1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE

Transcriptie

1 E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk op het college inleveren. Handgeschreven (mits goed leesbaar) en getypt mag alletwee. Zet je naam en studentnummer op het huiswerk. Na de huiswerkopgaven staan enkele uitgewerkte voorbeeldopgaven. Opgave. Bereken met behulp van een staartdeling, dat wil zeggen schrijf de rationale functies in de vorm polynoom + teller/noemer met graad teller < graad noemer: x x 3 + x +. Opgave. Bepaal de nulpunten van de volgende polynomen: i) x 4 x + 5; ii) x 3 0x + x 3. Opgave 3. Schrijf de volgende uitdrukkingen als quotiënt van twee polynomen: x i) x + 5 x + x + ; ii) x (x + )/(x + ). Opgave 4. Van een hoek α is gegeven dat cos α = 5/3, en dat 3 π < α < π. Bereken sin α en tan α. Opgave 5. Bereken cos 09 π, cos π, cos 3 π (exacte uitdrukkingen, geen decimalen). 3 8 Opgave 6. Druk cos( π + x) uit in cos x en sin x. 3

2 UITGEWERKTE OPGAVEN Opgave. Bereken met behulp van een staartdeling x5 + 3x, dat wil zeggen schrijf x + het in de vorm polynoom + teller waarbij de graad van de teller kleiner is dan die van noemer de noemer. Oplossing. Voer de staartdeling uit: x + / x 5 + 3x \x 3 x + 3 x 5 + x 3 trek x 3 (x + ) = x 5 + x 3 af om de term met de hoogste macht van x, dat is x 5, kwijt te raken; x 3 + 3x x 3 4x trek x(x + ) = x 3 4x af om x 3 kwijt te raken; 3x + 4x 3x + 6 trek 3(x + ) = 3x + 6 af om 3x kwijt te raken; 4x 8 we kunnen de term met de hoogste macht van x in 4x 8, dat is 4x, niet meer kwijtraken door een veelvoud van x + af te trekken; dus de staartdeling eindigt hier. We hebben in bovenstaande staartdeling in totaal (x 3 x + 3)(x + ) afgetrokken van x 5 + 3x en een rest 4x 8 overgehouden. Met andere woorden, x 5 + 3x = (x 3 x + 3)(x + ) + 4x 8. Dus x 5 + 3x x + = (x3 x + 3)(x + ) + 4x 8 x + = x 3 x x 8 x +. Toepassing: Als x heel groot is, dan is 4x 8 x + heel klein, en dus is x3 x + 3 een goede benadering van x5 + 3x. x + Opgave. Vind de nulpunten van x 4 + x. Oplossing. Laat y = x. Dan moeten we eerst de nulpunten vinden van y + y en daarna, voor elk van de gevonden waarden van y, de waarden van x met x = y. Uit de ontbinding y + y = (y )(y + ) of de abc-formule leiden we af dat y + y de twee nulpunten y = en y = heeft. Uit x = leiden we af dat x = of x =. Er zijn geen reële getallen x met x =. Dus de enige reële nulpunten van x 4 + x zijn x =, x =.

3 3 Opmerking. In Continue wiskunde zullen we de verzameling R van de reële getallen uitbreiden tot de verzameling C van complexe getallen. Deze grotere verzameling bevat ook de wortels van de negatieve getallen. Dus in C heeft x 4 + x naast ± ook de nulpunten ±. Opgave 3. Vind de nulpunten van x 4 4x 3 3x + 6x 4. Oplossing. Dit polynoom hoeft geen gehele nulpunten te hebben maar als het een geheel nulpunt heeft dan is dat een positieve of negatieve deler van de laatste term 4. Dus mogelijke gehele nulpunten zijn ±, ±, ±4. Door invullen zien we dat x =, x = geen nulpunten zijn, maar x = wel. Hieruit volgt dat x 4 4x 3 3x + 6x 4 deelbaar is door x, dat wil zeggen, als we een staartdeling uitvoeren is de rest 0. Met behulp van een staartdeling vinden we Dus x /x 4 4x 3 3x + 6x 4 \x 3 x 7x x 4 4x 3 3x + 6x 4 = (x 3 x 7x + )(x ). Dit betekent x 4 4x 3 3x + 6x 4 = 0 x 3 x 7x + = 0 of x = 0. Dus om de andere nulpunten van x 4 4x 3 3x + 6x 4 te vinden moeten we de nulpunten van x 3 x 7x + bepalen. Mogelijke gehele nulpunten van x 3 x 7x + zijn positieve of negatieve delers van, dus ±, ±. Het blijkt dat x = een nulpunt is. Dus x 3 x 7x + is deelbaar door x () = x +. Met behulp van een staartdeling als boven vinden we x 3 x 7x + = (x 4x + )(x + ). Dus x 4 4x 3 3x + 6x 4 = (x 3 x 7x + )(x ) = (x 4x + )(x + )(x ). We hebben nu twee nulpunten gevonden, namelijk x =, x =. Uit x 4x+ vinden we de andere nulpunten, Volgens de abc-formule heeft x 4x + nulpunten 4 ± (4) 4 = 4 ± = ± 3 (nl. = 4 3 = 3). Dus x 4 4x 3 3x + 6x 4 heeft nulpunten x =, x =, x = + 3, x = 3. Opgave 4. Schrijf x + x + + x als quotiënt van twee polynomen.

4 4 Oplossing. Breng de breuken onder één noemer en tel de tellers op: x + x + + x = (x + )(x ) + (x + ) (x + )(x ) = x + x + x + x 3 + x x = x + x x 3 x + x. Opgave 5. Schrijf (x )/(x ) x /(x + ) als quotiënt van twee polynomen. Oplossing. Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde: (x )/(x ) x /(x + ) = x x x + x = (x )(x + ) (x )x = x x 3 x. Opgave 6. Van een hoek α is gegeven dat sin α = 9/4 en π < α < π. Bepaal cos α en tan α. Oplossing. Er geldt sin α + cos α =, dus ( 9 ) cos α = sin 8 α = = 4 68 = 600 ( 40 ). 68 = 4 Omdat π < cos α < π is cos α negatief. Dus cos α = 40/4 en tan α = sin α cos α = 9/4 40/4 = 9/40. Opgave 7. Van een hoek α is gegeven dat tan α = t en π < α < π. Bereken sin α en cos α. Oplossing. Er geldt sin α = t, dus sin α = t cos α. We vullen dit in in de formule cos α sin α + cos s α =. Dit geeft (t cos α) + cos α =, ofwel t cos α + cos α = ofwel (t + ) cos α =, ofwel cos α = t +. Uit de aanname π < α < π volgt dat cos α positief is. Dus cos α = t +. Door nu weer te gebruiken dat sin α = t cos α vinden we dat sin α = Opgave 8. Bereken cos 45 4 π en sin 5 π. t t +.

5 5 Oplossing = 4 = Dus cos 45 4 π = cos(π π) = cos 3 4 π = cos(π 4 π) = cos 4 π =. Voor het tweede deel van de opgave gebruiken we de somformule sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α met α = π, β = π. Dit geeft 4 6 sin 5 π = sin( π + π) = sin π cos π + sin π cos π = 3 + = Opgave 9. Bereken cos 7 8 π, sin 7 8 π en tan 7 8 π. Oplossing. Pas de formules cos x = cos x = sin x toe met x = 7π. 8 Er geldt cos 7π = 4. Noem cos 7π even c en sin 7π s. Dan 8 8 = c = s, ofwel c = + 4, s = 4. De hoek 7π ligt tussen π en π, dus de cosinus daarvan is negatief en de sinus positief. Dit 8 geeft cos 7π = + 8 4, sin 7 π = 8 4, en tenslotte 4 = (gebruik dat = + 4 ). tan 7 8 π = sin 7 8 π cos 7 8 π = + 4 Opgave 0. Druk sin( π x) uit in sin x en cos x. 4 Oplossing. Gebruik eerst de somformule. Dit geeft sin( 4 π x) = sin 4 π cos x sin x cos 4 π = cos x sin x. Vul nu de verdubbelingsformules sin x = sin x cos x, cos x = cos x in (andere uitdrukkingen zijn ook mogelijk). Dan vinden we sin( 4 π x) = ( cos x ) sin x cos x = cos x sin x cos x.