Cursusreader Analyse Plus (Capita selecta uit de Analyse)

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Cursusreader Analyse Plus (Capita selecta uit de Analyse)"

Transcriptie

1 Cursusreader Analyse Plus (Capita selecta uit de Analyse) Jaar uitgave:, herziene versie -, grondig herzien in 6-7 Versie: e versie Opleiding: WISKUNDE Auteur: Willem van Ravenstein (), Cornelia Wallien (), Marc de Graaf (6) Instituut voor Lerarenopleidingen Cluster Lerarenopleidingen VO/BVE, Hogeschool Rotterdam

2 Inhoud Beknopte aanwijzingen voor de cursus Voorkennis Cursusmateriaal Opbouw van de reader Inzet van de student ICT & software Hoofdstuk Gonio en inverse functies 5 Voorkennis Goniometrische functies 6 Samengestelde functies 8 Inverse functies 9 inverse van goniometrische functies Cyclometrische functies differentiëren Hoofdstuk Integreren van breuken 5 Voorkennis Differentiëren en primitiveren 6 Cyclometrische functies als primitieven 9 Integreren van breuken Integreren met breuksplitsen Andere typen breuken 5 Kwadratische vormen in de noemer Hoofdstuk Integreren met de substitutiemethode 6 Voorkennis Differentiëren met de Kettingregel 7 De kettingregel bij integreren van machtsfuncties 8 De kettingregel bij integreren van macht n=- De substitutiemethode Hoofdstuk Integreren met partiële integratie Partiële integratie 5 Gemengde opgaven integreren 9 Hoofdstuk 5 Oneigenlijke integralen 5 Inleiding 5 Niet begrensde integratie-intervallen 5 Discontinu op het integratie-interval 5 Gemengde opgaven 7 Hoofdstuk 6 Bijzondere krommen 8 Voorkennis Parameterkrommen 9 6 De hypotrochoide, een bijzonder voorbeeld 5 6 Werken met de GR 5 6 Lissajous-figuren 5 6 Cycloïden 5 65 Epicycloïden Poolvoorstellingen 57 Hoofdstuk 7 Numerieke wiskunde 59 7 Lineaire benadering 6

3 7 Halveringsmethode 6 7 De methode van Newton-Raphson 6 7 De methode van Newton-Raphson met de GR Regula falsi 66 Hoofdstuk 8 Numerieke methoden & fractals 69 8 Programmeren met je GR 7 8 Programmeren met Ecel 7 8 Fractals 75 8 Fractalpracticum Prentententoonstelling (van Escher) 79 Bronvermelding 8

4 Beknopte aanwijzingen voor de cursus Voorkennis Het is nodig dat je de wiskunde B (HAVO of VWO) en de analyse van het eerste studiejaar redelijk beheerst Met name wordt er een beroep gedaan op de kennis van de goniometrische formules en van differentiëren Cursusmateriaal De leerstof van de cursus staat in zeven hoofdstukken, digitaal beschikbaar via N@tschool Ook de bijbehorende uitwerkingen zijn daar te vinden Evenals een cursushandleiding, een doorwerkschema en een proeftoets Opbouw van de reader Hoofdstuk Gonio en inverse functies Hoofdstuk Integreren van breuken Hoofdstuk Hoofdstuk Hoofdstuk 5 Hoofdstuk 6 Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 8 Integreren met de substitutiemethode Integreren met partiële integratie Oneigenlijke integralen Bijzondere krommen Numerieke wiskunde Numerieke methoden & fractals De eerste vier hoofdstukken beginnen met een paragraaf Voorkennis De paragrafen binnen de hoofdstukken hebben de volgende structuur: o Elke paragraaf begint met één of twee oriënterende opdrachten o Dan nieuwe wiskunde kennis in een theorievlak o Oefening van het zojuist geleerde Betekenis van de kleurvlakken: o Geel: voorkennis o Mintgroen: is nieuwe wiskundige kennis o Wit: voorbeelden en illustraties Inzet van de student Er zijn een onderwijsblok lang werkcolleges ingeroosterd Zorg dat je voorkennis op peil is voordat je naar de les komt Maak dus die paragraaf VOORAF! Tijdens de les is er gelegenheid om aan de opgaven te werken Het is de bedoeling dat je naast de werkcolleges tijd investeert in het maken van de opgaven en het leren van de theorie Doordat de opgaven zijn uitgesplitst in deelvragen en door de uitgewerkte voorbeelden die in de hoofdstukken staan, verwachten we dat de student in staat is om grote delen zelfstandig door te werken Ga verstandig om met de uitwerkingen Als je niet weet hoe je een opgave moet aanpakken, bestudeer dan de voorbeelden uit de paragraaf, maar kijk niet in de uitwerkingen ICT & software Tijdens deze cursus gaan zullen we gebruik maken van VU-Grafiek, Ecel en Maple Deze software is te vinden op de studieomgeving van het hogeschoolnetwerk Vu-Grafiek staat ook in de werkruimte op N@tschool

5 Analyse Plus reader Hoofdstuk Hoofdstuk Gonio en inverse functies sinus-cosinus sofa Inhoud Hoofdstuk Gonio en inverse functies 5 Voorkennis Goniometrische functies 6 Samengestelde functies 8 Inverse functies 9 inverse van goniometrische functies Cyclometrische functies differentiëren Hogeschool Rotterdam 5 Lerarenopleiding Wiskunde

6 Analyse Plus reader Hoofdstuk Voorkennis Goniometrische functies Opgave V Hiernaast zie je in een schema van de bijzondere hoeken,, de eacte waarden van sinus, cosinus en 6 tangens a Teken een gelijkbenige rechthoekige driehoek en geef een uitleg voor de waarde van sin, cos en tan b Teken een gelijkzijdige driehoek ABC met de hoogtelijn uit C en geef een uitleg voor de waarde van sin, cos en tan c Bewijs in een willekeurige rechthoekige driehoek de eigenschappen: sin sin cos(9 ), sin cos en tan cos Opgave V Hiernaast zie je de grafiek van de functie f met f ( ) sin op het interval 5 5 a Geef de eacte coördinaten van de punten P, Q, R en S b Op de grafiek liggen drie punten met y-coördinaat Bereken eact de -coördinaat van die punten c De grafiek van functie g ontstaat uit de grafiek van f door de grafiek van f twee eenheden naar rechts te verschuiven Geef het functievoorschrift van g d Welke verschuiving moet je op de grafiek van f toepassen om de grafiek van de functie h( ) sin te krijgen? Het algemene functievoorschrift van een sinusoïde is f ( ) d asin b( c) Hierin geldt: De evenwichtsstand is de horizontale lijn y d De amplitude is a Het verband tussen b en de periode is op drie manieren te schrijven: π π b periode π of b of periode periode b 6 π π π π sin cos Het beginpunt van een golf ligt bij c Een beginpunt van een sinusgolf is het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat tan - Opgave V Hiernaast staat de grafiek van f ( ) sin ( ) a Leg uit waarom R het beginpunt is van deze sinusoïde b Geef de eacte coördinaten van de punten P, Q en S c Schrijf in de afbeelding de volgende woorden erbij: amplitude, evenwichtsstand, maimum Hogeschool Rotterdam 6 Lerarenopleiding Wiskunde

7 Analyse Plus reader Hoofdstuk Opgave V Gegeven is de functie f ( t) cost met t [, ] a Schets de grafiek van f Geef het bereik van f b Geef de periode en de amplitude van f c De grafiek van de functie g ontstaat door de grafiek van f drie eenheden naar links te verschuiven en vervolgens één eenheid naar beneden Geef een functievoorschrift van g d Gegeven is de functie h met h( t) cosbt De periode van h is Bereken b Opgave V5 Hiernaast zie je de grafiek van een functie f ( ) d asin b( c) a Geef de evenwichtsstand, de amplitude en de periode b Op de grafiek ligt het punt (, ) Bereken c c Bereken de waarden van a, b, c en d en geef een functievoorschrift voor f d Geef bij de grafiek ook een voorschrift in de vorm g( ) d acos b( c) Opgave V6 Differentieer de volgende functies en vermeld welke regel je hebt gebruikt: a f ( t) sin t b g( t) cos( t ) c h( t) cosπt d k() t πsin( t) e l( t) cos t f p( t) t cost Voor de afgeleiden van de sinus- en cosinusfunctie geldt: Als f ( t) sint, dan is f ( t) cost Als g( t) cost, dan is g( t) sint Als h( t) tan t, dan is h() t cos t Opgave V7 Bereken de volgende integralen a sin d c b ( cos ) d d sin d cos d Hogeschool Rotterdam 7 Lerarenopleiding Wiskunde

8 Analyse Plus reader Hoofdstuk Samengestelde functies Veel functies kun je opvatten als de samenstelling van eenvoudiger functies De functie is te schrijven als h( ) g( f ( )) Voorbeeld h( ) log( ) log() log( ) dan is f ( ) en g( ) log Opgave De volgende functies zijn te schrijven als h( ) g( f ( )) Geef mogelijke functievoorschriften voor f en g a h( ) ( ) b h( ) ( 6) c h( ) sin( ) d e h ( ) (meer mogelijkheden) h ( ) Opgave Geef het functievoorschrift van f als: a b c () f ( ) () f ( ) π cos() f ( ) Opgave Gegeven zijn de functies f ( ) en g( ) a Geef het functievoorschrift van h( ) g( f ( )) b Geef het functievoorschrift van k( ) f ( g( )) Opgave Gegeven is de functie f ( ) a Voor welke functie h( ) a b geldt h( f ( ))? b Onderzoek of voor deze functie h ook geldt dat f ( h( )) c Plot in één figuur de grafieken van f en h Wat valt je op? Hogeschool Rotterdam 8 Lerarenopleiding Wiskunde

9 Analyse Plus reader Hoofdstuk Inverse functies Als voor twee functies f en g geldt: f ( g( )) en g( f ( )) voor alle waarden van uit het domein dan zijn f en g elkaars inverse functie inv Notatie: f of f De grafiek van f is het spiegelbeeld in de lijn y van de grafiek van f Het domein van van f en het bereik van f f is het domein van f Het bekendste voorbeeld is f ( ) ln en Voorbeeld is het bereik f ( ) e log() y y y log( ) log( ) log( ) y De inverse functie van y f ( ) log( ) is f y ( ) Opgave 5 Gegeven de functie f( ) a Welke grafiek in de afbeelding hiernaast is de grafiek van f? b Leg uit waarom de andere hyperbool de grafiek van f is c Geef een functievoorschrift voor f Opgave 6 Gegeven is de functie g ( ) 6 a Voor welke functie k geldt k( g( ))? b Onderzoek voor deze functie k ook geldt dat g( k( )) c Plot in één figuur de grafieken van g en k Teken ook de lijn y= Wat kun je nu controleren? Hogeschool Rotterdam 9 Lerarenopleiding Wiskunde

10 Analyse Plus reader Hoofdstuk Voorbeeld Bereken de inverse functie van f ( ) log( 6) Voorbeeld Bereken de inverse functie van g ( ) Oplossing De functie f voldoet aan de volgende samenstelling: 6 log 6 log( 6) Voor het berekenen van de inverse functie kun je het volgende schema gebruiken: Vul dit schema in door stap voor stap terug te werken en elke bewerking om te keren Dit geeft: : 6 6, dus f ( ) Oplossing Als g de inverse functie y g( ) dat g ( y) g Dus moet gelden: voor y Door y uit te drukken in vind je y y y dus g ( ) heeft dan volgt uit y g ( ) g ( ) : Opgave 7 Bereken van de volgende functies een voorschrift van de inverse functie Kies zelf tussen de manier van werken in voorbeeld en die in voorbeeld a f( ) 6 b g ( ) e c h ( ) d k( ) ln( ) e f l ( ) ln(e ) e m ( ) e Opgave 8 Gegeven is de functie f ( ) met domein a Verklaar met behulp van de grafiek waarom f geen inverse functie heeft b De functie g( ) met domein [, heeft wél een inverse functie Verklaar dit en geef het functievoorschrift van de inverse functie c Verklaar waarom h( ) met domein, ] een inverse heeft en geef het voorschrift van deze inverse Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

11 Analyse Plus reader Hoofdstuk Een functie f heeft een inverse functie als er bij elke waarde van het bereik precies één waarde van het domein hoort Voor de grafiek van f betekent dit dat deze alleen stijgend of alleen dalend op het domein mag zijn Als een functie zowel stijgt als daalt op het domein is er geen inverse functie Door het domein te beperken zodat iedere functiewaarde hoogstens één keer voorkomt, is er wel een inverse functie bij dat deel van het domein Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

12 Analyse Plus reader Hoofdstuk inverse van goniometrische functies De meeste rekenmachines bezitten de functies sin, cos en tan We gaan deze functies verder onderzoeken Opgave 9 Gegeven is de functie f ( ) sin en k a Neem k Hoeveel oplossingen heeft sin k als? b En als k? c De vergelijking sin k met k kan meerdere oplossingen hebben Waarom heeft sin k met k precies één oplossing als? Opgave a Geef twee intervallen waarop alle vergelijkingen sin k met k precies één oplossing hebben b Geef twee intervallen waarop alle vergelijkingen cos k met k precies één oplossing hebben c Geef twee intervallen waarop alle vergelijkingen tan k ( k ) precies één oplossing hebben Door geschikte domeinen te kiezen kunnen de volgende inverse functies worden gedefinieerd: de inverse functie van f ( ) sin met D [, ] is f f ( ) sin arcsin met domein [, ] de inverse functie van g( ) cos met Dg [, ] is domein [, ] g ( ) cos arccos met de inverse functie van h( ) tan met D [, ] is h domein h ( ) tan arctan met De verzamelnaam voor de inverse functies van de goniometrische functies is cyclometrische functies Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

13 Analyse Plus reader Hoofdstuk Voorbeeld Gebruik de tabel en bereken arcsin en arccos Oplossing Uit arcsin y volgt sin y met y Omdat sin is arcsin 6 6 Uit arccos y volgt cos y met y Omdat cos is arccos π π π π 6 sin cos tan - Opgave Leg uit dat arctan Opgave Bereken eact de volgende functiewaarden Maak gebruik van de symmetrie en de periode van de goniometrische functies en van de tabel bij het voorbeeld a arcsin e arccos i arctan b arccos f arccos( ) j arccos( ) arccos g arccos( ) k arcsin( ) c d arcsin( ) h arccos( ) l arctan( ) Opgave Kies een passend domein bij elk van de volgende functies en geef de bijbehorende inverse functie a f ( ) sin b g( ) cos c h( ) tan d f ( ) arccos arcsin e h ( ) e f l( ) ln(arctan ) Opgave Geef het eacte domein en het bereik van de volgende functies: a f ( ) arcsin b g( ) arccos,5 c h( ) arctan d k( ) arcsin( ) e l( ) arccos( ) f m ( ) arctan Opgave 5 Teken, zonder eerst te plotten, de grafieken van de volgende functies Controleer het resultaat met een plot a f ( ) tan(arctan ) b g( ) arcsin(sin ) Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

14 Analyse Plus reader Hoofdstuk Cyclometrische functies differentiëren In deze paragraaf kijken we naar het differentiëren van de inversen van de goniometrische functies Voorbeeld: Wat is de afgeleide van f ( ) arcsin? Uit y arcsin volgt sin y met π y π dy Links en rechts differentiëren geeft cos y (kettingregel!) zodat d y d d cos y d arcsin Uit cos ysin y en sin y volgt cos y en dus vind je d cos y Ofwel f ( ) arcsin f ( ) Opgave 6 Toon aan op dezelfde manier als in het voorbeeld : a g( ) arccos g '( ) b h( ) arctan h'( ) Voorbeeld Bereken de afgeleide functies van Als f ( ) arcsin dan is f( ) f ( ) arcsin, Als g( ) arccos dan is g ( ) arccos en g( ) h( ) arctan Oplossing Als h( ) arctan dan is h( ) f ( ) arcsin Opgave 7 g( ) Bereken de afgeleide van de volgende functies a f ( ) arctan b g( ) arcsin h( ) c h( ) arcsin ( ) d k( ) arcsin(cos ) ( ) Opgave 8 a Bereken de afgeleide van f ( ) arccos arccos( ) b Welke conclusie kun je trekken uit het resultaat van opdracht a? c Geef een formule voor arccos arccos( ) en vermeld voor welke waarden van deze formule geldt d Bewijs ook dat arcsin arccos e Voor welke waarden van geldt de formule van opdracht d? f Bewijs dat arctan arctan k en bereken de waarde van de constante k Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

15 Analyse Plus reader Hoofdstuk Hoofdstuk Integreren van breuken Inhoud Hoofdstuk Integreren van breuken 5 Voorkennis Differentiëren en primitiveren 6 Cyclometrische functies als primitieven 9 Integreren van breuken Integreren met breuksplitsen Andere typen breuken 5 Kwadratische vormen in de noemer Hogeschool Rotterdam 5 Lerarenopleiding Wiskunde

16 Analyse Plus reader Hoofdstuk Voorkennis Differentiëren en primitiveren Bij het differentiëren gebruik je standaardafgeleiden (zie de bovenste lijst) en pas je rekenregels (tabel eronder) toe Opgave V Geef de afgeleide functie van: a f ( ) sin b k( ) cos c l ( ) e d ln m ( ) Opgave V Differentieer: a f ( ) sin b k( ) c l( ) ln d e m ( ) e Opgave V Gegeven is de functie f ( ) standaardfunctie afgeleide f ( ) c f( ) f ( ) a Bereken de afgeleide functie van f b Bereken eact de etreme waarde(n) van f c Bereken eact de helling van de grafiek van f in het punt met -coördinaat d Maak de opdrachten a, b en c ook voor de functie g ( ) Opgave V In opgave V, V en V heb je ongemerkt de constante-maal-regel, somregel, productregel, quotiëntregel en kettingregel gebruikt Geef aan waar je welke regel gebruikt n f ( ) n f( ) e f( ) e n f ( ) ln f( ) f ( ) sin f ( ) cos f ( ) cos f ( ) sin f ( ) a, (a > ) f ( ) a ln a a f ( ) log (a >, a ) f( ) ln a functie afgeleide naam van regel f ( ) g( ) f '( ) g '( ) somregel c f ( ) c f '( ) constante maal f f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) productregel f( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) quotiëntregel g ( ) ( g ( )) f ( g( )) u y f ( g( )) g( ) of f ( ) y u of d f d d f g d dg d d y d d y u d du d kettingregel Hogeschool Rotterdam 6 Lerarenopleiding Wiskunde

17 Analyse Plus reader Hoofdstuk Bij het primitiveren van een functie f ga je op zoek naar een functie F waarvan de afgeleide f is Als f continu is op interval [ ab, ] dan is b b f ( )d F ( ) F ( b ) F ( a ) a a waarbij F een primitieve functie is van f Ofwel: F f Voorbeeld: Bereken eact Oplossing: Een primitieve functie is F( ) Dus d F( ), want 6 6 d Opgave V5 Primitiveer de volgende functies a f ( ) b g ( ) c h( ) sin cos d e f k ( ) e l( ) m ( ) Opgave V6 Bereken eact: a b π 5 d c sin( ) d d standaardfunctie primitieve n n f ( ), (n ) F( ) c n f( ) e F( ) e c f( ) F( ) ln c f ( ) sin F( ) cos c f ( ) cos F( ) sin c f ( ) a, (a > ) F( ) a c ln a f ( ) ln F( ) ln c a f ( ) log (a >, a ) F( ) ( ln ) c ln a Opgave V7 Gegeven is de functie f ( ) 8 a Bereken eact de nulpunten van f b De grafiek van f en de -as sluiten de twee gekleurde gebieden in Leg uit dat je de totale oppervlakte van deze gebieden niet kunt berekenen met 6 ( 8 ) d c Bereken eact de totale oppervlakte van de gekleurde gebieden Hogeschool Rotterdam 7 Lerarenopleiding Wiskunde

18 Analyse Plus reader Hoofdstuk Opgave V8 a Bereken met de quotiëntregel de afgeleide van de functie f ( ) tan b Vereenvoudig je antwoord, schrijf het daarna nog op diverse manieren sin tan cos Opgave V9 In de lijst met primitieven staat ook de primitieve van de natuurlijke logaritme: f ( ) ln F( ) ln C Controleer door te differentiëren dat geldt: F( ) f ( ) Hogeschool Rotterdam 8 Lerarenopleiding Wiskunde

19 Analyse Plus reader Hoofdstuk Cyclometrische functies als primitieven Nu we de afgeleide van arcsin, arccos en arctan kennen, kunnen we deze functies gebruiken bij het integreren Voorbeeld Uitwerking Gegeven f( ) ( ) Bereken de oppervlakte van het gebied dat is ingesloten door de grafiek van f, de -as, de Dus de oppervlakte is d y-as en de lijn = d d arctan( ) arctan() arctan(),9,66 Zodat de gevraagde oppervlakte is d Opgave Herschrijf eerst de functie en bereken dan~zo mogelijk eact: a,5 d b d 6 Opgave a Toon door te differentiëren aan dat a b Geef een primitieve voor g ( ) a d arcsin C a Opgave Bereken: a d b 9 d Opgave a Toon door te differentiëren aan dat de functie F( ) arcsin een primitieve is van f ( ) arcsin b Bereken de oppervlakte van één van de gebieden ingesloten door de grafiek van f en de lijn door de beide randpunten Opgave 5 a Vul het functievoorschrift van G( ) arccos aan zodat G een primitieve is van g( ) arccos b Bereken de oppervlakte van het gebied onder de grafiek van g op het interval [, ] Hogeschool Rotterdam 9 Lerarenopleiding Wiskunde

20 Analyse Plus reader Hoofdstuk Integreren van breuken Voorbeeld 6 Geef een primitieve functie van f( ) Oplossing 6 6 Herschrijf de functie f ( ), dit is een som van standaardfuncties 6 Dan is een primitieve functie F( ) C Opgave 6 Herschrijf de functie en geef een primitieve 5 a f( ) b f( ) c Opgave 7 Gegeven zijn de functies f( ), g ( ) en h ( ) a Geef een primitieve van f en van g b Leg uit dat h( ) f ( ) g( ) c Geef een primitieve van h f( ) 5 u( ) d ln u ( ) C u ( ) Opgave 8 Gegeven is de functie f( ) 7 a De functie is te schrijven als f( ) 7 7 Licht toe dat deze splitsing correct is, maar ongeschikt om f te primitiveren b De functie is ook te schrijven als f( ) 7 Licht toe dat deze splitsing correct is en wel geschikt om f te primitiveren Voorbeeld Geef een primitieve functie van f( ) 5 Oplossing Herschrijf de functie (zie staartdeling) f ( ), dit is een som van standaardfuncties Dan is een primitieve functie F( ) ln C / 5 \ 5 Opgave 9 Herschrijf de functie en geef een primitieve 8 8 a f( ) b f( ) c 7 f( ) Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

21 Analyse Plus reader Hoofdstuk Integreren met breuksplitsen Hoe gaat eigenlijk het optellen met breuken? 8 9 a c ad bc ad bc of met variabelen b d bd bd bd Het omgekeerde kan ook (bron wwwwisfaqnl): 7 7, wat moet er op de puntjes staan? ( )( ) Na enig puzzelen vind je Hoe kun je die waarden systematisch vinden? 7 A B A( ) B( ) A( ) B( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Dus A( ) B( ) 7 ( A B ) ( A B 7), waar voor alle, dus A B A B A B 7 A B 7 7B B A Deze methode heet breuksplitsen Voorbeeld 7 Geef een primitieve functie van f( ) Oplossing Herschrijf de functie f( ) met de methode van breuksplitsen Dan is een primitieve functie F( ) ln ln C ln C ( ) Opgave Herschrijf de functie en geef een primitieve a f( ) b f( ) c f( ) 8 Opgave Kies een geschikte methode om de functie te herschrijven en geef een primitieve 57 8 a f( ) c f( ) e f( ) 85 7 b f( ) d f( ) f f( ) Opgave Bereken eact a d b 6 7 d c Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde d

22 Analyse Plus reader Hoofdstuk Andere typen breuken Opgave Gegeven zijn de functies f( ), g ( ) en h ( ) 5 a Plot de functies en schets de grafieken b Geef opmerkelijke verschillen tussen de functies (nulpunten, ma/min, asymptoten) AANPAK: Primitiveren van functies van het type f( ) a b c Als de noemer A B twee nulpunten, heeft, dan herschrijf je f als f( ) a( )( ) a( ) (zie vorige paragraaf) één nulpunt heeft, dan herschrijf je f als f( ) a( ) Dan is geen nulpunten heeft, dan herschrijf je f als b a Dan is F( ) arctan( ) C a f( ) a b ( ) a F( ) C a( ) Voorbeeld Geef een primitieve functie van f( ), g ( ) en h ( ) 5 Oplossing f ( ) F( ) ln ln C ln C g ( ) ( ) ( ) F C h( ) F( ) arctan( ) C 5 ( ) Opgave Geef een primitieve functie van f( ) 6 8, g ( ) 69 en h ( ) 6 Opgave 5 Gegeven is de functie f( ) 87 a Herschrijf de functie, zoals in het voorbeeld hierboven b Toon aan dat de grafiek van f symmetrisch is ten opzichte van de lijn, door h en h in te vullen c Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van f, de -as en de lijnen en 5 Bereken eact de oppervlakte van V d Het vlakdeel W wordt ingesloten door de grafiek van f, de -as en de lijnen en p met p, zodat de oppervlakte van W is Bereken eact de waarde van p Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

23 Analyse Plus reader Hoofdstuk 6 Voorbeeld: a Geef een primitieve functie van f( ) 9 b Bereken d Oplossing a Eerst teller en noemer delen door 6 6 f ( ) F( ) d d arctan( ) C 9 9 ( ) ( ) ( ) b Eerst teller en noemer delen door d d d d( ) arcsin ( ) ( ) arcsin( ) arcsin( ) 6 6 Opgave 6 Geef een primitieve functie a f( ) b g ( ) 6 Opgave 7 Bereken eact en schrijf alle tussenstappen op, zoals in het voorbeeld a b d c d d d 65 9 d Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

24 Analyse Plus reader Hoofdstuk 5 Kwadratische vormen in de noemer 5 We bekijken de functie f ( ) Als we een primitieve van f willen vinden, zullen we 6 9 A B weer moeten terugvallen op breuksplitsing Er ontstaat dan de volgende vorm: f ( ) Hier zijn de noemers al gelijknamig, zodat het niet nodig is om te werken naar de kwadratische noemer In dat geval krijgen we niet de originele vorm van f Je kunt beide breuken ook vermenigvuldigen met + Maar de vergelijking A B AB 7 blijkt niet oplosbaar c d A B Als f ( ) dan kun je f splitsen in de vorm f ( ) ( a b) ( a b) a b C De primitieve van f heeft dan de vorm F( ) C ln a b C a b Als we kijken naar de functie uit het voorbeeld, dan krijgen we: A B A B B f ( ) ( ) ( ) Hieruit volgt dat B 5, en A5, dus A f ( ) d d d 5ln C ( ) ( ) Discriminant < We hebben al eerder gezien dat er een kwadratische vorm in de noemer stond waarbij de discriminant kleiner was dan nul Toen bleek dat we die vorm toevallig konden omschrijven naar A, zodat de primitieve een arctan werd Dit leek misschien toeval omdat de in de noemer stond, maar je kunt dit altijd afdwingen g ( ) 7 ( ) ( ) ( ) G ( ) arctan( ) C Voorbeeld: Primitiveer k ( ) ( )( ) Merk op dat de noemer niet verder ontbonden kan worden Omdat we nu bij breuksplitsing een kwadratische vorm over houden, gebruiken we voor de teller een lineaire vorm (één graad lager) A B C A A A B B C C Dus k ( ) ( )( ) A B Het hierbij horend stelsel is dan A B C A C Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

25 Analyse Plus reader Hoofdstuk Hogeschool Rotterdam 5 Lerarenopleiding Wiskunde Trek de derde regel van de tweede af, dan geldt 5 B A Tel hier de eerste regel bij op en dan vindt je en B A Invullen in regel geeft C Dus ) ( k Dan is d d d k 7 5 ln ln ) ( Voor de integraal die over blijft hebben we nog wat werk te doen voordat we een primitieve kunnen vinden We kunnen kijken of we hier een ln-functie van kunnen maken Met de kettingregel zou de teller dan + worden Met een factor voor de integraal kunnen we er dan 5 van maken, maar die 7 krijgen we niet helemaal weg Voor dat stuk moet een arctan geforceerd worden C d d d d d d ) arctan( ln ) ( ln ) ( Dus 5 ) arctan( ln ln ) ( C d k Opgave 8 Bepaal de primitieve functie van: a ( ) f d ) ( j b ) ( g e ) ( ) ( 7 ) ( k c ) ( ) ( h f ) ( l

26 Analyse Plus reader Hoofdstuk Hoofdstuk Integreren met de substitutiemethode Vervangen (=substitutie) Inhoud Hoofdstuk Integreren met de substitutiemethode 6 Voorkennis Differentiëren met de Kettingregel 7 De kettingregel bij integreren van machtsfuncties 8 De kettingregel bij integreren van macht n=- De substitutiemethode Hogeschool Rotterdam 6 Lerarenopleiding Wiskunde

27 Analyse Plus reader Hoofdstuk Voorkennis Differentiëren met de Kettingregel De functie h ( ) kun je opvatten als een samenstelling van f ( ) en g ( ) Hierbij worden de functiewaarden van f in de functie g ingevuld Je noteert dit als Een functie die een samenstelling is van meerdere functies heet een kettingfunctie, waarvan de oorspronkelijke functies de schakels zijn Je kunt de samenstelling ook weergeven met de formules u en y u Opgave V Geef het functievoorschrift van h als: a h( ) sin( ) c b h( ) ( ) d y h ( ) log( ) h ( ) Je vindt de afgeleide functie van een kettingfunctie door de afgeleiden van de samenstellende functies met elkaar te vermenigvuldigen Deze regel heet de kettingregel: Als h( ) g( f ( )) dan geldt h( ) g( f ( )) f ( ) Voorbeeld Geef de afgeleide functie van h( ) 6 Voorbeeld 8 Bereken de afgeleide van y ( ) Oplossing (Analyse jaar ) De functie f voldoet aan de volgende samenstelling: 6 6 h( ) g( f ( )) met f ( ) 6 u en g( u) u g( u) en f( ) u h( ) g( f ( )) f ( ), dus h( ) 6 6 Oplossing (notatie Analyse Plus) De formule is op te vatten als een samenstelling van de formules 8 u en y u du d en dy 7 8u du zodat de afgeleide wordt: dy dy du d du d u ( ) 8( ) ( ) Opgave V Schrijf de oplossing van voorbeeld met d y d y d u d du d Opgave V Differentieer de volgende functies, geef eerst aan welke functie u is, welke y en gebruik dy dy du d du d a b h( ) ( ) h ( ) ( ) c y d y sin Hogeschool Rotterdam 7 Lerarenopleiding Wiskunde

28 Analyse Plus reader Hoofdstuk De kettingregel bij integreren van machtsfuncties Opgave Differentieer de volgende functies: 6 a f ( ) ( 7) b c f 5 ( ) cos ( ) f ( ) 5 Opgave Gebruik de uitkomsten van de vorige opgaven om de primitieven te vinden van: a g ( ) 5 5 b g( ) ( 7) c g ( ) sin( ) cos ( ) Bij het differentiëren van samengestelde functies speelt de kettingregel een belangrijke rol Bij het primitiveren wordt deze regel in omgekeerde richting gebruikt ln Voorbeeld: Geef de primitieve van f( ) Oplossing: Herschrijf f ( ) ln du en schrijf u ln du d d ln d u du u C f ( ) ln is Dus een primitieve van F( ) ln C n Als u u( ) een differentieerbare functie is en f ( u) u, n is continu, dan geldt dat ( ( )) ( )d ( )d n d n f u u f u u u u nu C, met d u u( ) d u u( )d d n f ( ) u( ) u ( ) is F( ) u( ) n C Dus een primitieve van n Opgave Primitiveer de volgende functies door f te herschrijven en een geschikte functie u te gebruiken 5 a f ( ) ( )( ) c f ( ) sin ( ) cos( ) b 6 ln f( ) d Voorbeeld: Bereken d ( ) f 8 ( ) ( 7) ( ) Oplossing: Schrijf u, dan is d u du d d geeft u en geeft u 8, zodat de integraal wordt: u u du u u u u u d Opgave Bereken de volgende integralen door een geschikte functie u te gebruiken Hogeschool Rotterdam 8 Lerarenopleiding Wiskunde

29 Analyse Plus reader Hoofdstuk a b c d d 5 d e (arctan ) d f tan cos d (arcsin ) d d Hogeschool Rotterdam 9 Lerarenopleiding Wiskunde

30 Analyse Plus reader Hoofdstuk De kettingregel bij integreren van macht n=- Opgave 5 Differentieer de volgende functies: a f ( ) ln( ) b f ( ) ln(5 ) Opgave 6 Gebruik de uitkomsten van de vorige opgaven om de primitieven te vinden van: 5 a g ( ) b g ( ) 5 Voorbeeld: Geef de primitieve van f( ) 7 du Oplossing: Schrijf u 7 d u ( )d d d ( )d du ln u C 7 7 u Dus een primitieve van f( ) 7 is F( ) ln 7 C Als u u( ) een differentieerbare functie is en f( u), is continu op zijn domein, dan geldt dat u u( ) d du ln u C u( ), met d u u( ) d u u( )d u d u( ) Dus een primitieve van f( ) is F( ) ln u( ) C u ( ) Opgave 7 Primitiveer de volgende functies door een geschikte functie u te gebruiken e e a f( ) c f( ) 5 e +e b f( ) d f( ) 7 ln Opgave 8 Wat is nu eigenlijk de primitieve functie van f ( ) tan? Die vraag kun je nu oplossen! a Herschrijf het functievoorschrift van f zodat de tangens er niet in voorkomt du b Schrijf u cos d c Laat zien dat de integraal tan d du F u C op te lossen is tot ( ) d Elimineer u en schrijf de primitieve als een functie van sin tan cos Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

31 Analyse Plus reader Hoofdstuk Opgave 9 Om de primitieve van f( ) te vinden volg je de volgende stappen sin cos a Schrijf u tan Bereken d u d b Ga na dat d du sin cos Geef de tussenliggende stappen u c Geef nu de primitieve van f( ) Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

32 Analyse Plus reader Hoofdstuk De substitutiemethode Bij het berekenen van een integraal is het niet altijd mogelijk om direct de primitieve van een functie te vinden Eén van de manieren om toch de integraal te berekenen is de substitutiemethode Hierbij speelt de kettingregel (weer) een sleutelrol Als u u( ) een differentieerbare functie met een bereik op interval A en f is continu op A, dan, met d ( )d geldt dat f ( g( )) g ( )d f ( u)du Als g ( ) continu is op interval [ ab,, ] dan geldt dat Voorbeeld: Bereken I cos d Oplossing: Gebruik sin cos cos sin om De integraal wordt dan I ( sin )cos d du u sin cos du cos d d u g b gb ( ) f ( g( )) g ( )d f ( u)du a Schrijf Invullen levert I u u u u g( a) cos uit de integraal weg te werken 5 ( )d Opgave Primitiveer de volgende functies door een geschikte functie u te gebruiken a f ( ) sin b f ( ) cos 5 Opgave Gegeven is de integraal a Herleid de integraal tot 6 cos sin d Bereken de integraal met de volgende stappen 6 cos sin cos d Hoe doe je dat? b Werk cos uit de integraal weg Schrijf het resultaat op c Schrijf u sin, dan is d u cos du cos d d Laat zien dat nu de integraal te schrijven is als: 6 ( ) d u u u d Bereken ook de nieuwe grenzen: bij = hoort u sin = bij hoort u sin = Laat zien dat de uitkomst van de integraal is 6 6 e Geef de primitieve functie van f ( ) cos sin Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

33 Analyse Plus reader Hoofdstuk Opgave Gegeven is de integraal d a Schrijf sin t, dan is d d dt b Laat zien dat de integraal geschreven kan worden als cos t cos t d t cos t dt c Bereken ook de nieuwe grenzen: bij = hoort sin tdus t = bij hoort t d Laat met primitiveren zien dat de uitkomst van de integraal 8 is e Je had dit antwoord ook met meetkunde kunnen vinden Hoe? cos cos sin t t t cos t sin t cos t cos t cos cos t Opgave Bereken de volgende integralen, vermeld steeds welke substitutie je gebruikt a b c d 6 sin cos d tan d cos sin d cos tan d cos Opgave ln( k) Van de familie van functies fk ( ) met k is voor een aantal waarden van k de grafiek getekend Ook zie je kromme y a Bereken eact de coördinaten van de top van de grafiek van f b Het lijkt dat voor elke waarde van k de top van de grafiek van f k op de kromme y ligt Toon aan dat dit inderdaad het geval is c Bereken eact de -coördinaat van het snijpunt van de grafiek van f met de -as d Toon aan dat de functies Fk ( ),5(ln( k)) c primitieven zijn van f k Doe dit op twee manieren: met differentiëren en met primitiveren Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

34 Analyse Plus reader Hoofdstuk 5 Hoofdstuk Integreren met partiële integratie Inhoud Hoofdstuk Integreren met partiële integratie Partiële integratie 5 Gemengde opgaven integreren 9 Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

35 Analyse Plus reader Hoofdstuk 5 Partiële integratie Iedere regel voor differentiëren heeft een corresponderende regel voor integreren Bij de productregel van het differentiëren hoort de partiële integratieregel voor het integreren Opgave Differentieer de functie f ( ) sin productregel h( ) f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) Uit de productregel van differentiëren volgt: f ( ) g '( ) f '( ) g( ) d h( ) f ( ) g '( )d g( ) f '( )d f ( ) g( ) f ( ) g '( )d f ( ) g ( ) g ( ) f '( )d () Stel nu u f ( ) dan is d u f ( ) d u f ( )d en v g( ) dan is d dv g( ) dv g( )d d Dan ontstaat na substitutie: u dv uv v du () Het gebruik van de productregel bij integreren wordt partieel integreren genoemd Voorbeeld: Bereken d cos Oplossing: Schrijf de integraal als d Neem u cos dv En kies dv d v tan cos d cos Neem nu formule () over en vul daarna alles op de goede plaats in: u dv u v v du d tan tan d cos, dan is d u du d d ( tan dhebben we eerder opgelost) d tan ln cos ( ) (ln ln ) ln( ) cos Bij het toepassen van partiële integratie is het over het algemeen handig om voor u de functie te kiezen die eenvoudiger wordt als we deze differentiëren Opgave Om cos d te berekenen voer je de volgende stappen uit: a Kies u dan is d u, dus d d d u b Neem dv cos d Welke functie is v als d v cos d? Hogeschool Rotterdam 5 Lerarenopleiding Wiskunde

36 Analyse Plus reader Hoofdstuk 5 c Neem nu formule () van partieel integreren en vul links en rechts voor u en v de juiste functies is o Laat zien dat je na herleiden krijgt: cos d sin cos d Bereken de uitkomst Opgave Bereken de volgende integralen: a b e d sin d Soms geeft partieel integreren een oplossing die je anders niet zo makkelijk had kunnen vinden Voorbeeld: Geef de primitieve functie van f ( ) arcsin Oplossing: Schrijf de integraal als arcsin d du dv Neem u arcsin du d en kies dv d v d d Neem nu formule () over en vul daarna alles op de goede plaats in: u dv u v v du arcsin d arcsin d arcsin d arcsin C ( d hebben we eerder opgelost) Opgave Bereken de primitieve functie a f ( ) arccos b f ( ) arctan Opgave 5 Om e ln d te berekenen voer je de volgende stappen uit: a Kies u ln dan is d u, dus d d d u b Neem dv d Welke functie is v als d v d? c Neem nu formule () van partieel integreren en vul links en rechts voor u en v de juiste functies is e Laat zien dat je na herleiden krijgt: ln d ln d Welke functie is nu een primitieve van h( ) ln? e e Bereken de uitkomst Hogeschool Rotterdam 6 Lerarenopleiding Wiskunde

37 Analyse Plus reader Hoofdstuk 5 Opgave 6 Bereken de volgende integraal: e ln d Opgave 7 Bereken de volgende integralen door tweemaal partieel te integreren a b e ln cos d d Opgave 8 Soms kom je na tweemaal partieel integreren dezelfde functie weer tegen Toch ben je dan wel iets opgeschoten Gegeven is de integraal sin e d a Kies u sin dan is d u, dus d d d u b Neem dv e d Welke functie is v als d v e d? c Neem nu formule () van partieel integreren en vul links en rechts voor u en v de juiste functies is Leg uit dat je na herleiden krijgt: sin e d sin e e cos d e cos d d De laatste integraal in opgave c pak je op dezelfde manier aan: Laat zien dat deze te herleiden is tot: e sin e d e Als we de gezochte integraal aangeven met A sin e d Ga na dat het resultaat tot nu toe is: A e A en dat daaruit volgt: A e A (e ) Opgave 9 Bereken een primitieve van de functie a f ( ) e cos b f ( ) sin (e ) cos e d Hogeschool Rotterdam 7 Lerarenopleiding Wiskunde

38 Analyse Plus reader Hoofdstuk 5 Opgave Voor het oplossen van deze opgaven heb je verschillende van de voorgaande technieken van partiële integratie nodig Bereken een primitieve van de functie a f( ) e b f ( ) cos(ln ) c f ( ) e Hogeschool Rotterdam 8 Lerarenopleiding Wiskunde

39 Analyse Plus reader Hoofdstuk 5 Gemengde opgaven integreren In de opgaven staan alle methoden om te primitiveren door elkaar: integreren met breuken, de substitutiemethode en partieel integreren Kijk terug in de betreffende hoofdstukken Opgave Bereken de volgende integralen a d c b e ( ln )d d e ln d d Opgave Primitiveer de volgende functies sin c f( ) cos d f( ) e f ( ) ln(sin ) cos f g f ( ) sin( ) e f( ) (aanwijzing: e e vermenigvuldig teller en noemer met e ) Opgave a e Gegeven d a voor elke a Bereken b e b a Opgave Gegeven is de functie f ( ) sin( ) cos( ) Geef een primitieve functie van f Los deze vraag op drie verschillende manieren op Opgave 5 Bereken een primitieve van de functie a ln( ) f( ) b f( ) c tan f( ) cos d f( ) e f ( ) ln( ) f f( ) 6 Hogeschool Rotterdam 9 Lerarenopleiding Wiskunde

40 Analyse Plus reader Hoofdstuk 5 Hoofdstuk 5 Oneigenlijke integralen Inhoud Hoofdstuk 5 Oneigenlijke integralen 5 Inleiding 5 Niet begrensde integratie-intervallen 5 Discontinu op het integratie-interval 5 Gemengde opgaven 7 Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

41 Analyse Plus reader Hoofdstuk 5 5 Inleiding We bekijken de integraal d Als we, zonder ons af te vragen of het eigenlijk mag, de integraal gaan berekenen vinden het volgende antwoord: d Het antwoord is negatief Dat is vreemd, want de grafiek van f( ) ligt in zijn geheel boven de -as en kan dus niet negatief zijn Het probleem is dat het integratie-interval niet volledig gedefinieerd is op het domein van f De grafiek van f bevat namelijk een verticale asymptoot voor = Een discontinuïteit op een integratie-interval is een voorbeeld van een oneigenlijke integraal b Tot nu toe hebben we integralen f ( )d berekend, waarbij f een continue functie is op het a begrensde interval a, b In dit hoofdstuk gaan we kijken naar integralen waarvan het integratieinterval niet begrensd is en/of de integrant discontinu is op het integratie-interval Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

42 Analyse Plus reader Hoofdstuk 5 5 Niet begrensde integratie-intervallen In deze paragraaf kijken we naar integralen die geen precieze onder- en/of bovengrens kennen We kunnen drie gevallen onderscheiden: Een niet-begrensde bovengrens: integratie-interval =a, Een niet-begrensde ondergrens: integratie-interval =,b Een niet-begrensde onder- en bovengrens: integratie-interval = In geval berekenen we de integraal f ( )d lim f ( )d a t t a In geval berekenen we de integraal f ( )d lim f ( )d b b t t In geval berekenen we de integraal f ( )d lim f ( )d lim f ( )d c s s t t c waarbij c een willekeurig gekozen getal is Meestal wordt hier gekozen Als de limieten bestaan dan zal de oneigenlijke integraal convergeren naar de limietwaarde (in geval convergeert de integraal naar de som van de limietwaarden) Als een limiet niet bestaat, dan zal de integraal divergeren Voorbeeld Bereken, indien mogelijk Oplossing: t e d t e d lim e d lim e lim( e ) t t t t Voorbeeld Bereken, indien mogelijk d Oplossing: d lim d lim lim t t t t t t De limiet bestaat niet, dus de integraal divergeert Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

43 Analyse Plus reader Hoofdstuk 5 Sommige limieten zijn niet gemakkelijk te berekenen Je kunt dan gebruik maken van de insluitstelling of standaardlimieten (zie Analyse: Rijen en limieten) Je mag zonder bewijs gebruik maken van: (hierbij zijn a en k constantes) a lim met k t k t t lim a met a t k t lim met a t t a t a a lim e met a R t t ln( k) lim met k t k t Opgave Bereken indien mogelijk de volgende integralen a d b d c d d ln(8) d e f d e d Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

44 Analyse Plus reader Hoofdstuk 5 5 Discontinu op het integratie-interval Een grafiek kan op een interval a, b op twee verschillende manieren discontinu zijn Er kan zich namelijk een verticale asymptoot op het interval bevinden of een sprong In de figuur hiernaast kun je zien dat in geval van een sprong je het integratie-interval eenvoudig kunt opdelen De totale integraal is dan gelijk aan de som van de twee deel-integralen We zullen ons daarom alleen beperken tot de integralen waarop zich een asymptoot op het integratie-interval bevindt In het geval van de verticale asymptoot kunnen we vier situaties onderscheiden Situatie : De asymptoot bevindt zich in de bovengrens b a f ( ) d lim f ( ) d q qb a Situatie : De asymptoot bevindt zich in de ondergrens b a f ( ) d lim f ( ) d b pa p Situatie : De integrant heeft een asymptoot in zowel de onder- als bovengrens b a c f ( ) d lim f ( ) d lim f ( ) d met a c b pa p q qb c Situatie : De asymptoot bevindt zich in d met a d b b a d f ( ) d lim f ( ) d lim f ( ) d pd a b qd q Als de limieten bestaan dan convergeert de integraal naar de limietwaarde in geval en In de gevallen en convergeert de integraal naar de som van de limietwaarden Voorbeeld Bereken, indien mogelijk d Oplossing De functie f ( ) heeft een verticale asymptoot in, verder is de functie continu voor positieve waarden van d lim p p d lim p p lim p p Hogeschool Rotterdam Lerarenopleiding Wiskunde

45 Analyse Plus reader Hoofdstuk 5 Ook bij deze integralen is er een aantal standaardlimieten inzetbaar: sin lim tan lim e lim ln( ) lim lim a lim ln( ) met a, waarbij a een constante voorstelt a a met a a Voorbeeld e Bereken, indien mogelijk Oplossing: ln( ) d e e e e e e ln( ) d d lim ln( )d lim ln( ) d p p p p p e e e lim ln( ) lime ln( e ) pln( p) e e p p p Voorbeeld We bereken nogmaals de integraal uit de inleiding: d Oplossing: d p q p q p q q lim d lim d lim lim lim p p lim q q (merk op dat p negatief is) q De integraal divergeert Hogeschool Rotterdam 5 Lerarenopleiding Wiskunde

46 Analyse Plus reader Hoofdstuk 5 Opgave Bereken, indien mogelijk de volgende integralen a d e d b d f d c d g ln d d d h d Opgave e e Beschouw de functie f ( ) Zie ook de grafiek hiernaast We gaan de oppervlakte onder de grafiek van f berekenen op het interval ln(),ln() a Deel eerst de gebroken functie uit en herschrijf f() b e Bereken d door slechts maal gebruik te maken van partiele integratie Kijk goed naar de integraal die je overhoudt c Gebruik het resultaat van b om de gevraagde oppervlakte eact te berekenen d Waarom vind je hetzelfde antwoord als je geen limiet gebruikt? Hogeschool Rotterdam 6 Lerarenopleiding Wiskunde

47 Analyse Plus reader Hoofdstuk 5 5 Gemengde opgaven Bij de volgende opgaven worden de verschillende technieken door elkaar gevraagd Opgave Primitiveer de volgende functies: a f ( ) tan() 6 b g ( ) 6 c h( ) ln(5 ) d e f g ln (5 ) k ( ) 5 l( ) e 8 m ( ) 9 ( 5) sin n( ) cos h p( ) e sin (tip: gebruik maal substitutie en dan partieel) Opgave 5 Bereken eact, indien mogelijk a 9d b sin cos d e c e d ln( ) d d 5 e d 5 6 tan tan f d tip: Gebruik opgave Hogeschool Rotterdam 7 Lerarenopleiding Wiskunde

48 Analyse Plus reader Hoofdstuk 6 Hoofdstuk 6 Bijzondere krommen Inhoud Hoofdstuk 6 Bijzondere krommen 8 Voorkennis Parameterkrommen 9 6 De hypotrochoide, een bijzonder voorbeeld 5 6 Werken met de GR 5 6 Lissajous-figuren 5 6 Cycloïden 5 65 Epicycloïden Poolvoorstellingen 57 Hogeschool Rotterdam 8 Lerarenopleiding Wiskunde

49 Analyse Plus reader Hoofdstuk 6 Voorkennis Parameterkrommen Opgave V Hiernaast is de baan weergegeven, die een bewegend punt P heeft afgelegd De coördinaten van P op tijdstip t kun je berekenen met t t y t t a Geef de coördinaten van P op het tijdstip t b Bereken de coördinaten van punt P op de tijdstippen: t =, t en t c Neem de tekening over en geef met pijltjes aan in welke richting P beweegt d Er zijn drie verschillende tijdstippen waarop punt P zich op de -as bevindt Welke tijdstippen zijn dat en welke punten op de -as horen bij die tijdstippen? f () t heet een parametervoorstelling y g() t De coördinaten van een punt P(, y) worden weergegeven als een functie van parameter t De bijbehorende grafiek wordt een kromme genoemd Als je t opvat als de tijd, dan kun je P opvatten als een bewegend punt Opgave V cost Gegeven is de parametervoorstelling y sin t a De kromme snijdt de -as in twee verschillende punten Welke vergelijking moet je oplossen om de t-waarden van die snijpunten te vinden? b Bereken de coördinaten van de snijpunten van de kromme met de -as c Bereken de coördinaten van de snijpunten van de kromme met de y-as y De helling van de lijn door twee punten P en Q op de kromme K is Hiernaast zie je hoe je deze helling berekent Met t, krijg je de eacte helling van de raaklijn aan de kromme in punt P De horizontale raaklijn vind je in de punten met d y dt en De verticale raaklijn vind je in de punten met d dt y t y t y t t dy dt dy d, mits d d dt dt Opgave V a Het hoogste punt van de kromme van de vorige opgave heeft een horizontale raaklijn Bereken t b Welke waarde van t hoort er bij punt P (, )? Geef de vergelijking van de raaklijn in P c Wat is de kleinste periode waarin de gehele figuur getekend wordt? Hogeschool Rotterdam 9 Lerarenopleiding Wiskunde

50 Analyse Plus reader Hoofdstuk 6 6 De hypotrochoide, een bijzonder voorbeeld Zie: voor de animaties Een hypotrochoïde is een kromme die als volgt ontstaat: een cirkel met straal b rolt zonder glijden aan de binnenkant van een vaste cirkel met straal a, waarbij a b de kromme is de baan van een punt P dat vast is tov de rollende cirkel, namelijk op afstand h van het middelpunt ervan De parametervoorstelling is a b ( a b)cost hcos( t) b a b y ( a b)sin t hsin( t) b Opgave Kies een computertoepassing om een hypotrochoïde te tekenen a Open Vu-Grafiek, hoofdmenu Grafieken tekenen Voer de formules in met alle parameters, zie screenshot hiernaast b Als je GeoGebra gebruikt, dan moet je eerst voor a, b, h en t schuifknoppen invoeren Hogeschool Rotterdam 5 Lerarenopleiding Wiskunde

51 Analyse Plus reader Hoofdstuk 6 6 Werken met de GR Een manier om cirkelbewegingen te definiëren is met behulp van parameterkrommen Hierbij worden voor de - en y-coördinaat twee functies gegeven Bij voorbeeld: cost y sin t In Vu-Grafiek of GeoGebra ziet het er zo uit: Ga na dat bij t het punt (, ) hoort Welk punt hoort bij t? Met de grafische rekenmachine: Via [MODE] kan je de GR in de 'parameterstand' zetten Je kunt dan via [Y=] je parametervoorstelling invoeren, met [WINDOW] het venster aanpassen en met via [GRAPH} de kromme tekenen: Opgave a Voer bovenstaande opdrachten in in de grafische rekenmachine Je krijgt waarschijnlijk een figuur die er niet uit ziet als de eenheidcirkel Verander de instellingen van het venster zodat er wel een cirkel in beeld komt ( t) cos( t) ( t) cos( t) b Plot ook de parameterkrommen van: en y( t) sin( t) y( t) sin( t) t t t ( ) 8 sin( ) cos( ) met t y( t) 5sin( t) c Gegeven is de volgende parametervoorstelling: Plot de grafiek en bereken de coördinaten van het punt Q waar y(t) maimaal is d Gegeven is de volgende In een keerpunt verandert de bewegingsrichting parametervoorstelling: zowel in de -richting als in de y-richting ( t) 8sin( t) cos( t) met t Als van een kromme d en d y beide gelijk zijn y( t) 5sin( t) dt dt Plot de grafiek en bereken de waarden van aan dan is er in veel gevallen een keerpunt t bij de snijpunten met de -as e In welke bovenstaande krommen is er sprake van een keerpunt of meerdere keerpunten? Opgave ( t) sin t Gegeven de kromme K met parametervoorstelling y( t) sin t a Voor welke waarden van t wordt deze kromme precies één keer doorlopen? b Hoe kun je de periode afleiden uit de gegeven parametervoorstelling? Hogeschool Rotterdam 5 Lerarenopleiding Wiskunde

52 Analyse Plus reader Hoofdstuk 6 6 Lissajous-figuren Lissajousfiguren zijn genoemd naar Jules Antoine Lissajous (8-88) De volgende formule beschrijft de figuren: Acos at y Bsin bt Kies A=B= en varieer met a en b afbeelding van: /Lissajousfiguur Een kromme die hoort bij een parametervoorstelling waarbij en y sinusfuncties zijn heet een Lissajousfiguur De periode van een kromme is de tijd die verloopt totdat de beweging zich herhaalt Deze periode is gelijk aan de gemeenschappelijke periode van en y Opgave Gegeven is de Lissajous-figuur K met de volgende ( t) sin( t) parametervoorstelling: y( t) sin( t) a Ga na dat de figuur hiernaast de grafiek van K is en bereken de coördinaten van de snijpunten van K en y b Geef de vergelijking van de raaklijnen in het punt (,) Opgave 5 Gegeven de kromme K met ( t) sin ( t) parametervoorstelling y( t) cos( t) a Bereken de baansnelheid op t b Schrijf t () als een sinusfunctie zonder kwadraat De snelheid waarmee een bewegend punt een kromme doorloopt heet de baansnelheid De grootte van de baansnelheid berekenen je door de snelheidsvector te ontbinden in een horizontale component d en een verticale component d y dt dt Uit de stelling van Pythagoras volgt de formule voor de baansnelheid: vt () d dy dt dt Opgave 6 ( t) sin( t) Gegeven y( t) sin( t) Bereken eact de coördinaten van de keerpunten Hogeschool Rotterdam 5 Lerarenopleiding Wiskunde

53 Analyse Plus reader Hoofdstuk 6 6 Cycloïden Een punt op een rollend fietswiel beschrijft een cirkel ten opzichte van de as Hoe wordt de beweging beschreven die dat punt maakt ten opzichte van een vast punt op de grond? Zie animaties op of en Christiaan Huygens onderzocht hoe je een slingeruurwerk regelmatig kon laten lopen In tegenstelling tot wat je misschien zou denken is bij een gewone slinger - een gewicht aan een touwtje dat aan een vast punt hangt - de slingertijd afhankelijk van de uitwijking Bij grotere uitwijking wordt de slingertijd ook groter en dat is niet zo handig als je een slingeruurwerk wilt maken: je kunt er niet zeker van zijn dat je de slinger altijd dezelfde uitwijking geeft Huygens ontdekte dat als je het gewicht van een slinger niet langs een cirkel maar langs een cycloïde kon leiden je je de slingertijd onafhankelijk van de uitwijking werd Hierom heet de cycloïde ook wel de tautochroon, van tautos (gelijk) en chronos (tijd) De cycloïde (wielkromme) was een in die tijd al bekende kromme, je krijgt hem door een cirkel (zonder slippen) over een lijn te laten rollen en dan de baan van één punt te volgen De parametervoorstelling die hierbij hoort is rt r sin t y r r cost waarbij r de straal is van de rollende cirkel Als je deze kromme nu ondersteboven hangt dan krijg je de eigenlijke tautochrone kromme: Het maakt niet uit hoe hoog (of laag) je begint: het duurt altijd even lang om (wrijvingsloos) naar het laagste punt te glijden Een cycloïde kun je gebruiken bij het ontwerpen van skateboardhellingen: als je die in de vorm van een cycloïde maakt bereik je dat een skateboarder de hele tijd een regelmatig ritme aan kan houden De slingertijd is immers tijdens het gangmaken en het uitvoeren van allerlei kunstjes gelijk en dat betekent weer dat je je al tijdens dat gangmaken op je ritme kunt instellen De cycloide is in zekere zin ook de moeilijkste baan: hij geeft de kortste `slingertijd' en vraagt dus het meest van je reactievermogen Hogeschool Rotterdam 5 Lerarenopleiding Wiskunde

54 Analyse Plus reader Hoofdstuk 6 Opgave 7 Hiernaast is een wiel getekend De straal van het wiel is meter, het wiel draait rond met een snelheid van radiaal per seconde Een volledige rondgang is rad en de omtrek van het wiel is meter Op t ligt het punt P aan de bovenzijde van het wiel a Bekijk de grafiek, die de baan van het punt P weergeeft in een assenstelsel Wat zijn de coördinaten van het punt P op het tijdstip t? b Leg uit dat het wiel per seconde meter vooruit gaat c Verklaar met de tekening hiernaast dat PQ sin t en MQ cos t d Leg uit dat voor de coördinaten van M geldt: t en y e Leg uit dat voor de coördinaten van P na t seconden geldt: t sin t en y cos t Opgave 8 a Stel de parametervoorstelling op voor een punt Q op de omtrek van hetzelfde wiel, dat zich op tijdstip t op de grond bevindt Plot de baan van Q in hetzelfde assenstelsel b Doe hetzelfde voor een punt R, dat zich op het wiel bevindt, precies in het midden tussen M en P Opgave 9 a Bereken d en d y voor het punt P in opdracht 7 dt dt b Druk de baansnelheid v uit in t en plot de grafiek van de functie v c Waarom mag je de grafiek van v niet in hetzelfde assenstelsel als de kromme van opdracht 7 tekenen? d Op welke tijdstippen is de snelheid maimaal of minimaal? Kun je dit zonder rekenwerk verklaren? De kromme die ontstaat doordat een punt loopt op de omtrek van een rollende cirkel, heet een cycloïde De cycloïde werd reeds uitvoerig bestudeerd door wiskundigen in de 5 e en 6 e eeuw, waaronder Torricelli en Christiaan Huygens Een cycloïde ontstaat door de combinatie van een rechtlijnige beweging en een cirkelbeweging Het woord cycloïde komt uit het Grieks: κυκλος =cirkel Hogeschool Rotterdam 5 Lerarenopleiding Wiskunde

55 Analyse Plus reader Hoofdstuk 6 Opgave Gegeven zijn parametervoorstellingen met de vorm at bcost y a bsin t Deze parametervoorstellingen beschrijven de beweging van een punt P op een wiel met middelpunt M Om een cycloïde te krijgen moeten a en b gelijk zijn a Aan welke voorwaarde moeten a en b voldoen als de afstand MP kleiner is dan de straal van het wiel? b Het wiel van een trein heeft een zogenaamde flens, dat is de rand die ervoor zorgt dat de trein niet ontspoort Op de flens liggen punten die verder van het middelpunt liggen dan de rail Wat weet je bij deze punten over de waarden van a en b? c Plot de kromme voor deze situatie (vraag b) d Waaruit blijkt dat het punt van opdracht c zich op een bepaald moment beweegt in een richting tegengesteld aan die van de trein? e Bereken d en d y voor het punt uit vraag b dt dt f Druk de baansnelheid v uit in t en plot de grafiek van de functie v Hoe zie je in deze grafiek dat het punt zich in tegengestelde richting van de trein beweegt? Opgave Bij het fietsen maken de trappers een cirkelbeweging ten opzichte van de fiets Om te onderzoeken in welk geval de trappers achterwaarts bewegen ten opzichte van de grond gebruik je de parametervoorstelling Rt r cos pt y R r sin pt a Bekijk de parametervoorstelling van de kromme Dat is,8t, sin t en y,,cost Welke waarden hebben R, r en p in dit geval? Welke gegevens heb je nu over de fiets? b Bij een moeilijke klim kies je een lagere versnelling Daarbij maken de trappers veel meer omwentelingen Wat moet je veranderen in de parametervoorstelling om de bij zo n situatie passende kromme te plotten? c Bekijk de kromme die je met de gegevens van opdracht b krijgt Gaan de trappers alleen vooruit of ook achteruit? d Welke van de volgende uitdrukkingen heb je nodig om te berekenen of de trappers achterwaarts bewegen: d dt, d y of de baansnelheid? dt Hogeschool Rotterdam 55 Lerarenopleiding Wiskunde

56 Analyse Plus reader Hoofdstuk 6 65 Epicycloïden Een ander type beweging vindt plaats als een punt een cirkel doorloopt, die zelf weer langs een grotere cirkel beweegt De beweging van een punt op de kleinere cirkel is dan de combinatie van twee cirkelbewegingen De kromme die ontstaat heet een epicycloïde Opgave Een cirkel met straal m rolt over de buitenzijde van een grotere cirkel met een straal m De baan die een punt op de rand van het kleine cirkel doorloopt is te vergelijken met een cycloïde Neem aan dat het wiel zich per seconde m langs de cirkel verplaatst Het punt P bevindt zich op het tijdstip t aan de bovenzijde a Waarom is MN na t seconden,t radialen gedraaid? b Leg uit dat NP na t seconden,t rad gedraaid is c Verklaar nu de parametervoorstelling voor de baan van punt P d Verander de parametervoorstelling zodanig dat de baan wordt beschreven van het punt Q dat midden tussen N en P ligt Opgave De krommen hiernaast en van de vorige opgave behoren beide bij R cost r cosct een parametervoorstelling van de vorm y R sint r sinct Zoek met VU-Grafiek geschikte waarden voor R, r en c om deze krommen op het scherm te laten verschijnen Gebruik de knop (animatie van VU-grafiek) om te zien hoe de krommen worden doorlopen Opgave Bij een kermisattractie draaien bakjes met zitplaatsen in seconden rond, terwijl de arm waar ze aan vast zitten zelf in 8 seconden ronddraait Neem aan dat je op m van de as van het bakje zit en dat de straal van de arm 7 m is a Gebruik een parametervoorstelling van R cosat r cosbt de vorm y R sinat r sinbt Leg uit waarom dit een verstandige keuze is b Stel een parametervoorstelling op voor deze beweging en maak een plot c Druk de baansnelheid v uit in t en plot de grafiek van v d Op welke tijdstippen van een rondgang is de baansnelheid minimaal? e Hoe groot is de maimale snelheid? Hogeschool Rotterdam 56 Lerarenopleiding Wiskunde

57 Analyse Plus reader Hoofdstuk 6 66 Poolvoorstellingen Veel krommen zijn de grafiek van een functie of kunnen worden beschreven met een parametervoorstelling In de volgende opdrachten werk je met de optie poolvoorstellingen Opgave 5 Teken een cirkel C met straal Je kunt de coördinaten van de punten op de cirkel uitdrukken in poolcoördinaten, waarbij je de hoek uitdrukt in radialen a Leg uit dat voor elk punt op de cirkel geldt: cos en y sin b Geef een parametervoorstelling die bij de kromme C past c Leg uit dat je C kunt beschrijven met de vergelijking y De grafische rekenmachine Hogeschool Rotterdam 57 Lerarenopleiding Wiskunde

58 Analyse Plus reader Hoofdstuk 6 Opgave 6 Plot en teken de krommen bij de drie poolvoorstellingen hiernaast Neem uit interval [,] Geef in je tekening de punten aan die horen bij 6, en 6 r sin r Opgave 7 a Plot en schets de grafiek van r sin b Leg uit dat bij de kromme de volgende parametervoorstelling hoort: r cos t ( ) sin cos yt ( ) sin sin Opgave 8 Gegeven is de familie van krommen rsin n a Plot de kromme voor een aantal waarden van n Waarom liggen alle punten van deze krommen op of binnen de eenheidscirkel? b De krommen lijken op bloemen Zoek een verband tussen het aantal blaadjes en het getal n Verklaar je antwoord c Voor n= heeft de kromme vier symmetrieassen Welk verband is er tussen de waarde van n en het aantal symmetrieassen? Een archimedes-spiraal is een meetkundige kromme in de vorm van een spiraal waarvan de vergelijking in poolcoördinaten luidt: r a b Daarin zijn a en b twee parameters die respectievelijk het beginpunt en de spatiëring (=ruimte tussen de bogen) bepalen Opgave 9 a Als je a = kiest, begint de spiraal in de oorsprong Licht dit toe b Teken de spiraal voor b, b, b en b Kies tot 8 Het laatste type krommen is de conchoïde Een conchoïde kun je niet met een functie beschrijven Het lukt wel met een parametervoorstelling, maar het is eenvoudiger met de poolvoorstelling Opgave Een poolvoorstelling voor de conchoïde is r b a sin Teken onderstaande conchoïdes voor verschillende waarde van a en b Merk op dat de GR de plaatjes tekent met de assen verwisseld Hogeschool Rotterdam 58 Lerarenopleiding Wiskunde

59 Analyse Plus reader Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Numerieke wiskunde Numerieke wiskunde is een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen in de continue wiskunde bestudeerd worden (in tegenstelling tot discrete wiskunde) Dit betekent dat het vooral gaat over reële of complee variabelen, de oplossing van differentiaalvergelijkingen en andere vergelijkbare problemen die optreden in de natuurkunde en techniek Inhoud Hoofdstuk 7 Numerieke wiskunde 59 7 Lineaire benadering 6 7 Halveringsmethode 6 7 De methode van Newton-Raphson 6 7 De methode van Newton-Raphson met de GR Regula falsi 66 Hogeschool Rotterdam 59 Lerarenopleiding Wiskunde

60 Analyse Plus reader Hoofdstuk 7 7 Lineaire benadering Als je op een grafiek sterk inzoomt op een punt lijkt de grafiek meestal op een rechte lijn We gaan uitzoeken hoe je de vergelijking van die lijn vindt Opgave Gegeven is de functie f ( ) c Plot de grafiek van f en zoom in op het punt P(, 5) Wat zie je? d Bereken eact de helling van de raaklijn met behulp van f e Geef de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in P Grafieken van functies kun je op een klein gebied rondom een punt P op de grafiek bijna altijd benaderen met een lijn l Die lijn is de raaklijn aan de grafiek van die functie en de vergelijking van die lijn wordt ook wel de eerstegraads benadering, lineaire benadering of linearisering van de functie f in het punt P genoemd Voorbeeld Gegeven is de functie f ( ) Lijn l is de linearisering in punt P(, ) Stel een vergelijking van l op Oplossing De afgeleide is f ( ) De helling van l is f () = 9 + = 7 De vergelijking van l is y 7 b Vul de coördinaten van P in: 7 b b 8 De vergelijking van l is y 7 8 Opgave Bereken eact de lineaire benadering van de volgende functies in het punt P met -coördinaat a f ( ) b g( ) Opgave Een lijn met helling raakt de grafiek van een functie in het punt P (, 5) h Verklaar waarom deze lijn voldoet aan de vergelijking y 5 ( ) i Het punt P( p, q ) ligt op de grafiek van een functie f Verklaar waarom de raaklijn in punt P aan de vergelijking y q f ( p) ( p) voldoet j Laat zien dat de vergelijking ook geschreven kan worden als y f ( p) f ( p) ( p) Als l een linearisering is van de functie f in een punt P( p, q ), dan kun je de vergelijking van l schrijven als y f ( p) f ( p) ( p) Opgave Gegeven is de functie f ( ) a Geef de vergelijking van de linearisering van f in (, ) b Doe dit ook voor de linearisering van f in (, ) c Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van de functie punt met f in het ( ) Opgave 5 a Gegeven is de functie f ( ) Stel de lineaire benadering op van f in het punt P(, ) b Gebruik de lineaire benadering om f (,6) te schatten Hogeschool Rotterdam 6 Lerarenopleiding Wiskunde

61 Analyse Plus reader Hoofdstuk 7 c Bereken (,6) f met je rekenmachine Hoeveel procent wijkt je benadering bij b af van de uitkomst bij c? Hogeschool Rotterdam 6 Lerarenopleiding Wiskunde

62 Analyse Plus reader Hoofdstuk 7 De lineaire of eerstegraads benadering werd vroeger vaak gebruikt om functiewaarden te schatten, bijvoorbeeld om tabellen van wortels samen te stellen Voorbeeld Bereken de eerstegraads benadering van het getal, 5 Neem als raakpunt (, ) Oplossing De raaklijn aan de grafiek van 5 f ( ) is y f () f () ( ) f ( ) 5 f () 5 De raaklijn is dus y 5( ) De benadering is dan y 5(, ), Deze benadering wijkt ongeveer,% af van de werkelijke waarde Opgave 6 Gebruik de functie f ( ) 7 en het raakpunt bij om de volgende getallen te benaderen met een lineaire benadering Bereken ook steeds hoeveel procent je benadering afwijkt van de waarde die je rekenmachine geeft a, b, c,98 Opgave 7 Gegeven zijn de functies f ( ), g( ) 5, s( ) f ( ) g( ) en p( ) f ( ) g( ) a Stel lineaire benaderingen op van f, g, s en p in het punt met b Toon aan dat de lineaire benaderingen van s gelijk is aan de som van de lineaire benaderingen van f en van g c Laat zien dat lineaire benadering van p niet gelijk is aan het product van de lineaire benaderingen van f en van g In het tweedeklasboek deel B van Getal & Ruimte staat op blz de volgende opdracht: hoe werkt dat precies? Hogeschool Rotterdam 6 Lerarenopleiding Wiskunde

63 Analyse Plus reader Hoofdstuk 7 7 Halveringsmethode Een methode die veel gebruikt wordt om nulpunten te vinden is de halveringsmethode of bisectiemethode Het principe is eenvoudig en de methode is op een computer te implementeren Als f continu is op interval [a, b] en als f ( a) f ( b) of f ( a) f ( b), dan heeft f minstens één nulpunt in [a, b] (Zie stelling van Bolzano) We veronderstellen dat er ook hoogstens één nulpunt is In de uitleg is f ( a) f ( b) a b Je berekent eerst m en daarna bereken je f( m ) Er zijn nu drie mogelijkheden: I Als f( m) dan hebben gevonden en zijn we dus klaar II Als f ( a) f ( m), dan neem je a=m en herhaal het proces III Als f ( m) f ( b), dan neem je b=m en herhaal het proces (zie plaatje) We stoppen als ab, waarbij een vooraf afgesproken nauwkeurigheid is Voorbeeld: Bereken Oplossing: is de positieve wortel van de vergelijking f ( ) We kiezen a= en b= Op de manier zoals hierboven besproken krijgen we:, Dit lijkt omslachtig maar met een computer is het aantal stappen geen probleem De zekerheid dat het een eindig proces dat zeker een oplossing geeft is veel waard n a b ²-,5,5,5,5 -,75,5,5,75 -,98,75,5,75,666,75,75,65 -,6 5,65,7,85,586 6,65,85,8 -,5 7 Opgave 8 a Los de vergelijking e op mbv de halveringsmethode Neem a= en b= en bereken minimaal 6 stappen b Los de vergelijking e op mbv je grafische rekenmachine Vergelijk deze oplossing met je antwoord van vraag a Hetgeen hierboven behandeld is, is een bijzonder geval van de Tussenwaardestelling Als f een continue functie op het interval [a, b] en een getal tussen f(a) en f(b), dus f ( a) u f ( b) of f ( b) u f ( a), dan c [ a, b] met f () c u In het speciale geval dat u = heet de stelling: de stelling van Bolzano Hogeschool Rotterdam 6 Lerarenopleiding Wiskunde

64 Analyse Plus reader Hoofdstuk 7 7 De methode van Newton-Raphson Lineaire benaderingen kunnen worden toegepast bij rekenmachines om nulpunten van functies te vinden Bij de methode van Newton-Raphson wordt begonnen met een eerste schatting voor het nulpunt De raaklijn in P(, y ) met y f ( ) snijdt de -as in wat een betere schatting voor het nulpunt geeft Door steeds opnieuw te benaderen kun je het nulpunt zeer precies bepalen Hierbij is f( ) f ( ) Opgave 9 Gegeven is de functie f ( ) a Teken de grafiek op het interval [, ] b Neem als eerste schatting voor het rechter nulpunt Toon aan dat y de eerstegraads benadering van f( ) is in het punt P (, 6) c Bereken de coördinaten van het snijpunt van deze raaklijn met de -as en teken de lijn er in de grafiek bij Noem de -waarde van het snijpunt f( ) d Ga na dat geldt f ( ) e Ga uit van en bereken benadering op dezelfde manier f( n ) f Leg uit dat n n f( ) Herhaalde berekeningen kunnen snel worden uitgevoerd met een spreadsheet programma In het bestand hiernaast staan de functie en de afgeleide functie uit opdracht 9 in de cellen B5 en C5 daarna zijn ze gekopieerd naar de cellen eronder In het invoervak zie je de inhoud van B5 De waarde van staat in cel C Cel A5 leest de waarde uit C af In A6 staat =A5-B5/C5 n Opgave De functie f ( ) van opdracht 9 heeft meerdere nulpunten Zoek alle nulpunten door andere waarden voor te kiezen Gebruik een spreasheet zoals hierboven of voer de berekeningen met de hand uit Opgave Gebruik een spreadsheet om de nulpunten van f ( ), te benaderen a Zet de functie en de bijbehorende afgeleide in de cellen B5 en C5 Kopieer de ingevulde formules naar alle cellen van de kolommen B en C b Uit een plot blijkt dat er twee nulpunten zijn Benader het rechter nulpunt met behulp van het programma c Het andere nulpunt kun je niet vinden met behulp van het programma Leg uit waardoor dat komt Hogeschool Rotterdam 6 Lerarenopleiding Wiskunde

65 Analyse Plus reader Hoofdstuk 7 7 De methode van Newton-Raphson met de GR Het herhalen van hetzelfde proces heet itereren Het gaat dus om een iteratief proces Je hoopt dan dat de rij,,,,, snel naar een limiet nadert Voorbeeld Gegeven f ( ) 6 9 We zoeken de coördinaten van het meest rechtse nulpunt Eerst differentieren: f '( ) 9 Als startpunt kiezen we f( n ) Met n n berekenen we de volgende term f '( ) n Dit proces herhalen we tot n (tot het aantal gewenste/mogelijke decimalen) niet meer verandert Met de grafische rekenmachine: Na 5 slagen hebben we een benadering gevonden voor het nulpunt, Opgave a Maak gebruik van de functie en het algoritme van het voorbeeld met als startwaarde Krijg je nu de waarde van het middelste nulpunt? b Neem als startwaarde Krijg je nu waarde van het linker nulpunt? c Neem als startwaarde Na hoeveel slagen krijg je, Opgave De functie f ( ) cos( ) heeft bij,5 een nulpunt Benader dit nulpunt met de methode van Newton op 6 decimalen nauwkeurig Opgave a De functie f ( ) ln( ) heeft bij,6 een nulpunt Neem als startwaarde en probeer een benadering in vier decimalen te vinden voor dat nulpunt met de methode van Newton b Verklaar waarom dit niet lukt Beperkingen In een van de vorige opdrachten heb je gezien dat soms de methode van Newton ontspoort De methode kan ook eindeloos voortzetten Je kunt zeggen dat als voor iedere tussen nulpunt en startwaarde de grafiek met de bolle (convee) kant naar de -as gekeerd is dan is succes verzekerd Hogeschool Rotterdam 65 Lerarenopleiding Wiskunde

66 Analyse Plus reader Hoofdstuk 7 75 Regula falsi Een andere methode om nulpunten te bepalen is Regula falsi Het algoritme convergeert trager dan de Newton-Raphson-methode, maar is stabieler De methode maakt ook gebruik van opeenvolgende iteraties van het gezochte punt Zie de animatie op Dit gaat als volgt: Gegeven is de continue functie f Bepaal twee waarden en zodat f ( ) f ( ) of f ( ) f ( ) We korten deze voorwaarde af als f f Omdat f continu is op [, ] heeft de vergelijking f( ) minstens één oplossing tussen en We veronderstellen nu dat er ook hoogstens één oplossing is op [, ] f ( ) f ( ) We berekenen f ( ) f ( ) Er zijn nu drie mogelijkheden: f dan hebben we de oplossing gevonden I Als II Als f f dan herhalen we het proces met en f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) III Als f f dan herhalen we het proces met en f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Opgave 5 In onderstaande tekening zie je de grafiek van f ( ) We kiezen en a Bereken zoals in het voorbeeld hierboven b Geef in te tekening aan Hoe kan je dat punt meetkundig vinden? c Wat is nu de volgende stap? d Bereken Zet in de tekening Hogeschool Rotterdam 66 Lerarenopleiding Wiskunde

67 Analyse Plus reader Hoofdstuk 7 Successieve substitutie We kijken na naar de gang van zaken bij successieve substitutie waarbij een oplossing is van f ( ) en de startwaarde Er zijn verschillende mogelijke verlopen van het iteratieproces Monotoon convergent als f ( ) Oscillerend convergent als f ( ) Monotoon divergent als f ( ) Oscillerend divergent als f ( Voorbeeld We gaan nog eens kijken naar de oplossing van f ( ) met successieve substitutie Daarvoor moeten we de vergelijking f( ) eerst herschrijven in een vorm g( ) In de tekening hierna kun je de grafieken van g ( ) en y terug vinden: Hogeschool Rotterdam 67 Lerarenopleiding Wiskunde

68 Analyse Plus reader Hoofdstuk 7 Neem als startwaarde 6 en teken een aantal iteraties Wat is? Met de GR Als je dat allemaal goed instelt dan kun je zelf webgrafieken tekenen! Via [MODE] kan je GR instellen op Seq Je GR bevindt zich dan in de 'rijentoestand' Via [Y=] kun je dan (recursief gedefinieerde) rijen invoeren De u, v en w krijg je via nd 7, nd 8 en nd 9 en de n met [X,T,,n] Opgave 6 a Neem als startwaarde 5 Lukt het dan ook? b Bereken de afgeleide g( ) c Klopt het resultaat van vraag b met: I Monotoon convergent als g( ) II Oscillerend convergent als g( ) III Monotoon divergent als g( ) IV Oscillerend divergent als g( Opgave 7 Gegeven de vergelijking 5 a Schrijf de vergelijking als g( ) Welk functie heb je voor g genomen? De grafiek kun je krijgen door bij [FORMAT] te kiezen voor Web (in plaats van Time) Met [GRApH] en [TRACE] kan je dan met het pijltjerechts zien wat er gebeurt b Neem als starwaarde Plot de webgrafiek zoals hierboven, gebruik trace om een aantal iteraties te volgen en verklaar wat je ziet c Los de vergelijking ook op met je GR en benader de afgeleide g( ) Hogeschool Rotterdam 68 Lerarenopleiding Wiskunde

69 Analyse Plus reader Hoofdstuk 8 Hoofdstuk 8 Numerieke methoden & fractals Deze afbeelding is gemaakt door een student wiskunde voor de cursus Wiskunde&Cultuur - Inhoud Hoofdstuk 8 Numerieke methoden & fractals 69 8 Programmeren met je GR 7 8 Programmeren met Ecel 7 8 Fractals 75 8 Fractalpracticum Prentententoonstelling (van Escher) 79 Hogeschool Rotterdam 69 Lerarenopleiding Wiskunde

70 Analyse Plus reader Hoofdstuk 8 8 Programmeren met je GR Programmeren is het schrijven van een computerprogramma Daardoor kun je de computer instructies geven die door de computer kunnen worden uitgevoerd Programmeren doe je doorgaans met een programmeertaal Meestal gebruik je voor het programmeren een programmeeromgeving die je programmatekst kan vertalen naar computerinstructies Er zijn heel veel verschillende programmeertalen en programmeeromgevingen Van Basic tot Pascal, van Java tot Visual Basic, Zie In deze cursus zullen we ons beperken tot een greep uit al die verschillende mogelijkheden: Programmeren met je GR Programmeren met Ecel We zullen er niet erg diep op in kunnen gaan, maar ons richten op de hoofdzaken Dan kun je toch kennismaken met de basisprincipes van het programmeren Bovendien gaan we iets doen met de wiskunde uit deze cursus Programmeren met je GR Met je grafische rekenmachine, zoals de Ti-8+/8+ kan je programmeren in Ti-basic Zoals je aan de naam kunt zien lijkt dat op Basic Het is een uitgeklede basic Het aardige ervan is dat je in je programma s ook de functies kan gebruiken die je normaal ook gebruikt Programma s schrijven en uitvoeren Programma schrijven en uitvoeren kun je op de GR vinden onder het knopje PRGM Met EXEC kun je een programma uitvoeren, met EDIT kun je een programma wijzigen en om een nieuw programma te definiëren gebruik je NEW In het voorbeeld hiernaast zie je dat er vier programma s in die GR staan In de programmaeditor EDIT druk je op het knopje PRGM om de verschillende instructies te krijgen die je kunt gebruiken Onder CTL vind je de zgn controlling program flow -opdrachten voor keuze, herhaling, springopdrachten, (sub-)programma s Onder I/O vind je de opdrachten die te maken hebben met invoer en uitvoer Met EXEC kun je in een programma andere programma s laten uitvoeren Ga eens kijken hoe dat werkt Hogeschool Rotterdam 7 Lerarenopleiding Wiskunde

71 Analyse Plus reader Hoofdstuk 8 Hieronder zie je wat er in het menu van I/O te vinden is Voorbeeld Als voorbeeld kijken we nog een keer naar de halveringsmethode voor het benaderen van wortels Je ziet hieronder per instructie een korte uitleg TI8 opdracht per instructie een korte uitleg Waar te vinden? PROGRAM:WORTELS Naam van het programma Knopje PRGM > NEW Alpha W, enz ClrHome Maakt het scherm schoon Knopje PRGM > EDIT> I / O optie 8 Disp WORTELS Geeft op het scherm de tekst idem WORTELS Input X=,A Vraagt om invoer met de tekst X=? Idem voor Input, zit bij Alpha + = kun je vinden bij [ND][TEST] TEST optie := I Kent aan de variabele I de waarde Voor gebruik je STO> toe AJ Kent aan de variabele J de waarde idem A toe Repeat X²=A Dit is een herhaling tot End tot X²=A Knopje PRGM > EDIT>CTL 6 Gebruik voor X X,T,,n (I+J)/X Kent aan de variabele X de waarde idem (I+J)/ toe If X²<A:XI Als X²<A dan krijgt I de waarde van X < kun je vinden bij [ND][TEST]TEST optie 5 If X²>A:XJ Als X²>A dan krijgt J de waarde van X > kun je vinden bij [ND][TEST]TEST optie End Einde van de herhaling (zie Knopje PRGM > EDIT>CTL 7 boven) Disp (X)=,X Geeft op het scherm tekst en uitvoer van X Knopje PRGM > EDIT>I/O Een pakketje programma s (WORTEL, PROGX, KV, KV, enz) staat in de digitale leerroute op N@tschool Opgave a Tik bovenstaand programma in op je GR Voer het programma uit voor een aantal verschillende getallen groter of gelijk aan Gaat dat goed? b Voer het programma NIET uit voor =5 Leg uit waarom het programma niet werkt voor < Hogeschool Rotterdam 7 Lerarenopleiding Wiskunde

72 Analyse Plus reader Hoofdstuk 8 Opgave Hieronder zie je voorbeeld van een programma Het programma vraagt om een startwaarde en berekent iets PROGRAM:PROGX ClrHome nderiv(y,x,x) Y Input START=,X While ABS(Y(X))> X-Y(X)/Y(X)X Disp X getkeya If A=:Stop End Voer het programma in op je GR Zet in Y de functie f( ) 6 9 en start het programma Met het intoetsen van kun je het programma stoppen a Neem als startwaarde, en Krijg je steeds dezelfde uitkomst? Wat doet het programma? b Het programma zal (automatisch) stoppen zodra Y(X)= Welke regel van het programma controleert dat? c Neem als startwaarde X= en X= Krijg je nu dezelfde uitkomst als bij X=? d Er zijn aan de grafiek te zien drie mogelijke uitkomsten De uitkomst is afhankelijk van de startwaarde Geef daarvoor een verklaring e Kun je precies aangeven voor welke startwaarde je welke uitkomst krijgt? Zo ja, geef de intervallen Zo nee, leg uit waarom niet Opgave Neem nog een keer het programma van opdracht en zet in Y de functie f( ) cos( ) a Neem als startwaarde X= en X= Bereken de uitkomst van het programma van opdracht Krijg je dezelfde uitkomst? b Krijg je ook bij andere startwaarden dezelfde uitkomst? c Wat gebeurt er precies als je als startwaarde X en X neemt? d De functie f( ) cos( ) heeft bij,5 een nulpunt Bij welke startwaarden kom je met het programma op dit nulpunt uit? Math > 8:nDeriv( Hiermee kun je de afgeleide van een functie in een bepaald punt benaderen Achter de instructie geef je achtereenvolgens op: de functie, de variabele en de - coördinaat Opgave Hieronder staan instructies om een fractal (de zeef van Sierpinski) te tekenen met je GR Zet eerst de assen uit met [nd] [FORMAT] <aes-off> Y abs [VARS] < Y-vars > Function Y [Math] <NUM> Toelichting: Om te beginnen maken we het grafisch scherm leeg door [nd] [draw] <clrdraw> Daarna maken we twee For-lussen: één voor elke rij uit de driehoek en één voor elk elementje uit die rij We berekenen dan het getal dat op de plaats (n, k) hoort in de driehoek door [math] [prb] <ncr> en delen dit door Met [math] [num] <fpart> en [nd] [test] <6=> gaan we na of het gedeelte na de komma nul is of niet, maw of het getal even is of niet Wanneer het oneven is tekenen we het punt dat overeenstemt met (n, k) dmv [draw] <pl-on> Door afrondingsfouten ontstaan er punten die er niet bij horen Hogeschool Rotterdam 7 Lerarenopleiding Wiskunde

73 Analyse Plus reader Hoofdstuk 8 8 Programmeren met Ecel Met Ecel kan je ook programmeren Start met Alt-F de Microsoft Visual Basic for Applications op en voeg een module toe, via Invoegen en dan Module Je komt nu in een scherm waar je zelf functies kunt declareren Voorbeeld Type in het scherm de volgende tekst: Function Fibo(Number) If Number> Then Fibo=Fibo(Number-)+Fibo(Number-) Else Fibo= End If End Function Je kunt het scherm afsluiten om terug te keren naar je Ecel-blad Je kunt nu in een cel je eigen functie gebruiken als =Fibo( ) Opgave 5 Zet in een Ecel blad in kolom A de getallen tot en met 5 Gebruik daartoe =A+ in cel A en dan doorvoeren naar onderen Zet in kolom B =Fibo(A) in cel B, dan doorvoeren naar onderen Maak zo een lijstje met de eerste 5 Fibonacci-getallen Opgave 6 De recursieformule voor de rij van Fibonacci is een voorbeeld van een impliciete formule n 5 n Er bestaat ook een directe formule voor Fibonacci-getallen: Fn ( ) met 5 gebruik voor 5 nu 5^5 Rij van Fibonacci,,,, 5, 8,, Recurrente betrekking: F F F n n n a Definieer in Ecel een functie Fibotwee( ) waarbij je de epliciete formule gebruikt b Breidt je lijstje uit de vorige opgave uit met een kolom met de waarden van Fibotwee c De kolommen zijn niet eact hetzelfde Ga dat na en geef de relatieve fout bij n=5 Aanwijzing: zet er nog maar s een kolom naast met =ABS(B-C) n= Fibo Fibotwee Fibi-Fibotwee,E ,88E ,78E-5 Opmerking Recursie op GR en in Ecel: Bij opdracht 8 heb je een recursieve functie gedefinieerd De functie roept zichzelf aan Bij TI-basic is dat niet mogelijk Maar in Visual Basic kennelijk wel Hogeschool Rotterdam 7 Lerarenopleiding Wiskunde

74 Analyse Plus reader Hoofdstuk 8 In Getal&Ruimte deel, blz staat de volgende opdracht: Kun je deze maken? Opgave 7 Driehoeksgetallen zijn het eenvoudigste voorbeeld van veelhoekgetallen Veelhoekgetallen werden door de Grieken al bestudeerd Ze kunnen als stippenpatronen worden weergegeven Hierboven zie je het stippenpatroon van de driehoeksgetallen De rij van driehoeksgetallen begint zo:,, 6,, 5,, 8, De recurrente betrekking luidt: D n D n n met D a Definieer in Ecel de recursieve functie Driehoeksgetal( ) die het n-de driehoeksgetal geeft en maak een lijstje van de eerste 5 driehoeksgetallen b Zet naast de kolom van driehoeksgetallen ook de som van de driehoeksgetallen Hiernaast kun je zien hoe je dat doet Je kunt de somrij van de driehoeksgetallen ook definiëren als S n S n Dn met S c Definieer in Ecel de recursieve functie SomDG( ) die de som geeft van de driehoeksgetallen en zet naast de kolom met de som van Ecel een kolom met de som met de gedefinieerde functie SomDG d Er bestaat ook een directe formule voor driehoeksgetallen Vind die formule Definieer de functie DG() voor driehoeksgetallen de functie SomDGtwee( ) voor de som in Ecel en zet de uitkomsten in een etra kolom e Er zijn driehoeksgetallen die een kwadraat zijn De rij van wortels van die kwadraten begint zo:, 6, 5,, 89, Wat is het volgende getal in deze wortelrij? Opgave 8 Dit zijn de vijfhoeksgetallen:, 5,,, 5, a Geef het volgende vijfhoeksgetal b Je kunt kijken naar de verschilrij van de vijfhoeksgetallen:,, 7,,, Deze rekenkundige rij laat zich beschrijven als R n n De vijfhoeksgetallen zijn de som van deze rekenkundige rij Schrijf in Ecel een functie VijfH(n) die het n-de vijfhoeksgetal geeft c Schrijf ook een functie VijfHS(n) die de som geeft van de eerste n vijfhoeksgetallen Hogeschool Rotterdam 7 Lerarenopleiding Wiskunde

75 Analyse Plus reader Hoofdstuk 8 8 Fractals Inleiding: Kustlijnen Benoît B Mandelbrot (Warschau, november 9 - Cambridge (Massachusetts), oktober []) was een Frans wiskundige van Poolse afkomst Hij is grotendeels verantwoordelijk voor de huidige interesse in fractals en liet zien dat fractals op een groot aantal verschillende terreinen kunnen worden toegepast, zowel in de wis- als in de natuurkunde Zijn onderzoek bouwt voort op het werk van Gaston Maurice Julia Op oktober is Mandelbrot op 85-jarige leeftijd overleden EOS schreef naar aanleiding van die gebeurtenis: Mandelbrot kwam tot fractalen toen hij zich als jonge onderzoeker de vraag stelde hoe lang de kustlijn van Groot-Brittannië is Het antwoord, zo ontdekte hij, was afhankelijk van hoe dicht je keek Op een kaart ziet het eiland eruit als een mooi afgebakend geheel, maar hoe meer je inzoomt hoe meer oneffenheden en inhammetjes je ontdekt in de omtreklijn Die leiden stuk voor stuk tot een langere kustlijn Op die manier bekeken is de kustlijn oneindig, besloot hij Lewis Fry Richardson Zelfgelijkvormigheid Een mooi voorbeeld van een parado is de diagonaal parado Neem een vierkant van een zijde van één en benader de lengte van de diagonaal met lijnstukjes die verticaal en horizontaal lopen Door de lijstukken steeds kleiner te maken gaat die benadering steeds meer op de diagonaal van dat vierkant lijken Maar hoe groot je n ook neemt als je je alleen beperkt tot horizontale en verticalen lijnstukken zal de lengte steeds zijn en niet Hogeschool Rotterdam 75 Lerarenopleiding Wiskunde

76 Analyse Plus reader Hoofdstuk 8 Stel je voor je tekent en lijnstuk maar in plaats van dat lijnstuk teken je er boven en onder een vierkantje bij: Dat doe je dan ook weer voor de lijnstukken van de nieuwe figuur: en daar ga je dan mee door tot in het oneindige Als je op een dergelijk figuur in het oneindige inzoomt krijg je steeds weer dezelfde vorm weer terug Men noemt dat zelfgelijkvormigheid Dat lijkt geen probleem, maar dat is het wel Eiland van Minkowski Neem eens aan dat je dit proces bij de vier zijden van een vierkant met een zijde van doet: Opgave 9 a Leg uit dat de oppervlakte van bovenstaande figuren gelijk zijn b Bereken de lengte van de omtrek van bovenstaande figuren c Je ziet hier de figuren voor n van tot en met Wat wordt de omtrek als n naar oneindig gaat? (Leg uit!) Probleem!? We hebben dus een figuur waarvan de oppervlakte gelijk is aan en een omtrek die je zo groot kan maken als je zelf wilt!? We stellen vast dat bij elke slag de omtrek keer zo groot wordt maar de oppervlakte gelijk blijft Dat is wel bijzonder Definitie van (Hausdorf) voor dimensie van een fractal Bij een fractal (of andere overdekking) met N:aantal kopieën, s: schaalverdeling (denk maar aan de kunstlijn) bereken je de dimensie D op de volgende manier: D log( N) N s D log( s) Voorbeeld In het voorbeeld (Eiland van Minkowski) hierboven heb je na n iteraties 8 n lijnstukjes met een lengte van n log(8) D log() Hogeschool Rotterdam 76 Lerarenopleiding Wiskunde

77 Analyse Plus reader Hoofdstuk 8 Opgave Hieronder staat de start van de kromme van Von Koch Bereken de dimensie van deze kromme Opgave Hieronder staat de start van de zeef van Sierpinski Bereken de dimensie van de zeef Gebroken dimensie Een lijnstuk heeft dimensie, een vierkant een dimensie van en een kubus een dimensie van Maar kennelijk zijn er ook figuren met een gebroken dimensie De naam fractal komt van fractal dimension, dat is gebroken dimensie Het Droste-effect Een mogelijke omschrijving van zelfgelijkvormigheid is dat je in een figuur (delen van) transformaties van zichzelf kan vinden Een bekend voorbeeld is het Droste-effect, genoemd naar de cacao verpakking van Droste, de chocoladefabrikant Zie de tekening hiernaast Op Internet kan je een hele verzameling afbeeldingen vinden waarbij gebruik is gemaakt van de logaritmische transformatie Zoeken op afbeeldingen met droste effect Mandelbrot-fractal Voor het generen van de Mandelbrot-fractal wordt uitgegaan van de functie f ( z) z C die de punten van het complee vlak afbeeldt op zichzelf De Mandelbrot-verzameling bestaat uit de punten C (in het complee vlak) waarvoor het iteratieproces z n z n C (met z ) convergent is De rand van het begrendheidsgebied is en fractal, de Mandelbrotfractal Die fractal is een ingewikkelde meetkundige figuur, waarin men een zekere mate van zelfgelijkvormigheid kan aantreffen Hiernaast zie je daar een plaatje van De punten die convergeren zijn zwart en de verschillende kleuren duiden verschillende snelheden van divergentie aan Hogeschool Rotterdam 77 Lerarenopleiding Wiskunde

78 Analyse Plus reader Hoofdstuk 8 8 Fractalpracticum Opgave Doe het fractalpracticum, dit is te vinden op: Probeer eerst de voorbeelden t/m 6 uit, vergeet niet op de pijltjestoets in het witte schermpje te klikken Daarna bekijk je op dezelfde manier Koch en Sierpinski Ook de Drakenkromme is boeiend Meer software om fractals mee te maken kun je vinden op: Als je het in de klas wilt uitproberen met papier en schaar: Klik ook naar pagina en van deze site Diverse interessante links: Zie ook Je kunt de Mandelbrot-fractal bestuderen op: (Zet de colormap op default, klik op Recalculate) Ga naar voor het epsilon-boekje Fractal met daarin: Hoe lang is de kust van Noorwegen? Ook interessant is: Of Hogeschool Rotterdam 78 Lerarenopleiding Wiskunde

79 Analyse Plus reader Hoofdstuk 8 85 Prentententoonstelling (van Escher) In 956 voltooide Maurits Cornelis Escher een tekening prentententoonstelling Hierop is een prentententoonstelling afgebeeld waarin een jongeman kijkt naar een prent van een stad Met een kolkende draaiing is Escher er in geslaagd om de galerij waarin de jongeman staat deel te laten uitmaken van de stad op de prent In het midden van de draaikolk heeft Escher een wit gat opengelaten met zijn handtekening De getaltheoreticus Hendrik Lenstra heeft begin de wiskundige structuur achter Eschers litho blootgelegd Zonder dat er in Eschers litho enige herhaling zichtbaar is, blijkt hierbij een Droste-effect op te treden: een afbeelding die zichzelf op kleinere schaal bevat Een oneindige herhaling in de beeldende kunst dus De wiskundige structuur achter Eschers prent blijkt die van een elliptische kromme te zijn Deze krommen spelen een essentiële rol bij het vinden van priemfactoren van grote getallen, cryptografie en het bewijs van de Laatste Stelling van Fermat Zie ook artikel op Hogeschool Rotterdam 79 Lerarenopleiding Wiskunde

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )

Nadere informatie

K.1 De substitutiemethode [1]

K.1 De substitutiemethode [1] K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.

13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0. Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011 Standaardafgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les Wat is Differentiëren gaan in Wisnet Verder zijn er Maplets om de

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde B

Samenvatting wiskunde B Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

Nadere informatie

(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a

(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0.

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. 12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. Dit is in de punten (1,0) en (-1,0) (1,0) heeft draaiingshoek 0 (-1,0) heeft

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0.

OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0. OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE (COLLEGE NAJAAR 6).. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking (z + i) 4 = 6 in het complee vlak. a. Schrijf het getal i in poolcoördinaten. b. Bereken de rechthoekige

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

Paragraaf K.1 : Substitutiemethode

Paragraaf K.1 : Substitutiemethode Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina van 8 Paragraaf K. : Substitutiemethode Stappenplan voor de substitutiemethode : () Neem y = formule (bij kettingregel noem je deze formule

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Transformaties

Hoofdstuk 3 - Transformaties Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 V-a f () = g () = sin h () = k () = log m () = n () = p () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

Nadere informatie

6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.

6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. 6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. f(x) = x x Differentiequotiënt van f(x) op [0, 3] = y f (3) f (0) 60 x 30 30 y x 1 Algemeen: Het differentiequotiënt

Nadere informatie

Verbanden en functies

Verbanden en functies Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u

== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u == Hertentamen Analyse == Dinsdag 5 maart 8, 4-7u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille, O van Gaans) en je studierichting Geef niet alleen antwoorden, leg elke

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 3 oktober 2007.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 3 oktober 2007. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Algemeen deel. Bij het vermenigvuldigen met van de ongelijkheid moet u rekening houden met twee gevallen, te weten > 0 en < 0 en u moet

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 50075005 Haags Montessori Lyceum (c) 0 Inleiding In deze leerroute gaan we kijken naar goniometrische functies: De eenheidscirkel

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie

Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie 0. voorkennis Het differentiequotiënt Het differentiequotiënt van y op de gemiddelde verandering van y op [ ] is: A B de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2017-I

wiskunde B pilot vwo 2017-I wiskunde B pilot vwo 07-I Rakende grafieken? maimumscore Er moet gelden f( ) g ( ) en f' ( ) g' ( ) f' ( ) en g' ( ) e Uit f' ( ) g' ( ) volgt e ( e voldoet niet) f ( e ) en ( e ) ( f ( e) g( e) en f '

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw

Nadere informatie

Uitwerkingen goniometrische functies Hst. 11 deel B3

Uitwerkingen goniometrische functies Hst. 11 deel B3 Uitwerkingen goniometrische functies Hst. deel B. f() = sin(-) = -sin() g() = cos(-) = cos () h() = sin( + ) = cos() j() = cos( + ) = -sin() k() = sin ( + ) = -sin () l() = cos ( + ) = -cos (). Zie ook

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a a 8 8. Ageleiden bladzijde 5 Uit de ormule voor de omtrek van een cirkel (omtrek r ) volgt dat een volledige cirkel (60 ) overeenkomt met radialen. Een halve cirkel (80 ) komt dus overeen met radialen.

Nadere informatie

Voorwoord Rekenvaardigheden

Voorwoord Rekenvaardigheden Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de daaraan verbonden profielkeuze en het studiehuis zijn ingevoerd. In sommige opzichten

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 5 bladzijde 9 ab f g h i j functie nr 5 Domein [ 0, 0, Bereik [ 0, [ 0, 0, c D k B k, 0 0, d Spiegelen in de -as geeft het tegengestelde bereik, dus, 0]. e u ( ) en yu ( ) u f D q, 0 0, ; B q 0, a [, b

Nadere informatie

1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.

1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en

Nadere informatie

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u == en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

ONLY FOR PERSONAL USE. This digital version of the DictaatRekenvaardigheden - Algebraic Skills is for personal use because of copyright.

ONLY FOR PERSONAL USE. This digital version of the DictaatRekenvaardigheden - Algebraic Skills is for personal use because of copyright. ONLY FOR PERSONAL USE This digital version of the DictaatRekenvaardigheden - Algebraic Skills is for personal use because of copyright. c Dictaat Rekenvaardigheden Faculteit Wiskunde en Informatica 0 mei

Nadere informatie

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x)) 5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk

Nadere informatie

11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20

11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20 .0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Paragraaf 11.0 : Voorkennis

Paragraaf 11.0 : Voorkennis Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. 5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early Transcendental Functions Robert T. Smith,

Nadere informatie

Paragraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide

Paragraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide Hoofdstuk 13 Toepassingen vd differentiaalrekening (V5 Wis A) Pagina 1 van 7 Paragraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide Differentiëren van e-machten en logaritmen f() = e f () = e f() = ln() f () =

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

7.1 De afgeleide van gebroken functies [1]

7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] 7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Regels voor het differentiëren: f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = 0 Algemeen geldt: f() = a n geeft f () = na n-1 Voorbeeld 1:

Nadere informatie

OEFENPROEFWERK VWO B DEEL 3

OEFENPROEFWERK VWO B DEEL 3 Formules OEFENROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK GONIOMETRISCHE FORMULES cos( t u) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) sin( A) sin( A)cos( A) sin( t u) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( t u) cos( t)cos( u) sin(

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. 10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

Inhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen

Inhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2017-II

wiskunde B pilot vwo 2017-II Twee machten van maimumscore 5 f' ( ) = ln() + ln() Uit f' ( ) = volgt dat = Dus + = ( = ) Hieruit volgt = a+ a, met a =, moet minimaal zijn De vergelijking a = moet worden opgelost Dit geeft Hieruit volgt

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos

Nadere informatie

0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen

0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen 0. voorkennis Periodieke verbanden Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen Er zijn twee verschillende tekendriehoeken: de 45-45 -90 driehoek en de 30-0 -90 -driehoek. Kenmerken

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie.

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. 14.0 Voorkennis De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. Evenwichtsstand = (min + max)/2 = (-100 + 300)/2 = 100 Amplitude = max evenw.

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen) Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen

Nadere informatie

) translatie over naar rechts

) translatie over naar rechts Hoofdstuk opmerkingen/adviezen Leer deze grafieken precies! Zorg dat je de volgende formules ziet in de grafieken: Periode sinus, cosinus en tangens: resp,, sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) c a k a k

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Over de functies arcsin, arccos en arctan

Over de functies arcsin, arccos en arctan Over de functies arcsin, arccos en arctan Booglengte figuur figuur De grafiek van een functie f tussen twee punten P (met a) en Q (met b) kan worden opgedeeld in stukjes die kunnen worden opgevat als lijnstukken,

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk - Periodieke functies Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde V-a De omtrek van de eenheidscirkel is π = π. Hierij hoort een hoek van zowel π radialen als 0. Dus 80 komt overeen met π radialen. V-a

Nadere informatie

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

Infi A oefententamen ψ

Infi A oefententamen ψ Infi A oefententamen ψ Aanwijzingen Motiveer alle antwoorden. Werk rustig, netjes en duidelijk. Zorg dat je uitwerking maar één interpretatie toelaat. Alle informatie op dit opgavenblad mag bij alle (deel)opgaven

Nadere informatie

exponentiële standaardfunctie

exponentiële standaardfunctie 9.0 Voorkennis In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B Profi

Examen VWO. Wiskunde B Profi Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie

Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft

Nadere informatie

TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00

TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00 TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE donderdag 1 december 007, 14.00-16.00 Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een

Nadere informatie

Kerstvakantiecursus. wiskunde B. Voorbereidende opgaven VWO. Haakjes. Machten

Kerstvakantiecursus. wiskunde B. Voorbereidende opgaven VWO. Haakjes. Machten Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde B Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode

vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode 1 1 vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode 1 1 2 2 Copyright 2018 Stichting de Wageningse Methode Auteurs Leon van den Broek, Ton Geurtz, Maris van Haandel, Erik van Haren, Dolf van den Hombergh,

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus Studiehandleiding Basiswiskunde cursus 2008 2009 Materiaal Bij dit college heb je nodig: Het boek Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch Isbn: 90 430 1156 8 De syllabus Aanvulling basiscursus

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar

rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar Hoofdstuk 5 - machten, eponenten en logaritmen rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar 0. voorkennis HERLEIDEN VAN MACHTEN - rekenregels voor machten Bij het vermenigvuldigen van

Nadere informatie

Cijfer = totaal punten/10 met minimum 1

Cijfer = totaal punten/10 met minimum 1 VOORBLAD SCHRIFTELIJKE TOETSEN OPLEIDING TOETSCODE GROEP Me MeWIS1-T1 MeP1 TOETSDATUM 7 november 011 TIJD 13.00 14.30 uur AANTAL PAGINA S (incl. dit voorblad) 6 DEZE TOETS BESTAAT UIT (aantal) GEBRUIK

Nadere informatie

Inhoud college 6 Basiswiskunde

Inhoud college 6 Basiswiskunde Inhoud college 6 Basiswiskunde 4.0 Taylorpolynomen (slot) Zie college 5: Vanaf 4.0 Voorbeeld 4 3. Inverse functies 3.2 Exponentiële en logaritmische functies 3.3 De natuurlijke logaritme en de exponentiële

Nadere informatie

stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden).

stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden). Samenvatting door Sterre 1437 woorden 5 mei 2018 7.8 3 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Vocabulair Algebraïsch stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden

Nadere informatie

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 13 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 13 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

6. Toon aan dat voor alle 2]0; ß [ geldt dat sin <<tan Onderstel dat de functie f afleidbaar in ]a; +1[ is en dat Toon aan dat!+1 f ) = A.!+1 f

6. Toon aan dat voor alle 2]0; ß [ geldt dat sin <<tan Onderstel dat de functie f afleidbaar in ]a; +1[ is en dat Toon aan dat!+1 f ) = A.!+1 f Afleiden en primitiveren Oefeningen Wiskundige Analyse I 1. Toon aan dat de functie f gedefinieerd op [ß; 3ß 2 ] door 1 p 1 + sin2 ) een inverse ffi bezit. Wat kan men besluiten omtrent de monotoniteit,

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie