C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.

Transcriptie

1 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c h( ) ( ) ( ) ( ) h'( ) 8 d s( t ) t t s '( t ) t 8 t 6 Toets voorkennis EXTRA: Etremen berekenen op bladzijde 57 aan het einde van deze uitwerking f ( ) 8 5 f '( ) 8 f '( ) ( )( ) 0 Maimum (zie een plot) f ( ) en minimum (zie een plot) f () a f ( ) f '( ) en g( ) 7 g '( ) p( ) f ( ) g( ) ( 7) 7 p'( ) 9 b p'( ) (zie a) 9 en f '( ) g '( ) (zie a) 6 Dus p ( ) f '( ) g '( ) c p'( ) 9 en f '( ) g( ) f ( ) g '( ) (zie a) ( 7) 6 9 Dus p ( ) f '( ) g( ) f ( ) g '( ) a f ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) b g( ) ( ) g '( ) 6 ( ) 6 ( ) c h( ) ( )( ) h'( ) ( ) ( ) d j ( ) ( )( ) j '( ) 6 ( ) ( ) 6 a f ( ) ( )( 7 ) f '( ) 6 ( 7 ) ( ) 7 b g( ) ( 5) ( 5)( 5) g '( ) ( 5) ( 5) ( 5) c h( ) ( )( ) h'( ) ( )( ) ( )( ) d j ( ) ( ) ( )( ) j '( ) 6 ( ) ( ) 6 ( ) g( ) c f ( ) g '( ) [ c]' f ( ) c [ f ( )]' 0 f ( ) c f '( ) c f '( ) 5a f ( ) ( )( ) f '( ) 8 ( ) ( ) ya f ( ) en rc raaklijn f '( ) 7 k: y 7 b door A(, ) 7 b b 7 Dus k: y 7 5b B op de y -as ( 0) yb f (0) en rc raaklijn f '(0) l : y b door B(0, ) 0 b b Dus l : y 6a f ( ) ( )( ) 0 (kan niet) Dus A(, 0) en B(, 0) f ( ) ( )( ) f '( ) ( ) ( ) Dus f '( ) 0 en f '() 0 k: y 0 b door A(, 0) 0 b 0 b 0 Dus k : y 0 0 l : y 0 b door B(, 0) 0 b 0 b 0 Dus l : y 0 0 6b f '() 0 de grafiek van f heeft geen etreme waarde voor 6c f '( ) 0 de grafiek van f heeft een etreme waarde voor 7a A O ( PQRS ) PQ PS f O ( 6 ( 6) 0 0 6) PQ 6 OP 6 P 6 p en PS ys p 6 p Dus A PQ PS (6 p)( p 6 p) De grafiek van snijdt de -as in (0, 0) en (6, 0) 7b A (6 p)( p 6 p) A'( p) da ( p 6 p) (6 p)( p 6) dp p p p 6 p p 6p 6p 6

2 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 7c da 0 6p 6p 6 0 p 6p 6 0 met D ( 6) 6 6 dp p p ( > voldoet niet) We zoeken dus p (de enige kandidaat voor het maimum) 8a f ( ) ( ) 5 ( )( ) 5 f '( ) ( ) ( ) ( ) ya f () 7,5 en rc f '() 0, 5 k: y 0, 5 b door A(; 7,5) 0, 5 b 7, 5 b 7, 75 Dus k: y 0, 5 7, 75 8b yb f (0) en rc f '(0) 0 8c f '( ) 0 ( ) 0 k: y 0 b b door B(0, ) 0 (hoort niet bij de top) Dus k: y 8 met f () 5 T (, 5) 9a O ( ABC ) AC AB ( OC OA) f ( p) ( p)( p p ) ( p)( p p ) 9b O '( p) do ( p p ) ( p)(p ) p p p p p p 6p 5 dp O '( p) 0 p 6p 5 0 (keer ) p p 0 met D ( ) p (hoort bij een minimum van O ) p,58 Dus we zoeken p,58 6 0a 0b a b d h( ) h'( ) [ ]' c 0 h( ) h'( ) 0 [ ]' n n Dus [ ]' n geldt ook voor n h'( ) 0 (zie b en gebruik a) [ ]' 0 [ ]' 0 [ ]' dus [ ]' a b c a b c f ( ) f '( ) g ( ) g 5 5 '( ) h( ) h'( ) f ( ) f '( ) 5 5 g( ) g '( ) 9 9 h( ) h'( ) 0 a b c f ( ) f '( ) g( ) g '( ) 0 h ( ) 5 5 h '( ) a 5 0 en 0 0, dus 5 0 5c 5b 5 (kruisproducten nemen) (kruiselings vermenigvuldigen)

3 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 6a (kruisproducten) b (kruisproducten) 7 7( ) c (kruisproducten) 8 ( ) d 6 6 (kruisproducten) 7a ( ) f f '( ) Snijden met de -as ( y 0) f ( ) Dus A y ( ) 0 ( y 0 was gegeven, zie de regel hierboven) en rc A f raaklijn f '( ) k: y b door A(, 0) b 0 b 0 Dus k: y 6 7b rc raaklijn f '( ) y ( ) en () B f y C f De raakpunten zijn B(, ) en C (, ) 8a (kruisproducten) ( ) ( )( ) 8b (kruisproducten) ( ) ( ) ( 6)( ) 0 6 8c 8d (kruisproducten) ( ) 0 0 ( )( ) 0 (kruisproducten) ( )( ) ( 6)( ) 0 6 9a 9b 9c f ( ) f '( ) y 5 A f () en rc raaklijn f '() 9 k: y 5 b door A(, ) 5 b b Dus k: y rc raaklijn f '( ) yb f ( ) 5 en yc f () 5 De raakpunten zijn B(, 5) en C (, 5) f '( ) 0 0 Maimum (zie een plot) f ( ) en minimum (zie een plot) f () 9d rc raaklijn f '( ) (kan niet) geen oplossing Toets voorkennis a b EXTRA: 5 Machten met positieve en/of gebroken eponenten op bladzijden 58 en 59 aan het einde van deze uitwerking c d

4 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 a b c d 0a (links en rechts de afgeleide nemen) [ ]' [ ]' [ ]' 0b [ ]' [ ]' a f ( ) f '( ) b g( ) g '( ) c h( ) h'( ) 5 d j ( ) j '( ) e k ( ) k '( ) f a b l ( ) ( ) ( ) (productregel) g '( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f '( ) Uit het hoofd leren: [ ]' g( ) g '( ) c h( ) ( ) ( ) ( )( ) h'( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f '( ) y A f ( ) en rc raaklijn f '( ) 8 8 k: y b door A(, ) b b Dus k: y y (8) en rc B f raaklijn f '(8) l : y b door B(8, ) 8 b b 8 8 Dus l : y k snijden met l geeft met y Dus C ( 5, 7) a f ( ) f '( ) f '( ) 0 0 (kwadrateren) (de enige kandidaat voor een minimum) Het minimum is f () b rc raaklijn f '(0) geeft k: y b door O (0, 0) 0 b 0 b 0 Dus k: y c f '( ) (kwadrateren) 6 6 A ya f (6) Dus A(6, 6) l : y b door A(6, 6) 6 b 6 b 6 6 Dus l : y 5a s( t ) 0t t 0t t 0 t ds s '( t ) 5t 5 t 5b dt Dus ds dt t De snelheid is ds dt 5 8 m/s t 8

5 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 5/0 5c 08 km/u is m/s ds 0 dt 5 t 0 t t Dus na seconden 5d De formule s( t ) 0 t t geldt voor 0 t 9 Na 9 seconden is s(9) meter afgelegd De snelheid vanaf t 9 is s '(9) m/s Van t 9 tot t 60 legt de trein (60 9) 5 95 meter af In de eerste minuut legt de trein meter af 6a 6b 6c f ( ) f '( ) y A f () en rc raaklijn f '() k: y b door A(, ) b b Dus k: y f '( ) Dus p f Dus a, b 6 en c a f ( ) ( 5 ) ( 5 )( 5 ) f '( ) ( 5)( 5 ) ( 5 )( 5) ( 5 )( 5) 7b f ( ) ( 5 )( 5 ) f '( ) [ 5 ]' ( 5 ) ( 5 ) [ 5 ]' ( 5 ) [ 5 ]' 8 De tabel van y h( ) valt samen met de tabel van y g '( ) (de hellingfunctie van g) Vergeet niet de ketting nog eens etra te differentiëren 9a 9b 9c 9d f ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) Of korter: f ( ) f '( ) g( ) ( ) g '( ) ( ) (8 ) ( ) h( ) ( ) h'( ) ( ) ( ) ( ) j ( ) ( ) j '( ) ( ) ( ) ( ) Leer van buiten: [ ]' 0a 0b 0c 0d f ( ) ( ) f '( ) ( ) 6( ) 6 ( ) ( ) g( ) ( ) g '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h'( ) ( ) j ( ) ( ) j '( ) ( ) ( ) ( ) a Maak een schets van de plot hiernaast b f ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) f '( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 c ya f (6) 6 en rc raaklijn f '(6) l : y b door A(6, 6) 6 b 6 b Dus l : y 76

6 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 6/0 a b f ( ) 9 5 f '( ) () 9 en rc [ ]' ya f raaklijn f '() 5 k: y b door A(, 9) b 9 b 9 89 Dus k: y f '() 5 0 f heeft geen etreme waarde voor 9 8 f ( ) f '( ) (zie Theorie B ) a f ( ) f '( ) b g( ) ( ) g '( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) 5a f ( ) 8 (BV: ) D f, 5b f ( ) 8 f '( ) c f '( ) d top en ytop f ( ) 8 Dus de top is (, ) 5e Het etreem in de top is een maimum (zie een plot) B 8 8 f, 6a f ( ) 6 (BV: ) D f, 6b f ( ) 6 f '( ) '( ) 0 6 f top en ytop f ( ) 6 Dus de top is (, ) 6c Het etreem in de top is een minimum (zie een plot) B f, 7a f ( ) 9 f '( ) y (0) 0 9 en rc 0 A f raaklijn f '(0) k: y 6 b door A(0, ) 6 0 b b 0 Dus k: y 6 7b 9 f '( ) (9 ) top en het maimum (zie een plot) is ytop f () c D (BV: ) f, (zie 7b) en B, 6 f 8a De hoogtelijn CD deelt AB doormidden AD DB De stelling van Pythagoras in ADC geeft CD AC AD 8b In ADC : sin DAC sin 60 overst rz DC en cos DAC cos 60 aanl rz AD schuine z AC schuine z AC 8c In ADC : sin DCA sin 0 overst rz AD en cos DCA cos 0 aanl rz DC schuine z AC schuine z AC 8d De stelling van Pythagoras in ABC (fig ) geeft AC AB BC In ABC (fig ) : sin BAC sin 5 BC en cos BAC cos 5 AB AC AC

7 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 7/0 9a sin( π ) 9c sin( π ) 9e cos( π ) 9b cos( 7 π ) 9d cos( 5 π ) 9f sin( π) sin( 7 π) 6 0a sin( α) (0 α π ) α π α π 0d cos( α) 0 (0 α π ) α π α π 0b cos( α) (0 α π ) α π α π 0e cos( α) (0 α π ) α π α 5 π 6 6 0c sin( α) (0 α π ) α π α π 0f cos( α) (0 α π ) α π α π, 6 π, 5 π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, 5 π, 6 π, a sin( π) 0 π k π π k π π k π 6 b cos( π) 0 6 π π k π 6 π k π π k π c sin ( ) sin( ) sin ( ) sin( ) 0 sin( ) ( sin( ) ) 0 sin( ) 0 sin( ) k π π k π d cos ( ) cos( ) 0 cos( ) ( cos( ) ) 0 cos( ) 0 cos( ) π k π k π a b f ( ) sin ( ) sin( ) 0 sin( ) ( sin( ) ) 0 sin( ) 0 sin( ) k π π k π f ( ) 0 (met 0 π ) 0 π π π f ( ) 0 (zie een plot) 0 π π sin( )cos( ) cos( ) 0 cos( ) ( sin( ) ) 0 cos( ) 0 sin( ) π k π π k π sin( )cos( ) cos( ) 0 (met 0 π ) π π sin( )cos( ) cos( ) 0 (zie een plot) 0 π π π cos ( ) cos( ) 0 cos( ) ( cos( ) ) 0 cos( ) 0 cos( ) π k π k π π k π k π cos ( ) cos( ) 0 (met 0 π) 0 π π π π π π cos ( ) cos( ) 0 (zie een plot) 0 π π π π π π 5a sin( π) π is een oplossing van sin( ) 6 6 5b π en π liggen op dezelfde plaats als π op de eenheidscirkel (precies één of twee rondgangen verder) c sin( 5 π) 5 π is een oplossing van sin( ) 6 6 5d 5 π en π liggen op dezelfde plaats als 5 π op de eenheidscirkel (precies één rondgang verder of terug) a sin( ) sin( ) π k π 5 π k π (keer ) 6 6 π k π 5 π k π 6b cos( π) cos( π) π π k π π π k π π k π k π

8 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 8/0 6c sin( π) sin( π) π π k π π π k π 9 π k π π k π 9 π k π π k π 6d cos( π) cos( π) π π k π π π k π 5 π k π π k π 5 π k π π k π 9 9 7a sin( π) 7c sin( ) 6 sin( π) π k π 5 π k π (keer ) 6 π π k π π π k π π k π 5 π k π (met op [0, π]) π k π π k π 5 π 8 5 π k π π k π (met op [0, π]) 5 π 5 π π π 7b cos( π) 7d cos( ) cos( π) 5 π k π 5 π k π (keer ) 6 6 π π k π π π k π 5 π k π 5 π k π (met op [0, π]) 6 6 π k π π k π 5 π π k π π k π (met op [0, π]) 9 9 π 8 π π π 7 π π a ( ) 8b sin( ) cos( ) 0 sin( ) 0 cos( ) k π π k π π k π 6 6 sin( ) ( cos( ) 0 (met 0 π) 0 π π π π 6 6 sin( ) ( cos( ) ) 0 (zie een plot) 0 π π π π 6 6 sin ( ) sin( ) 0 ( ) ( ) sin( ) sin( ) 0 sin( ) sin( ) kan niet 7 π k π π k π 6 6 sin ( ) sin( ) 0 (met 0 π ) 7 π π 6 6 sin ( ) sin( ) 0 (zie een plot) 0 7 π π π 6 6 9a Zie de eerste drie schermen hiernaast 9b Vermoedelijk: f ( ) sin( ) f '( ) cos( ) TABLE doet het vermoeden versterken 9c Zie de eerste twee schermen hieronder Vermoedelijk: g( ) cos( ) g '( ) sin( ) TABLE doet het vermoeden weer versterken cos( ) sin( ) 9d Vermoedelijk: h( ) sin( ) h'( ) cos( ) cos( ) TABLE doet het vermoeden alleen maar versterken Zie de eerste twee schermen hiernaast Vermoedelijk: j ( ) cos( ) j '( ) sin( ) sin( ) TABLE doet het vermoeden versterken Zie de laatste twee schermen hiernaast

9 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 9/0 50ac 50bc Zie de eerste drie schermen hiernaast Vermoedelijk f ( ) sin( ) f '( ) cos( ) cos( ) π periode π periode π amplitude amplitude Controle met TABLE doet het vermoeden versterken Zie de eerste twee schermen hiernaast Vermoedelijk g( ) sin( ) g '( ) cos( ) cos( ) π periode π periode π amplitude amplitude Controle met TABLE doet het vermoeden versterken 5 Vermoedelijk k( ) cos( ) k '( ) sin( ) sin( ) Controle met TABLE doet het vermoeden versterken 5a f ( ) cos( ) f '( ) sin( ) sin( ) 5b g( ) cos( ) g '( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) 5c h( ) sin( ) '( ) 0 cos( ) 8cos( h π π) π 5d j ( ) 0 6sin( ( )) 0 6sin( ( ) ) j '( ) 0 6cos( ) 8cos( ) Of j ( ) 0 6sin( ) j '( ) 0 6cos( ) 8cos( ) ( ) 5a f ( ) sin( a b ) f '( ) cos( a b) a a cos( a b) 5b g( ) cos( a b ) g '( ) sin( a b) a a sin( a b) 5ab I: f ( ) sin( ) f '( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) (mijn voorkeur) II: f ( ) sin( ) f '( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 55a f ( ) cos( ) f '( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) 55b g( ) sin( ) g '( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 55c h( ) sin( ) h'( ) sin( ) cos( ) sin( ) 6 cos( ) 55d j ( ) cos( ) j '( ) 0 cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) 56ab I: f ( ) sin ( ) sin( ) sin( ) f '( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) II: f ( ) sin ( ) sin( ) f '( ) sin( ) cos( ) (mijn voorkeur, maar bepaal je eigen voorkeur) ( sin( ) ) 57a ( ) f ( ) cos ( ) cos( ) f '( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) 57b ( ) g( ) sin ( ) sin( ) g '( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 57c ( ) h( ) cos ( ) cos( ) h'( ) 0 cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) 57d ( ) j ( ) sin ( ) sin( ) j '( ) sin( ) cos( ) 6sin( ) cos( ) f ( ) sin ( ) sin( ) f '( ) sin( ) cos( ) sin ( ) cos( ) 58a ( sin( ) ) ( ) g( ) sin ( ) sin( ) g '( ) sin ( ) sin( ) cos( ) sin ( ) sin( ) cos( ) 58b ( ) 58c 58d cos( ) h( ) sin( ) h'( ) cos( ) sin( ) sin( ) Gebruik: [ ]' j ( ) cos( ) j '( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( )

10 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 0/0 f ( ) cos ( ) cos( ) cos( ) cos( ) f '( ) cos( ) sin( ) sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) 59a ( cos( ) ) f '( ) 0 sin( ) cos( ) sin( ) 0 sin( ) ( cos( ) ) 0 sin( ) 0 cos( ) k π cos( ) k π π k π π k π op [0, π] geeft 0 π π π 5 π 59b y π A f ( ) en rc raaklijn f '( π) k: y b door A( π, ) π b b π Dus k: y π 60a f ( ) cos( ) f '( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) y π π π π A f ( ) 0 0 en rc raaklijn f '( ) 0 π k: y π b door A( π, 0) π π b 0 b π Dus k: y π π 60b yb f ( π ) π π en rc raaklijn f '( π) π 0 l : y b door B( π, π) π b π b 0 l gaat door de oorsprong 60c f '() cos() sin() 0 f heeft geen top voor f ( ) sin ( ) sin( ) sin( ) sin( ) f '( ) sin( ) cos( ) cos( ) 6a ( sin( ) ) f '( ) 0 sin cos( ) cos( ) 0 ( ) cos( ) sin( ) 0 cos( ) 0 sin( ) π k π sin( ) π k π π k π π k π op [0, π] geeft π π π π 6b y π π π A f ( ) sin ( ) sin( ) ( ) en rc π π π π raaklijn f '( ) sin( ) cos( ) cos( ) k: y ( ) b door A( π, ) ( ) π b 6 6 Dus k: y ( ) π( ) 6 6c ma (zie plot) f (0) 0 min f ( π) ma f ( π) min f ( 5 π) ma f ( π) 0 min (zie plot) f ( π) ma f ( π) min f ( π) ma f ( π) ( ) f '( ) sin( ) cos( ) cos( ) (niet algebraïsch op te lossen) intersect geeft,5 π,887 π Controle: f '( π) sin( π) cos( π) cos( π) 0 en f '( π) sin( π) cos( π) cos( π) 6 Sinusoïde y sin( ) verm tov de y -as met y sin( c ) toppen (binnen één periode) ( π, ) en ( π, ) c c c ( π, ) en ( π, ) vermtov de -as met b y b sin( c ) ( π, b) en ( π, b) translatie ( d, a) y a b c d c c sin( ( )) ( π d, a b) en ( π d, a b) c c Sinusoïde toppen (binnen één periode) y cos( ) (0, ) en ( π, ) verm tov de y -as met c y cos( c ) (0, ) en ( π, ) c vermtov de -as met b y b cos( c ) (0, b) en ( π, b) c translatie ( d, a) y a b cosn( c( d )) ( d, a b) en ( π d, a b) c 6 Geen opgave 6 te vinden 6a I h h 0 0 (dm) h 0 0 (dm) (dm ) M b (dm) h (dm) (dm ) 6 M 8 8,5,5 6 6c M h h h h 6h (dm )

11 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 65a I h 7 (dm ) h 7 6 (dm), K 0, 0,( h h) 0,8,h 0,8, 6 0,8 ( ),, 65b K 0,8 0,8, K ',6,,6 d,,6,, 0, 6 0, 6, 7 7 (dm) d,6 De materiaalkosten zijn minimaal (er is slechts kandidaat) bij de afmetingen van bij 6 bij dm 66a I h 6 (dm ) h 6 ( h is de hoogte in dm) O h h 6 6 (dm ) 66b O 6 6 do O ' 6 6 d do ,7 (dm) d De oppervlakte O is minimaal (er is slechts kandidaat) bij de afmetingen van,7 bij,7 bij,59 dm 67 O y 75 (m ) y 75 K 0 0( y ) 0 0y ( ) K K ' d (met > 0) 00 0 (m) d De kosten K zijn minimaal (er is slechts kandidaat) bij de afmetingen 0 (voor de vierde zijde) bij 7,5 m 68a O y 00 (m ) y 00 K 60y 5( y ) 5 75y ( ) 68b K K ' d (met > 0) , 5 (m) d De minimale kosten ( kandidaat) zijn,79 bij de afmetingen 77,5 (langs de beek) bij 5,5 m 68c K intersect geeft 5, 6 (minder lang) De afmetingen zijn 5,6 bij,8 meter 69a O (bodem en deksel) π r h (mantel) π r h (cm ) 69b I h 000 (cm ) h 000 (cm) 69c π π π π π O r rh r r r (cm ) r 69d O π r 000 π r 000 r do O ' 000r 000 r dr r do π 000 π 0 r 0 r r 500 r 500 5, (cm) dr r r π π De hoeveelheid materiaal is minimaal (er is slechts kandidaat) bij r 500 π 5, cm en h 000 0,8 cm 70a I h 500 (cm ) h 500 (cm) K (bodem) π rh (mantel) (deksel) π r (rand met hoogte cm) π r π rh π r π r 500 π r 000 r 70b De materiaalkosten zijn minimaal (optie minimum is toegestaan) bij r,5 cm en h,6 cm (oplossen met de afgeleide geeft een derdegraadsvergelijking die niet algebraïsch kan worden opgelost, deze vergelijking kan vervolgens dan met intersect grafisch-numeriek worden opgelost)

12 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 7a 7b 7c 7d I h h I (hierin is I een bepaalde inhoud dus voor te stellen als een of ander vast getal) O (bodem en deksel) h (mantel) I I π r r O I π r I r do O ' I r I r dr r do π π 0 r I 0 r I I r I r I dr r r π π Dus O is minimaal (er is slechts kandidaat) bij r I π r I h (alles tot de derde macht nemen) π π r h (kruiselings vermenigvuldigen) π π r h (links en rechts delen door ) r h 7a AB AC BC AC AC AC AC AC AC 6 7b CD AC AD (6 ) ( ) (6 )(6 ) ( ) CD 6 6 7c O ( ABC ) AB CD 6 6 7a K (00 ) ( ) 7b K 00 0 K ' [ ]' d ( 600) d (met > 0) 5 (m) De minimale kosten (er is slechts kandidaat) zijn 60 bij 5 m 7a 7b K a (00 ) a a ( ) (hierbij is a een constante!!!) K 00a a 0 K ' a 0 a d ( ) d 00 d 0 a 0 a, AP a AB ' (m) De totale kosten via het traject AB ' B zijn ( ) 75b AB (m) Verder is BC (m) en AC (m) Een kabel in een rechte lijn van A naar B kost ( ) 75c AP (m) en PB (500 ) 00 (500 )(500 ) (m) De kosten voor een kabel via punt P zijn K a ( ) K a heeft als afgeleide functie 00 a( 500) ' 00 ( 000) K a d d a(00 500) 0 0 d a a , 9 ( /m)

13 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 76a AP 0, 0, 0 (km) en BP (0, ) 0, (0, )(0, ) 0, afstand tijd snelheid tijd afstand snelheid 0,6 0, 0, 0, 0 0, 8 0,0 (km) 0,0 0,8 0, De totale tijd t is gelijk aan t 0,0 0,8 0, (uur) b Maak een schets van jouw plot Zie een voorbeeld hiernaast Vermeld het WINDOW-scherm 76c De optie minimum geeft als top het punt (, t ) (0,; 0,05) 76d Frits heeft minimaal 0,05 uur 0, seconden nodig 77a 77b 78a 78b Van S (TART) naar aankomst L(and) is SL (km) en van L naar F (INISH) is LF 0 (km) De totale tijd t is gelijk aan t 0 (0 ) (uur) t (0 ) dt ' t d dt ( > 0) d Dus t is minimaal (er is slechts kandidaat) voor ( 0, 707) km AB BC BC 60 BC 60 (nu de stelling van Pythagoras in ABC ) AC BC AB (60 ) (60 )(60 ) O ABC AB AC d O O O ' d do d De maimale (er is slechts kandidaat) oppervlakte O(0) 6, 79a 79b AP PD PD 0 PD 0 (nu de stelling van Pythagoras in ADP ) AD PD AP (0 ) (0 )(0 ) O 00 0 ABC AD AP 00 0 d 00 0 O O 00 0 O ' d do (cm) d De maimale (er is slechts kandidaat) oppervlakte O( 0) 8, 9 cm

14 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Diagnostische toets Da f ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) Db g( ) ( )( ) g '( ) ( ) ( ) 6 Dc h( ) ( ) ( )( ) h'( ) ( ) ( ) ( ) Da f ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) ya f ( ) 7 en rc raaklijn f '( ) 7 k: y 7 b door A(, 7) 7 b 7 b Dus k: y 7 0 Db f '( ) ( ) 0 Dus de grafiek van f heeft geen top voor Dc Snijden met de -as ( y 0) f ( ) 0 ( ) 0 0 Dus B y ( 0) 6 B f ( ) 0 y en rc raaklijn f '( ) k: y 6 b door B(, 0) 6 b 0 b Dus k: y Da Db Dc Da Db Dc Dd De Df f ( ) 0 0 ( )( ) 0 A Nu is: AB B A p p en BC yc p p O ( ABC ) AB BC ( p ) ( p p ) ( p )( p p ) O ( p) ( p )( p p ) O '( p) ( p p ) ( p ) ( p ) p p p p p p p top en O '( ),5 0 Dus O is niet maimaal voor p O '( p) 0 p p 0 (keer ) p p 7 0 met D ( ) p 0 6 ( voldoet niet) p 0 7 Dus O maimaal voor p f ( ) f '( ) 5 5 g( ) g '( ) 9 9 h( ) h'( ) 9 9 k ( ) k '( ) l ( ) l 6 6 '( ) 7 m( ) m'( ) D5a ( ) D5b D5c 9 D5d 6 ( )( 6) ( )( ) D6a f ( ) f '( ) y A f () en rc raaklijn f '() k: y b door A(, ) b b 0 Dus k: y D6b rc raaklijn f '( ) yb f ( ) en yc f () 0 De raakpunten zijn B(, ) en C (, 0)

15 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 5/0 D7a f ( ) f '( ) D7b D7c D7d g( ) ( ) g '( ) Of g( ) ( ) (productregel) g '( ) ( ) [ ]' ( ) h( ) h'( ) k ( ) ( )( ) k '( ) ( )( ) ( ) ( )( ) D8a f ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) D8b D8c g( ) g '( ) h( ) ( ) h'( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) D8d k ( ) k '( ) D9a Gebruik: [ ]' f ( ) '( ) f '( ) 0 50 f ± f ( 5) en f (5) De toppen zijn ( 5, 5) en (5, 5) D9b y 8 A f () 9 7 en rc raaklijn f '() k: y 8 b door A(, 7) 8 b 7 b 7 8 Dus k: y D9c Df 50, 50 (BV: ) Bf 5, 5 (zie D9a en een plot) D0a sin( α) (0 α π ) α π α π D0c sin( α) (0 α π ) α π α 5 π 6 6 D0b cos( α) (0 α π ) α π α π D0d cos( α) (0 α π ) α π α π Da Db sin( π) sin( π) π π k π π π k π π k π π k π π k π π k π (met op [0, π]) π 7 π π π cos( π) 6 π 5 π k π π 5 π k π π k π π k π (met op [0, π]) π π Dc cos( ) π k π (keer ) π k π (met op [0, π]) π π Dd sin( π) sin( π) π π k π π π k π 5 π k π 5 π k π π k π 5 π k π (met op [0, π]) π 7 π 9 π 7 π 9 π π Da f ( ) cos( ) f '( ) sin( ) Db g( ) cos( ) g '( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) Dc h( ) cos( ) h'( ) sin( ) sin( ) Dd j ( ) cos ( ) cos( ) cos( ) j '( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) Of j ( ) cos ( ) cos( ) j '( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( )

16 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 6/0 Da h( t ) 0,sin( 00 π t ) h'( t ) 0,cos(00 πt ) 00π 0π cos(00 πt ) Db u( t ) sin( 80 π t ) 5cos( 8 πt ) u '( t ) cos(80 πt ) 80π 5 sin(8 πt ) 8π 0π cos(80 πt ) 05π sin(8 πt ) Dc f ( ) 5 sin( ) f '( ) 5 sin( ) 5 cos( ) 5 sins( ) 5 cos( ) Dd sin( ) g( ) cos( ) g '( ) sin( ) cos( ) cos( ) Gebruik: [ ]' f ( ) cos ( ) cos( ) f '( ) cos ( ) cos( ) sin( ) cos ( ) sin( ) cos( ) Da ( ) Db ya f ( π) π cos ( π) π ( ) π en rc raaklijn f '( π) cos ( π) π sin( π) cos( π) ( ) π 0 k: y b door A( π, π) π b π b π π 0 Dus k: y D5a AB AC AC 0 AC 0 (nu de stelling van Pythagoras in ABC ) BC AC AC (0 ) (0 )(0 ) O ABEDC OABC OBEDC AB AC BC (0 ) D5b O 0 00 do O ' 0 d do De oppervlakte is minimaal (er is slechts kandidaat) voor 0 d D6a I h 000 (cm ) h 9000 (cm ) h 9000 (cm) O h h h (cm ) D6b O do O ' d do ,0 (cm) d De oppervlakte is minimaal (er is slechts kandidaat) bij de afmetingen van,0 bij,0 bij 8, cm (de optie minimum is hier ook geoorloofd en geeft met van een een geschikt venster dezelfde -waarde) D7a O y 00 (m ) y 00 De totale lengte van de afrastering is L y 00 (m) L is minimaal (de optie minimum mag toegepast worden) voor 7, (m) De afmetingen van het stuk land zijn 7, bij 69, m D7b De kosten voor de afrastering zijn K 60( y ) y ( ) K is minimaal (optie minimum mag) voor, (m) De afmetingen van het stuk land zijn, bij 56,6 m

17 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 7/0 Gemengde opgaven Differentiaalrekening Ga ( P ) ( P ) ( ) ( )( ) l y p p p p p p 6 p p p p 7 p 6 7 Gb dl p p l p 7p 6 (p p) dp p 7p 6 p 7p 6 dl p 7p 0 0 (teller 0) p 7p 0 p( p ) 0 p 0 p (met p > 0) p dp p 7p 6 Dus l is minimaal (er is slechts kandidaat) voor p Gc Deze cirkel heeft als straal de minimale lengte l uit Gb (omdat de cirkel de parabool raakt) ( ) r Dus de oppervlakte van deze cirkel is O π π Ga sin( ) π k π π k π Gb sin( π) cos( π) 0 sin( π) 0 cos( π) 0 π k π π π k π π k π π k π 6 π k π π k π 8 6 Gc sin( π) sin( π) π π k π π π k π k π 5 π k π k π 5 π k π 6 Ga f ( ) cos( ) f '( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) Gb g( ) sin( ) g '( ) (cos( ) ) sin( ) sin( ) h( ) cos( ) sin( ) h'( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( )cos( ) 6cos( ) Gc ( ) Gebruik: [ ]' Ga f ( ) sin ( ) sin( ) 0 sin( ) ( sin( ) ) 0 sin( ) 0 sin( ) k π π k π op [0, π] geeft 0 π π π f ( ) sin ( ) sin( ) sin( ) sin( ) f '( ) sin( ) cos( ) cos( ) Gb ( sin( ) ) f '( ) 0 sin( ) cos( ) cos( ) 0 min (zie plot) f ( π) cos( ) ( sin( ) ) 0 6 cos( ) 0 sin( ) ma f ( π) π k π sin( ) min f ( 5 π) 6 π k π π k 5 π k π ma f ( π) 6 6 f '( ) 0 (met 0 π ) π π 5 π π (de etreme waarden hierboven) 6 6 Gc ya f ( π) sin ( π) sin( π) 0 en rc raaklijn f '( π) sin( π) cos( π) cos( π) 0 k: y b door A( π, 0) π b 0 b π Dus k: y π G5a I h (m ) h 6 (m) K 0 80 ( h h) 0 80 h ( ) G5b K K ' d , 59 (m) d 80 De kosten zijn minimaal (er is slechts kandidaat) bij de afmetingen van,59 bij,7 bij,8 m

18 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 8/0 G5c O zijaanzicht h I ( h ) h G5d I (m ) h h 6 (m) 5 K 0 80 h 80 ( h ) 0 60h 60h ( 6 ) ( ) G5e K is minimaal (optie minimum geoorloofd) voor,55 (m) De afmetingen van het vloeroppervlak zijn,55 bij,09 m De hoogte aan de voorkant is m en de hoogte tegen de gevel is,8 m G6a f ( ) (7 ) Dus OS G6b AB f ( p) g( p) 7 8 Intersect geeft p, O OST 6 Dus OS y 6 T y 6 T y T yt y 7 (niet algebraïsch op te lossen ) intersect geeft 0, 60, 77 Dus T (0,60; ) en U (,77; ) G6c h( ) c met domein [0,0] Dus h(0) 0 en h(0) 0 h(0) 0c c c c 000 Dus h( ) 000 op het domein [0,0] Optie maimum geeft 6,0 en y 68, 7 Dus het bereik van h is [0;68,7] G6d h( ) h'( ) ( c ) c c c c c,5 0 h heeft een maimum voor, 5 h'(, 5) 0 c, 5 0 c, 5, 5,5c,5 G7a f () f ( ) Dus de grafiek van f is 65 omlaag verschoven G7b f ( ) 6 f '( ) rc m f '() 8 m: y b door (, 0) b 0 b 6 Dus m: y G7c g( ) ( 6) (productregel of) 6 g '( ) g '( ) ( 8) ± De -coördinaten van de toppen zijn 8 en 8 (bij 0 geen top maar een buigpunt) 7 7 G8a Abalk 7,5 7, (cm ) Acilinder π π 0, 6 56 (cm ) Omdat V balk Vcilinder hoort de kleinste F bij de verpakking met de kleinste oppervlakte Dus de cilindervormige verpakking heeft de kleinste F -waarde G8b 0 < h < 0 0 < 8000 < 0 0 < 8000 én 8000 < 0 0 < 8000 én 0 > r < 8000 én r > π 0π (0 < ) r < 8000, én r > ,0 0π 0π Dus 8,0 < r <, G8c π π F r r r geeft r df F ' r π r dr 000 r 000 df 0 dr r r 000 r 000 r 000 0,8 (cm) π π

19 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 9/0 0 G9a Bestudeer het vooraanzicht hiernaast en 80 : 0 (cm) G9b Pythagoras: h 0 5 9, 7 (cm) Zie de hiernaast op schaal :0 (het vooraanzicht en) zijaanzicht G9c Maak een schets met de gegevens Zie hieronder 0 h h Pythagoras: ( ) ( ) ( 5 ) ( 5 )( 5 ) h G9d I 0, optie maimum (is toegestaan) 0 (cm) De inhoud is maimaal (er is slechts kandidaat) bij 0 en h cm Of (algebraisch met de afgeleide) I 0, di 5 0,075 0, , , d di 0, , , 075 ( 05 5 ) 5 0, 075 d (cm) Dit geeft dan (zoals hierboven) h 6 (cm) 5 9e I 0, (dm ) I 0 intersect 0,, (cm) I 0 (zie een plot) 0,, h (cm) intersect of , (cm) 5 h 0 én I 0 6, én 0,, Dus 0, 6, (cm) 0 vooraanzicht 50 zijaanzicht

20 G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg 0/0 Voorkennis Differentiëren (bladzijde 56) 7a f ( ) f '( ) 6 6 7b g( ) g '( ) 7c h( ) ( ) h'( ) 7d k ( ) ( ) ( )( ) k '( ) 6 6 8a f ( p) p p f '( p) p 8c s( t ) 5t t 5 t t s '( t ) 0 t 8b g( q) q q g '( q) q 8d N ( t ) 0, 0t 0, 05t 0, t N '( t ) 0, 0t 0,t 0, 5 5 Voorkennis Etremen berekenen (bladzijde 57) 9a f ( ) 0 f '( ) f '( ) 0 0 ( )( ) 0 Maimum (zie een plot) f ( ) en minimum (zie een plot) f () 9b g( ) 9 50 g '( ) 8 g '( ) ( 6) Minimum (zie een plot) g(0) 50 en maimum (zie een plot) g(6) 58 0a Voorkennis 5 Machten met negatieve en/of gebroken eponenten (bladzijden 58 en 59) 5 5 0e b 0f 0c 0g 0d h ( ) 5 ( ) a e b c d 5 f g ( ) h ( )