Docentenversie. Hoofdstuk A9 Hellinggrafieken - alternatief. snelheid (m/s)

Transcriptie

1 Docentenversie Vooraf Dit hoofdstuk bestaat uit drie delen: Wat zijn hellinggrafieken en hoe maak je ze? Met het differentiequotient voor alle punten van de grafiek de helling uitrekenen. Die waarden kun je in een tabel zetten en je kunt er een grafiek mee tekenen. Eerst met de hand, vervolgens hoe je ze met de grafische rekenmachine kunt benaderen. Enkele oefeningen met hellinggrafieken om interpretatie te oefenen: onder andere op globale kenmerken hellinggrafieken en gewone grafieken koppelen. Nu weten we wat hellinggrafieken zijn. Vorige hoofdstuk ging over standaardfuncties en de kenmerken van grafieken van standaardfuncties. Hebben hellinggrafieken van standaardfuncties ook bepaalde kenmerken? Dat wordt onderzocht. Hoofdstuk A9 Hellinggrafieken - alternatief Hellinggrafieken a. Maak instap opgaven I-a en I-b (zonder de formules van instap opgave I- te gebruiken). snelheid (m/s) les Huiswerk voor deze les zijn de instap opgaven uit het boek: b c en a. Leerlingen bespreken in tweetallen hun antwoorden en maken instap opgave d. Vervolgens klassikaal de antwoorden uitwisselen. Eventueel direct klassikaal de (globale) snelheidsgrafieken (zonder de formules van opgave I-) en het antwoord op de extra vraag hieronder. Tegen het eind van de les opgave uit het boek nabespreken (zie verderop). tijd (seconden) b. Hoe kun je met de v-t-grafieken je antwoord op I-d beredeneren? Je kunt een beweging beschrijven met een tijd-afstand-grafiek of met een tijd-snelheid-grafiek. De hellingen in een tijd-afstand-grafiek zijn een maat voor de snelheden. In het groene boekje bij hoofdstuk Veranderingen stond: s v m/s s = m. m. t =, s. t =, s. t t oppervlakte = v * t (= m/s * s = m) geeft verplaatsing: *. = m. helling = s/ t (= m/s) geeft s gemiddelde snelheid: v = = = m/s t. De tijd-snelheid grafiek is een grafiek van hellingen van de tijd-afstand grafiek. In dit hoofdstuk wordt de samenhang tussen grafieken en hun hellinggrafieken verder uitgewerkt. Maak opgaven en uit het boek op pagina. handleiding //

2 Bespreek klassikaal opgave en geef vervolgens aan de klas het probleem: gegeven een functie f(x) = x, hoe ziet de hellinggrafiek eruit? Globaal weten ze misschien dat het een rechte lijn is, maar welke precies? Laat ze in enkele punten de helling berekenen. Inventariseer waarden op het bord. Hoe benader je de hellingen ook al weer: (vermoedelijk met het CALC-menu, maar nu ook weer even het differentiequotient opschrijven. Dan laten zien hoe deze berekening met de grafische rekenmachine kan en/of volgende opgaven laten maken. Huiswerk t/m opgave. Hellinggrafieken benaderen De grafische rekenmachine kun je hellinggrafieken laten tekenen. Stel Y = X a. Hier volgt eerst hoe je een helling kon benaderen met de grafische rekenmachine: Voer Y in op je grafische rekenmachine. Bereken in het rekenscherm de helling voor X = als volgt: ( Y(+.) Y() ) /. Y kun je vinden via [VARS] -> [Y-VARS]. b. Deze rekenregel kun je weer oproepen met [nd] [ENTRY]. Bereken nu ook de helling in enkele andere punten van de grafiek van Y. De helling in elk willekeurig punt van de grafiek van Y kun je benaderen met: Y( X +.) Y( X) Y = =. ( X +.) X Waarbij X steeds voor een ander punt staat. a. Voer Y in op je grafische rekenmachine en bekijk de grafiek van Y. Verklaar waarom je nu direct alle hellingen van de grafiek van Y kunt aflezen. b. Controleer met de grafiek van Y je antwoorden van onderdeel a en b. c. De grafiek van Y is een rechte lijn. Geef een functievoorschrift voor deze lijn. Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine. a. Stel je verandert de formule van Y. Waarom kun je de formule van Y laten staan als je weer de hellinggrafiek van Y wilt benaderen? b. Met Y benader je de hellingen van Y. Hoe kun je die benadering verbeteren? c. Verander Y in: Y =. X X + X. Er zijn drie punten waar de grafiek van Y helling heeft. Wat zijn de coördinaten van die punten? d. Benader de x-coördinaten van de punten waar de grafiek van Y helling heeft. handleiding //

3 les Huiswerk bespreken. Deze les verder werken met hellinggrafieken: globaal vergelijken van grafieken en hellinggrafieken. Deel sheets uit per groepje van circa leerlingen voor de opgave hieronder. Laat groepjes grafieken A, B en C en de bijbehorende getallenlijnen met nummers, en (in een andere volgorde) erop zetten als opgave voor de rest van de klas (welke getallenlijn hoort bij welke grafiek?). Bespreek klassikaal enkele of alle sheets. Vervolgens: huiswerk t/m opgave 8. Lees de tekst in het roze kader in het boek op pagina 7. Bedenk nu zelf verschillende grafieken. Teken je grafieken in een assenstelsel en teken eronder de bijbehorende getallenlijnen waarin je de hellingen van de grafieken beschrijft met +, en. 7 Op elk van de volgende twee bladzijden staan zes grafieken. De grafieken aangeduid met de Romeinse cijfers zijn de oorspronkelijke grafieken (f-grafieken) en de grafieken met gewone nummers zijn de daarbij horende hellinggrafieken (f'-grafieken). Welke grafiek van de tweede serie hoort bij welke grafiek van de eerste serie? Als je dat makkelijker vindt, kun je net doen of de eerste serie uit tijdafstand-grafieken en de tweede uit tijd-snelheid-grafieken bestaat. handleiding //

4 Zes f- grafieken. I II III IV V VI handleiding //

5 Zes f'-grafieken: handleiding //

6 les Huiswerk nabespreken. In ieder geval nog een keer laten zien hoe je met TRACE over de hellinggrafiek, hellingen van Y afleest. Niet verwarren met de helling van de hellinggrafiek! Vervolgens de onderzoekjes van opgave 9 introduceren. De families mogen ze kiezen, maar iedere familie moet door tenminste één groepje worden gekozen zodat de volgende les daarover gerapporteerd kan woren. Ze moeten het onderzoek zo verrichten dat ze de volgende les kunnen presenteren (met een grafische rekenmachine) hoe ze een en ander hebben aangepakt en wat ze hebben gevonden. 8 In het groene boekje bij hoofdstuk hebben jullie gezien dat de snelheid bij een valbeweging lineair toeneemt als de wrijving wordt verwaarloosd. De snelheid na t seconden kan dan worden benaderd met v = t (snelheid v in m/s). De vraag is of je nu met die formule voor v kunt beredeneren dat de afgelegde weg verloopt volgens een kwadratisch verband. Je hebt gezien dat de hellinggrafiek van f(x) = x de grafiek van een lineaire functie is. a. Onderzoek welk kwadratisch verband als hellinggrafiek de grafiek van y = x heeft. b. Hoe lang duurt een val van meter hoogte volgens deze formules? En met welke snelheid kom je dan op de grond terecht? De helling van een grafiek op een bepaald moment, of bij een bepaalde x, is een maat voor de verandering. Je kunt aan de helling zien of de functiewaarden veel of weinig zullen veranderen als je x een beetje verandert. Soms is het handig om die verandering te berekenen. Bijvoorbeeld: Stel een beweging wordt beschreven met een formule voor de afgelegde weg. Als je wil voorspellen hoe groot de snelheid op een bepaald moment zal zijn, dan kun je de helling van de grafiek op dat moment berekenen (zie bijvoorbeeld opgave E- op p. ). Uranium vervalt en heeft een halveringstijd. De hoeveelheid uranium in een materiaal kun je benaderen met een formule. De verandering van die hoeveelheid is een maat voor het radioactief verval en dus voor de straling van het materiaal. Stel men wil voorspellen wanneer die straling laag genoeg is, dan is het handig om te kunnen berekenen op welk moment dat zal gebeuren (zie bijvoorbeeld opgave G- van hoofdstuk A7 op p. 9). Hellinggrafieken van standaardfuncties Voor de functie f(x) = x geldt dat je de hellingen voor iedere x kunt berekenen met de hellingfunctie f (x) = x. Van de standaardfuncties kun je met de grafische rekenmachine hellinggrafieken laten tekenen. Is het mogelijk om dan ook hellingfuncties te vinden? 9 Hieronder volgen een serie onderzoekjes naar hellinggrafieken van standaardfuncties. Kies met een groepje een standaardfunctie waaarvan je de hellingfunctie gaat zoeken. Gebruik grafieken en tabellen van je grafische rekenmachine om de hellingfunctie te vinden. Bij iedere standaardfunctie staan nog een paar extra vragen. Je onderzoek bestaat uit twee onderdelen: Zoek de hellingfunctie en beantwoord de extra vragen. Bereid een presentatie voor om de klas uit te leggen wat je bij je gekozen standaardfunctie gevonden hebt. Wat was jullie aanpak? Hoe ziet de hellinggrafiek eruit? Hoe hebben jullie de hellingfunctie gevonden? Bij deze presentatie kun je een grafische rekenmachine gebruiken. handleiding //

7 les Presentaties Docent schrijft resultaten ergens op het bord (en vult eventueel de presentaties aan): veeltermen: betekenis van top van parabool bij derdegraadsfunctie: buigpunt exponentieel: hellinggrafiek exponentieel met zelfde grondtal, helemaal dalend/stijgend logaritmisch: hellinggrafiek hyperbolisch resultaat: op het bord een tabel met standaardfuncties en hun hellingfuncties. Huiswerk: opgave Les Oefenen met opgave (de extra opgaven uit het boek). les Bespreek het huiswerk en laat de leerlingen gemengde opdrachten maken. Huiswerk: opgaven en. a. Functies met machten. Is de hellinggrafiek van een tweedegraads functie altijd een lijn? Onderzoek de hellinggrafieken van de familie functies f(x)= - x + ax(voor a = -, -,, en ). Hoe zit het met functies met hogere machten? b. Periodieke functies. Zoek de hellingfuncties van sin(x), cos(x), sin(x) en sin(x) en sin(x) +. c. Exponentiële functies. Bekijk de hellinggrafieken en tabellen van f(x)=a x (voor a =,, en ). Wat kun je zeggen van de hellingfuncties? Is er een waarde van a waarvoor geldt dat de grafiek van de exponentiele functie samenvalt met de hellinggrafiek? In de functies hierboven is het begingetal. Verandert de hellinggrafiek als je een ander begingetal kiest? Zo ja, hoe? Hoe zit het met waarden van a tussen en? d. Logaritmische functies. Verklaar de vorm van de hellinggrafiek met behulp van de grafiek van een logaritmische functie. Probeer uit te zoeken van welke standaardfunctie de hellinggrafiek een grafiek is. Gebruik hierbij de vorm van de grafiek en de tabel van X, Y en Y. Hellinggrafieken en transformaties. Hoe verandert een hellinggrafiek van f als je f(x) verandert? Bijvoorbeeld bij (met a =. en ): f(x) + a a*f(x) f(x + a) Kies voor f een aantal standaardfuncties en onderzoek de gevolgen van deze drie transformaties op de hellinggrafiek van f. Kun je een algemene regel voor de gevolgen op de grafiek van f (x) vinden in ieder van de drie gevallen? Maak de extra opgaven uit het boek op bladzijde : E-, E-, E-7, E-8 en E-9. Maak de gemengde opdrachten uit het boek op bladzijde en. Maak Extra-B op bladzijde. handleiding 7 //