K.1 De substitutiemethode [1]
|
|
- Thijmen Kok
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met u = + Stap : Bereken de afgeleide van u 5 en + : y = 5u 4 en u = + Stap : Vermenigvuldig de beide afgeleiden met elkaar: f () = y u = 5u 4 ( + ) = 5( + ) 4 ( + )
2 K. De substitutiemethode [] In Hoofdstuk 0 hebben we gezien dat integreren het omgekeerde van differentiëren is. Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 5( + ) 4 ( + ) 5( + ) 4 ( + ) d = [Let op: d =!!!] 4 5( ) d( ) [Let op: d( + ) = ( + ) Daarom deel je de functie door +] 5( + ) 4 d( + ) = 5u 4 du = [Vervang + door u] du 5 = [Let op: du 5 = 5u 4 du] d( + ) 5 Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = ( + ) 5 + C Let op: Bij het differentiëren in voorbeeld werd vermenigvuldigd met +; Bij het integreren in voorbeeld wordt gedeeld door +!!!.
3 K. De substitutiemethode [-Alternatief] Substitutiemethode integreren: (f g)d = f dg Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 5( + ) 4 ( + ) 5( + ) 4 ( + ) d = 5( + ) 4 d( + ) [Neem + = u] 5u 4 du = u 5 = ( + ) 5 Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = ( + ) 5 + C Let op: Door het handig toepassen van de substitutiemethode krijgt je een functie, die je kunt primitiveren met de regels uit Hoofdstuk 0.
4 K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 0 d d 4 ( 7) d 4 ( 7) [Let op: d =!!!] [Let op: d( 4 + 7) = 4 Daarom deel je de functie door 4 ] 0 du u du 4 u [Vervang door u] d5u ½ = d5( 4 + 7) ½ Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = C 4
5 K. De substitutiemethode [-Alternatief] Substitutiemethode integreren: (f g)d = f dg Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = d d(,5 ) ,5, d( ) d( 7) 4 4 [De,5 mag je voor de d zetten.] [ 4 mag je in veranderen. De afgeleiden hiervan zijn aan elkaar gelijk.],5 du u du u [Schrijf als u] 5u ½ = 5( 4 + 7) ½ Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = C 5
6 K. De substitutiemethode [] Opgave 4D: sin( ) d sin( ) d( ) sin( ) d( ) sinudu d u d ( cos ) ( cos( )) sin( ) d sin( ) d( ) sin( ) d( ) sinudu cosu cos( ) 6
7 K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = tan() = sin( ) d cos( ) sin( ) d( cos( )) cos( ) sin( ) ( cos( )) cos( ) d sin( ) cos( ) [Let op: d =!!!] [Let op: d(-cos()) = sin() Daarom deel je de functie door sin()] (cos( )) cos( ) d u du [Vervang cos() door u] - dln u = d(-ln u ) = d(-ln cos() ) Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = -ln cos() + C 7
8 K. De substitutiemethode [-Alternatief] Substitutiemethode integreren: Voorbeeld (Alternatief): Primitiveer de functie f() = tan() = (f g)d = f dg sin( ) cos( ) sin( ) d cos( ) ( cos( )) cos( ) d d(cos( )) cos( ) du u -ln u = -ln cos() [Het minteken mag je voor de d zetten] [Schrijf cos() als u] Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = -ln cos() + C 8
9 K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = cos () = cos ()d = cos () cos()d = [Let op: d =!!!] ( sin ()) cos()d = cos( ) ( sin ( )) d(sin( )) cos( ) [Let op: d(sin()) = cos() Daarom deel je de functie door cos()] ( u )du = [Vervang cos() door u] d u u d ( ) (sin( ) sin ( )) Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = sin( ) sin ( ) C 9
10 K. De substitutiemethode [-Alternatief] Substitutiemethode integreren: (f g)d = f dg Voorbeeld (Alternatief): Primitiveer de functie f() = cos () = cos ()d = cos () cos()d = ( sin ()) cos()d = ( sin ( )) d(sin( )) ( u )du = [Schrijf cos() als u] sin( ) sin ( ) u u Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = C sin( ) sin ( ) 0
11 Opgave 9C: 0 e d( ) 6 u e du 6 u e e 6 6 e d( ) 0 e e e d d d K. De substitutiemethode [] 0 d e e e e e
12 K. Partieel integreren [] p() = f() g() heeft als afgeleide: p () = f () g() + f() g () Dit is de productregel voor het differentiëren. Anders genoteerd wordt dit: d(p()) = d(f()) g() + f() d(g()) d(f() g()) = g() d(f()) + f() d(g()) Omschrijven geeft: -g() d(f()) = -d(f() g()) + f() d(g()) g() d(f()) = d(f() g()) - f() d(g()) Voorbeeld : Primitiveer de functie h() = ln() ln()d = ln() d(½ ) d(½ ) = ln()d kun je niet primitiveren met de regels die je tot nu toe gehad hebt.
13 K. Partieel integreren [] Voorbeeld : Primitiveer de functie h() = ln() ln() d(½ ) is van de vorm: g() d(f()) = d(f() g()) - f() d(g()) met f() = ½ en g() = ln() Er geldt nu: ln() d(½ ) = d(½ ln()) ½ d(ln()) = d(½ ln()) ½ d = d(½ ln()) ½ d = d(½ ln()) - d(¼ ) = d(½ ln() - (¼ )) H() = ½ ln() - ¼ + C is de primitieve van de functie h() = ln()
14 K. Partieel integreren [-Alternatief] Voor partieel integreren geldt de volgende regel: (f g)d = f dg Voorbeeld (Alternatief): Primitiveer de functie h() = ln() ln()d = ln() d(½ ) [f = ½ en g = ln()] = ½ ln() ½ d(ln()) = ½ ln() ½ d = ½ ln() ½ d = ½ ln() - ¼ H() = ½ ln() - ¼ + C is de primitieve van de functie h() = ln() 4
15 K. Partieel integreren [] Algemeen: f () g() d = g() df() = d(f() g()) f() d(g()) Bij het primitiveren van een functie, die het product van twee functies is, noem je het ene deel f () en het andere deel g(). Met behulp van de bovenstaande formule bereken je dan de primitieve. Dit heet partieel primitiveren. Als je vastloopt, moet je de f () en g() andersom kiezen. Voorbeeld : h() = sin() f () = en g() = sin() sin() d = sin() d(½ ) f() = ½ = d(½ sin()) - ½ d sin() = d(½ sin()) - ½ cos()d Dit geeft geen oplossing. De functie -½ cos()d is niet te primitiveren. Let op dat er nu nog steeds een product is. De -term is nu niet meer e graads maar e graads. 5
16 K. Partieel integreren [] Voorbeeld : h() = sin() We kiezen nu f () en g() andersom f () = sin() en g() = sin() d = d(-cos()) f() = - cos() = d(- cos()) - -cos() d = d(- cos()) + d sin() sin() is primitieve van cos() = d(- cos() + sin()) H() = - cos() + sin() + C Voorbeeld (Alternatief): h() = sin() sin() d = d(-cos()) [ gdf = f g - f dg] = - cos()) - -cos() d [f = -cos() en g = ] = - cos() + sin() H() = - cos() + sin() + C 6
17 Opgave 6C: ln ( ) d K. Partieel integreren [] ln ( ) d ln ( ) (ln ( )) d ln ( ) ln ( ) d ln ( ) ln ( ) d ln ( ) ln ( ) d 4 ln ( ) ln ( ) d(ln ( )) 4 4 ln ( ) ln ( ) 4 ln( ) d 4 ln ( ) ln ( ) ln( ) d 4 Nog een keer partieel integreren geeft de oplossing. 7
18 K. Partieel integreren [] Voorbeeld : h() = sin() d [f () = sin() en g() = ] = d(-cos()) [g() f () = g() d(f())] = d(-cos() ) + cos() d partieel integreren = d(- cos()) + cos() d De functie sin() kon niet op de normale manier geprimitiveerd worden. Na toepassen van partiële integratie kan de functie cos() niet op de normale manier geprimitiveerd worden. In plaats van een staat er nu wel een. Wanneer we de functie cos() nu nogmaals partieel integreren, zal deze dus een los getal worden. Een functie van de vorm a sin() kan op de normale manier geprimitiveerd worden. = d(- cos()) + d sin() = d(- cos()) + d(sin() ) sin() d = d(- cos()) + d( sin()) - sin() d = d(- cos()) + d( sin()) + d cos() = d(- cos() + sin() + cos()) H() = - cos() + sin() + cos() + C 8
19 K. Partieel integreren [-Alternatief] Voorbeeld (Alternatief) sin() d [ gdf = f g - f dg] = d(-cos()) [f = -cos() en g = ] = -cos() - -cos() d partieel integreren = - cos() + cos() d De functie sin() kon niet op de normale manier geprimitiveerd worden. Na toepassen van partiële integratie kan de functie cos() niet op de normale manier geprimitiveerd worden. In plaats van een staat er nu wel een. Wanneer we de functie cos() nu nogmaals partieel integreren, zal deze dus een los getal worden. Een functie van de vorm a sin() kan op de normale manier geprimitiveerd worden. - cos() + cos() d = - cos() + d sin() = - cos() + sin() sin() d = - cos() + sin() - sin() d = - cos() + sin() + cos() De primitieve van sin() is gelijk aan: - cos() + sin() + cos() + C 9
20 K. Partieel integreren [] Voorbeeld : h() = e sin() d [f () = sin() en g() = e ] = e d(-cos()) [g() f () = g() d(f())] = d(-cos() e ) + cos() de partieel integreren = d(-e cos()) + e cos() d De functie e sin() kon niet op de normale manier geprimitiveerd worden. Na toepassen van partiële integratie kan de functie e cos() ook niet op de normale manier geprimitiveerd worden. We passen nu nogmaals partiële integratie toe. = d(-e cos()) + e d sin() = d(-e cos()) + d(sin() e ) sin() d e = d(-e cos()) + d(e sin()) e sin() d = d(-e cos() + e sin()) e sin() d e sin() d = d(-e cos() + e sin()) e sin() d e sin() d = d(-e cos() + e sin()) e sin() d = d(-½e cos() + ½e sin()) [herschrijven] H() = -½e cos() + ½e sin() + C 0
21 K. Partieel integreren [-Alternatief] Voorbeeld (Alternatief): e sin() d [ gdf = f g - f dg] = e d(-cos()) [f = -cos() en g = e ] = -cos() e + cos() de partieel integreren = -e cos() + e cos() d De functie e sin() kon niet op de normale manier geprimitiveerd worden. Na toepassen van partiële integratie kan de functie e cos() ook niet op de normale manier geprimitiveerd worden. We passen nu nogmaals partiële integratie toe. = -e cos() + e d sin() = -e cos() + sin() e sin() d e = -e cos() + e sin() e sin() d e sin() d = -e cos() + e sin() e sin() d e sin() d = -e cos() + e sin()) e sin() d = -½e cos() + ½e sin()) [herschrijven] De primitieve wordt nu: -½e cos() + ½e sin() + C
22 Opgave 4A: K. Partieel integreren [] ( ) e d ( ) de ( ) e e d( ) ( ) e ( ) e d ( ) e ( ) de ( ) e ( ) e e d( ) ( ) ( ) e e e d ( ) e ( ) e e ( ) e d [( ) e ( ) e e ] e e
23 K. Cyclometrische functies [] Herhaling: In het algemeen geldt: Uit g log() = y volgt = g y Er bestaat dus een verband tussen een machtsfunctie en een logaritmische functie. De grafieken van f() = en g() = log() spiegelen in de lijn y =. We noemen f en g nu inverse functies.
24 K. Cyclometrische functies [] In het plaatje hiernaast is de blauwe functie f() = tan() op het interval < - ½π, ½π> gespiegeld in de lijn y =. Hierdoor ontstaat de rode inverse functie g() = f inv () = arctan() = tan - () met D f = R en B f = < - ½π, ½π> De inverse functie van een goniometrische formule heet een cyclometrische functie. Let op: De inverse functie van tan() is dus niet (tan( )) tan( ) 4
25 K. Cyclometrische functies [] Er geldt: De functie f() = heeft als primitieve: F()= arctan() + C De functie g() = arctan() heeft als afgeleide: g () = Wanneer je een eacte oplossing moet geven bij een goniometrische functie kun je onderstaande tabel gebruiken: hoek sinus ½ ½ ½ cosinus ½ ½ ½ tangens Let op: Op de GR is de arctan te vinden via ND tan 5
26 K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : arctan( ) = (of 0 ) want tan( ) = arctan () = (of 45 ) want tan( ) = arctan( ) = (of 60 ) want tan( ) = Voorbeeld : Los algebraïsch op arctan() =. Rond het antwoord af op drie decimalen. arctan() = = tan(),557 [arctan() is de inverse functie van tan()] 6
27 K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Differentieer f() = arctan( + ) f() = arctan( + ) = arctan(u) met u = + f () = u ( ) 4 [Gebruik de kettingregel] Voorbeeld 4: Bereken eact d 0 d [arctan( )] 0 arctan() arctan(0)
28 K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 9 4 Stap : Schrijf de functie in de vorm f( ) u Stap : Primitiveer nu de functie. F() = arctan(u) = arctan( ) met u = Let op: Vermenigvuldig de primitieve met vanwege u = 8
29 K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = arctan() Gebruik: gdf = f g - fdg arctan()d = arctan() - d arctan() = arctan() - d = arctan() - d(½ ) Gebruik: (f g)d = f dg = arctan() - ½ d( +) Neem + = u = arctan() - ½ du u = arctan() - ½ ln u = arctan() - ½ ln( + ) 9
30 K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Bereken eact d Stap : Schrijf de functie in de vorm f( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) u met u = ½ - 0
31 K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Bereken eact d Stap : Primitiveer nu de functie. f ( ) u F() = arctan( u) arctan( ) / Let op: Vermenigvuldig de primitieve met vanwege u =
32 K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Bereken eact d Stap : Bereken nu het gevraagde: 0 6 d [ arctan( )] 0 48 arctan(0) arctan(-) = 0 - ¼π = ¾π
33 K. Cyclometrische functies [] De inverse van f() = sin() met het domein [-½π, ½π] is de functie g() = arcsin() g() = arcsin() heeft domein [-, ] en bereik [-½π, ½π] De functie f() = heeft als primitieve: F()= arcsin() + C De functie g() = arcsin() heeft als afgeleide: g () =
34 K. Cyclometrische functies [] De inverse van f() = cos() met het domein [0, π] is de functie g() = arccos() g() = arcsin() heeft Domein [-, ] en bereik [0, π] De functie f() = heeft als primitieve: F()= arccos() + C De functie g() = arccos() heeft als afgeleide: g () = 4
35 K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld: Bereken eact 4 d d d d 4 4( ) 4 4 d arcsin arcsin( ) arcsin( ) 6 6 5
36 K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : De functie f() = + heeft als integraal F() = + ln + + C De functie f() is te schrijven als één breuk: ( ) 5 5 De functie f() = valt niet te integreren. Wanneer deze breuk gesplitst wordt, kan wel een integraal berekend worden. 6
37 K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 5 Stap : Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren: + / + 5 \ maal + = ( + ) = + + Let op: hierdoor valt de weg!!! De functie f() = is nu te schrijven als + Stap : Bereken de primitieven van de functie f(): F() = + ln + + C 7
38 K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Bereken eact 4 5 d Stap : Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren: + / \ maal + = ( + ) = + + Let op: Hierdoor valt de weg / \ + maal + = ( + ) = + + Let op: Hierdoor valt de weg
39 K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Bereken eact Stap : Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren: De functie f() = f() = d 5 kan dus geschreven worden als: Stap : De primitieven van de functie f() = + - F() = + ln + + C zijn: Let op: Staartdelen kan alleen als de graad van de teller groter of gelijk is Dan de graad van de noemer. 9
40 K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Bereken eact 4 5 d Stap : Bereken nu de gevraagde integraal: d d ln 4 (4 4 ln 4 ) ( ln ) 8 ln 5 5 ln ln 5 ln 40
41 Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = K.4 Breuksplitsen [] 45 Let op: ) De discriminant van de noemer ( ) is kleiner dan 0 (4 4 5 = -4). Je kunt de noemer niet ontbinden in factoren; ) De afgeleide van is + 4; ) Staartdelen is niet mogelijk d d d d 45 d( 4 5) 45 du ln u u ln 45 Door het herschrijven van de functie ontstaan twee breuken die je kunt primitiveren: ) Gebruik de substitutiemethode (breuk ); ) Primitieve is de natuurlijke log. (breuk ). 4
42 K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 5 d 45 5 d ( ) 5arctan( ) 45 Herleiden van de breuk zorgt dat je de tweede breuk kunt primitiveren. De primitieve van de functie f() = 45 wordt nu: F() = ln arctan( + ) + C 4
43 K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 44 Let op: ) De discriminant van de noemer ( ) is gelijk aan 0 (4 4 4 = 0); ) De noemer is te schrijven als = ( + ) ; ) De teller is te schrijven als - = = ( + ) 5; 4) Staartdelen is niet mogelijk. ( ) 5 d d 4 4 ( ) 5 d 5( ) d ( ) ln 5( ) Door het herschrijven van de functie ontstaan twee breuken die je kunt primitiveren. 4
44 K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld: Bereken de primitieven van f( ) 8 8 ( )( ) Let op: ) De discriminant van de noemer ( + -) is groter dan 0 ( 4 - = 9). De noemer kan in factoren ontbonden worden; ) De noemer geschreven worden als + - = ( )( + ); ) Staartdelen is niet mogelijk. Stap : Merk op dat je deze functie niet kunt primitiveren op de manieren zoals geleerd. Dit is op te lossen door de functie f als volgt te schrijven: f( ) a b 44
45 K.4 Breuksplitsen [] Stap : a b a( ) b( ) ( )( ) ( )( ) a( ) b( ) ( )( ) a a b b ( )( ) ( a b) a b ( )( ) We kiezen a en b nu zodanig dat (a + b) + a b gelijk is aan + 8 Er geldt nu: a + b = en a b = 8 45
46 K.4 Breuksplitsen [] Stap : Los het nu ontstane stelsel van vergelijkingen op: ab ab8 a 9 a Invullen van a = in a + b = geeft b = -. De vergelijking f( ) 8 8 ( )( ) kan dus geschreven worden als: f( ) a b met a = en b = -. Dit geeft: f( ) 46
47 K.4 Breuksplitsen [] Stap : Primitiveer de functie f( ) F() = ln - - ln + + C 47
48 Substitutiemethode integreren: Partieel integreren: K Samenvatting (f g)d = f dg gdf = f g - fdg De inverse functie van f() = tan() is g() = f inv () = arctan() = tan - () met D f = R en B f = < - ½π, ½π>; De inverse functie van een goniometrische formule heet een cyclometrische functie; De functie f() = heeft als primitieve: F()= arctan() + C; De functie g() = arctan() heeft als afgeleide: g () = ; De inverse van f() = sin() met het domein [-½π, ½π] is de functie g() = arcsin(); g() = arcsin() heeft domein [-, ] en bereik [-½π, ½π]; De functie f() = heeft als primitieve: F()= arcsin() + C De functie g() = arcsin() heeft als afgeleide: g () = 48
49 K Samenvatting De inverse van f() = cos() met het domein [0, π] is de functie g() = arccos(); g() = arccos() heeft domein [-, ] en bereik [0, π]; De functie f() = heeft als primitieve: F()= arccos() + C; De functie g() = arccos() heeft als afgeleide: g () = Als in een gebroken functie de teller een gelijke of hogere graad heeft dan de noemer kun je door een staartdeling deze functie herschrijven; Als in een gebroken functie de discriminant van de noemer kleiner is dan 0 kun je de noemer niet in factoren ontbinden. Probeer de teller te herschrijven zodat je bij integratie de substitutiemethode kunt gebruiken; Als in een gebroken functie de discrimimant van de noemer gelijk is aan 0 heb je een oplossing van de vorm ( + p). Zorg dat ook in de teller ( + p) komt te staan; Als in een gebroken functie de discriminant van de noemer groter is dan 0 kun je deze schrijven in de vorm ( + p)( + p). Herschrijf de breuk nu naar de vorm: a b f( ) p q 49
K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:
K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B
Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen
Nadere informatieParagraaf K.1 : Substitutiemethode
Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina van 8 Paragraaf K. : Substitutiemethode Stappenplan voor de substitutiemethode : () Neem y = formule (bij kettingregel noem je deze formule
Nadere informatie14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]
4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )
Nadere informatieVoorwoord Rekenvaardigheden
Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de daaraan verbonden profielkeuze en het studiehuis zijn ingevoerd. In sommige opzichten
Nadere informatie== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u
== en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de
Nadere informatieStandaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011
Standaardafgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les Wat is Differentiëren gaan in Wisnet Verder zijn er Maplets om de
Nadere informatieCijfer = totaal punten/10 met minimum 1
VOORBLAD SCHRIFTELIJKE TOETSEN OPLEIDING TOETSCODE GROEP Me MeWIS1-T1 MeP1 TOETSDATUM 7 november 011 TIJD 13.00 14.30 uur AANTAL PAGINA S (incl. dit voorblad) 6 DEZE TOETS BESTAAT UIT (aantal) GEBRUIK
Nadere informatieCursusreader Analyse Plus (Capita selecta uit de Analyse)
Cursusreader Analyse Plus (Capita selecta uit de Analyse) Jaar uitgave:, herziene versie -, grondig herzien in 6-7 Versie: e versie Opleiding: WISKUNDE Auteur: Willem van Ravenstein (), Cornelia Wallien
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatieDictaat Rekenvaardigheden. Faculteit Wiskunde en Informatica
Dictaat Rekenvaardigheden Faculteit Wiskunde en Informatica 7 mei 007 Voorwoord Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de
Nadere informatieDictaat Rekenvaardigheden. Loek van Reij
Dictaat Rekenvaardigheden Loek van Reij 0 maart 006 i ii Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de daaraan verbonden profielkeuze
Nadere informatieInhoud college 6 Basiswiskunde
Inhoud college 6 Basiswiskunde 4.0 Taylorpolynomen (slot) Zie college 5: Vanaf 4.0 Voorbeeld 4 3. Inverse functies 3.2 Exponentiële en logaritmische functies 3.3 De natuurlijke logaritme en de exponentiële
Nadere informatieOver de functies arcsin, arccos en arctan
Over de functies arcsin, arccos en arctan Booglengte figuur figuur De grafiek van een functie f tussen twee punten P (met a) en Q (met b) kan worden opgedeeld in stukjes die kunnen worden opgevat als lijnstukken,
Nadere informatieONLY FOR PERSONAL USE. This digital version of the DictaatRekenvaardigheden - Algebraic Skills is for personal use because of copyright.
ONLY FOR PERSONAL USE This digital version of the DictaatRekenvaardigheden - Algebraic Skills is for personal use because of copyright. c Dictaat Rekenvaardigheden Faculteit Wiskunde en Informatica 0 mei
Nadere informatie7.1 De afgeleide van gebroken functies [1]
7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Regels voor het differentiëren: f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = 0 Algemeen geldt: f() = a n geeft f () = na n-1 Voorbeeld 1:
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatie1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 3 oktober 2007.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Algemeen deel. Bij het vermenigvuldigen met van de ongelijkheid moet u rekening houden met twee gevallen, te weten > 0 en < 0 en u moet
Nadere informatieIn dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.
03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het
Nadere informatie9.1 Logaritmische en exponentiële vergelijkingen [1]
9.1 Logaritmische en eonentiële vergelijkingen [1] Voor logaritmen gelden de volgende rekenregels: (1) log( ab) log( a) log( b) g g g () g g g (4) (3) g n g (5) g log() = y volgt = g y Voorbeeld: a log
Nadere informatieStudiehandleiding Basiswiskunde cursus
Studiehandleiding Basiswiskunde cursus 2008 2009 Materiaal Bij dit college heb je nodig: Het boek Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch Isbn: 90 430 1156 8 De syllabus Aanvulling basiscursus
Nadere informatie11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20
.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:
Nadere informatieTraining integreren WISNET-HBO. update aug 2013
Training integreren WISNET-HBO update aug 2013 Primitiveren De primitieve bepalen betekent in feite de functie bepalen waarvoor geldt dat Anders geschreven: Links en rechts maal dx: df = f dx De betekenis
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft
Nadere informatieCalculus TI1 106M. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 1 september 2014
Calculus TI1 106M, 1 september 2014 Inleiding Studiemateriaal Onderwerpen Calculus 1 september 2014 1 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage :
Nadere informatieParagraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ)
Nadere informatievoorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatie15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))
5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)
Nadere informatieVoorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatie) translatie over naar rechts
Hoofdstuk opmerkingen/adviezen Leer deze grafieken precies! Zorg dat je de volgende formules ziet in de grafieken: Periode sinus, cosinus en tangens: resp,, sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) c a k a k
Nadere informatieexponentiële standaardfunctie
9.0 Voorkennis In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is
Nadere informatieIntegratietechnieken: substitutie en partiële integratie
Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Inleiding In dit pakket wordt zeer kort de definitie van onbepaalde integralen herhaald evenals het verband tussen bepaalde en onbepaalde integralen.
Nadere informatie== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u
== Hertentamen Analyse == Dinsdag 5 maart 8, 4-7u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille, O van Gaans) en je studierichting Geef niet alleen antwoorden, leg elke
Nadere informatieColleges. Woensdag 5 februari 2014, college 1. ã Stof. Tijdschema colleges Basiswiskunde 2DL00 Cursus , Semester 2 Avondonderwijs
Tijdschema colleges Basiswiskunde 2DL00 Cursus 2013-2014, Semester 2 Avondonderwijs Versie vrijdag 21 februari 2014 Na ieder avondcollege wordt een klein verslag van het college in dit document opgenomen.
Nadere informatie(2) Bepaal de absolute waarde van (1 + i) 10 + ( x x 1 = 1. (4) Bepaal lim
Tentamen Calculus I, 4 februari 009, 9:00 :00. Schrijf op elk in te leveren blad je naam, en op het eerste blad het aantal ingeleverde bladen. Alle (negen) opgaven tellen even zwaar. Het gebruik van boek(en),
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les 2: en differentiaalrekening Dr Harm van der Lek vdlek@vdleknl Natuurkunde hobbyist Programma 211 1 Goniometrische functies 2 Som formules 3 Cosinus regel
Nadere informatieCorrecties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A.
Wiskunde voor het hoger onderwijs deel A Errata 00 Noordhoff Uitgevers Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Hoofdstuk. 4 Op blz. in het Theorieboek staat halverwege de
Nadere informatiePrimitiveren. Omgekeerd differentiëren (primitieve bepalen)
Primitiveren WISNET-HBO update april 2006 Inleiding Soms moet je juist de functie bepalen waarvan de afgeleide bekend is. Dit omgekeerd differentiëren (de primitieve bepalen) heet in het Engels de antiderivative.
Nadere informatieExacte waarden bij sinus en cosinus
acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 2: Matrixen en differentiaalrekening Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 2.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatie16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Nadere informatieInfi A oefententamen ψ
Infi A oefententamen ψ Aanwijzingen Motiveer alle antwoorden. Werk rustig, netjes en duidelijk. Zorg dat je uitwerking maar één interpretatie toelaat. Alle informatie op dit opgavenblad mag bij alle (deel)opgaven
Nadere informatieOEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0.
OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE (COLLEGE NAJAAR 6).. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking (z + i) 4 = 6 in het complee vlak. a. Schrijf het getal i in poolcoördinaten. b. Bereken de rechthoekige
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieStudiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009
Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early Transcendental Functions Robert T. Smith,
Nadere informatie1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Nadere informatieTENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Nadere informatie10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:
10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld
Nadere informatierekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar
Hoofdstuk 5 - machten, eponenten en logaritmen rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar 0. voorkennis HERLEIDEN VAN MACHTEN - rekenregels voor machten Bij het vermenigvuldigen van
Nadere informatie4.1 Rekenen met wortels [1]
4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:
Nadere informatieInverse functies en limieten
Inverse functies en limieten Inverse functies We nemen aan dat A en B deelverzamelingen zijn van R. Een functie f : A B heet één-één duidig of injectief als f (x 1 ) f (x 2 ) voor alle x 1 x 2, x 1, x
Nadere informatieInhoud. Aan de student. Studiewijzer. Aan de docent. Over de auteurs. Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1
Inhoud Aan de student V Studiewijzer Aan de docent VII IX Over de auteurs XI Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1 Leereenheid 0.1 Elementaire algebra 3 0.1.1 Verzameling van getallen en het symbool 4 0.1.2 Merkwaardige
Nadere informatieParagraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide
Hoofdstuk 13 Toepassingen vd differentiaalrekening (V5 Wis A) Pagina 1 van 7 Paragraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide Differentiëren van e-machten en logaritmen f() = e f () = e f() = ln() f () =
Nadere informatieStudiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006
Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw
Nadere informatieTWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00
TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE donderdag 1 december 007, 14.00-16.00 Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatieBasisvormen (algebraische denkeenheden) van algebraische expressies/functies
Basisvormen (algeraische denkeenheden) van algeraische epressies/functies,,,..,,, g g, log( ), sin(), cos() polynoomfuncties gerokenfuncties, vermenigvuldigingsfunctie Soort functies Standaardvormen met
Nadere informatieSpeciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren
Nadere informatieDe notatie van een berekening kan ook aangeven welke bewerking eerst moet = = 16
Rekenregels De voorrangsregels van de hoofdbewerkingen geven aan wat als eerste moet worden uitgerekend. Voorrangsregels 1. Haakjes 2. Machtsverheffen en Worteltrekken. Vermenigvuldigen en Delen 4. Optellen
Nadere informatieVoorbeeldtoets. Het gebruik van een rekenmachine of een formulekaart is niet toegestaan.
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Voorbeeldtoets Lees zorgvuldig onderstaande punten door Deze toets is bedoeld om een idee te krijgen van
Nadere informatieCopyright 2017 Gertjan Laan Versie 3.1. uitgeverij czarina
G E R T J A N L A A N A N A LY S E B O E K U I T G E V E R I J C Z A R I N A Copright 07 Gertjan Laan Versie. uitgeverij czarina www.uitgeverijczarina.nl www.gertjanlaan.nl tufte-late.github.io/tufte-late
Nadere informatie7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden
7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2
Nadere informatieParagraaf 9.1 : Logaritmen
Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina van 5 Paragraaf 9. : Logaritmen Les Logaritmen Definitie Logaritmen Hoofdregel : g t = b t = g log b met domein b>0 Om logaritmen uit
Nadere informatieSamenvatting wiskunde B
Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieCalculus. Een dictaat voor het vak Continue Wiskunde. Ale Jan Homburg. Versie Voorwoord 2. 2 Limieten 3
Calculus Een dictaat voor het vak Continue Wiskunde Ale Jan Homburg Versie 29 Inhoudsopgave Voorwoord 2 2 Limieten 3 2 Definities en eigenschappen 3 22 Regel van De L Hôpital 7 23 Oefeningen 8 3 Goniometrische
Nadere informatieCalculus. Een dictaat voor het vak Continue Wiskunde. Ale Jan Homburg. Versie Voorwoord 2
Calculus Een dictaat voor het vak Continue Wiskunde Ale Jan Homburg Versie 29 Inhoudsopgave Voorwoord 2 2 Limieten 2 2 Definities en eigenschappen 3 22 Regel van De L Hôpital 7 23 Oefeningen 8 3 Goniometrische
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 23 oktober 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde B. Voorbereidende opgaven VWO. Haakjes. Machten
Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde B Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatiedenkeenheden letters vormen woorden woorden vormen zinnen zinnen vormen verhalen stenen vormen muren muren vormen huizen huizen vormen steden
letters vormen woorden woorden vormen zinnen zinnen vormen verhalen stenen vormen muren muren vormen huizen huizen vormen steden denkeenheden hoe zit dat bij algebraische epressies?,,,.. maken,5,5 maken
Nadere informatieHet oplossen van goniometrische vergelijkingen een alternatieve handleiding voor HAVO wiskunde B
Het oplossen van goniometrische vergelijkingen een alternatieve handleiding voor HAVO wiskunde B Inleiding Voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen heb je een aantal dingen nodig:. Kennis over
Nadere informatieSamenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Nadere informatie2.1 Lineaire functies [1]
2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek WbMT248 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT248 1 / 1 Partiële integratie Uit de productregel volgt: (f (x)g(x))
Nadere informatieDifferentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden
Differentiëren Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 Voorkennis Repeteer de standaardafgeleiden en de rekenregels voor differentiëren. Draai eventueel het
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op dinsdag 26 augustus 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 3: Integraalrekening en lineaire vormen Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 3.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieUitwerkingen van de opgaven uit Pi
Uitwerkingen van de opgaven uit Pi Frits Beukers January 3, 2006 Opgave 2.3. Bedoeling van deze opgave is dat we alleen een schatting geven op grond van de gevonden tabel. Er worden geen bewijzen of precieze
Nadere informatieVoorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, DL3, woensdag oktober 8, 9.. uur. Geef op het eerste vel met uitwerkingen aan welk programma (Schakelprogramma
Nadere informatie14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie.
14.0 Voorkennis De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. Evenwichtsstand = (min + max)/2 = (-100 + 300)/2 = 100 Amplitude = max evenw.
Nadere informatieWiskunde B Herhaling en technische vaardigheden klas 5
Wiskunde B Herhaling en technische vaardigheden klas Begin klas : Raaklijnen Hieronder zien we de grafiek van f() + +. De gestippelde lijn is de raaklijn in het punt (,). raaklijn: Lijn die in een bepaald
Nadere informatieUitwerkingen goniometrische functies Hst. 11 deel B3
Uitwerkingen goniometrische functies Hst. deel B. f() = sin(-) = -sin() g() = cos(-) = cos () h() = sin( + ) = cos() j() = cos( + ) = -sin() k() = sin ( + ) = -sin () l() = cos ( + ) = -cos (). Zie ook
Nadere informatieGoniometrie. Les 23 Nadruk verboden 45 Tafels 1,1. Inleiding
Goniometrie. Les 23 Nadruk verboden 45 Tafels 1,1. Inleiding Met behulp van de hogere wiskunde is het mogelijk de goniometrische verhoudingen van een willekeurige scherpe hoek met iedere gewenste nauwkeurigheid
Nadere informatieHertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur
Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele
Nadere informatieParagraaf 12.1 : Exponentiële groei
Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 1 van 12 Paragraaf 12.1 : Exponentiële groei Les 1 Exponentiële functies Definitie Exponentiële functies Algemene formule : N = b g t waarbij b =
Nadere informatie2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:
0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00
Nadere informatieEen checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...
Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een
Nadere informatieWISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE
WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE inhoud 1 Algemene grondbegrippen 1 1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 1 1.1.1 Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling
Nadere informatie3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatie