2 Modulus en argument

Transcriptie

1 Modulus en argument Verkennen Modulus en argument Inleiding Verkennen Probeer zelf te bedenken hoe je een complex getal kunt opschrijven vanuit de draaihoek en de lengte van de bijbehorende vector. Uitleg Modulus en argument Uitleg Opgave Bekijk in de Uitleg hoe je een complex getal kunt schrijven als: z = r cos(ϕ) + i r sin(ϕ) Hierin is ϕ de hoek die de bijbehorende vector met de positieve x-as maakt en r de lengte van die vector. Neem nu z = + i. a) Bepaal r en ϕ = arg(z). b) Waarom zijn er meerdere waarden voor ϕ mogelijk? c) Wat is Arg(z)? d) Schrijf z = + i in de vorm z = r cos(ϕ) + i r sin(ϕ). Opgave Neem het complexe getal z = i. a) Bepaal ϕ = arg(z ) in radialen en in twee decimalen nauwkeurig. b) Schrijf het complexe getal in de vorm z = r cos(ϕ) + i r sin(ϕ). Neem het complexe getal z = + i c) Als je ϕ = arg(z ) bepaalt met tan(ϕ) =, krijg je niet meteen de goede hoek. Hoe komt dat? d) Schrijf dit complexe getal in de vorm z = r cos(ϕ) + i r sin(ϕ). Theorie en voorbeelden Modulus en argument Theorie Bekijk eerst de Theorie. Zet alle begrippen goed op een rijtje. Opgave 3 In de applet in de Theorie, pagina staat z = 3 cos() + i 3 sin() ingesteld. Je kunt r en ϕ veranderen. r = z is de modulus van z en ϕ = arg(z) is het argument van z. a) Hoe ziet dit complexe getal er in de vorm z = x + iy uit? STICHTING MATH4ALL 0 NOVEMBER 008

2 b) Welke waarden voor r en ϕ moet je instellen om z = 3 + i te krijgen? c) Welke waarden voor r en ϕ moet je instellen om z = 3 i te krijgen? d) Welke waarden voor r en ϕ moet je instellen om z = 3 + i te krijgen? e) Welke waarden voor r en ϕ moet je instellen om z = 3 i te krijgen? Opgave 4 In Voorbeeld zie je hoe je modulus en argument bepaalt van z = 3 + 4i. a) Maak z met de applet. Lees z en arg(z) uit de applet af. b) Controleer dat deze waarden overeen stemmen met de berekende waarden. c) Schrijf z = 3 + 4i in de poolvoorstelling. d) Schrijf z in de poolvoorstelling. Opgave 5 Neem nu z = 4 + i. a) Maak z met de applet en lees z en arg(z) uit de applet af. b) Bepaal z en arg(z) ook door berekening. c) Schrijf z in de poolvoorstelling. d) Oefen het schrijven van complexe getallen in de poolvoorstelling met deze applet. Opgave 6 Bekijk eerst in de Theorie, pagina de vermenigvuldigregel voor complexe getallen. In de applet zie je een voorbeeld van het vermenigvuldigen van z en z. Beide complexe getallen zijn in de poolvoorstelling gegeven. a) Schrijf z en z in de poolvoorstelling op. b) Schrijf nu ook z z in de poolvoorstelling en controleer de vermenigvuldigregel. c) Hoe zien beide complexe getallen er in de vorm x + iy uit? d) Bereken nu z z met behulp van je antwoorden bij c). e) Laat zien dat de antwoorden bij b) en d) met elkaar in overeenstemming zijn. f) Oefen dit met de applet voor meerdere complexe getallen. In Voorbeeld zie je nog eens hoe dit rekentechnisch moet. Opgave 7 In de Theorie, pagina vind je ook de stelling van De Moivre. Hij volgt uit de vermenigvuldigregel voor complexe getallen. Neem z =,5 + i. a) Bereken z. b) Schrijf nu zowel z als z in de poolvoorstelling. Controleer dat z = z en arg(z ) = arg(z). c) Leg nu uit waarom de stelling van De Moivre voor n = uit de vermenigvuldigregel voor complexe getallen volgt. STICHTING MATH4ALL 0 NOVEMBER 008

3 d) Doe het voorgaande ook met z 3 en leg uit waarom de stelling van De Moivre voor n = 3 uit de vermenigvuldigregel voor complexe getallen volgt. e) Waarom geldt arg(z n ) = n arg(z) + k? f) Waarom volgt hieruit de stelling van De Moivre voor gehele waarden van n? Opgave 8 In Voorbeeld 3 kun je zien hoe je met behulp van de stelling van De Moivre de macht van een complex getal met de hand berekent. a) Loop zelf de berekening in het voorbeeld na. b) Bereken ( + i) 5 op de manier van het voorbeeld. c) Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine. Verwerken LET OP! Het is de bedoeling dat je de volgende opgaven handmatig doet. Gebruik de grafische rekenmachine alleen als controlemiddel! Opgave 9 Bepaal modulus, argument en de hoofdwaarde van het argument van de volgende complexe getallen. Schrijf ze vervolgens in de poolvoorstelling. a) e) 3i b) f) + i c) + i g) i d) i h) Opgave 0 Gegeven is z = ( + i)( 3 + i). Bereken exact: Re z, Im z, z, arg z en Arg z. Opgave Toon aan, dat Re z z voor elk complex getal z. + i 3 Opgave Gegeven z = +,5i en z = 4 3i. Laat zien dat voor deze twee complexe getallen de vermenigvuldigregel geldt. Opgave 3 a) Bereken ( i) 5 met behulp van de stelling van De Moivre. b) Bereken ( 3i) 5 met behulp van de stelling van De Moivre. c) Wat is het nadeel van het gebruik van deze stelling? Opgave 4 De geconjugeerde van z Onder het toegevoegde complexe getal van een complex getal z = x + iy versta je het complexe getal z = x iy. Je noemt z ook wel de geconjugeerde van z. a) Toon aan, dat z z = z. b) Bewijs: z + z = z + z. c) Bewijs: z z = z z. d) Bewijs dat z = z alleen geldig is als z reëel is, maar dan ook altijd waar is. STICHTING MATH4ALL 0 NOVEMBER 008 3

4 Opgave 5 De driehoeksongelijkheid Je weet vast wel, dat in een driehoek elke zijde korter is dan de som van de lengtes van de twee andere zijden. In de vlakke meetkunde heet dit de driehoeksongelijkheid. Toon behulp van deze ongelijkheid aan, dat: z ± z z + z Opgave 6 Punten in het complexe vlak Je kunt een complex getal ook voorstellen als een punt in het complexe vlak. Teken daarin alle complexe getallen z waarvoor geldt: a) z = 5 b) z = c) z i = d) z i = z + Opgave 7 Bewijs van de vermenigvuldigregel voor complexe getallen Bewijs de vermenigvuldigregel voor complexe getallen door gebruik te maken van poolvoorstellingen van beide complexe getallen en formules voor sin(ϕ + ϕ ) en cos(ϕ + ϕ ) toe te passen. Opgave 8 Complexe getallen delen Dat complexe getallen kunnen worden gedeeld heb je al gezien. Net als bij vermenigvuldiging kun je eenvoudige regels afleiden voor het gedrag van modulus en argument daarbij: z z z = en arg( z z z ) = arg(z ) arg(z ) a) Neem z = + i 3 en z = i en bereken z z. Laat in een tekening zien dat de beide regels opgaan. b) Bewijs de regel voor het delen van complexe getallen. Testen Opgave 9 Bereken modulus en argument van a) z = i(3 5i) b) z = 3 5i c) z = ( i) 5 (3 + 3i) d) z = ( + i) 3 i Opgave 0 Vat een complex getal op als een punt in een xy-vlak. Teken de complexe getallen die voldoen aan: a) z + i = 3 b) z + z < STICHTING MATH4ALL 0 NOVEMBER 008 4

5 Antwoorden a) r = en ϕ = 4 b) veelvouden van c) - d) z = cos( 4 ) + i sin( 4 ) a) ϕ, b) z = 5 cos(,)+i 5 sin(,) c) - d) z = 5 cos(,03)+i 5 sin(,03) 3a) z,6 +,5i b) r 3,606 en ϕ 0,588 c) r 3,606 en ϕ 0,588 d) r 3,606 en ϕ,55 e) r 3,606 en ϕ 3,730 4a) - b) z = 5 en arg(z) 0,97 c) z 5 cos(0,97) + 5i sin(0,97) d) z 5 cos(0,97) 5i sin(0,97) 5a) - b) z = 0 en arg(z),68 c) z 0 cos(,68)+i 0 sin(,68) d) - 6a) z = 3 cos() + 3i sin() z = cos() + i sin() b) z z = 6 cos(3) + 6i sin(3) c) z,48 +,78i z,08 +,683i d) z z 5, ,849i e) 6 cos(3) 5,940 en 6 sin(3) 0,847 (afrondingsfout) 7a) z =,75 + 6i b) z,5cos(0,97)+,5isin(0,97) en z 6,5cos(,855)+6,5isin(,855) c) z = z z en dan worden draaihoeken opgeteld, dus arg(z ) = arg(z) + arg(z) d) z 3 = 4,65 + 5,5i 5,65cos(,7.)+5,65isin(,7.) e) drie keer dezelfde draaihoek optellen f) - 8a) - b) ( + i) 5 = 4 4i c) idem als b) 9a) z = en Arg(z) = 0 b) z = en Arg(z) = 0 c) z = en Arg(z) = 0,5 d) z = en Arg(z) = 0,5 e) z = 3 en Arg(z) = 0,5 f) z = en Arg(z) = 0,5 g) z = en Arg(z) = 0,75 h) z = en Arg(z) = 3 0. Re(z) = 3 en Im(z) = 3 Arg(z) = 5 en z =. z = x + y x x = Re(z). - 3a) 8 + 8i 5 b) z = ( 3 ) en arg(z) 5 0,98.. ( 3i) 5 = + 597i (niet afronden tussentijds!) c) Tussentijdse afrondingen leveren problemen op. 4a) (x+iy)(x iy) uitwerken b) Neem z = a+ib en z = c+id c) Net als bij b). 5. Redeneer vanuit vectoren als voorstelling voor complexe getallen. 6a) Neem z = x + iy en je krijgt x + y = 5; dit is een cirkel mi.pnt. O en straal 5 b) cirkel mi.pnt. (,0) en straal c) cirkel mi.pnt. (0,) en straal d) de lijn y = x 7. Neem z = a+ib en z = c + id en ga daarvan argumenten bepalen. Vergelijk met het argument van z z = (a+ib)(c+id). 8a) - b) - 9a) z = 34 en arg(z) 0,540 b) z = 34 en arg(z),030 c) z = 5650 en arg(z) 0,488 d) z = en arg(z) = 3 0a) cirkel om (0,) met straal 3 b) gebied met x < STICHTING MATH4ALL 0 NOVEMBER 008 5