C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking."

Transcriptie

1 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c h( ) ( ) ( ) ( ) h'( ) 8 d s( t ) t t s '( t ) t 8 t 6 Toets voorkennis EXTRA: Etremen berekenen op bladzijde 57 aan het einde van deze uitwerking f ( ) 8 5 f '( ) 8 f '( ) ( )( ) 0 Maimum (zie een plot) f ( ) en minimum (zie een plot) f () a f ( ) f '( ) en g( ) 7 g '( ) p( ) f ( ) g( ) ( 7) 7 p'( ) 9 b p'( ) (zie a) 9 en f '( ) g '( ) (zie a) 6 Dus p ( ) f '( ) g '( ) c p'( ) 9 en f '( ) g( ) f ( ) g '( ) (zie a) ( 7) 6 9 Dus p ( ) f '( ) g( ) f ( ) g '( ) a f ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) b g( ) ( ) g '( ) 6 ( ) 6 ( ) c h( ) ( )( ) h'( ) ( ) ( ) d j ( ) ( )( ) j '( ) 6 ( ) ( ) 6 a f ( ) ( )( 7 ) f '( ) 6 ( 7 ) ( ) 7 b g( ) ( 5) ( 5)( 5) g '( ) ( 5) ( 5) ( 5) c h( ) ( )( ) h'( ) ( )( ) ( )( ) d j ( ) ( ) ( )( ) j '( ) 6 ( ) ( ) 6 ( ) g( ) c f ( ) g '( ) [ c]' f ( ) c [ f ( )]' 0 f ( ) c f '( ) c f '( ) 5a f ( ) ( )( ) f '( ) 8 ( ) ( ) ya f ( ) en rc raaklijn f '( ) 7 k: y 7 b door A(, ) 7 b b 7 Dus k: y 7 5b B op de y -as ( 0) yb f (0) en rc raaklijn f '(0) l : y b door B(0, ) 0 b b Dus l : y 6a f ( ) ( )( ) 0 (kan niet) Dus A(, 0) en B(, 0) f ( ) ( )( ) f '( ) ( ) ( ) Dus f '( ) 0 en f '() 0 k: y 0 b door A(, 0) 0 b 0 b 0 Dus k : y 0 0 l : y 0 b door B(, 0) 0 b 0 b 0 Dus l : y 0 0 6b f '() 0 de grafiek van f heeft geen etreme waarde voor 6c f '( ) 0 de grafiek van f heeft een etreme waarde voor 7a A O ( PQRS ) PQ PS f O ( 6 ( 6) 0 0 6) PQ 6 OP 6 P 6 p en PS ys p 6 p Dus A PQ PS (6 p)( p 6 p) De grafiek van snijdt de -as in (0, 0) en (6, 0) 7b A (6 p)( p 6 p) A'( p) da ( p 6 p) (6 p)( p 6) dp p p p 6 p p 6p 6p 6

2 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 7c da 0 6p 6p 6 0 p 6p 6 0 met D ( 6) 6 6 dp p p ( > voldoet niet) We zoeken dus p (de enige kandidaat voor het maimum) 8a f ( ) ( ) 5 ( )( ) 5 f '( ) ( ) ( ) ( ) ya f () 7,5 en rc f '() 0, 5 k: y 0, 5 b door A(; 7,5) 0, 5 b 7, 5 b 7, 75 Dus k: y 0, 5 7, 75 8b yb f (0) en rc f '(0) 0 8c f '( ) 0 ( ) 0 k: y 0 b b door B(0, ) 0 (hoort niet bij de top) Dus k: y 8 met f () 5 T (, 5) 9a O ( ABC ) AC AB ( OC OA) f ( p) ( p)( p p ) ( p)( p p ) 9b O '( p) do ( p p ) ( p)(p ) p p p p p p 6p 5 dp O '( p) 0 p 6p 5 0 (keer ) p p 0 met D ( ) p (hoort bij een minimum van O ) p,58 Dus we zoeken p,58 6 0a 0b a b d h( ) h'( ) [ ]' c 0 h( ) h'( ) 0 [ ]' n n Dus [ ]' n geldt ook voor n h'( ) 0 (zie b en gebruik a) [ ]' 0 [ ]' 0 [ ]' dus [ ]' a b c a b c f ( ) f '( ) g ( ) g 5 5 '( ) h( ) h'( ) f ( ) f '( ) 5 5 g( ) g '( ) 9 9 h( ) h'( ) 0 a b c f ( ) f '( ) g( ) g '( ) 0 h ( ) 5 5 h '( ) a 5 0 en 0 0, dus 5 0 5c 5b 5 (kruisproducten nemen) (kruiselings vermenigvuldigen)

3 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 6a (kruisproducten) b (kruisproducten) 7 7( ) c (kruisproducten) 8 ( ) d 6 6 (kruisproducten) 7a ( ) f f '( ) Snijden met de -as ( y 0) f ( ) Dus A y ( ) 0 ( y 0 was gegeven, zie de regel hierboven) en rc A f raaklijn f '( ) k: y b door A(, 0) b 0 b 0 Dus k: y 6 7b rc raaklijn f '( ) y ( ) en () B f y C f De raakpunten zijn B(, ) en C (, ) 8a (kruisproducten) ( ) ( )( ) 8b (kruisproducten) ( ) ( ) ( 6)( ) 0 6 8c 8d (kruisproducten) ( ) 0 0 ( )( ) 0 (kruisproducten) ( )( ) ( 6)( ) 0 6 9a 9b 9c f ( ) f '( ) y 5 A f () en rc raaklijn f '() 9 k: y 5 b door A(, ) 5 b b Dus k: y rc raaklijn f '( ) yb f ( ) 5 en yc f () 5 De raakpunten zijn B(, 5) en C (, 5) f '( ) 0 0 Maimum (zie een plot) f ( ) en minimum (zie een plot) f () 9d rc raaklijn f '( ) (kan niet) geen oplossing Toets voorkennis a b EXTRA: 5 Machten met positieve en/of gebroken eponenten op bladzijden 58 en 59 aan het einde van deze uitwerking c d

4 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 a b c d 0a (links en rechts de afgeleide nemen) [ ]' [ ]' [ ]' 0b [ ]' [ ]' a f ( ) f '( ) b g( ) g '( ) c h( ) h'( ) 5 d j ( ) j '( ) e k ( ) k '( ) f a b l ( ) ( ) ( ) (productregel) g '( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f '( ) Uit het hoofd leren: [ ]' g( ) g '( ) c h( ) ( ) ( ) ( )( ) h'( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f '( ) y A f ( ) en rc raaklijn f '( ) 8 8 k: y b door A(, ) b b Dus k: y y (8) en rc B f raaklijn f '(8) l : y b door B(8, ) 8 b b 8 8 Dus l : y k snijden met l geeft met y Dus C ( 5, 7) a f ( ) f '( ) f '( ) 0 0 (kwadrateren) (de enige kandidaat voor een minimum) Het minimum is f () b rc raaklijn f '(0) geeft k: y b door O (0, 0) 0 b 0 b 0 Dus k: y c f '( ) (kwadrateren) 6 6 A ya f (6) Dus A(6, 6) l : y b door A(6, 6) 6 b 6 b 6 6 Dus l : y 5a s( t ) 0t t 0t t 0 t ds s '( t ) 5t 5 t 5b dt Dus ds dt t De snelheid is ds dt 5 8 m/s t 8

5 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 5/0 5c 08 km/u is m/s ds 0 dt 5 t 0 t t Dus na seconden 5d De formule s( t ) 0 t t geldt voor 0 t 9 Na 9 seconden is s(9) meter afgelegd De snelheid vanaf t 9 is s '(9) m/s Van t 9 tot t 60 legt de trein (60 9) 5 95 meter af In de eerste minuut legt de trein meter af 6a 6b 6c f ( ) f '( ) y A f () en rc raaklijn f '() k: y b door A(, ) b b Dus k: y f '( ) Dus p f Dus a, b 6 en c a f ( ) ( 5 ) ( 5 )( 5 ) f '( ) ( 5)( 5 ) ( 5 )( 5) ( 5 )( 5) 7b f ( ) ( 5 )( 5 ) f '( ) [ 5 ]' ( 5 ) ( 5 ) [ 5 ]' ( 5 ) [ 5 ]' 8 De tabel van y h( ) valt samen met de tabel van y g '( ) (de hellingfunctie van g) Vergeet niet de ketting nog eens etra te differentiëren 9a 9b 9c 9d f ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) Of korter: f ( ) f '( ) g( ) ( ) g '( ) ( ) (8 ) ( ) h( ) ( ) h'( ) ( ) ( ) ( ) j ( ) ( ) j '( ) ( ) ( ) ( ) Leer van buiten: [ ]' 0a 0b 0c 0d f ( ) ( ) f '( ) ( ) 6( ) 6 ( ) ( ) g( ) ( ) g '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h'( ) ( ) j ( ) ( ) j '( ) ( ) ( ) ( ) a Maak een schets van de plot hiernaast b f ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) f '( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 c ya f (6) 6 en rc raaklijn f '(6) l : y b door A(6, 6) 6 b 6 b Dus l : y 76

6 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 6/0 a b f ( ) 9 5 f '( ) () 9 en rc [ ]' ya f raaklijn f '() 5 k: y b door A(, 9) b 9 b 9 89 Dus k: y f '() 5 0 f heeft geen etreme waarde voor 9 8 f ( ) f '( ) (zie Theorie B ) a f ( ) f '( ) b g( ) ( ) g '( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) 5a f ( ) 8 (BV: ) D f, 5b f ( ) 8 f '( ) c f '( ) d top en ytop f ( ) 8 Dus de top is (, ) 5e Het etreem in de top is een maimum (zie een plot) B 8 8 f, 6a f ( ) 6 (BV: ) D f, 6b f ( ) 6 f '( ) '( ) 0 6 f top en ytop f ( ) 6 Dus de top is (, ) 6c Het etreem in de top is een minimum (zie een plot) B f, 7a f ( ) 9 f '( ) y (0) 0 9 en rc 0 A f raaklijn f '(0) k: y 6 b door A(0, ) 6 0 b b 0 Dus k: y 6 7b 9 f '( ) (9 ) top en het maimum (zie een plot) is ytop f () c D (BV: ) f, (zie 7b) en B, 6 f 8a De hoogtelijn CD deelt AB doormidden AD DB De stelling van Pythagoras in ADC geeft CD AC AD 8b In ADC : sin DAC sin 60 overst rz DC en cos DAC cos 60 aanl rz AD schuine z AC schuine z AC 8c In ADC : sin DCA sin 0 overst rz AD en cos DCA cos 0 aanl rz DC schuine z AC schuine z AC 8d De stelling van Pythagoras in ABC (fig ) geeft AC AB BC In ABC (fig ) : sin BAC sin 5 BC en cos BAC cos 5 AB AC AC

7 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 7/0 9a sin( π ) 9c sin( π ) 9e cos( π ) 9b cos( 7 π ) 9d cos( 5 π ) 9f sin( π) sin( 7 π) 6 0a sin( α) (0 α π ) α π α π 0d cos( α) 0 (0 α π ) α π α π 0b cos( α) (0 α π ) α π α π 0e cos( α) (0 α π ) α π α 5 π 6 6 0c sin( α) (0 α π ) α π α π 0f cos( α) (0 α π ) α π α π, 6 π, 5 π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, 5 π, 6 π, a sin( π) 0 π k π π k π π k π 6 b cos( π) 0 6 π π k π 6 π k π π k π c sin ( ) sin( ) sin ( ) sin( ) 0 sin( ) ( sin( ) ) 0 sin( ) 0 sin( ) k π π k π d cos ( ) cos( ) 0 cos( ) ( cos( ) ) 0 cos( ) 0 cos( ) π k π k π a b f ( ) sin ( ) sin( ) 0 sin( ) ( sin( ) ) 0 sin( ) 0 sin( ) k π π k π f ( ) 0 (met 0 π ) 0 π π π f ( ) 0 (zie een plot) 0 π π sin( )cos( ) cos( ) 0 cos( ) ( sin( ) ) 0 cos( ) 0 sin( ) π k π π k π sin( )cos( ) cos( ) 0 (met 0 π ) π π sin( )cos( ) cos( ) 0 (zie een plot) 0 π π π cos ( ) cos( ) 0 cos( ) ( cos( ) ) 0 cos( ) 0 cos( ) π k π k π π k π k π cos ( ) cos( ) 0 (met 0 π) 0 π π π π π π cos ( ) cos( ) 0 (zie een plot) 0 π π π π π π 5a sin( π) π is een oplossing van sin( ) 6 6 5b π en π liggen op dezelfde plaats als π op de eenheidscirkel (precies één of twee rondgangen verder) c sin( 5 π) 5 π is een oplossing van sin( ) 6 6 5d 5 π en π liggen op dezelfde plaats als 5 π op de eenheidscirkel (precies één rondgang verder of terug) a sin( ) sin( ) π k π 5 π k π (keer ) 6 6 π k π 5 π k π 6b cos( π) cos( π) π π k π π π k π π k π k π

8 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 8/0 6c sin( π) sin( π) π π k π π π k π 9 π k π π k π 9 π k π π k π 6d cos( π) cos( π) π π k π π π k π 5 π k π π k π 5 π k π π k π 9 9 7a sin( π) 7c sin( ) 6 sin( π) π k π 5 π k π (keer ) 6 π π k π π π k π π k π 5 π k π (met op [0, π]) π k π π k π 5 π 8 5 π k π π k π (met op [0, π]) 5 π 5 π π π 7b cos( π) 7d cos( ) cos( π) 5 π k π 5 π k π (keer ) 6 6 π π k π π π k π 5 π k π 5 π k π (met op [0, π]) 6 6 π k π π k π 5 π π k π π k π (met op [0, π]) 9 9 π 8 π π π 7 π π a ( ) 8b sin( ) cos( ) 0 sin( ) 0 cos( ) k π π k π π k π 6 6 sin( ) ( cos( ) 0 (met 0 π) 0 π π π π 6 6 sin( ) ( cos( ) ) 0 (zie een plot) 0 π π π π 6 6 sin ( ) sin( ) 0 ( ) ( ) sin( ) sin( ) 0 sin( ) sin( ) kan niet 7 π k π π k π 6 6 sin ( ) sin( ) 0 (met 0 π ) 7 π π 6 6 sin ( ) sin( ) 0 (zie een plot) 0 7 π π π 6 6 9a Zie de eerste drie schermen hiernaast 9b Vermoedelijk: f ( ) sin( ) f '( ) cos( ) TABLE doet het vermoeden versterken 9c Zie de eerste twee schermen hieronder Vermoedelijk: g( ) cos( ) g '( ) sin( ) TABLE doet het vermoeden weer versterken cos( ) sin( ) 9d Vermoedelijk: h( ) sin( ) h'( ) cos( ) cos( ) TABLE doet het vermoeden alleen maar versterken Zie de eerste twee schermen hiernaast Vermoedelijk: j ( ) cos( ) j '( ) sin( ) sin( ) TABLE doet het vermoeden versterken Zie de laatste twee schermen hiernaast

9 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 9/0 50ac 50bc Zie de eerste drie schermen hiernaast Vermoedelijk f ( ) sin( ) f '( ) cos( ) cos( ) π periode π periode π amplitude amplitude Controle met TABLE doet het vermoeden versterken Zie de eerste twee schermen hiernaast Vermoedelijk g( ) sin( ) g '( ) cos( ) cos( ) π periode π periode π amplitude amplitude Controle met TABLE doet het vermoeden versterken 5 Vermoedelijk k( ) cos( ) k '( ) sin( ) sin( ) Controle met TABLE doet het vermoeden versterken 5a f ( ) cos( ) f '( ) sin( ) sin( ) 5b g( ) cos( ) g '( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) 5c h( ) sin( ) '( ) 0 cos( ) 8cos( h π π) π 5d j ( ) 0 6sin( ( )) 0 6sin( ( ) ) j '( ) 0 6cos( ) 8cos( ) Of j ( ) 0 6sin( ) j '( ) 0 6cos( ) 8cos( ) ( ) 5a f ( ) sin( a b ) f '( ) cos( a b) a a cos( a b) 5b g( ) cos( a b ) g '( ) sin( a b) a a sin( a b) 5ab I: f ( ) sin( ) f '( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) (mijn voorkeur) II: f ( ) sin( ) f '( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 55a f ( ) cos( ) f '( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) 55b g( ) sin( ) g '( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 55c h( ) sin( ) h'( ) sin( ) cos( ) sin( ) 6 cos( ) 55d j ( ) cos( ) j '( ) 0 cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) 56ab I: f ( ) sin ( ) sin( ) sin( ) f '( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) II: f ( ) sin ( ) sin( ) f '( ) sin( ) cos( ) (mijn voorkeur, maar bepaal je eigen voorkeur) ( sin( ) ) 57a ( ) f ( ) cos ( ) cos( ) f '( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) 57b ( ) g( ) sin ( ) sin( ) g '( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 57c ( ) h( ) cos ( ) cos( ) h'( ) 0 cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) 57d ( ) j ( ) sin ( ) sin( ) j '( ) sin( ) cos( ) 6sin( ) cos( ) f ( ) sin ( ) sin( ) f '( ) sin( ) cos( ) sin ( ) cos( ) 58a ( sin( ) ) ( ) g( ) sin ( ) sin( ) g '( ) sin ( ) sin( ) cos( ) sin ( ) sin( ) cos( ) 58b ( ) 58c 58d cos( ) h( ) sin( ) h'( ) cos( ) sin( ) sin( ) Gebruik: [ ]' j ( ) cos( ) j '( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( )

10 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 0/0 f ( ) cos ( ) cos( ) cos( ) cos( ) f '( ) cos( ) sin( ) sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) 59a ( cos( ) ) f '( ) 0 sin( ) cos( ) sin( ) 0 sin( ) ( cos( ) ) 0 sin( ) 0 cos( ) k π cos( ) k π π k π π k π op [0, π] geeft 0 π π π 5 π 59b y π A f ( ) en rc raaklijn f '( π) k: y b door A( π, ) π b b π Dus k: y π 60a f ( ) cos( ) f '( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) y π π π π A f ( ) 0 0 en rc raaklijn f '( ) 0 π k: y π b door A( π, 0) π π b 0 b π Dus k: y π π 60b yb f ( π ) π π en rc raaklijn f '( π) π 0 l : y b door B( π, π) π b π b 0 l gaat door de oorsprong 60c f '() cos() sin() 0 f heeft geen top voor f ( ) sin ( ) sin( ) sin( ) sin( ) f '( ) sin( ) cos( ) cos( ) 6a ( sin( ) ) f '( ) 0 sin cos( ) cos( ) 0 ( ) cos( ) sin( ) 0 cos( ) 0 sin( ) π k π sin( ) π k π π k π π k π op [0, π] geeft π π π π 6b y π π π A f ( ) sin ( ) sin( ) ( ) en rc π π π π raaklijn f '( ) sin( ) cos( ) cos( ) k: y ( ) b door A( π, ) ( ) π b 6 6 Dus k: y ( ) π( ) 6 6c ma (zie plot) f (0) 0 min f ( π) ma f ( π) min f ( 5 π) ma f ( π) 0 min (zie plot) f ( π) ma f ( π) min f ( π) ma f ( π) ( ) f '( ) sin( ) cos( ) cos( ) (niet algebraïsch op te lossen) intersect geeft,5 π,887 π Controle: f '( π) sin( π) cos( π) cos( π) 0 en f '( π) sin( π) cos( π) cos( π) 6 Sinusoïde y sin( ) verm tov de y -as met y sin( c ) toppen (binnen één periode) ( π, ) en ( π, ) c c c ( π, ) en ( π, ) vermtov de -as met b y b sin( c ) ( π, b) en ( π, b) translatie ( d, a) y a b c d c c sin( ( )) ( π d, a b) en ( π d, a b) c c Sinusoïde toppen (binnen één periode) y cos( ) (0, ) en ( π, ) verm tov de y -as met c y cos( c ) (0, ) en ( π, ) c vermtov de -as met b y b cos( c ) (0, b) en ( π, b) c translatie ( d, a) y a b cosn( c( d )) ( d, a b) en ( π d, a b) c 6 Geen opgave 6 te vinden 6a I h h 0 0 (dm) h 0 0 (dm) (dm ) M b (dm) h (dm) (dm ) 6 M 8 8,5,5 6 6c M h h h h 6h (dm )

11 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 65a I h 7 (dm ) h 7 6 (dm), K 0, 0,( h h) 0,8,h 0,8, 6 0,8 ( ),, 65b K 0,8 0,8, K ',6,,6 d,,6,, 0, 6 0, 6, 7 7 (dm) d,6 De materiaalkosten zijn minimaal (er is slechts kandidaat) bij de afmetingen van bij 6 bij dm 66a I h 6 (dm ) h 6 ( h is de hoogte in dm) O h h 6 6 (dm ) 66b O 6 6 do O ' 6 6 d do ,7 (dm) d De oppervlakte O is minimaal (er is slechts kandidaat) bij de afmetingen van,7 bij,7 bij,59 dm 67 O y 75 (m ) y 75 K 0 0( y ) 0 0y ( ) K K ' d (met > 0) 00 0 (m) d De kosten K zijn minimaal (er is slechts kandidaat) bij de afmetingen 0 (voor de vierde zijde) bij 7,5 m 68a O y 00 (m ) y 00 K 60y 5( y ) 5 75y ( ) 68b K K ' d (met > 0) , 5 (m) d De minimale kosten ( kandidaat) zijn,79 bij de afmetingen 77,5 (langs de beek) bij 5,5 m 68c K intersect geeft 5, 6 (minder lang) De afmetingen zijn 5,6 bij,8 meter 69a O (bodem en deksel) π r h (mantel) π r h (cm ) 69b I h 000 (cm ) h 000 (cm) 69c π π π π π O r rh r r r (cm ) r 69d O π r 000 π r 000 r do O ' 000r 000 r dr r do π 000 π 0 r 0 r r 500 r 500 5, (cm) dr r r π π De hoeveelheid materiaal is minimaal (er is slechts kandidaat) bij r 500 π 5, cm en h 000 0,8 cm 70a I h 500 (cm ) h 500 (cm) K (bodem) π rh (mantel) (deksel) π r (rand met hoogte cm) π r π rh π r π r 500 π r 000 r 70b De materiaalkosten zijn minimaal (optie minimum is toegestaan) bij r,5 cm en h,6 cm (oplossen met de afgeleide geeft een derdegraadsvergelijking die niet algebraïsch kan worden opgelost, deze vergelijking kan vervolgens dan met intersect grafisch-numeriek worden opgelost)

12 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 7a 7b 7c 7d I h h I (hierin is I een bepaalde inhoud dus voor te stellen als een of ander vast getal) O (bodem en deksel) h (mantel) I I π r r O I π r I r do O ' I r I r dr r do π π 0 r I 0 r I I r I r I dr r r π π Dus O is minimaal (er is slechts kandidaat) bij r I π r I h (alles tot de derde macht nemen) π π r h (kruiselings vermenigvuldigen) π π r h (links en rechts delen door ) r h 7a AB AC BC AC AC AC AC AC AC 6 7b CD AC AD (6 ) ( ) (6 )(6 ) ( ) CD 6 6 7c O ( ABC ) AB CD 6 6 7a K (00 ) ( ) 7b K 00 0 K ' [ ]' d ( 600) d (met > 0) 5 (m) De minimale kosten (er is slechts kandidaat) zijn 60 bij 5 m 7a 7b K a (00 ) a a ( ) (hierbij is a een constante!!!) K 00a a 0 K ' a 0 a d ( ) d 00 d 0 a 0 a, AP a AB ' (m) De totale kosten via het traject AB ' B zijn ( ) 75b AB (m) Verder is BC (m) en AC (m) Een kabel in een rechte lijn van A naar B kost ( ) 75c AP (m) en PB (500 ) 00 (500 )(500 ) (m) De kosten voor een kabel via punt P zijn K a ( ) K a heeft als afgeleide functie 00 a( 500) ' 00 ( 000) K a d d a(00 500) 0 0 d a a , 9 ( /m)

13 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 76a AP 0, 0, 0 (km) en BP (0, ) 0, (0, )(0, ) 0, afstand tijd snelheid tijd afstand snelheid 0,6 0, 0, 0, 0 0, 8 0,0 (km) 0,0 0,8 0, De totale tijd t is gelijk aan t 0,0 0,8 0, (uur) b Maak een schets van jouw plot Zie een voorbeeld hiernaast Vermeld het WINDOW-scherm 76c De optie minimum geeft als top het punt (, t ) (0,; 0,05) 76d Frits heeft minimaal 0,05 uur 0, seconden nodig 77a 77b 78a 78b Van S (TART) naar aankomst L(and) is SL (km) en van L naar F (INISH) is LF 0 (km) De totale tijd t is gelijk aan t 0 (0 ) (uur) t (0 ) dt ' t d dt ( > 0) d Dus t is minimaal (er is slechts kandidaat) voor ( 0, 707) km AB BC BC 60 BC 60 (nu de stelling van Pythagoras in ABC ) AC BC AB (60 ) (60 )(60 ) O ABC AB AC d O O O ' d do d De maimale (er is slechts kandidaat) oppervlakte O(0) 6, 79a 79b AP PD PD 0 PD 0 (nu de stelling van Pythagoras in ADP ) AD PD AP (0 ) (0 )(0 ) O 00 0 ABC AD AP 00 0 d 00 0 O O 00 0 O ' d do (cm) d De maimale (er is slechts kandidaat) oppervlakte O( 0) 8, 9 cm

14 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Diagnostische toets Da f ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) Db g( ) ( )( ) g '( ) ( ) ( ) 6 Dc h( ) ( ) ( )( ) h'( ) ( ) ( ) ( ) Da f ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) ya f ( ) 7 en rc raaklijn f '( ) 7 k: y 7 b door A(, 7) 7 b 7 b Dus k: y 7 0 Db f '( ) ( ) 0 Dus de grafiek van f heeft geen top voor Dc Snijden met de -as ( y 0) f ( ) 0 ( ) 0 0 Dus B y ( 0) 6 B f ( ) 0 y en rc raaklijn f '( ) k: y 6 b door B(, 0) 6 b 0 b Dus k: y Da Db Dc Da Db Dc Dd De Df f ( ) 0 0 ( )( ) 0 A Nu is: AB B A p p en BC yc p p O ( ABC ) AB BC ( p ) ( p p ) ( p )( p p ) O ( p) ( p )( p p ) O '( p) ( p p ) ( p ) ( p ) p p p p p p p top en O '( ),5 0 Dus O is niet maimaal voor p O '( p) 0 p p 0 (keer ) p p 7 0 met D ( ) p 0 6 ( voldoet niet) p 0 7 Dus O maimaal voor p f ( ) f '( ) 5 5 g( ) g '( ) 9 9 h( ) h'( ) 9 9 k ( ) k '( ) l ( ) l 6 6 '( ) 7 m( ) m'( ) D5a ( ) D5b D5c 9 D5d 6 ( )( 6) ( )( ) D6a f ( ) f '( ) y A f () en rc raaklijn f '() k: y b door A(, ) b b 0 Dus k: y D6b rc raaklijn f '( ) yb f ( ) en yc f () 0 De raakpunten zijn B(, ) en C (, 0)

15 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 5/0 D7a f ( ) f '( ) D7b D7c D7d g( ) ( ) g '( ) Of g( ) ( ) (productregel) g '( ) ( ) [ ]' ( ) h( ) h'( ) k ( ) ( )( ) k '( ) ( )( ) ( ) ( )( ) D8a f ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) D8b D8c g( ) g '( ) h( ) ( ) h'( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) D8d k ( ) k '( ) D9a Gebruik: [ ]' f ( ) '( ) f '( ) 0 50 f ± f ( 5) en f (5) De toppen zijn ( 5, 5) en (5, 5) D9b y 8 A f () 9 7 en rc raaklijn f '() k: y 8 b door A(, 7) 8 b 7 b 7 8 Dus k: y D9c Df 50, 50 (BV: ) Bf 5, 5 (zie D9a en een plot) D0a sin( α) (0 α π ) α π α π D0c sin( α) (0 α π ) α π α 5 π 6 6 D0b cos( α) (0 α π ) α π α π D0d cos( α) (0 α π ) α π α π Da Db sin( π) sin( π) π π k π π π k π π k π π k π π k π π k π (met op [0, π]) π 7 π π π cos( π) 6 π 5 π k π π 5 π k π π k π π k π (met op [0, π]) π π Dc cos( ) π k π (keer ) π k π (met op [0, π]) π π Dd sin( π) sin( π) π π k π π π k π 5 π k π 5 π k π π k π 5 π k π (met op [0, π]) π 7 π 9 π 7 π 9 π π Da f ( ) cos( ) f '( ) sin( ) Db g( ) cos( ) g '( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) Dc h( ) cos( ) h'( ) sin( ) sin( ) Dd j ( ) cos ( ) cos( ) cos( ) j '( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) Of j ( ) cos ( ) cos( ) j '( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( )

16 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 6/0 Da h( t ) 0,sin( 00 π t ) h'( t ) 0,cos(00 πt ) 00π 0π cos(00 πt ) Db u( t ) sin( 80 π t ) 5cos( 8 πt ) u '( t ) cos(80 πt ) 80π 5 sin(8 πt ) 8π 0π cos(80 πt ) 05π sin(8 πt ) Dc f ( ) 5 sin( ) f '( ) 5 sin( ) 5 cos( ) 5 sins( ) 5 cos( ) Dd sin( ) g( ) cos( ) g '( ) sin( ) cos( ) cos( ) Gebruik: [ ]' f ( ) cos ( ) cos( ) f '( ) cos ( ) cos( ) sin( ) cos ( ) sin( ) cos( ) Da ( ) Db ya f ( π) π cos ( π) π ( ) π en rc raaklijn f '( π) cos ( π) π sin( π) cos( π) ( ) π 0 k: y b door A( π, π) π b π b π π 0 Dus k: y D5a AB AC AC 0 AC 0 (nu de stelling van Pythagoras in ABC ) BC AC AC (0 ) (0 )(0 ) O ABEDC OABC OBEDC AB AC BC (0 ) D5b O 0 00 do O ' 0 d do De oppervlakte is minimaal (er is slechts kandidaat) voor 0 d D6a I h 000 (cm ) h 9000 (cm ) h 9000 (cm) O h h h (cm ) D6b O do O ' d do ,0 (cm) d De oppervlakte is minimaal (er is slechts kandidaat) bij de afmetingen van,0 bij,0 bij 8, cm (de optie minimum is hier ook geoorloofd en geeft met van een een geschikt venster dezelfde -waarde) D7a O y 00 (m ) y 00 De totale lengte van de afrastering is L y 00 (m) L is minimaal (de optie minimum mag toegepast worden) voor 7, (m) De afmetingen van het stuk land zijn 7, bij 69, m D7b De kosten voor de afrastering zijn K 60( y ) y ( ) K is minimaal (optie minimum mag) voor, (m) De afmetingen van het stuk land zijn, bij 56,6 m

17 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 7/0 Gemengde opgaven Differentiaalrekening Ga ( P ) ( P ) ( ) ( )( ) l y p p p p p p 6 p p p p 7 p 6 7 Gb dl p p l p 7p 6 (p p) dp p 7p 6 p 7p 6 dl p 7p 0 0 (teller 0) p 7p 0 p( p ) 0 p 0 p (met p > 0) p dp p 7p 6 Dus l is minimaal (er is slechts kandidaat) voor p Gc Deze cirkel heeft als straal de minimale lengte l uit Gb (omdat de cirkel de parabool raakt) ( ) r Dus de oppervlakte van deze cirkel is O π π Ga sin( ) π k π π k π Gb sin( π) cos( π) 0 sin( π) 0 cos( π) 0 π k π π π k π π k π π k π 6 π k π π k π 8 6 Gc sin( π) sin( π) π π k π π π k π k π 5 π k π k π 5 π k π 6 Ga f ( ) cos( ) f '( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) Gb g( ) sin( ) g '( ) (cos( ) ) sin( ) sin( ) h( ) cos( ) sin( ) h'( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( )cos( ) 6cos( ) Gc ( ) Gebruik: [ ]' Ga f ( ) sin ( ) sin( ) 0 sin( ) ( sin( ) ) 0 sin( ) 0 sin( ) k π π k π op [0, π] geeft 0 π π π f ( ) sin ( ) sin( ) sin( ) sin( ) f '( ) sin( ) cos( ) cos( ) Gb ( sin( ) ) f '( ) 0 sin( ) cos( ) cos( ) 0 min (zie plot) f ( π) cos( ) ( sin( ) ) 0 6 cos( ) 0 sin( ) ma f ( π) π k π sin( ) min f ( 5 π) 6 π k π π k 5 π k π ma f ( π) 6 6 f '( ) 0 (met 0 π ) π π 5 π π (de etreme waarden hierboven) 6 6 Gc ya f ( π) sin ( π) sin( π) 0 en rc raaklijn f '( π) sin( π) cos( π) cos( π) 0 k: y b door A( π, 0) π b 0 b π Dus k: y π G5a I h (m ) h 6 (m) K 0 80 ( h h) 0 80 h ( ) G5b K K ' d , 59 (m) d 80 De kosten zijn minimaal (er is slechts kandidaat) bij de afmetingen van,59 bij,7 bij,8 m

18 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 8/0 G5c O zijaanzicht h I ( h ) h G5d I (m ) h h 6 (m) 5 K 0 80 h 80 ( h ) 0 60h 60h ( 6 ) ( ) G5e K is minimaal (optie minimum geoorloofd) voor,55 (m) De afmetingen van het vloeroppervlak zijn,55 bij,09 m De hoogte aan de voorkant is m en de hoogte tegen de gevel is,8 m G6a f ( ) (7 ) Dus OS G6b AB f ( p) g( p) 7 8 Intersect geeft p, O OST 6 Dus OS y 6 T y 6 T y T yt y 7 (niet algebraïsch op te lossen ) intersect geeft 0, 60, 77 Dus T (0,60; ) en U (,77; ) G6c h( ) c met domein [0,0] Dus h(0) 0 en h(0) 0 h(0) 0c c c c 000 Dus h( ) 000 op het domein [0,0] Optie maimum geeft 6,0 en y 68, 7 Dus het bereik van h is [0;68,7] G6d h( ) h'( ) ( c ) c c c c c,5 0 h heeft een maimum voor, 5 h'(, 5) 0 c, 5 0 c, 5, 5,5c,5 G7a f () f ( ) Dus de grafiek van f is 65 omlaag verschoven G7b f ( ) 6 f '( ) rc m f '() 8 m: y b door (, 0) b 0 b 6 Dus m: y G7c g( ) ( 6) (productregel of) 6 g '( ) g '( ) ( 8) ± De -coördinaten van de toppen zijn 8 en 8 (bij 0 geen top maar een buigpunt) 7 7 G8a Abalk 7,5 7, (cm ) Acilinder π π 0, 6 56 (cm ) Omdat V balk Vcilinder hoort de kleinste F bij de verpakking met de kleinste oppervlakte Dus de cilindervormige verpakking heeft de kleinste F -waarde G8b 0 < h < 0 0 < 8000 < 0 0 < 8000 én 8000 < 0 0 < 8000 én 0 > r < 8000 én r > π 0π (0 < ) r < 8000, én r > ,0 0π 0π Dus 8,0 < r <, G8c π π F r r r geeft r df F ' r π r dr 000 r 000 df 0 dr r r 000 r 000 r 000 0,8 (cm) π π

19 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 9/0 0 G9a Bestudeer het vooraanzicht hiernaast en 80 : 0 (cm) G9b Pythagoras: h 0 5 9, 7 (cm) Zie de hiernaast op schaal :0 (het vooraanzicht en) zijaanzicht G9c Maak een schets met de gegevens Zie hieronder 0 h h Pythagoras: ( ) ( ) ( 5 ) ( 5 )( 5 ) h G9d I 0, optie maimum (is toegestaan) 0 (cm) De inhoud is maimaal (er is slechts kandidaat) bij 0 en h cm Of (algebraisch met de afgeleide) I 0, di 5 0,075 0, , , d di 0, , , 075 ( 05 5 ) 5 0, 075 d (cm) Dit geeft dan (zoals hierboven) h 6 (cm) 5 9e I 0, (dm ) I 0 intersect 0,, (cm) I 0 (zie een plot) 0,, h (cm) intersect of , (cm) 5 h 0 én I 0 6, én 0,, Dus 0, 6, (cm) 0 vooraanzicht 50 zijaanzicht

20 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 0/0 Voorkennis Differentiëren (bladzijde 56) 7a f ( ) f '( ) 6 6 7b g( ) g '( ) 7c h( ) ( ) h'( ) 7d k ( ) ( ) ( )( ) k '( ) 6 6 8a f ( p) p p f '( p) p 8c s( t ) 5t t 5 t t s '( t ) 0 t 8b g( q) q q g '( q) q 8d N ( t ) 0, 0t 0, 05t 0, t N '( t ) 0, 0t 0,t 0, 5 5 Voorkennis Etremen berekenen (bladzijde 57) 9a f ( ) 0 f '( ) f '( ) 0 0 ( )( ) 0 Maimum (zie een plot) f ( ) en minimum (zie een plot) f () 9b g( ) 9 50 g '( ) 8 g '( ) ( 6) Minimum (zie een plot) g(0) 50 en maimum (zie een plot) g(6) 58 0a Voorkennis 5 Machten met negatieve en/of gebroken eponenten (bladzijden 58 en 59) 5 5 0e b 0f 0c 0g 0d h ( ) 5 ( ) a e b c d 5 f g ( ) h ( )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS G&R havo B deel Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg / a x = x =. b x = x x =. c d x (x ) 0 x = 0 =. 9. e f x 0 x ( x ) 0. x x = x x ( x )( x + ). TOETS VOORKENNIS a ( x + ) = x c x e

Nadere informatie

= cos245 en y P = sin245.

= cos245 en y P = sin245. G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a b overstaande rechthoekszijde PQ PQ sinα = (in figuur 8.) sin = = PQ = sin 0, 9. schuine zijde OP aanliggende rechthoekszijde OQ OQ cosα = (in figuur 8.) cos =

Nadere informatie

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25 C. von Schwartzenberg 1/ 1 I, II, IV en V zijn tweedegraadsvergelijkingen. (de hoogste macht van is steeds ; te zien na wegwerken haakjes?) (III is een eerstegraadsvergelijking en VI is een derdegraadsvergelijking)

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Werken met formules. 5.1 Stelsels vergelijkingen. Opgave 1: 44 110 dus 110 bolletjes. 24 15 dus 15 broden. Opgave 2: Opgave 3:

Hoofdstuk 5: Werken met formules. 5.1 Stelsels vergelijkingen. Opgave 1: 44 110 dus 110 bolletjes. 24 15 dus 15 broden. Opgave 2: Opgave 3: Hoofdstuk 5: Werken met formules 5. Stelsels vergelijkingen Opgave : a. 60 0,6 44 44 0 dus 0 bolletjes 0,4 b. 60 90 0,4 4 4 5 dus 5 broden,6 c.,6 0,4 y 60 Opgave : a. 5 y 50 y 5 50 y,5 0 b. p q 6 p q 6

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1] 13.1 De tweede afgeleide [1] De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; Vanaf punt A tot het lokale maimum is de functie

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Opgave 1: a. als je vanuit punt A 1 naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te 5 0 2,5

Opgave 1: a. als je vanuit punt A 1 naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te 5 0 2,5 Hoofdstuk 6: De afgeleide functie 6. Hellinggrafieken Opgave : als je vanuit punt A naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te komen, dus rc 6 b. c. d. x 0 4 helling 6,5 0, 5, 5 0,5 Opgave

Nadere informatie

( ) 1. G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 1/13 = =

( ) 1. G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 1/13 = = C von Schwartzenberg 1/1 1a 1b 1c 1 1 1 4 5 4 6 4 4 5 f ( ) 6 + 6 6 + 6 6 f '( ) 4 + + 4 4 + + 4 g( ) 5 8 g '( ) 5 1 5 Onthou: y y '( ) 1 8 8 1 1 1 h + + + h'( ) 1 1 7 6 6 k ( ) ( 1) + 8 k '( ) 1( 1 )

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude

Nadere informatie

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren De Wageningse Methode &6 WO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk egels voor differentiëren Paragraaf Opnieuw sinus en inus a. -, 0, ; -, ; -, ; -, b. (,sin) (-0, ; 0,9), met de G Op dezelfde hoogte:,

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden Hoofdstuk : Formules en grafieken.. Lineaire verbanden Opgave : in 0 minuten daalt het water 40 cm, dus 4 cm per minuut dus na minuut geldt: h 40 4 6 cm en na minuten geldt: h 40 4 cm b. formule II Opgave

Nadere informatie

80 is het vaste bedrag. (moet je betalen onafhankelijk van het aantal km)

80 is het vaste bedrag. (moet je betalen onafhankelijk van het aantal km) C. von Schwartzenberg 1/1 1a 1b 1c 1d t = 10 A = 0, 8 10 + 3 = 8 + 3 = 26 (miljoen ha). Bij halverwege 1985 hoort t = 15, 5 A = 0, 8 15, 5 + 3 = 21, 6 (miljoen ha). Het snijpunt met de verticale as is

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: Allerlei functies. 9.1 Machtsfuncties en wortelfuncties. Opgave 1: a. Opgave 2: a. de grafiek van y2. ontstaat uit die van y 1.

Hoofdstuk 9: Allerlei functies. 9.1 Machtsfuncties en wortelfuncties. Opgave 1: a. Opgave 2: a. de grafiek van y2. ontstaat uit die van y 1. Hoofdstuk 9: Allerlei functies 9. Machtsfuncties en wortelfuncties Opgave : a. 0,0, c. y en y d. y en y Opgave : a. de grafiek van y ontstaat uit die van y door T 0, T 0,6 y y 6 Opgave : a. T 6,0 T,0 c.

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS HAVO 17.1 INTRO 1 b c 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Vliegende parkieten Opgave 1. Het energieverbruik van de parkiet als deze vliegt met

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 8 tijdvak woensdag 8 juni 3.3-6.3 uur wiskunde B, Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 009 tijdvak woensdag 4 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Voorbeeldexamen Wiskunde B Havo

Voorbeeldexamen Wiskunde B Havo Voorbeeldexamen Wiskunde B Havo Datum: Tijd: 13:00-16:00 Aantal opgaven: 6 Aantal subvragen: 18 Totaal aantal punten: 67 ) Zet uw naam op alle blaadjes die u inlevert. ) Laat bij iedere opgave door middel

Nadere informatie

6.1 Rechthoekige driehoeken [1]

6.1 Rechthoekige driehoeken [1] 6.1 Rechthoekige driehoeken [1] In het plaatje hiernaast is een rechthoekige driehoek getekend. Aan elke zijde van deze driehoek ligt een vierkant. Het gele vierkant heeft een oppervlakte van 9 hokjes;

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 Goniometrie. 8.1 De eenheidscirkel. Opgave 1: PQ 1 OQ 1. Opgave 2: Opgave 3: GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H8 1-1 - AUGUSTINIANUM (LW)

Hoofdstuk 8 Goniometrie. 8.1 De eenheidscirkel. Opgave 1: PQ 1 OQ 1. Opgave 2: Opgave 3: GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H8 1-1 - AUGUSTINIANUM (LW) Hoofdstuk 8 Goniometrie 8. De eenheidscirkel Opgave : PQ a. sin 6 PQ sin 6 0,9 OQ cos6 OQ cos 6 0, b. P0,;0,9) Opgave : a. POQ 80 6 PQ 0,9 OQ 0, P0,;0,9) b. cos 0, sin 0,9 x P cos 0, y P sin 0,9 c. POQ

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/18. 1b Dat zijn de punten (0, 0) en (1; 0,5). Zie de plot hiernaast.

C. von Schwartzenberg 1/18. 1b Dat zijn de punten (0, 0) en (1; 0,5). Zie de plot hiernaast. a G&R havo B deel 9 Allerlei uncies C von Schwarzenber /8 Zie de plo hiernaas b Da zijn de punen (0, 0) en (; 0,5) c Van de raieken van en li een enkel pun onder de -as d De raieken van en hebben de -as

Nadere informatie

Examen HAVO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 donderdag 24 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 donderdag 24 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2012 tijdvak 1 donderdag 24 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS VWO 17.0 INTRO 1 b C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 cm is. Dus alle vier de zijden

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:00 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:00 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 2016 tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:00 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 20 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur wiskunde B Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit eamen zijn maimaal 86 punten te behalen; het eamen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

Extra oefeningen: de cirkel

Extra oefeningen: de cirkel Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM

Nadere informatie

a. Lengte PQ = f(1,5) = 2 Opp.(OPQR) = OP. PQ = 1,5. 2 = 1,5 2 b. Nu x P = p PQ = f(p) = 5 2p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5

a. Lengte PQ = f(1,5) = 2 Opp.(OPQR) = OP. PQ = 1,5. 2 = 1,5 2 b. Nu x P = p PQ = f(p) = 5 2p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5 Uitwerkingen Hst 5 Toepassingen. Gegeven de functie: f ( ) = 5 a. Lengte PQ = f(,5) = Opp.(OPQR) = OP. PQ =,5. =,5 Nu P = p PQ = f(p) = 5 p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5 p c. Voer in : y = p. 5 p Met

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Vergelijkingen oplossen

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Vergelijkingen oplossen Toets om inhoudsopgave (bladwijzers) wel/niet te tonen Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Vergelijkingen oplossen! " #$ % & '&() '*& ) '#! " #" ),-. % / ---.01 2 3 ---. - / %3 -.1-01 2 4 & * 5 5 & %

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ =

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 NIVEAU: HAVO EXAMEN: 2001-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VWO 008 tijdvak woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B1 Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Ruimtefiguren

Hoofdstuk 8 - Ruimtefiguren Voorkennis V-a De oppervlakte van ABC is 2 5 : 2 = 0 cm 2. c d AB = 2 AC = 5 BC = 44 25 + 69 BC = 69 = cm De omtrek van ABC is 5 + 2 + = 0 cm. BD = 2 4 = 8 cm De oppervlakte van BCD is 8 5 : 2 = 20 cm

Nadere informatie

10 20 30 leeftijd kwelder (in jaren)

10 20 30 leeftijd kwelder (in jaren) Kwelders De vorm van eilanden, bijvoorbeeld in de Waddenzee, verandert voortdurend. De zee spoelt stukken strand weg en op andere plekken ontstaat juist nieuw land. Deze nieuwe stukken land worden kwelders

Nadere informatie

wiskunde B havo 2016-I

wiskunde B havo 2016-I Blokkendoos Op foto 1 zie je een blokkendoos gevuld met houten blokken. De blokkendoos bevat onder andere vier cilinders met een diameter van 5 cm en een hoogte van 10 cm. Deze vier cilinders zijn op foto

Nadere informatie

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan. Gevaar op zee Schepen die elkaar te dicht naderen worden gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen niet op zo n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek

Nadere informatie

exponentiële standaardfunctie

exponentiële standaardfunctie 9.0 Voorkennis In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is

Nadere informatie

Driehoeken vmbo-kgt34. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie. http://maken.wikiwijs.nl/74268

Driehoeken vmbo-kgt34. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie. http://maken.wikiwijs.nl/74268 Auteur VO-content Laatst gewijzigd Licentie Webadres 24 May 2016 CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/74268 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein. Wikiwijsleermiddelenplein

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 dinsdag 2 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 dinsdag 2 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 009 tijdvak dinsdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. M π 35,5 en dit geeft M 3959 ) (cm 2 ) 1 ( ) 2. 93 (2642 4 3959 2642) ) 1 De inhoud van de ton is dus 327 (liter) 1

Vraag Antwoord Scores. M π 35,5 en dit geeft M 3959 ) (cm 2 ) 1 ( ) 2. 93 (2642 4 3959 2642) ) 1 De inhoud van de ton is dus 327 (liter) 1 Eindexamen wiskunde B havo 0 - II Beoordelingsmodel Tonregel van Kepler maximumscore 6 G = B = π 9 ( 64) (cm ) Voor de cirkel op halve hoogte geldt: πr = (met r de straal van de cirkel in cm) Hieruit volgt

Nadere informatie

REKENTECHNIEKEN - OPLOSSINGEN

REKENTECHNIEKEN - OPLOSSINGEN REKENTECHNIEKEN - OPLOSSINGEN 1] 3,52 m + 13,6 cm =? 3,52 m 3,52 m - 2 13,6 cm 0,136 m - 3 3,656 m eindresultaat 3,66 m 2 cijfers na komma en afronden naar boven 3,52 m 352 cm - 0 13,6 cm 13,6 cm - 1 365,6

Nadere informatie

13,5% 13,5% De normaalkromme heeft dezelfde vorm als A (even breed en even hoog), maar ligt meer naar links.

13,5% 13,5% De normaalkromme heeft dezelfde vorm als A (even breed en even hoog), maar ligt meer naar links. G&R havo A deel C. von Schwartzenberg /8 a Er is uitgegaan van de klassen: < 60; 60 < 6; 6 < 70;... 8 < 90. b c De onderzochte groep bestaat uit 000 personen. (neem nog eens GRpracticum uit hoofdstuk 4

Nadere informatie

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 13.1 Kansberekeningen 13.2 Kansmodellen 13.3 De normale verdeling 13.4 De n -wet 13.5 Discrete en continue verdelingen 13.6 Diagnostische toets 14 Algebraïsche

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (pilot)

Examen havo wiskunde B 2016-I (pilot) Eamen havo wiskunde B 2016-I (pilot) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt ( 1, 1 ) 3p 1 Stel een vergelijking op van c. De punten B( 3, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) 2 2

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft

Nadere informatie

Examen HAVO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 vrijdag 17 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 vrijdag 17 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 201 tijdvak 1 vrijdag 17 mei 1.0-16.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

GETAL& RUIMTE. Verbeteringen havo A 10e editie (2011) t.o.v. editie 2007

GETAL& RUIMTE. Verbeteringen havo A 10e editie (2011) t.o.v. editie 2007 Verbeteringen havo A 10e editie (2011) t.o.v. editie 2007 Havo A deel 1 begint met het niet-examenonderwerp Statistiek (was hoofdstuk 4). Al snel wordt de grafische rekenmachine ingezet en ook bij de andere

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur Eamen HAV 014 tijdvak woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

Correctievoorschrift HAVO. wiskunde B1,2

Correctievoorschrift HAVO. wiskunde B1,2 wiskunde B, Correctievoorschrift HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs 0 04 Tijdvak inzenden scores Verwerk de scores van de alfabetisch eerste vijf kandidaten per school in het programma Wolf of vul

Nadere informatie

29 Parabolen en hyperbolen

29 Parabolen en hyperbolen 39 0 1 9 Paraolen en hyperolen 6 5 5 6 3 3 1 5 h = 0,065 0 = 100 meter + (5 ) = 5 6,5 ; 5 ; 56,5 ; 100 meter ( 3 9 ) + (3 ) = 8 16,96.. afstand PE < afstand P tot de x-as Nee! y (alleen als y > 0) 0,065

Nadere informatie

6.1 Kijkhoeken[1] Willem-Jan van der Zanden

6.1 Kijkhoeken[1] Willem-Jan van der Zanden 6.1 Kijkhoeken[1] Het plaatje is een bovenaanzicht; De persoon kan het gedeelte binnen de kijkhoek zien; De twee rode lijnen zijn kijklijnen; De kijklijnen geven de grenzen aan van het gebied dat de persoon

Nadere informatie

wiskunde CSE GL en TL

wiskunde CSE GL en TL Examen VMBO-GL en TL 2014 tijdvak 2 dinsdag 17 juni 13.30-15.30 uur wiskunde CSE GL en TL Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 23 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 punten

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B pilot havo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B pilot havo 2011 - I Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - I Beoordelingsmodel Overlevingstijd maximumscore 3 Voor T 0 geldt: Voor T 0 geldt: R 7, ( ) 77 0,0780,0030 R 7, ( ) 70 0,0780,0030 Dus de overlevingstijd is 70 keer

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B 1,2

Examen HAVO. wiskunde B 1,2 wiskunde 1, Examen HVO Hoger lgemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak Woensdag 1 juni 13.30 16.30 uur 0 06 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit 18 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II Drinkbak In figuur staat een tekening van een drinkbak voor dieren. De bak bestaat uit drie delen: een rechthoekige, metalen plaat die gebogen is tot een symmetrische goot, een voorkant en een achterkant

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Maandag 27 mei 1.0 16.0 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - De afgeleide

Hoofdstuk 8 - De afgeleide Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt,, kg lengte in m gewicht in kg,,, 7, 9,, gewicht in kg lengte in m c m weegt kg dus m weegt, kg,, d, meter, e startgetal, hellingsgetal, V-a

Nadere informatie

8.1 Inhoud prisma en cilinder [1]

8.1 Inhoud prisma en cilinder [1] 8.1 Inhoud prisma en cilinder [1] Een prisma heeft twee evenwijdige grensvlakken. Een grondvlak en een bovenvlak. De andere grensvlakken zijn rechthoeken. De hoogte van de prisma is de lengte van de opstaande

Nadere informatie

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008 Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1

Examen VWO. wiskunde B1 wiskunde B Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 5 Voor dit eamen zijn maimaal 87 punten te behalen; het eamen bestaat uit vragen. Voor elk vraagnummer is

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 70 Voorkennis V-a Driehoek is een rechthoekige driehoek. Driehoek 2 is een gelijkenige driehoek. De oppervlakte van driehoek is 7 3 : 2 = 38,5 cm 2. De oppervlakte van driehoek 2 is 8 3 7,5 : 2 = 30 cm

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAVO 016 tijdvak donderdag 3 juni 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur

Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur wiskunde B,2 Eamen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit eamen zijn maimaal 88 punten te behalen; het eamen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie