rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar

Transcriptie

1 Hoofdstuk 5 - machten, eponenten en logaritmen rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar

2 0. voorkennis HERLEIDEN VAN MACHTEN - rekenregels voor machten Bij het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal tel je de eponenten op: p a a q = a p+q Bij het delen van machten met hetzelfde grondtal trek je de eponenten van elkaar af: Bij de macht van een macht vermenigvuldig je de eponenten met elkaar: p (a ) q = a pq Bij de macht van een product krijg je een product van machten: En ook: a p a q = a p q (ab) p = a p b a = a a 0 = p

3 . machten en wortels Machten met negatieve eponenten Hieronder zie je nog een keer de rekenregels voor machten: p a a q = a p+q a p q = a pq ab p = a p a p = a p q Negatieve eponenten De laatste rekenregel verdient nog enige aandacht. Volgens deze regel zou 5 gedeeld door 5 gelijk moeten zijn aan 0. Maar er zou eigenlijk uit moeten komen. Kennelijk is 0 =. Op dezelfde manier kan je aantonen: a 0 = met a = 0 Volgens dezelfde regel: Kennelijk kunnen eponenten negatief zijn!? Dus kennelijk is =. Meer in 't algemeen geldt: a q 3 = 3 5 = 5 3 = 5 = b p Formules met machten herleiden De formule kun je schrijven in de vorm y = a n. Je gebruikt daarnbij de rekenregels voor machten. Voorbeeld Schrijf y = in de vorm y = b g Uitwerking 5 4 y = 3( ) y = y = y = y = 384 y = y = y = y = 0 y = a p = a p

4 Formules met hogeremachtswortels Sommige hogeremachtswortels komen mooi uit. Zo is 5 = 5, want 5 3 = 5. Merk op dat 5 = 5 ( 5) 3 = 5. Immers Maar bestaat niet, want er is geen getal dat in het kwadraat 9 oplevert. Om dezelfde reden bestaat niet. Een getal tot de vierde macht is niet negatief. In 't algemeen Bestaat? Als a 0 dan ja. Voor a 0 alleen als n is oneven. 9 a 6 Machten met gebroken eponenten De rekenregels voor machten gelden ook als p en q breuken zijn. Dus je kunt bijvoorbeeld schrijven: = = Maar dat is hetzelfde als: = Meer in het algemeen geldt: p a q = a en a q = a p met a 0 Door gebruik te maken van deze regel kan je soms handig rekenen, herleiden en vereenvoudigen. Rekenregel A B = A B

5 . wortelformules Domein en bereik van wortelfuncties De eenvoudigste wortelfunctie is de standaard functie f() = Je kunt veel wortelsfuncties opvatten als transformaties van de standaard functie. Zie domein en bereik bepalen van een wortelfunctie De grafiek van een wortelfunctie tekenen Bij 't tekenen van wortelfuncties kijk je naar het domein en naar het beginpunt. Zie voorbeelden grafieken tekenen Vergelijkingen met wortels Drie stappen bij het algebraïsch oplossen van wortelvergelijkingen: isoleren kwadrateren controleren Zie voorbeelden vergelijkingen oplossen Variabelen vrijmaken bij wortelformules Bij wortelfuncties kun je soms '' ook uit drukken in 'y'. Zie variabelen vrijmaken

6 3. eponentiële functies De standaardfunctie y=g Een functie van de vorm f() = g met g constant en g 0 is een eponentiële functie. De variabele staan in de eponent. De grafiek van f is stijgend als g en de grafiek is dalend in het geval 0 g. De -as is een asymptoot. Df = R Bf = 0 = g De functie f() is een standaardfunctie en de grafiek is een standaardgrafiek. Je mag ze zonder toelichting tekenen. Transformaties en eponentiële functies Door de standaardgrafiek y te verschuiven, te vermenigvuldigen of te spiegelen onstaan andere grafieken. Mogelijke transformaties: Spiegelen in de - of y-as Verticale of horizontale verschuiving Vermenigvuldigen t.o.v. de - of y-as Zie overzicht transformaties van grafieken voor een volledig overzicht. Voorbeelden Opgave A50 op bladzijde 3 Uitwerkingen Zie uitwerkingenboek = g a Vermenigvuldigen met een factor t.o.v. y-as Vervang '' door ' ' als je wilt vermenigvuldigen met de factor 'a' t.o.v. de y-as. Zie ook toepassingen van transformaties van grafieken Voorbeeld Als je f() bijvoorbeeld wilt = + + vermenigvuldigen met de factor t.o.v. de y-as dan krijg je: f() = ( ) + + f() = 4 + +

7 Eponentiële ongelijkheden Voorbeeld Los op: Uitwerking + 3 = g () = + 3 Neem f(). Neem. Plot de grafieken op je GR, benader de snijpunten en geef de oplossingen zodat f() g(). Oplossing: -,0 4,0 Voorbeeld Gegeven f() = + en g () = +. Los op: f()>g() Uitwerking Benader de snijpunten met je GR. Oplossing: 0 Is dit een eacte oplossing? Kun je de vergelijking f()=g() algebraïsch oplossen?

8 Voorbeeld 3 Los eact op: Uitwerking 4 4 Plot de grafieken met je GR en bereken eact het spijpunt. 4 = = = 4 = = + = + 3 = = 3 Oplossing: 3

9 Eponentiële vergelijkingen algebraïsch oplossen Sommige eponentiële vergelijkingen moet je algebraische kunnen oplossen. Voorbeelden 3 = 3 + = = 8 Je werkt dan toe naar een vorm waarin het linkerlid en het rechterlid als macht van hetzelfde grondtal geschreven zijn. Je gebruikt: Als g A = g B dan A = B Voorbeelden 3 = 3 = 3 = = = = = 3 + = = 3 = 8 3 = 9 3 = 3 = = 3 =

10 4. logaritmen De logaritme In log() heet g het grondtal van de logaritme. g log() is de eponent van het grondtal g waarmee de macht gelijk is aan. g g g log() = Hoofdregel g Als log() = y dan = g y Voorbeelden Logaritmische vergelijkingen g Als log() = y dan = g y Voorbeeld a 3 log 3 = 6 b log 4 = 4 c log 4 30 = Zie logaritmische vergelijkingen uitgewerkt log( 8 ) = 5log(0 04) = Logaritmische functie = g l De functie f() og() is een standaardfunctie. De grafiek is een standaardgrafiek. De vergelijking a =c De eacte oplossing van de vergelijking a is = a log(c) Voorbeelden = c Bereken de eacte oplossing van: 3 + = = 5 4 log( ) = Zie logaritmische vergelijkingen deel Je kunt grafieken van functies van de vorm f() = g l og(a + b ) + c opvatten als een combinatie van transformaties van de standaardfunctie. voorbeeld grafiek logaritmische functie tekenen 0 domein: stijgend voor g en dalend voor 0 g bereik R verticale asymptoot =0

11 Variabelen vrijmaken bij eponentiële formules Hier gaat het er om dat je een formule als bijvoorbeeld y= ,+,5 ook kan schrijven als =... We noemen dat ' vrijmaken'. Voorbeeld y = = 500 y = log(500 y) 0 = log(500 y) 5 = 0 log(500 y) 5 Nog een voorbeeld y = = y 3 y = = 3 y log Etra opgaven: Maak vrij: y = y = y = 0 Zie etra opgaven uitgewerkt