Mathematical Modelling

Transcriptie

1 1 / 64 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date:

2 2 / 64 Niet overal analytisch: een rangschikking 2. De hoofdklasse A: rationale functies: f (z) = z5 + z 2 + 3z + 4 z 3 + 4z 2 + 5z + 2 Probleem zit hem in noemer: punten waar het niet goed is. 3. De hoofdklasse B: analytische functies gedeeld door andere analytische functies f (z) = sin z z 2 + z + 1 of f (z) = z cos z

3 3 / 64 Niet overal analytisch: een rangschikking 2. De hoofdklasse A: rationale functies: f (z) = z5 + z 2 + 3z + 4 z 3 + 4z 2 + 5z + 2 Probleem zit hem in noemer: punten waar het niet goed is. 3. De hoofdklasse B: analytische functies gedeeld door andere analytische functies f (z) = sin z z 2 + z + 1 of f (z) = z cos z a Van belang: de noemer, want die kan 0 worden en daar is de functie (mogelijk) niet analytisch

4 4 / 64 Niet overal analytisch: een rangschikking 2. De hoofdklasse A: rationale functies: f (z) = z5 + z 2 + 3z + 4 z 3 + 4z 2 + 5z + 2 Probleem zit hem in noemer: punten waar het niet goed is. 3. De hoofdklasse B: analytische functies gedeeld door andere analytische functies f (z) = sin z z 2 + z + 1 of f (z) = z cos z a Van belang: de noemer, want die kan 0 worden en daar is de functie (mogelijk) niet analytisch b Hoofdklasse A, rationale functies, is iets gemakkelijker; vandaar dat we ze apart nemen.

5 5 / 64 De hoofdklassen A en B Functies uit de hoofdklasse worden gekarakteriseerd door: 1. De functie heeft tenminste één singulariteit, anders zou hij in de superklasse zitten; 2. De functie is NIET meerwaardig, dus geen rare branch cuts (sneden) in het complexe vlak 3. De functie heeft dus een aantal polen (punten waarin de functie opblaast) a PUNTEN en dus geen lijnen b Het mogen wel oneindig veel polen zijn

6 6 / 64 De hoofdklassen A en B Een functie heeft een singulariteit van orde p in het punt z = z 0 als f geschreven kan worden f (z) = α (z z 0 ) p + lagere ordes, bv. β (z z 0 ) p 1 Singulariteiten worden gekarakteriseerd door: 1. De positie van de pool z 0 2. De orde van de pool p; dit is dus de hoogste macht! 3. De sterkte van de pool α Alledrie belangrijk! Deze zullen we later telkens en telkens en telkens weer nodig hebben!

7 7 / 64 De hoofdklassen A en B: speciaal geval f (z) α z z 0 De singulariteiten van orde 1 zijn bepaald door: 1. De positie van de pool z 0 2. De orde van de pool is (in dit geval per definitie) 1 3. De sterkte van de pool α noemen we in dit geval het residu.

8 8 / 64 De hoofdklassen A en B: speciaal geval f (z) α z z 0 De singulariteiten van orde 1 zijn bepaald door: 1. De positie van de pool z 0 2. De orde van de pool is (in dit geval per definitie) 1 3. De sterkte van de pool α noemen we in dit geval het residu. Verderop krijgen we ook te maken met residuen van hogere orde polen, maar data alleen nog maar voor functies in de hoofdklasse A

9 9 / 64 De hoofdklassen A en B: voorbeelden f (z) = 1 z 2 f (z) = π (z 1) 2

10 10 / 64 De hoofdklassen A en B: voorbeelden f (z) = 1 z 2 f (z) = π (z 1) 2 één enkele pool in z = 2, α = 1

11 11 / 64 De hoofdklassen A en B: voorbeelden f (z) = 1 z 2 f (z) = één enkele pool in z = 2, α = 1 π (z 1) 2 één dubbele pool in z = 1, α = π

12 12 / 64 De hoofdklassen A en B: voorbeelden Moeilijkere gevallen: f (z) = 1 sin z

13 13 / 64 De hoofdklassen A en B: voorbeelden Moeilijkere gevallen: f (z) = 1 sin z sin heeft nulpunten in de punten z = kπ, k = 0, ±1, ±2,.... Er zijn dus oneindig veel polen, en die zijn allemaal enkelvoudig: sterkte?

14 14 / 64 De hoofdklassen A en B: voorbeelden Moeilijkere gevallen: f (z) = 1 sin z sin heeft nulpunten in de punten z = kπ, k = 0, ±1, ±2,.... Er zijn dus oneindig veel polen, en die zijn allemaal enkelvoudig: sterkte? Taylor: f (z) = f (z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) +... geeft sin(z) = sin(kπ)+cos(kπ)(z kπ)+... = 0+( 1) k (z kπ)+... dus de sterkte is ( 1) k.

15 15 / 64 De hoofdklassen A en B: voorbeelden Moeilijkere gevallen: f (z) = sin z z 2 Ook hier Talylor nodig! (Dus handig op (elk wiskunde)tentamen!

16 16 / 64 De hoofdklassen A en B: voorbeelden STELLING VAN TAYLOR dus! sin z = z 1 6 z z5... cos z = z z exp(z) = 1 + z z z3 +...

17 17 / 64 De hoofdklassen A en B: voorbeelden Moeilijkere gevallen: f (z) = sin z z 2

18 18 / 64 De hoofdklassen A en B: voorbeelden Moeilijkere gevallen: f (z) = sin z z 2 met Taylor: sin z = z 1 6 z ofwel f (z) z 1 6 z3 z 2 = 1 z +... dus een enkele pool in z = 0 met sterkte 1.

19 19 / 64 De hoofdklassen A en B: voorbeelden Moeilijkere gevallen: f (z) = sin z z

20 20 / 64 De hoofdklassen A en B: voorbeelden Moeilijkere gevallen: f (z) = sin z z met Taylor: sin z = z 1 6 z ofwel f (z) z 1 6 z3 z = dus geen pool, dus niet in de hoofdklasse maar in de superliga

21 21 / 64 Hoofdklasse A In deze twee weken: alleen hoofdklasse A, dwz rationale functies ofwel functies van het type met P, Q polynomen in z. f (z) = P(z) Q(z)

22 22 / 64 Polynomen Polynomen zjn van de vorm: p(z) = a 0 + a 1 z +... a n z n of iets algemener rationale functies: r(z) = a 0 + a 1 z +... a n z n b 0 + b 1 z +... b m z m = a nz n +... a 1 z + a 0 b m z m +... b 1 z + b 0

23 23 / 64 Polynomen Polynomen kan graad n heeft n mogelijk complexwaardige wortels, multipliciteiten meegeteld: p(z) = iz 3 + (1 i)z 2 + ( 1 + 2i)z 2i wordt gefactoriseerd tot: en is gelijk aan p(z) = i(z 1)(z + i)(z 2i) q(z) = iz 3 (2 + i)z 2 + (2 i)z + i q(z) = i(z 1)(z + i) 2 NB: de leidende term (a n ) moet niet nul zijn natuurlijk!

24 24 / 64 Polynomen Als je een polynoom hebt waarvan je een wortel weet kun je deze eruit delen (factorizeren) met behulp van staartdelen: q(z) = z 2 (1 + i)z + i heeft wortel in z = 1

25 25 / 64 Rationale functies zijn van de vorm: r(z) = a nz n a 1 z + a 0 b m z m +... b 1 z + b 0 Zowel boven en onder kunnen we factorizeren: r(z) = a n(z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) b m (z q 1 )(z q 2 )... (z q m ) Als er boven dezelfde wortels voorkomen kan je die uitdelen

26 26 / 64 Breuksplitsen: bepalen van polen en hun sterkte Als r(z) = en er geldt dan geldt dat a n z n a 1 z + a 0 b m (z q 0 ) α 0 (z q1 ) α 1 (z qk ) α k n m = k l=0 α l a m 1 r(z) = p(z) + zm a 1 z + a 0 b m (z q 0 ) α 0 (z q1 ) α 1 (z qk ) α k en p(z) een polynoom.

27 27 / 64 Breuksplitsen: bepalen van polen en hun sterkte Als r(z) = en er geldt dan geldt dat a n z n a 1 z + a 0 b m (z q 0 ) α 0 (z q1 ) α 1 (z qk ) α k n m = k l=0 α l a m 1 r(z) = p(z) + zm a 1 z + a 0 b m (z q 0 ) α 0 (z q1 ) α 1 (z qk ) α k en p(z) een polynoom. Fijn. We doen maar een voorbeeld.

28 28 / 64 Breuksplitsen Als r(z) = z3 + 2z 2 + z + 3 z 2, dus n = 3 2 = m + 1

29 29 / 64 Breuksplitsen Als r(z) = z3 + 2z 2 + z + 3 z 2, dus n = 3 2 = m + 1 dan is r te schrijven als (stap 1) r(z) = z + z3 + 2z 2 + z + 3 z(z 2 + 1) z = z + z2 + z + 2 z 2 + 1

30 30 / 64 Breuksplitsen Als r(z) = z3 + 2z 2 + z + 3 z 2, dus n = 3 2 = m + 1 dan is r te schrijven als (stap 1) r(z) = z + z3 + 2z 2 + z + 3 z(z 2 + 1) z = z + z2 + z + 2 z en ook als (stap 2) r(z) = z z2 + z (z 2 + 1) z = z z + 1 z en dit is van de goede vorm.

31 31 / 64 Breuksplitsen Als a n z n a 1 z + a 0 r(z) = b m (z q 0 ) α 0 (z q1 ) α 1 (z qk ) α k en er geldt n < m = kun je breuksplitsen. k l=0 α l

32 32 / 64 Breuksplitsen Als a n z n a 1 z + a 0 r(z) = b m (z q 0 ) α 0 (z q1 ) α 1 (z qk ) α k en er geldt n < m = kun je breuksplitsen. k l=0 α l Fijn. We doen ook maar een voorbeeld.

33 33 / 64 Breuksplitsen Als dan is r te schrijven als r(z) = 25(z + 1) (z i) 2 (z 2) r(z) = a 1 z i + a 2 (z i) 2 + a 3 z 2 want graad boven is kleiner dan onder. De set a 1, a 2, a 3 zijn getallen, mogelijk complexwaardig.

34 34 / 64 Vijf-minuten-vraag Als dan is r te schrijven als Bepaal a 1, a 2, a 3. r(z) = 25(z + 1) (z i) 2 (z 2) r(z) = a 1 z i + a 2 (z i) 2 + a 3 z 2

35 35 / 64 Vijf-minuten-vraag Als dan is r te schrijven als r(z) = z + 1 (z i) 2 (z 2) r(z) = a 1 z i + a 2 (z i) 2 + a 3 z 2 = a 1(z i)(z 2) + a 2 (z 2) + a 3 (z i) 2 (z i) 2 (z 2) = z2 (a 1 + a 3 ) + z( (2 + i)a 1 + a 2 2ia 3 ) + 2ia 1 2a 2 a 3 (z i) 2 (z 2) en dus 3 vergelijkingen met 3 onbekenden: a 1 + a 3 = 0, (2 + i)a 1 + a 2 2ia 3 = 25, 2ia 1 2a 2 a 3 = 25

36 36 / 64 Vijf-minuten-vraag Vergelijkingen: a 1 + a 3 = 0, (2 + i)a 1 + a 2 2ia 3 = 25, 2ia 1 2a 2 a 3 = 25 Nee, dit gaat nooit goed voor het bord: a 1 = 9 12i, a 2 = 5 15i, a 3 = i Dus r(z) = i z i i (z i) i (z 2)

37 37 / 64 Vijf-minuten-vraag Vergelijkingen: a 1 + a 3 = 0, (2 + i)a 1 + a 2 2ia 3 = 25, 2ia 1 2a 2 a 3 = 25 Nee, dit gaat nooit goed voor het bord: a 1 = 9 12i, a 2 = 5 15i, a 3 = i Dus r(z) = i z i i (z i) i (z 2) Deze functie heeft een 2e orde pool in z = i en een 1e orde pool in z = 2.

38 38 / 64 Een definitie Definitie: Een rationale functie f (z) heeft een pool van orde n in een bepaald z 0 als lim (z z 0 ) n f (z) bestaat en niet 0 is z z 0

39 39 / 64 Een definitie Definitie: Een rationale functie f (z) heeft een pool van orde n in een bepaald z 0 als lim (z z 0 ) n f (z) bestaat en niet 0 is z z 0 f (z) = 1 (z 1) 10 heeft een 10e orde pool in z = 1

40 40 / 64 Een stelling Stelling: Een rationale functie f (z) kan gebreuksplitst worden en deze functie is analytisch in heel C, uitgezonderd in de posities van de polen.

41 41 / 64 Een stelling Stelling: Een rationale functie f (z) kan gebreuksplitst worden en deze functie is analytisch in heel C, uitgezonderd in de posities van de polen. r(z) = i z i i z i (z i) 2 Deze functie is analytisch behalve in de punten z = i en z = 2.

42 42 / 64 Nog een definitie Definitie: Van een rationale functie f (z) is het residu in een punt z 0 gedefinieerd door de term evenredig in (z z 0 ) 1 in zijn gebreuksplitste vorm.

43 43 / 64 Nog een definitie Definitie: Van een rationale functie f (z) is het residu in een punt z 0 gedefinieerd door de term evenredig in (z z 0 ) 1 in zijn gebreuksplitste vorm. r(z) = i z i i z i (z i) 2 De residuen in de punten z = i en z = 2 zijn resp. 9 12i en i.

44 44 / 64 Nog een definitie Definitie: Van een rationale functie f (z) is het residu in een punt z 0 gedefinieerd door de term evenredig in (z z 0 ) 1 in zijn gebreuksplitste vorm. r(z) = i z i i z i (z i) 2 De residuen in de punten z = i en z = 2 zijn resp. 9 12i en i. Let op: het moet van de vorm zijn: 1 z z 0 (Scheelt een minteken!) en niet! 1 z 0 z

45 45 / 64 Samenvatting: hoofdklasse A Elke rationale functie kan je breuksplitsen; Van die vorm kan je aflezen: de positie, sterkte, orde van elke singulariteit; Het residu van elke singulariteit;

46 46 / 64 Voorbeeld f (z) = 8z2 18z + 9 z 3 4z 2 + 5z 2 = 1 (z 1) z z 2 (reken maar na...)

47 47 / 64 Voorbeeld f (z) = 8z2 18z + 9 z 3 4z 2 + 5z 2 = 1 (z 1) z z 2 (reken maar na...) z = 2 is een pool van orde 1, sterkte 5, residu ook 5

48 48 / 64 Voorbeeld f (z) = 8z2 18z + 9 z 3 4z 2 + 5z 2 = 1 (z 1) z z 2 (reken maar na...) z = 2 is een pool van orde 1, sterkte 5, residu ook 5 z = 1 is een pool van orde 2, sterkte 1, residu 3 (!)

49 49 / 64 Vijf-minuten-vraag Vind de polen (dus orde, positie, sterkte en nu ook het residu) van 2z q = z 2 + 3z z + 1

50 50 / 64 Vijf-minuten-vraag Vind de polen (dus orde, positie, sterkte en nu ook het residu) van 2z q = z 2 + 3z z + 1 Onder één noemer brengen: q = 2z z 2 + 3z (z + 2) (z + 1)(z + 2) = 4z + 4 (z + 1)(z + 2) = 4 z + 2 dus één 1e orde pool in z = 2 met sterkte en dus residu 4 (en geen in z = 1!)

51 51 / 64 Vijf-minuten-vraag Bepaal van f 1 (z) = 2 z 1, f 2(z) = het residu in z = 1. 2 (z 1) 2, f 3(z) = 2 (z 1)(z + 1)

52 52 / 64 Vijf-minuten-vraag Bepaal van f 1 (z) = 2 z 1, f 2(z) = 2 (z 1) 2, f 3(z) = het residu in z = 1. Voor f 1, f 2 kun je het aflezen want zij staan in de standaardvorm: 2, resp. 0. Voor f 2 lijkt dit raar maar: f 2 (z) = 2 (z 1) z 1 2 (z 1)(z + 1)

53 53 / 64 Vijf-minuten-vraag Bepaal van f 1 (z) = 2 z 1, f 2(z) = het residu in z = 1. 2 (z 1) 2, f 3(z) = 2 (z 1)(z + 1)

54 54 / 64 Vijf-minuten-vraag Bepaal van f 1 (z) = 2 z 1, f 2(z) = het residu in z = 1. 2 (z 1) 2, f 3(z) = 2 (z 1)(z + 1) f 3 (z) = 2 (z 1)(z + 1) = a z 1 + b a(z + 1) + b(z 1) = z + 1 (z 1)(z + 1)

55 Vijf-minuten-vraag Bepaal van f 1 (z) = 2 z 1, f 2(z) = het residu in z = 1. 2 (z 1) 2, f 3(z) = 2 (z 1)(z + 1) f 3 (z) = 2 (z 1)(z + 1) = a z 1 + b a(z + 1) + b(z 1) = z + 1 (z 1)(z + 1) dus a + b = 0, a b = 2, dus a = b = 1: f 3 (z) = 1 z z + 1 Deze functie heeft dus een eerste orde pool in z = 1 met sterkte en residu / 64

56 56 / 64 Vijf-minuten-vraag Bepaal van f 4 (z) = z3 z 1, f 5(z) = 2 (z i) 2 (z 1), alle singulariteiten (sterkte, positie, orde) én residuen.

57 57 / 64 Vijf-minuten-vraag Bepaal van f 4 (z) = z3 z 1, f 5(z) = 2 (z i) 2 (z 1), alle singulariteiten (sterkte, positie, orde) én residuen. Teller heeft nu een grotere macht dus eerst wegwerken: f 4 (z) = z 2 + z3 z 2 (z 1) z 1 = z 2 + z2 z 1 = z2 + z + z z 1 en dus f 4 (z) = z 2 + z z 1 Aleen een 1e orde pool in z = 1 met sterkte/residu gelijk aan 1.

58 58 / 64 f 5 (z) = 2 (z i) 2 (z 1) Nu is het vervelender vanwege de i-tjes: 2 (z i) 2 (z 1) = a z i + b (z i) 2 + c z 1 2 = a(z i)(z 1) + b(z 1) + c(z i) 2 a(z 2 z(1 + i) + i) + b(z 1) + c(z 2 2zi 1) = 2 dus a + c = 0, a(1 + i) + b 2ci = 0, ai b c = 2 c = a invullen: a(1 i) + b = 0, a(1 + i) b = 2 b = a(1 i) invullen: 2ai = 2 a = i, b = 1 i, c = i

59 59 / 64 f 5 (z) = 2 (z i) 2 (z 1) Nu is het vervelender vanwege de i-tjes: 2 (z i) 2 (z 1) = a z i + b (z i) 2 + c z 1 geeft en dus Dus: a = i, b = 1 i, c = i f 5 (z) = i z i + 1 i (z i) 2 + i z 1

60 60 / 64 f 5 (z) = 2 (z i) 2 (z 1) Nu is het vervelender vanwege de i-tjes: 2 (z i) 2 (z 1) = a z i + b (z i) 2 + c z 1 geeft a = i, b = 1 i, c = i en dus Dus: f 5 (z) = i z i + 1 i (z i) 2 + i z 1 In z = 1 een 1e orde pool met sterkte/residu i;

61 61 / 64 f 5 (z) = 2 (z i) 2 (z 1) Nu is het vervelender vanwege de i-tjes: 2 (z i) 2 (z 1) = a z i + b (z i) 2 + c z 1 geeft a = i, b = 1 i, c = i en dus Dus: f 5 (z) = i z i + 1 i (z i) 2 + i z 1 In z = 1 een 1e orde pool met sterkte/residu i; In z = i een 2e orde pool met sterkte 1 i en residu i.

62 62 / 64 Vijf-minuten-vraag In welke punten heeft de functie f (z) = z 2 (z + 1)(z + 2) 2 een residu ongelijk 0? Hoe groot zijn deze residuen?

63 63 / 64 Vijf-minuten-vraag In welke punten heeft de functie f (z) = z 2 (z + 1)(z + 2) 2 een residu ongelijk 0? Hoe groot zijn deze residuen? In z = 1 kan je het antwoord zien : z 2 f (z) = 1 ( 1)2 Res( 1) = z + 1 (z + 2) 2 ( 1 + 2) 2 = 1

64 64 / 64 Vijf-minuten-vraag In welke punten heeft de functie f (z) = z 2 (z + 1)(z + 2) 2 een residu ongelijk 0? Hoe groot zijn deze residuen? In z = 1 kan je het antwoord zien : z 2 f (z) = 1 ( 1)2 Res( 1) = z + 1 (z + 2) 2 ( 1 + 2) 2 = 1 Dit lukt alleen als de pool enkelvoudig is; dus, please, altijd zorgvuldig zijn (en breuksplitsen als check).

65 65 / 64 Vijf-minuten-vraag In z = 2 is het moelijker omdat er een dubbele pool is: breuksplitsen, voorlopig zit er niets anders op... f (z) = a z b z en bereken a, b, c; antwoord is gelijk aan b. c (z + 2) 2

66 66 / 64 Vijf-minuten-vraag In z = 2 is het moelijker omdat er een dubbele pool is: breuksplitsen, voorlopig zit er niets anders op... f (z) = a z b z en bereken a, b, c; antwoord is gelijk aan b. c (z + 2) 2 z 2 = a(z + 2) 2 + b(z + 1)(z + 2) + c(z + 1) a + b = 1, 4a + 3b + c = 0, 4a + 2b + c = 0 (2 3) : b = 0; 1 : a = 1, 2 : c = 4. Residu (z = 2) = b = 0.