f(x), f(x) of hij bestaat. Zo ja, bereken hem, zo nee, x 5 leg uit waarom niet. 1

2 2 UITGEWERKTE OPGAVEN Opgave 1. Bepaal het bereik van de onderstaande functies. Ga na of deze functies inverteerbaar zijn en zo ja bepaal hun inverse: i) f : R R : f(x) = 3 x + 1; ii) f : R R : f(x) = + 5; iii) f : (, 0] R : f(x) = + 5; 3 x iv) f : R \ {1} R : x 1. Oplossing. Schrijf y = f(x). Probeer x uit te drukken in y. De waarden van y waarvoor dit mogelijk is geven het bereik van f. Als we voor elke y precies één x vinden met f(x) = y dan is f inverteerbaar. De inverse f 1 krijgen we dan door x en y om te draaien. Het domein van f 1 is hetzelfde als het bereik van f, en het bereik van f 1 is hetzelfde als het domain van f. i)neem f(x) = 3 x + 1. Schrijf y = 3 x + 1. Er geldt: y = 3 x + 1 y 3 = x + 1 x = y 3 1. Dus voor elke y R kunnen we x in y uitdrukken. Dus het bereik van f is R. Voor elke y vinden we precies één x, namelijk x = y 3 1. Dus f is inverteerbaar. De inverse van f is f 1 (x) = x 3 1. ii) en iii) Neem f(x) = + 5. Er geldt: y = + 5 = y 5 x = ± y 5 mits y 5. We kunnen x alleen in y uitdrukken als y 5. Dus het bereik van f is [5, ). Wanneer het domein van f R is, dan vinden we voor x twee waarden, namelijk x = ± y 5 en is f niet inverteerbaar. Nemen we voor het domein van f (, 0] dan laten we alleen waarden van x toe die 0 zijn, en dan blijft alleen x = y 5 over. In dat geval is f wel inverteerbaar, en is de inverse f 1 (x) = x 5. Het domein van f 1 is het bereik van f, dat wil zeggen [5, ). Het bereik van f 1 is het domein van f, dat wil zeggen (, 0]. x iv) Neem f(x) = 3, x 1. Er geldt x 1 x y = 3 x 1 y3 = x x 1 (x 1)y3 = x xy 3 y 3 = x xy 3 x = y 3 x(y 3 1) = y 3 x = y3 y 3 1 mits y3 1, d.w.z. y 1.

3 3 We kunnen y alleen uitdrukken in x als y 1. Dus het bereik van f is R \ {1}. Voor y 3 elke y uit het bereik vinden we precies één waarde voor x, namelijk y 3 1. Dus f is inverteerbaar, en f 1 (x) = x3 x 3 1. Het domein van f 1 is het bereik van f, dus R \ {1}. Het bereik van f 1 is het domein van f, dus ook R \ {1}. Opgave 2. Schrijf 125 2/3 /1024 3/5 als een breuk. Oplossing. Er geldt 125 = 5 3 dus 125 2/3 = (5 3 ) 2/3 = 5 3 2/3 = 5 2 = 25. Verder is 1024 = 2 10, dus /5 = /5 = 2 6 = 64. We vinden dat 125 2/3 /1024 3/5 = 25/64. Opgave 3. Los op 36 x2 = 6 5x / 6. Oplossing. Er geldt 36 = 6 2, 6 = 6 1/2, dus de vergelijking kan worden herschreven als 6 2x2 = 6 5x 1/2 ofwel 2 = 5x 1 ofwel 2 2x2 5x + 1 = 0. De abc-formule geeft 2 x = 5 ± = 5 ± Opgave 4. Schrijf als breuk of geheel getal log 3/ log 3. Oplossing log 3/2 = log(3/2) = 32 2 log(3/2) omdat 2 = ( 4 2) 4. Dus log 3/ log 3 = 32 2 log log 3 = 32 2 log( ) = 32 2 log 1 2 = 32. x 3 1 Opgave 5. Bereken x 1 x 4 1. Oplossing. Algemeen geldt: als een polynoom p(x) een nulpunt a heeft dan is p(x) deelbaar door x a, dat wil zeggen p(x) = (x a)(ander polynoom). We vinden dat andere polynoom door een staartdeling. Zowel uit x 3 1 als x 4 1 kun je de factor x 1 wegdelen omdat ze beide nulpunt 1 hebben. Er geldt x 3 1 = (x 1)( + x + 1), x 4 1 = (x = 1)(x x + 1). Dus x 3 1 x 1 x 4 1 = (x 1)( + x + 1) x 1 (x 1)(x x + 1) = x 1 + x + 1 x x + 1 = 3 4.

4 4 In de iet laten we x naar 1 naderen, maar x wordt niet gelijk aan 1, dus x 1 wordt niet gelijk aan 0. We mogen dus x 1 uit de teller en noemer wegdelen. BELANGRIJKE OPMERKING: vergeet niet bij elke stap in het berekenen van een iet voor de uitdrukking x te zetten. Bijvoorbeeld de schrijfwijze x functie. Je moet dus schrijven x = x = 0. = x = 0 is fout, want x is een getal, en x is een x Opgave 6. Bereken. x Oplossing. We gebruiken hier de worteltruc: als er in de iet iets staat met......, vermenigvuldig teller en noemer dan met de som van de wortels. We gebruiken de regel Dit geeft x Opgave 7. Bereken 3x 3 1 5x 3 + x. x ( a b)( a + b) = a b. ( x + 1 1)( x ) = x( x ) (x + 1) 1 = x( x ) = x x( x ) 1 = = 1 x = 1 2. Oplossing. Deel teller en noemer door de snelstgroeiende term in de noemer. Dit geeft 3x 3 1 5x 3 + x = 3 x x 1/2 = 3 5. In dit voorbeeld is y = 3 5 een horizontale asymptoot voor x van f(x) = 3x3 1 5x 3 + x. Opgave 8. Gegeven is de functie f(x) = x3 1 = x 3. Bepaal de verticale (x + 1)(x 1) asymptoten van f, en bepaal f(x) en f(x) voor elke verticale asymptoot x = a van x a x a f.

5 5 Oplossing. f(x) heeft een verticale aysmptoot x = a voor elke waarde van a waar de teller niet gelijk is aan 0 en de noemer wel gelijk is aan 0, dus in dit voorbeeld x = 1 en x = 1. Om de ieten uit te rekenen bepalen we eerst het tekenoverzicht van f. De teller van f is 0 als x = 0 en de noemer van f is 0 als x = 1 of x = 1. Verder geldt: Dit geeft voor de ieten: x > 1 x 3 > 0, x 1 > 0, x + 1 > 0 f(x) > 0 0 < x < 1 x 3 > 0, x 1 < 0, x + 1 > 0 f(x) < 0 1 < x < 0 x 3 < 0, x 1 < 0, x + 1 > 0 f(x) > 0 x < 1 x 3 < 0, x 1 < 0, x + 1 < 0 f(x) < 0 f(x) = x 1 (f(x) > 0 als x 1) f(x) = x 1 (f(x) < 0 als x 1) x 1 x 1 f(x) = (f(x) > 0 als x 1) f(x) = (f(x) < 0 als x 1) Opgave 9. De functie f is gegeven door x (x > 0); f(x) = 89, 93 (x = 0); x 3 (x < 0). Ga na of f(x) bestaat. Zo ja bereken hem, zo nee, leg uit waarom niet. Oplossing. Er geldt x 0 f(x) = 0 (als x van rechts naar 0 nadert, dan is f(x) = x en nadert f(x) naar 0). Er geldt x 0 f(x) = 0 (als x van links naar 0 nadert, dan is f(x) = x 3 en nadert f(x) naar 0). Dus f(x) bestaat en is gelijk aan 0. BELANGRIJKE OPMERKING: bij de berekening van de iet x a f(x) kijken we wat er met f(x) gebeurt wanneer we x naar a laten naderen, maar niet gelijk wordt aan a. Dus de waarde van de iet hangt niet af van f(a), maar alleen af van f(x) voor alle x die dichtbij a liggen, maar niet gelijk zijn aan a. Dus in de opgave hadden we voor f(0) in plaats van 89,93 net zo goed een ander getal kunnen nemen, dat had voor de waarde van f(x) niet uitgemaakt.