Voorwoord Rekenvaardigheden

Transcriptie

1 Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de daaraan verbonden profielkeuze en het studiehuis zijn ingevoerd. In sommige opzichten is daardoor de aansluiting tussen vwo en universiteit verbeterd. Echter, niet voor alle studies is dit het geval. Bij de technische studies is gebleken dat een deel van de instromende studenten deficiënties heeft. Dit geldt zowel voor studenten met het profiel Natuur en Techniek als voor studenten met het profiel Natuur en Gezondheid. Eén van de deficiënties betreft de algebraïsche vaardigheden oftewel het manipuleren met formules. Het efficiënt omgaan met én het inzicht krijgen in formules wordt op het vwo nauwelijks meer geoefend. Dit hangt samen met het aantal beschikbare uren en met het invoeren van de formulekaart en de grafische rekenmachine. Doordat veel aankomende studenten deze vaardigheden ontberen, besteden zij in het eerste jaar op de universiteit vaak veel te veel tijd aan het maken van vraagstukken of blijven daar zelfs in steken. Het is veel beter om je op de essentie van een vraagstuk te concentreren dan om teveel tijd aan rekenwerk te besteden. Voor de eerstejaars met genoemde deficiënties is deze syllabus Rekenvaardigheden gemaakt. Deze syllabus is bedoeld voor het aanleren van de algebraïsche vaardigheden die benodigd zijn voor een technische studie op universitair niveau. Aan de opgaven uit de eerste 0 paragrafen kan men zien wat men aan rekenvaardigheden van eerstejaars verwacht. De paragrafen t/m bevatten opgavenover onderwerpen die niet tot de standaard VWO-stof behoren, maar bijzonder nuttig zijn voor een technische studie. De wiskundestof wordt steeds kort herhaald, waarna er een groot aantal opgaven volgt. Door het (met de hand!) maken hiervan maakt de student zich de stof eigen en verkrijgt hij/zij inzicht in formules en rekenregels. Gebrek aan rekenvaardigheden en formulekennis los je niet binnen een paar maanden op. Etra training in het eerste tri- of semester zal waarschijnlijk niet genoeg zijn. In dat geval moet je zelf aandacht blijven besteden aan rekenvaardigheden en formulekennis. Deze syllabus is geschikt voor zelfwerkzaamheid: de antwoorden op de opgaven staan achterin. Niets van deze uitgave mag worden verveelvoudigd of electronisch worden verspreid zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de auteur, tenzij het wordt gebruikt door de Technische Universiteit Eindhoven.

2 Inhoudsopgave. Voorwoord.... Factoren en veeltermen.... Machten.... Herleiden.... Rationale breuken Goniometrische formules Differentiëren...5 Primitiveren Vergelijkingen en ongelijkheden Breukongelijkheden...7. Noemer wortelvrij maken (etra stof).... Breuksplitsen A (etra stof).... Breuksplitsen B (etra stof).... Cyclometrische functies (etra stof) Antwoorden Factoren en veeltermen We onderscheiden factoren en termen. Een factor is een onderdeel van een vermenigvuldiging; een term is een onderdeel van een som (of verschil). Bijvoorbeeld, a is een eenterm die bestaat uit de factoren en a; a is een tweeterm die bestaat uit de termen en a. Voorbeelden: a b c bestaat uit twee termen, namelijk a b en c. a b bestaat uit drie factoren:, a en b. -c bestaat uit twee factoren: - en c. a(b cd) bestaat uit drie factoren:, a en (b cd ). b cd is een tweeterm waarvan de eerste term bestaat uit de factoren en b; de tweede term uit -, c en d. Waarschuwing Bij de vraag: "Ontbind a 6ab in factoren " zou je kunnen antwoorden: a 6ab ( a ab). Echter, met ontbind in factoren wordt altijd bedoeld "Ontbind in zoveel mogelijk factoren.". Daarom: a 6ab a( b).

3 . Machten De volgende regels gelden onder de voorwaarden a > 0 en b > 0 : p p q p q p q p q pq + a a a a, a, ( a ) a q a n p p p n p ( ), q, ab a b a a a a Een voorbeeld waarbij van het bovenstaande gebruik wordt gemaakt: a b q p ( a b) 0 5 a b6 a b a b De uitdrukking is teruggebracht tot een product van getallen en machten van de vorm n m o C? a b c.... Herleid onderstaande uitdrukkingen tot een vorm n m o C? a b c ( p q )?( p q ).. 5 ( a b ) ( a b) ( cd ) ( c d). ( a b) 5. ab? a 6. p q p q 7. 7 ( a b ) a b ( a b) (6 a b ) a a b ( a) a b. ( p q )?( p q ).. ( a b ) ( a b) ( c d ) ( c d). 5 ( ab b) ab a p q p q? b 7. ( a b ) a b ( a b) (6 a b ) a 5 a b ( a) a b

4 . Herleiden Er geldt: ( a + b)( c + d) ac + ad + bc + bd Speciale gevallen van deze regel zijn de zogenaamde 'merkwaardige producten': ( a + b) a + ab + b, ( a b) a ab + b en ( a b)( a + b) a b. Voorbeeld: (a b) 9a a b + b Verder moeten we ook wortels kunnen herleiden. 7 Voorbeeld: 7 6? 6 ; Herleid onderstaande uitdrukkingen met behulp van bovenstaande regels. Zorg ervoor dat er geen wortels in de noemer blijven staan. Herleid wortels zoveel mogelijk.. ( a b). ( a + a). ( 6 6 ).. ( m n)( m + n) 5. (6 )( + ) 6. ( a b + a b) 7. ( a + )(a + ) (a b + )(a + b 5) 9. ( + ) (a )(a + )(9a + ). ( a + b). (a a). ( 5 ). (m n)(m + n) 5. ( 5)( 5 + ) 6. ( a b + a b) 7. ( a + 0)(a + 0) (a b + )(a + b ) 9. ( + ) (a )(a + )(a + )

5 . Ontbind in zoveel mogelijk factoren. Voorbeeld : 8 ( 8) ( + )( 7). Voorbeeld : 6 ( + )( ) ( + )( + )( ). In deze voorbeelden treden steeds gehele getallen op. Echter, dit is lang niet altijd het geval. Bijvoorbeeld: ( ) ( )( + ). We spreken echter af dat we hier zover niet gaan. Dat betekent dat ( ) ontbonden wordt, terwijl we ( ) laten staan ( ) 7. ( ) ( ) + ( ) 9. ( ) ( + ) ( + ) 7. ( ) ( ) ( ) 9. (5 ) ( + 5)

6 . De sommen die nu volgen hebben ook betrekking op 'ontbinden in factoren'. Voorbeeld : ( ) ( ) (6 )( ) Voorbeeld : ( ) + 5( ) ( + 5)( )

7 . Rationale breuken. Bij de volgende serie opgaven dien je de uitkomst te schrijven als één breuk. We noemen deze bewerking 'onder één noemer brengen'. Voorbeeld: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( + ) ( ) ( ) Goniometrie 7

8 In eerste instantie voert men gewoonlijk de sinus, cosinus als verhoudingen van zijden in een rechthoekige driehoek. Dit betekent dat de hoek tussen de o o 0 en 90 ligt. Vervolgens voert men de tangens in als tangens () sinus () / cosinus (). Een natuurlijke uitbreiding voor willekeurige hoeken krijgen we met behulp van de eenheidscirkel. We definieren: Een punt P op de eenheidscirkel heeft -coördinaat cosα en y-coördinaat sinα, dus P (cosα, sin α ). y P(cos α, sin α) α O sin α Er blijft dan gelden: tan α en sin α + cos α. cosα De hoek α wordt meestal uitgedrukt in radialen. Bij een hoek van één radiaal hoort een cirkelboog met een lengte die gelijk is aan de straal van de cirkel. Dat is elegant, omdat daarmee de lengte van een cirkelboog gelijk is aan het product van straal en hoek (in radialen). In deze cursus wordt de hoek altijd in radialen uitgedrukt. Per definitie geldt dat π rad o 60. Het verdient aanbeveling onderstaande tabel van buiten te kennen. 0 sin 0 cos tan 0 6 π π π π n.g. 0 Voor π is tan niet gedefinieerd (n.g.). 8

9 Bij hoeken groter dan π horen goniometrische verhoudingen die rechtstreeks af te leiden zijn uit de definities. Voorbeeld: De coördinaten van Q welke horen bij een hoek van 7 π kun je afleiden uit de 6 coördinaten van P die horen bij een hoek van 6 π. y Q 7π 6 O π 6 P Daarom sin 7 π sin π π π 6 6 sin 7 π 7 6 π 6 cos 7 π 6 cos cos tan We noemen dit het 'herleiden naar een hoek in het eerste kwadrant'. 5. Herleid tot hoeken in het eerste kwadrant. Gebruik bovenstaande tabel.. sin ( π ). tan ( π ) 5. cos ( 6 π ). sin ( π ) ( ) 6. sin ( π ) 7. tan π cos( π ) 7 tan π 5 ( 6 ) 9. ( ) 0. 7 ( ). cos π sin π cos π. ( ). sin( π ) 5. tan ( 6 π ). cos ( π ) sin ( π ) 6. tan ( ) π 7. sin( π ) cos( π ) 5 6 tan π 9. ( ) 0. sin( π ) 9

10 Een ander type vraag gaat als volgt: Gegeven: sin. Hoe groot is, indien we de afspraak maken dat 0 < π? y O Gebruik de eenheidscirkel: Per definitie is sin de y-coördinaat van een punt op de eenheidscirkel. Omdat negatief is weten we dat de y-coördinaat negatief is, De y-coördinaat is negatief in het derde of vierde kwadrant, daar moeten we de hoek dus zoeken. Bekend is: sin π Met behulp van de tekening en bovenstaande tabel is vlot in te zien dat bij sin : hoeken horen van π + π en π π. 5 Het antwoord luidt dus: π π. 0

11 6. Goniometrische formules Met behulp van de definitie via de eenheidscirkel zijn de volgende uitdrukkingen. eenvoudig in te zien: sin( ) sin, cos( ) cos, tan( ) tan sin cos( π ), cos sin( π ) De volgende formules worden niet afgeleid of bewezen. Ze hangen sterk met elkaar samen. Bijvoorbeeld, indien je er één als uitgangspunt neemt, kun je met behulp van bovenstaande formules de andere uitdrukkingen afleiden: sin( + y) sin cos y + cos sin y sin( y) sin cos y cos sin y cos( + y) cos cos y sin sin y cos( y) cos cos y + sin sin y tan + tan y tan( + y) tan tan y tan tan y tan( y) + tan tan y 6. Opgaven.. Leid uit de formule voor sin( + y) de formules voor sin( y), cos( + y) en cos( y) af.. tan + tan y Leid zelf af: tan( + y) en tan tan y. Leid uit bovenstaande uitdrukkingen af: tan tan y tan( y) tan tan y sin sin cos cos cos sin cos sin tan tan tan. Voor een hoek 0, π geldt: 5. Voor een hoek π, π geldt: cos. Bereken cos. Bereken sin. cos( π ) 6

12 6. Voor een hoek 0, π geldt: cos. Bereken tan. 6. Bij de volgende opgaven dient gebruik te worden gemaakt van bovenstaande goniometrische formules:. Ontbind in factoren: sin( ) + sin( ).. Ontbind in factoren: sin( + y) + sin( y).. Ontbind in factoren: cos + sin. Ontbind in factoren: + sin cos 5. Ontbind in factoren: cos 6. Ontbind in factoren: sin 5sin + 7. Ontbind in factoren: sin + 5cos + 5 Bereken eact een uitkomst van cos π 8 9. Vereenvoudig cos cos sin + sin 0 f ( ) cos sin is te schrijven als f ( ) a + bcos( c). Bepaal a, b en c.. Ontbind in factoren: sin sin. Ontbind in factoren: cos cos. Ontbind in factoren: sin sin. Ontbind in factoren: cos Ontbind in factoren: sin sin 6 6. Ontbind in factoren: cos + sin Schrijf zonder wortel: cos + cos Bereken eact een uitkomst van sin π 8 9. Vereenvoudig cos cos sin + sin 0 f ( ) cos sin is te schrijven als f ( ) a + bcos( c). Bepaal a, b en c.

13 6. Bij de volgende opgaven dient gebruik te worden gemaakt van bovenstaande goniometrische formules:. Toon aan dat cos + cos. Toon aan dat cos sin cos. Toon aan dat cos + sin + sin. Toon aan dat cos ( + tan ) sin 5. Toon aan dat tan + cos tan + tan y sin( + y) 6. Toon aan dat tan tan y sin( y) 7. Toon aan dat tan sin tan? sin tan Toon aan dat sin cos tan + + tan 9. Toon aan dat tan ( π + ) tan 0. Toon aan dat cos cos. Toon aan dat sin cos. Toon aan dat cos ( tan ) cos. Toon aan dat sin sin sin. Toon aan dat cos ( + tan ) sin cos cos 5. Toon aan dat tan sin + tan tan y cos( y) 6. Toon aan dat tan tan y cos( + y) 7. Toon aan dat sin tan tan cos sin cos Toon aan dat + cos sin 9. Toon aan dat tan ( π + ) + tan ( π ) cos sin

14 cos sin cos + sin 0. Toon aan dat + cos + sin cos sin cos

15 7. Differentiëren Bij het differentiëren maken we gebruik van een aantal basisregels: n n y a y ' na y( ) u( )? v( )? y ' u '? v + v '? u ( productregel) ( ) ' ' ( ) t ' n? t t? y? y n n( ) (quotiëntregel) n 7. Differentiëren van goniometrische functies. d d d sin cos, cos sin, tan + tan d d d cos 7. Kettingregel. Als de functies y() en u() gegeven zijn dan geldt voor de samengestelde functie y(u()) : dy dy du. d du d Voorbeeld: Bereken de afgeleide van de functie y 6( ). Definieer: u We moeten nu eerst y 6u differentiëren naar u en het resultaat vermenigvuldigen met de afgeleide van u naar. dy du dy dy du Er geldt: u en 6. Dus u 6 ( ) 6 () du d d du d Dus: y ' 7 ( ) Voorbeeld: 5 y ( )? y ' 5( ) ( ). 5

16 Handig om van buiten te kennen n n y u y ' nu X ' y? y ' u ' u u y u? y' u' u Voorbeelden y ( ) y ' 8( ) 6 8 y 6 y' y? y'? 6 ( ) ( y ln( )? y'? ( ) ( ) 5 5 y y ' ln ln y (sin )? y ' (sin )? 6

17 7. Bereken de afgeleiden:. 5 y ( ). y. y 5. y ( ) 5. y 6 6. y e 7. y ln( + )?? y ln +?? 9. y? 0. y. ln y ln. y ( )? e. y tan. sin cos y sin + cos 5. sin y cos. y ln. ln y. y sin. y + 7

18 y 7 8 y sin ( π ) 6 ln y sin y + 9. y ln 0. sin y e. e + y e. y ln. y sin? cos. sin y cos 5. cos y cos 8

19 Primitiveren In de integraalrekening neemt primitiveren een essentiële plaats in. Het is de inverse bewerking van differentiëren. Kennis van differentiëren is daarom vereist. Basisformules (met c een onbepaalde integratieconstante): a n + a + b d a + b + c a n + n n+ a d + c ; n n+ ( ) ( ) a a e d e + c a ; d ln a + b + c ( a b) a + d tan + c (want cos d tan ) d cos cos( a) d sin a + c; cos( a) d sin a c a + a. Kontroleer altijd of je goed geprimitiveerd hebt door de uitkomst te differentiëren. Primitiveer de volgende functies; neem voor de integratieconstante 0.. ( ). (5 ).. ( + ) sin ( π ) sin + e 9. tan 0.. ( + ). (8 ).. 5 ( ) cos ( π ) 5 7. cos + e 9. tan

20 9. Oefening grafieken tekenen De bedoeling van deze oefening is dat je bij een aantal functies de grafiek schetst zonder gebruik te maken van elektronische hulpmiddelen. Afstanden tussen eenheden op de -as hoeven niet noodzakelijk gelijk te zijn aan die tussen de eenheden op de y-as. Kies het domein telkens zó dat de eigenschappen van de grafiek duidelijk te zien zijn, zoals snijpunten met de assen, asymptoten, perioden, enz. Zet bij snijpunten en asymptoten ook getallen indien deze vlot uit het hoofd te berekenen zijn. Voorbeeld: f ( ) ( ) : Voor het gemak gebruiken we hier als notatie f ( ) als we een functie bedoelen.. f ( ) ( + ). f ( ) ( ) +. f ( ) + 8. f ( ) f ( ) 6( + ). f ( ). f ( ). f ( ) +. f ( ) 5. f ( ) ( )

21 Serie C. ( ) f. ( ) f ( ) +. f ( ) +. f ( ) 5. f ( ) e Serie E. f ( ) +. f ( ). f ( ) + +. f ( ) 5. 6 f ( ) Serie D. f ( ) log. f ( ) log( + ). f ( ) log. f ( ) log 5. f ( ) ln( e) Serie F. f ( ) sin. f ( ) cosπ. f ( ) + 8sin π ( ) 6. f ( ) cos( π ) 5. f ( ) sin π ( + 5) 0

22 0. Vergelijkingen en ongelijkheden 0. Polynoomvergelijkingen Polynoomvergelijkingen kunnen algemeen worden geschreven als: n n n an an an , met n een geheel getal. Oplossingen kunnen soms gevonden worden door in factoren te ontbinden. Voorbeeld : Los op: ( ) 7( ) 0 ( 7)( ) 0 ( 7)( )( + ) 0?? Voorbeeld : Los op: ( )( + ) 5 ( + ) ( )( + ) 5 ( + ) 0 ( 5 )( + ) 0 ( + )( 7)( ) 0? 7? Los de volgende vergelijkingen op: ( )( + 0) ( ) + 0 ( )( + ) ( )( ) ( + )( + ) ( )( + ) 9. ( )( ) ( + )( )

23 0. ( ) ( + ) ( + ) 0. Polynoomongelijkheden Een handig hulpmiddel bij ongelijkheden is een tekenschema. Tekenschema s geven op een getallenrechte met plussen en minnen aan waar een uitdrukking positief of negatief is. Daar waar de uitdrukking nul is zetten we één of meerdere nullen op de getallenrechte. Bij elke nul op de getallenrechte is er sprake van tekenverandering. Twee voorbeelden van tekenschema s: f ( ) ( + )( )( ) heeft als tekenschema: Kijk bij één bepaalde makkelijke waarde van (anders dan een nulpunt) naar de uitkomst f ( ). Als de uitkomst positief of negatief is geldt dat overal tussen de naburige nulpunten. Bij een 0 op de getallenrechte verandert het teken. g( ) ( + ) ( )( ) heeft als tekenschema: Bij op de getallenrechte staat keer een 0 omdat je daar de oplossing krijgt van ( + ) 0 oftewel ( + )( + )( + ) 0. Zo'n nulpunt noemen we drievoudig. Dat betekent ook dat er drie keer tekenwisseling plaats vindt want bij elke 0 verandert het teken. Als g( ) dus positief is voor < zal g( ) negatief zijn als >. Bij op de getallenrechte moet keer een 0 komen, want ( ) is te schrijven als ( )( ). Er vindt daarom keer tekenwisseling plaats wat in feite betekent dat er geen tekenwisseling is bij de. Kortom, een n-voudig nulpunt geeft geen tekenwisseling als n even is en wel een tekenwisseling als n oneven is.

24 Voorbeeld : Los op: + 8? 6. Herleid eerst op 0: 6 + 8? 0. Ontbind vervolgens in factoren: ( 6 + 8) 0 ( )( ) 0 Gebruik de GR voor de grafiek of maak ee n tekenschema: ( [ ] De oplossing is dus :??? 0 of in intervalnotatie:?,0]?, Voorbeeld : Los op: ( + ) ( )? ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( )? 0 ( )( + ) ( ) ( ) De oplossing is :?? of in intervalnotatie:??, ]?, Los de volgende ongelijkheden op:. 5. ( ). ( ). 8 < + 5. ( + ) ( + ) > ( ) 6. 5 < + 7. ( - )( - ) 0 ( + ) ( + ) > 5( ) 9. ( 7 + )( + ) ? ? 6. ( ) 9. 5 < + 5. ( ) ( + ) > 5( ) ( 9)( ) 0 ( 5) ( + )( 5) > 0 9. ( )( ) ( )? 0 0.?

25 0. Breukvergelijkingen Bij breukvergelijkingen zijn 'kruiselings vermenigvuldigen' en 'onder één noemer brengen' belangrijke technieken. Voorbeeld : Voorbeeld : Kruiselings vermenigvuldigen geeft: 6 5 ( 6)( + 5) 5( + 8)? ? ( 5) + ( 5) 0? ( + )( 5) 0?? ( + ) + 5( ) +? + ( )( + ) +? +? 0 + 0? ( ) + ( ) 0 ( + )( ) 0?? Los de volgende vergelijkingen op ( + )

26 0. +

27 0. Breukongelijkheden Bij breuken kan het teken omwisselen niet alleen bij een nulpunt van de teller maar ook bij een nulpunt van de noemer Bij tekenschema s worden daarom de nulpunten van de noemers aangegeven enwel met een *. In zo'n punt bestaat de functie dus niet. 5 5? 5?? ( + ) 5( ) ( )( + )? 0 ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) Voorbeeld: ( + 7)( )??? ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) Tekenschema: * + + * Via tekenschema:?? <<? 7 Los de volgende ongelijkheden met breuken op > 8 5.? ? 0. < ? >. > ? ?? +? + < ( ) ( ) 5 > ? ? + 6.? > 6 +? + 9.

28 0. 7 < + 6

29 0.5 Eponentiële vergelijkingen Bij onderstaande opgaven is het de bedoeling dat je herleidt tot een uitdrukking van de uitdrukking met getal vorm a a, waarna je het grondtal weg kunt laten en de resulterende vergelijking kunt oplossen. Gebruik de regels bij machten, bijvoorbeeld ( ) ( ). Voorbeeld : Voorbeeld : Stel a, dan 8 a + 6 a + 8 6a a 6a a ( a )( a ) 0 a a Los de volgende eponentiële vergelijkingen op ( ) ? e e log ( ) 9 9. ( 6? ) ( ) ?(0, ) 50?(0,8)

30 0.6 Eponentiële ongelijkheden Bij eponentiële ongelijkheden moet je met grondtallen kleiner dan oppassen. Bijvoorbeeld, ( ) ( ) >? > maar >? < Je had de laatste ook als volgt kunnen doen: ( ) ( ). > > > <. Voorbeeld : > > 6 5 Vermenigvuldig beide zijden met > > 6 5 > 5 Voorbeeld. ( ) ( ) > Stel a en bedenk dat dan a 0! 7 7 Dat mag omdat 0. a + a + a a > a a + a 7 0 ( a )( a 9) 0 a 9 Dus Los de volgende eponentiële ongelijkheden op.. ( ) < ( )( 8) > 0. 8 ( ) < >? > > 0. ( ) > 8.. 8? < < 75 ( ) ( )? ? 5 < 5 0

31 0. ( ) ( ) 5< 0

32 0.7 Logaritmische vergelijkingen De definitie van logaritme is: a log bestaat alleen als > 0, a log 0 log a + log b log ab a log a log b log l b r log a r log a c a a b? logb c. Bekende regels zijn: Voorbeeld : log( + ) + log( ) log( + ) log + log( ) log ( ) + 8? 6 7? 6 7 Voorbeeld : log log? log log 0 Stel log a a a 0? ( a + )( a ) 0? a? a 0 log? log?? 000 Los de volgende logaritmische vergelijkingen op.. log6 8. log( ) 9. ln( 7 + 7) 0. log 5 log( + ) 5. log( ) + log( + ) 5 6. log( 0 ) 7. log(7 )? log( ) log( + )? log log + 6 log 0. ln + ln 0. log 7. log(8 ). ln( + e) ln. log(5 ) + log + log 5. ( ) 6. log + log( + ) 7. log( )?? + + log 5?? log( + ) log( + ) 9. ( ) 0. log log + 0?? log( 8) log??

33

34 0.8 Logaritmische ongelijkheden De eerste stap bij het oplossen van logaritmische ongelijkheden is het bepalen van het domein. Oplossingen dienen uiteraard binnen het domein te liggen. Ook hier opletten met bijvoorbeeld: log < log? >!! Net zoals bij machten is er sprake van het omdraaien van het ongelijkheidsteken als het grondtal <. Voorbeeld : log? + log( + ) Hier geldt: > 0? >, dus D 0,?.?++?+ 8 8?+??? ( ) log log log( ) log log ( ) De oplossing is 0, 7? Voorbeeld : D log( ) < log >? > 0?,? log( ) + log < log 7? log ( ) < log 7 <? + <? < < ( 9)( ) 0 Rekening houdend met het domein D is de o plossing, 9 Los de volgende logaritmische ongelijkheden op. 5 log +. ( ). log( ) >. log( 5)?. ln? 0 + ln 5. log? log( 6) 6.. log > 7. ln( e) > ln ln > 0 9. log( )? log( + 7) 0. ln? ln( ). log( )?. log( + 6 )?. log( 8 + 7)?. ln > 0 ln + 5. log( ) < log 6. ln( )? 0 ln 7. log( + )? log( + ) + log( + )? 0 9. log( 8) <

35 0. log( + ) < log

36 0.9 Goniometrische vergelijkingen sin sin a a + k π π a+ k π Enkele regels: cos cosa a + k π tan tan a a+ k π Hierbij geldt steeds dat k? Z, dus k 0,?,?,... Voorbeeld : cos( π ) sin cos( π) cos( π ) 5 π π π 5 π π π π π π π + k π π π + + k π + k + k + k + k Voorbeeld : sin cos ( cos ) cos cos + cos 0 a a + a a + a a a π π Stel cos 0 ( )( ) 0 cos + k Los de volgende goniometrische vergelijkingen op. Kies IR als domein.. sin sin. tan + tan 0. sin( + π ) + sin( π ) 0. cos + cos 0 5. cos + sin 6. sin cos sin 0 7. tan tan sin tan 9. cos sin 0 0. sin + sin. sin cos. cos + tan 0. cos sin (tan sin )(tan + sin ) cos 5. sin? sin cos. cos cos. tan sin. cos( π ) + sin( π ) 0 6. sin sin 0 5. cos + sin cos sin 6. sin cos 7. tan tan sin tan 9. cos + cos sin 0. sin + 6sin. 6 cos + sin 0. sin cos. sin + cos + sin cos. sin tan sin 5. sin + cos 0

37 0.0 Wortelvergelijkingen Bij vergelijkingen met wortels moeten we steeds bedenken dat de uitdrukking onder het wortelteken niet negatief mag zijn en dat de wortel een niet-negatief getal als uitkomst heeft. Controleer een gevonden oplossing altijd door deze in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen: Voorbeeld : + 5? + ( 5) ? ? ( )( ) 0? Aangezien een wortel geeft blijft een negatieve uitkomst voor als enige oplo ssing over. Voorbeeld : ( ) + + 5? ? ? ? ( )( ) 0?. Alleen is een oplossing. Los de volgende vergelijkingen met wortels op p ( p ) p ( p ) 0. Voor welke p raken de grafieken van f ( ) + en g( ) + p elkaar?

38 ( ) Voor welke p raken de grafieken van f ( ) 5 en g( ) p + elkaar?

39 0. Wortelongelijkheden Ook hier moet rekening gehouden worden met het domein. Bijvoorbeeld, als <, dan luidt de oplossing?,5 omdat?. Voorbeeld : + < 0? + 0 < 0 met? 0 Los op: 0? ? ( 6) 5( 6) 0? ( 5)( 6) 0 5 5? 6 Alleen is mogelijk. De oplossing is:? 0,? 5. Voorbeeld : +? 5. Het domein is D 5,?. Dan is de breuk altijd positief. Voorbeeld : Los op: +? + 5? ( 5) ? 7? ? ( 9) 8( 9) 0? (6 8)( 9) 0 8 6? 9 Alleen 9 voldoet. Vullen we namelijk in de ongelijkheid bijvoorbeeld 6 (6 < 9) in, dan krijgen we een uitkomst die groter is dan. Maar als we bijvoorbeeld invullen krijgen we een oplossing die groter is dan. Dat betekent dat we getallen moeten hebben groter dan 9. Oplossing: ( 9,? )

40 Los de volgende ongelijkheden met wortels op.. + 7? < 0 5. > 5+. +? 5. ( ) > > ? + ( ) +? < 0. + < 5. <. < 5 +.?.? 6 5. ( ) > 6. + < ( ) 7. > +? > 0. < 9

41 . Noemer wortelvrij maken (etra stof) Bij onderstaande opgaven dien je de noemer van de breuk wortelvrij te maken. Gebruik hiervoor onder andere de regel: ( a b)( a + b) a b. Voorbeeld: ( )( + ) ( ) Maak telkens de noemer wortelvrij ( + ) ( )

42 . Breuksplitsen A (etra stof) Bij de volgende serie breuken is de noemer een product van factoren of er kan een product van factoren van worden gemaakt. Het is de bedoeling dat er twee breuken van worden gemaakt met als noemers de afzonderlijke factoren. Dit heet breuksplitsing. Voorbeeld : + 0 ( )( + ) + Nu is dit eenvoudig te controleren maar hoe kom je aan de tellers? + 0 vervangen we door A + B waarbij we A en B moeten berekenen. ( )( + ) + A( + ) + B ( ) ( A + B ) + ( A B ) Maak van de uitdrukking weer één breuk: ( )( + ) ( )( + ) Nu moet A + B en A B 0. Als je dit stelsel van twee vergelijkingen oplost krijg je A en B -. Voorbeeld :? ( + )( + ) A B A( + ) + B( + ) ( A + B) + (A+ B) We stellen: + ( + )( + ) + + ( + )( + ) ( + )( + ) 6 Nu moet A + B 0 en A + B. Dit stelsel oplossen geeft A en B We kunnen daarom vervangen door. ( + )( + ) 5( + ) 5( + ) + Voorbeeld (vanwege het bijzondere karakter):? ( ) De teller veranderen we in een vorm waarin ( ) voorkomt: + ( ) ( ) ( ) ( )

43 . Splits onderstaande uitdrukkingen in breuken.. 5 ( )( ).. ( )( ) ( ) ( ) 9. ( ) 0. ( + ). 5 ( + )( + ). 9. ( + )( ) ( ) ( ) 9. 6 ( ) 0. 9 ( + )

44 . Breuksplitsen B (etra stof) Hieronder staat nog een aantal voorbeelden met opgaven waarbij een breuk wordt opgesplitst in meerdere delen. Voorbeeld : zo is We kunnen op twee manieren aan die uitkomst komen: / \ dus Dit kan altijd als de teller groter is dan de noemer. Voorbeeld : Ditzelfde kunnen we ook doen met gebroken functies: Of: / + \ dus Voorbeeld : / + \ dus 8 8( ) De methode uit de voorbeelden en kan worden toegepast als de graad van de teller groter is dan of gelijk is aan de graad van de noemer.

45 . Pas op onderstaande opgaven breuksplitsen toe zoals hierboven

46 . Cyclometrische functies (etra stof) π y In het voortgezet onderwijs hebben we al met inverse functies te maken gekregen. Zo zijn log en 0 inverse functies van elkaar evenals bijvoorbeeld en voor? 0. Op de rekenmachine staan deze functies op een toets en daarboven. Je ziet dan dat ln en e ook elkaars inversen zijn. Een eigenschap van inverse functies is dat de grafieken elkaars spiegelbeeld zijn indien gespiegeld wordt in de lijn y. Domein en bereik hoeven voor een functie en zijn inverse niet hetzelfde te zijn, controleer maar voor bovenstaande functies. de functies sin, cos en tan hebben inverse functies op een beperkt domein. sin, cos en tan staat er vaak op rekenmachines; wij zullen het hebben over arcsin, arccos en arctan. We gaan na wat voor de laatste functies het domein en bereik is door te spiegelen. De tekening links hieronder toont de grafiek van y sin gespiegeld in de lijn y. π y π π π? We zien in de linkerfiguur duidelijk dat de gespiegelde grafiek geen functie meer voorstelt indien het domein gelijk is aan [ 0,π ]. Indien het domein voor sin gelijk is aan D π, π, is de inverse wél een functie. Bij deze keuze van het domein zitten we zo dicht mogelijk in de buurt van de oorsprong en zijn alle mogelijke uitkomsten van sin mogelijk (vanaf - tot en met ). Zie de figuur daarnaast. Het bereik van y sin,. De inverse functie van is B [ ] y sin noemen we y arcsin. π, π. Zo kunnen we ook de grafieken van y cos en y tan spiegelen in de grafiek van y. Hiervoor geldt dat het domein D [, ], terwijl B

47 . Opgaven.. Ga op dezelfde manier na dat voor y arccos [ 0,π ]. geldt dat D [, ]. Ga verder na dat voor y arctan geldt dat D?,? en gekozen bereik en gekozen bereik B B π, π. Zoals we hiervoor bepaald hebben welke mogelijke uitkomsten er waren bij sin, zo kunnen we nu een uitkomst geven van arcsin( ). Het grote verschil is dat we nu maar één uitkomst hebben, logisch omdat dit eigen is aan het functiebegrip. Daarom: arcsin( ) π.. Geef telkens de uitkomst uitgedrukt in π (radialen).. arcsin ( ). arccos ( ). arctan ( ). arccos ( ) 5. arctan ( ) 6. arcsin ( ) 7. ( ) ( ) arccos arctan 9. arcsin ( 0 ) 0. arccos ( ). arccos ( ). arcsin ( ). arctan ( ). arcsin ( ) 5. arccos ( ) 6. arctan ( ) 7. ( ) ( ) arcsin arccos 9. arctan ( 0 ) 0. arcsin ( )

48 5. Antwoorden. Machten. 6 6 p q. 5 a b 0. 9 c d. 7a b 5. ab 5 6. p q 7. 8 a b 9. ab 8 7 a b 5 0. a. 8 6 p q. 5 b 8. 7 c d 5. 5 a b 5. ab 6. p q a b 8 6 ( )? a b a b 6 a. Herleiden. 9a 6ab + b. 9a a + a m 5mn n a b a b + a b 9 7. a 7b 7a + ab + 6a b a. 9a ab + b. 6 9a a + a m 5mn 6n a b a b + a b a b 5a 5ab + 6a 6b a

49 . Herleiden. ( ) ( + ) ( + 9). ( + ) ( 7). 8 ( )( + )( + )( + )( + ). ( ) ( + ) 5. ( ) ( 7 ) 6. ( + ) ( 7 ) 7. ( ) ( ) ( + + ) 9. ( 5 + ) ( 5) 0. ( ). Herleiden 6. ( ) ( ). ( + ) ( + ). ( ) ( ). ( + ) ( 5 ) 5. ( )( + ) 6. ( ) ( ) ( + ) 7. ( ) ( + ) ( + 5) ( ) ( + ) 9. ( ) ( ) 0. ( )( + 5). ( ) ( + ) ( 9 + ). ( ) ( ). ( ) ( + ) ( 6 + ). ( + ) ( 5) 5. ( ) ( 9) 6. ( + ) ( 9) 7. ( + ) ( ) ( + ) 9. ( + ) ( ) 0. 5 ( + ) 5. ( ) ( ). ( + ) ( + ). ( ) ( ). ( + ) ( 7 ) 5. ( + )( )( + ) 6. ( ) ( 8) ( + ) 7. ( ) ( + ) ( + 5) ( ) 9. ( ) ( ) 0. ( + )( 6)

50 . Rationale breuken + +. ( ) ( + ). ( ). ( ) ( + ) ( ). + ( ) ( ) 5. ( + ) ( + ) ( ) + 6 ( ) + + ( + ) ( ) + ( ) + ( ) + ( + ) ( ). + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( + ). ( ) ( + ) ( ) ( 7 + ) 5. ( + ) ( + ) 6. ( + ) 7 7. ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( ) ( )

51 5. Goniometrie Goniometrische formules niet gedefinieerd sin( y) sin( + y) sin cos( y) + cos sin( y) sin cos y cos sin y cos( + y) sin( π y) sin(( π ) y) sin( π )cos y cos( π )sin y cos cos y sin sin y cos( y) cos( + y) cos cos( y) sin sin( y) cos cos y + sin sin y. sin( + y) sin cos y + cos sin y tan( + y) cos( + y) cos cos y sin sin y deel boven en beneden door cos cos y tan + tan y tan tan y tan( y) tan( + y) tan + tan( y) tan tan y tan tan( y) + tan tan y

52 . sin sin( + ) sin cos + cos sin sin cos cos cos sin cos sin cos cos( + ) cos cos sin sin cos sin ( sin ) sin sin cos ( cos ) cos tan tan tan tan + tan tan tan tan( + ) tan tan tan cos( π ) cos cos π + sin sin π π + π Omdat in het eerste kwadrant ligt is oo k sin cos cos sin sin 6 5. Voor een hoek π, π geldt: cos sin? sin?? sin sin 6. Voor een hoek 0, π geldt: Gebruik Pythagoras om na te gaan dat 7? tan tan 7 tan 7 ( ) cos. bereken sin. cos. bereken tan. tan 7

53 6. Goniometrische formules sin cos +. ( ). sin cos y. ( sin )( + sin ) cos. sin (sin + cos ) 5. (cos )(cos + ) sin 5. ( sin ) ( sin ) 7. ( cos + ) ( 6 cos ) *) + ( +"# "# 9. sin, en 0.. sin (sin cos ). (cos )(cos + ) sin. cos (cos sin ) sin sin +. ( ) ( ) 5. ( sin + ) ( sin ) 6. ( sin + ) ( 5 sin ) 7. cos sin 9. cos 0.,, π of,, π

54 7. Differentiëren. 0( L" ) # -. H ( ) 5. ln? 6. e 7. ln ( + ) + + +? ln + 9. ( ) ( 9 ) 0.. (ln ). e - e -e. ( tan ) ( tan + ). sin + cos 5. cos. ln + ln +. ln. cos sin. ( + ) ( ) 6. cos ( + π ) 7. 6 ln sin ln cos sin ( ) cos sin( ) e. e. ln. sin ( cos sin ) cos cos. ( cos ) sin 5. sin

55 Primitiveren.... ( ) 8 (5 ) 9 ( ) 6 ( + ) 5. cos ( π ) ln cos + e 9. tan 0. ln... ( ) + 6 (8 ) ( ). 8( ) 5. sin ( π ) ln sin + e 9. + tan 0. ln

56 9. Oefening grafieken tekenen f() f() f() f() f() A A A A A5 f() f() f() f() f() - B B B B B5 f() f() f() f() f() 5/ /e - C C C C C5 f() f() f() f() f() e e+ D D D D D5 f() f() f() f() f() - - E E E E E5

57 SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject f() F f() F f() F f() F

58 SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject SvOutPlaceObject f() F5

59 0. Polynoomvergelijkingen, { } { } { } { }?? { 0},{ },{ },{ }????,, 6, 6 7 7,????? { 0},{ 0},{ },{ } { 5},{ },{ } { },{ },{ } { },{ },{ } { },{ },{ } { } { }?????,,, 0. Polynoomongelijkheden, { } { } 6 6,????? { 0},{ 0},{ },{ } { },{ } { 0},{ 0},{ },{ } { },{ },{ } { },{ } { },{ },{ } { },{ },{ } { },{ },{ } Let bij de antwoorden op het verschil in intervalnotatie: De intervalhaakjes en staan in en. De pijltjes? en? worden vervangen door respectievelijk? en?. Afzonderlijke uitkomsten staan tussen accolades. de notatie hieronder als ( ) 5, 5 [ ] (?, ]? [,? ) 5?,?,???, ( ) ( )? ( 5,? )? (?, 7) { }? [, ] 7 (?, ) 6 { }? [ 6, ] [, ],???, [ ) ( ]?,??, 5 7???,? ( ) (,? )? (?, 5) (?, ) 6 [,? )? (?, 5] [, ] (, 5 )? (,? ) { }? (?, ]? [,? ) [, 0]? [, ]

60

61 0. Breukvergelijkingen { } { 0},{ } { }?? +,,????? { },{ } 7 { },{ } { },{ } 5 { 9},{ } { 5 },{ },{ } 8 { },{ } 5, { } { } { } +,????? { } { },{ } { },{ 7} { },{ } { 0},{ } { } { },{ },{ } 0. Breukongelijkheden, 5 ( ] (?, )? ( 7,? ) ( ) ( )?,??,???, (?, )? (,? ) (, 5]? (, ] ( 0, ]? (,? )? (?, ] [, )? [,? ) (, )? (?, 0)? (,? ) (, )? ( 9,? ) (, )? ( 0, ), 7??, ( ) ( ) (, ) (,? )? (?, ] 5 (?, )? [ 5,? )?, )? [, ]? (,? )? (?, ) (, ]? [ 0,? ) (, 6)? (?, )? (,? ) (,? (, ]? (,,????? (, 6)? (?, )? (,? )

62 0.5 Eponentiële vergelijkingen { 5} { } { } { },{ } { } { 0},{ } { } { } { },{ } { ln } { } { } { } { },{ } { } { },{ } { } 9 { } { } { } 0.6 Eponentiële ongelijkheden,? ( ) [,? ) (?, )? (,? ) [,? ) 5 (?, ]? [,? ) (?, 0)? (,? ) (?, ) (?, ]? [,? ) ( ),?H-,0LH,L [,? ) (,? )? ), [-5/, ) (?, 0]? [,? ) (, ) (?, ) (?, 0] (?, 0)? (,? ) (0,? )

63 0.7 Logaritmische vergelijkingen?? { 5} { },{ 6} { } { } { 0} { 5} { 99} { 00},{ 000} { e} 0.8 Logaritmische ongelijkheden (, ] (?, )? (,? ) [, )? (5, 7] (0, e ) ( e, ) (6, 9] (, 0)? (0, ) (?, e e )? ( e + e,? ) (0, )? (,? ) (, ] (?, 6]? [, 6) { } { } { e } e { },{ } { } 5 { } { 7} 7 { 9 } { 0},{ 00} { } [, 0)? (, ] [ 8, 6)? (0, ] [, )? (7, 9] ( e, e ) (, ) (, e + ] (?, ) (, ]? [,? ) (, ) (0, )? (,? )

64 0.9 Goniometrische vergelijkingen k π π + k π { } { } { k π } { π k} { π + π k} 5 { π + π } 5 5 k { π + π } k { π k} { π + π k} 5 { π k} { π + π k} { π + π k} 6 6 { π + π k} { π + π k} { π + π k} { π π k} { π + π } 8 k { π + π k} { π + π k} { 7 π + π k} { π k + π k} 6 6 { π k} { π + π k} { π + π k} { π + π k} SerieB π k π k { } { } { π k} { π + π k} { π } k 5 { π k} { π + π k} { π + π } 8 k { π + π k} { π + π k} { π k} { 6 π + π k} { π + π } k 5 { 6 π + π k} { 6 π + π k} 5 { 6 π + π k} { 6 π + π k} { π + π k} { π + π k} { π + π k} { π + π k} { π k} { π + π } k

65 0.0 Wortelvergelijkingen { 6} { } { },{ } { } { },{ 0} { },{ },{ },????? { } p?? { p } 0. Wortelongelijkheden [ 9,? ) [ 6, 0) ( 5, 0) [, ] (?, 8 )? ( 0,? ) [, 5) [,? ),?? ( 0, )? (,? ) [, )? ( 8,? ) { } { 7} { 0},{ } { 9} { } { 0},{ 6},????? { } { 7} { p },?,? [ ) ( ) [, 7) (, ] [, 8] (?, )? (,? ) (, ) (5, ) 7?, 6? ( )???? 5,, 5 [, )? (,? )

66 . Noemer wortelvrij maken (etra stof) !-! Breuksplitsen A (etra stof).. ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) 7. + ( ) ( ) ( ) 0. + ( + ) ( ) 6( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

67 . Breuksplitsen B (etra stof) ( ) ( + ) ( )

68 . Cyclometrische functies (etra stof). De grafiek van y sin kon gespiegeld worden in de lijn y waarbij de beeldfiguur een grafiek van een functie bleef als we voor het domein π, π kozen. Bij dat domein hadden we te maken met een grafiek die overal stijgend is. Het moet geen probleem zijn dat dit ook geldt voor een grafiek die overal daalt. Dus met een domein π, π zou de beeldfiguur ook een grafiek van een functie zijn. Dit is met de grafische rekenmachine te controleren door voor de TI-8 in te voeren: y sin() en dan met DrawInv y uit het Draw-menu te kijken naar de gespiegelde grafiek. Datzelfde kun je gaan controleren voor y cos 0,π. Zie boven.. Cyclometrische functies (etra stof) binnen [ ]. 6 π π π 6 π π π π 6 π π. π.. π π. π π 7. π 6 π π

69