Rekenen met cijfers en letters

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Rekenen met cijfers en letters"

Transcriptie

1 Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis

2

3 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen Optellen Opgaven Aftrekken Opgaven Gemengde opgaven optellen en aftrekken Vermenigvuldigen Opgaven Delen Opgaven Delen op nul Opgaven Delen door nul Nul gedeeld door nul Machtsverheffen Opgaven Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal Opgaven Delen van machten met hetzelfde grondtal Opgaven Machten van machten Opgaven Combinaties van bewerkingen Opgaven Breuken. De breuk Opgaven Optellen van breuken Opgaven Aftrekken van breuken Opgaven Vermenigvuldigen van breuken

4 4 INHOUDSOPGAVE.8 Opgaven Delen van breuken Opgaven Een deel van een deel Opgaven Decimale schrijfwijze Opgaven Procenten Opgaven Korter schrijven 4. Opgaven Optellen met letters Opgaven Meer letters Opgaven Rekenen met letters Opgaven Aftrekken Opgaven Het tegengestelde van x+y Opgaven Vermenigvuldigen Opgaven Delen Opgaven Machten Opgaven Delen van machten Opgaven Machten van machten Opgaven Vereenvoudigen van breuken met letters Opgaven Optellen en aftrekken van breuken Opgaven Vermenigvuldigen van breuken Opgaven Haakjes wegwerken I Opgaven Haakjes wegwerken II Opgaven (a + b) Opgaven (a + b)(a b)

5 INHOUDSOPGAVE Opgaven Haakjesvaria Ontbinden in factoren 8 5. Ontbinden in factoren I Opgaven Ontbinden in factoren II Opgaven Ontbinden allerlei Breuken Vereenvoudigen Optellen en aftrekken van breuken met letters Opgaven Breuken met letters vermenigvuldigen en delen Opgaven

6 6 INHOUDSOPGAVE

7 Hoofdstuk Rekenen met gehele getallen. De gehele getallen De getallen 0,,,, 4,... heten de natuurlijke getallen. Ze worden aangegeven met het symbool N De natuurlijke getallen kunnen we op een lijn zetten: de getallenlijn. Met natuurlijke getallen kunnen we ieder tweetal getallen bij elkaar optellen. Maar als je alleen natuurlijke getallen gebruikt kun je niet ieder tweetal getallen van elkaar aftrekken. Zo kun je 5 wel uitrekenen als je alleen Natuurlijke getallen gebruikt, maar 5 niet. De rij getallen op de getallenlijn kunnen we naar links uitbreiden: De getallen..., 4,,,, 0,,,, 4,... heten de gehele getallen. Ze worden aangegeven met het symbool Z De getallen,,,.. heten de positieve gehele getallen. Ze worden aangegeven met het symbool Z + De getallen..., 4,,, heten de negatieve gehele getallen. Ze worden aangegeven met het symbool Z Twee getallen, zoals en - of 4 en -4, die slechts van teken verschillen heten elkaars tegengesteld 7

8 8 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN. Optellen Om na te gaan hoe je met gehele getallen kunt optellen zo dat het optellen met gehele getallen een voortzetting is van het optellen met natuurlijke getallen maken we volgende tabel: 4 + = = = = = 4 + = 4 + = = = = = De getallen en 4 in + 4 = 7 heten de termen. Het getal 7 heet de somvan en 4. We zien dat optellenmet een getal hetzelfde resultaat geeft als aftrekkenmet het tegengesteld De eigenschap dat je bij het optellen van natuurlijke getallen, bijvoorbeeld de volgorde van de termen mag verwisselen: = 6 + 4, heet de commutatieve eigenschap van het optellen. Omdat de gehele getallen een uitbreiding zijn van de natuurlijke getallen spreken we voor het optellen van gehele getallen af, dat we ook voor die getallen de volgorde in de optelling mogen verwisselen. Bijvoorbeeld: = Opgaven Som Schrijf het tegengestelde op van: Som Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit:

9 .. OPGAVEN Som Schrijf de opgave over en bereken: Som 4 Schrijf de opgave over en bereken: Som 5 Schrijf de opgave over en bereken: Som 6 Schrijf de opgave over en bereken:

10 0 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN Som 7 Schrijf de opgave over en bereken: Som 8 Schrijf de opgave over en bereken: Som 9 Schrijf de opgave over en bereken: Som 0 Schrijf de opgave over en bereken:

11 .4. AFTREKKEN.4 Aftrekken Hoe je gehele getallen van elkaar kunt aftrekken zo dat het aftrekken met gehele getallen een voortzetting is van het aftrekken met natuurlijke getallen maken we volgende tabel: 4 = 4 = 4 = 4 0 = 4 4 = 5 4 = 6 4 = = 8 Dus: aftrekken met een getal levert hetzelfde resultaat als optellen met het tegengesteld.5 Opgaven Som Schrijf de opgave over en bereken: Som Schrijf de opgave over en bereken Som Schrijf de opgave over en bereken:

12 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN Som 4 Schrijf de opgaven over en bereken: Som 5 Schrijf de opgave over en bereken: Gemengde opgaven optellen en aftrekken Som 6 Schrijf de som over en bereken Som 7 Schrijf de som over en bereken

13 .6. GEMENGDE OPGAVEN OPTELLEN EN AFTREKKEN Som 8 Schrijf de som over en bereken Som 9 Schrijf de som over en bereken Som 0 Schrijf de som over en bereken: Som Schrijf de som over en bereken: Som Schrijf de som over en bereken

14 4 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN Som Schrijf de som over en bereken Som 4 Schrijf de som over en bereken Som 5 Schrijf de som over en bereken Vermenigvuldigen Gehele getallen kun je net zo vermenigvuldigen als gehele getallen. We maken volgende tabel: 4 = 4 = 8

15 .8. OPGAVEN 5 4 = = 0 4 = 4 4 = 8 4 = 4 4 = = 0 Zoals 4 = 4 spreken we af dat deze eigenschap ook geldt voor vermenigvuldigen met gehele getallen: 4 = 4 Met deze eigenschap kunnen we de volgende tabel maken: 4 = 4 = 8 4 = = 0 4 = 4 4 = 8 4 = 4 4 = = 0 We zien dat voor vermenigvuldigen met gehele getallen geldt: positief getal positief getal = positief getal positief getal negatief getal = negatief getal negatief getal positief getal = negatief getal negatief getal negatief getal = positief getal.8 Opgaven Som 6 Schrijf de sommen over en bereken Som 7 Schrijf de som over en bereken

16 6 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN Som 8 Schrijf de som over en bereken Som 9 Schrijf de som over en bereken: Som 0 Schrijf de som over en bereken Som Schrijf de som over en bereken

17 .9. DELEN Delen 4 =, omdat 4 = Daarom is 4 = : Immers 4 = Zo is: 4 = omdat 4 = 4 = omdat 4 =.0 Opgaven Som Schrijf de opgave over en reken uit: Som Schrijf de opgave over en reken uit: Delen op nul 0 = 0, want 0 = 0. Net zo is 0 4 = 0 en 0 7 = 0

18 8 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN. Opgaven Som 4 Schrijf over en bereken Delen door nul 0 =? Welk getal kan er op de plaats van het vraagteken staan? Als je op de plaats van? een getal denkt, dan moet 0? =. Maar je ziet dat er op de plaats geen enkel getal gezet kan worden. Dus: Delen door nul kan niet..4 Nul gedeeld door nul 0 0 =? Wel getal kan er op de plaats van??. Voor zo n getal moet gelden: 0? = 0. Maar dan kan op de plaats van? ieder getal staan. Daarom zeggen we 0 0 kan niet..5 Machtsverheffen 5 4 is de korte schrijfwijze van Een uitdrukking als 5 4 heet een macht. De 5 heet het grondtal De 4 heet de exponent Voorbeelden:. 4 = = 64. ( ) 4 = = 8. Pas op: 4 =.6 Opgaven Som 5 Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht.

19 .7. VERMENIGVULDIGEN VAN MACHTEN MET HETZELFDE GRONDTAL ( ) ( ) ( ) 4 Som 6 Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht. ( ) ( ) 4 ( ) 5 ( ) Som 7 Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht ( ) ( ) ( ) 4 Som 8 Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht. ( ) ( ) 4 ( ) 5 ( ) Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal Omdat 7 4 = en 7 5 = is = = 7 } {{ } } {{ } 9 4 factoren 7 5 factoren 7 Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigt, dan moet je de exponenten van die machten bij elkaar optellen.

20 0 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN.8 Opgaven Som 9 Schrijf als één macht Delen van machten met hetzelfde grondtal = 7 8 omdat 7 = Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal op elkaar deelt, dan moet je de exponenten van die machten van elkaar aftrekken..0 Opgaven Som 40 Schrijf als één macht: Machten van machten 7 54 heet een macht van een macht. Het is de 4-de macht van = } {{ } 4 factoren 7 5 = 7 0 Als je een macht van een macht wilt schrijven als één macht, dan moet je de exponenten van de beide machten met elkaar vermenigvuldigen.. Opgaven Som 4 Schrijf de machten als macht van één grondtal:

21 .. COMBINATIES VAN BEWERKINGEN ( ) 4 4 ( 4) ( ) 456. Combinaties van bewerkingen Gevraagd: Bereken Omdat 5 6 betekent moet je bij eerst 5 6 uitrekenen en dan pas bij de uitkomst 4 optellen. Dus vermenigvuldigen gaat voor optellen = = 4 Zou je toch eerst 4 en 5 willen optellen, dan moet je haakjes gebruiken: (4 + 5) 6 = 9 6 = 54.4 Opgaven Som 4 Bereken: (4 + 5) (6 + 7) (4 + 5) (6 + 7) Som 4 Bereken: (4 5) (6 + 7) (4 5) 6 ( 4 5)

22 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN Som 44 Bereken (5 7) (5 9) (5 ) (5 8) 0 (4 6) + Som 45 Bereken (9+8) ( )

23 Hoofdstuk Breuken. De breuk Hieronder zie je hoe je op een getallenlijn de deling 6 je kunt voorstellen. Het deel van de getallenlijn vanaf 0 tot en met 6 is in drie gelijke delen verdeel Ieder deel heeft de lengte en het eerste deel loopt van 0 tot en met, precies het getal = 6. Zoals 6 kun je ook van de deling een voorstelling maken: De uitkomst van de deling noemen we de breuk. Het getal in de breuk heet de teller. Het getal in de breuk heet de noemer. Twee breuken met dezelfde noemer heten gelijknamige breuken. Dat = 6 kun je in het volgende plaatje zien:

24 4 HOOFDSTUK. BREUKEN Gevolg: Als je de teller en de noemer van een breuk door hetzelfde getal(niet nul) deelt dan blijft de waarde van die breuk gelijk. Als je de teller en de noemer van een brei met hetzelfde getal(niet nul) vermenigvuldigt dan blijft de waarde van die breuk gelijk. Een breuk vereenvoudigje door de teller en de noemer door hetzelfde (meestal gehele) getal te delen. Met de uitdrukking 4 bedoelen we + 4 Voor 4 kunnen we ook 5 4 schrijven.. Opgaven Som 46 Laat met een getallenlijn zien: 0 5 = 0 = = = 4 = 5 4 Som 47 Vereenvoudig de volgende breuken zover mogelijk:

25 .. OPGAVEN 5 Som 48 Vereenvoudig Som 49 Vereenvoudig Som 50 Vul het ontbrekende getal in: 4 = = = = =... 4 = = = 6...

26 6 HOOFDSTUK. BREUKEN. Optellen van breuken Hieronder zie je op een getallenlijn de voorstelling van + 5 = 7 Om twee breuken, waarvan de noemers gelijk zijn, op te tellen moet je de tellers van die breuken bij elkaar optellen en de noemers blijven gelijk. Voorbeeld Om uit te rekenen moeten de breuken eerst gelijknamig gemaakt worden: = 8 4 = 9 Dus: = = 7 Voorbeeld: Bereken + 5 Uitwerking: = 5 5 = 8 5 Dus: = = 79 5 = Opgaven Som 5 Leg uit hoe je uitrekent. Som 5 Bereken

27 .4. OPGAVEN Som 5 Bereken Som 54 Bereken Som 55 Bereken Som 56 Bereken

28 8 HOOFDSTUK. BREUKEN Som 57 Bereken

29 .5. AFTREKKEN VAN BREUKEN 9.5 Aftrekken van breuken Hieronder zie je op een getallenlijn de voorstelling van 7 5 =. Om twee breuken, waarvan de noemer gelijk is, van elkaar af te trekken moet je de tellers van die breuken van elkaar aftrekken en de noemers blijven gelijk..6 Opgaven Som 58 Maak de tekening met een getallenlijn om te laten zien dat 7 = 5. Som 59 Bereken Som 60 Bereken

30 0 HOOFDSTUK. BREUKEN Som 6 Bereken Som 6 Bereken Som 6 Bereken Som 64 Bereken

31 .7. VERMENIGVULDIGEN VAN BREUKEN.7 Vermenigvuldigen van breuken Voor de vermenigvuldiging van de breuken 5 en 7 maken we de volgende afspraak: 5 7 = 6 5 Twee breuken vermenigvuldig je door: teller teller en noemer noemer. Zo is: 5 = = 8 5 = Een geheel getal zoals 4 kun je ook al een breuk zien:. Dan is 4 5 = Opgaven Som 65 Bereken en vereenvoudig het antwoord Som 66 Bereken en vereenvoudig het antwoord Som 67 Bereken en vereenvoudig het antwoord

32 HOOFDSTUK. BREUKEN

33 .9. DELEN VAN BREUKEN.9 Delen van breuken Want 8 = 4 Als we de uitdrukking 4 8 = 8 ook als breuk beschouwen, dan weten we dat we de teller en de noemer met hetzelfde getal mogen vermeningvuldigen: = = 8 = 4 = 4 Belangrijk is het stukje: 8 = 8 Daarom zeggen we: Delen door een breuk (hier 8 levert hetzelfde antwoord als vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk ( 8 = 8) Zo is dus: = = 6.0 Opgaven Som 68 Bereken Som 69 Ontbind in factoren

34 4 HOOFDSTUK. BREUKEN

35 .. EEN DEEL VAN EEN DEEL 5. Een deel van een deel Hieronder is deel van de oppervlakte van een rechthoek gearceerd: Hieronder is van het deel nu het 5 deel gearceerd: Het gearceerde deel is het 5 deel van de oorspronkelijke rechthoek. Dus het deel van het 5 deel is het 5 = 5 deel van het geheel.. Opgaven Som 70 Bereken wel deel van het geheel is: deel van het 4 deel. 5 deel van het deel. 7 deel van de helft. 5 deel van het 5 deel. 5 deel van het 5 deel.

36 6 HOOFDSTUK. BREUKEN. Decimale schrijfwijze In het getal 5 staat de voor 00 de voor 0 de 5 voor 5 Zo kunnen we 0 schrijven als 0,. 00 als 0,0, 000 als 0,00. En zo verder. Willen we 4 schrijven als decimale breuk, dan moeten we bepalen hoeveel tienden, hondersten, duizenden,..., er in 4 gaan. Om uit te rekenen hoeveel tienden er in 4 gaan, delen we 4 door 0 : Er gaan dus 0 in 4 en je houdt nog: 4 0 = 4 0 = 4 0 = = 5 00 Dus 4 = Een staartdeling is de korte, misschien bekende manier van opschrijven van het proces hierboven:.4 Opgaven Som 7 Schrijf de volgende breuken in de decimale schrijfwijze

37 .4. OPGAVEN Som 7 Schrijf de volgende breuken in de decimale schrijfwijze Som 7 Schrijf de volgende getallen als een breuk 0,45 0,54 0,0 0,75 0,7 0,65 0,00 0,875

38 8 HOOFDSTUK. BREUKEN.5 Procenten De oorsprong van het woord pro-cent is per honderd Als je leest: 4 is per 4, dan is per 4 gelijk aan 5 per 00. Het aantal per 00 is het percentage Dus 4 = 5% Om een breuk, zoals hier 4 in de vorm van procenten te schrijven, kun je als volgt te werk gaan: schrijf de breuk (hier 4 )in decimale vorm: 0,5 dit betekent 5 00 en dus is 4 = 5% Zo is 5% van 8 is dus 5 8 = 0, 5 8 = 9, Opgaven Som 74 Schrijf de volgende breuken als procenten Som 75 Schrijf de volgende breuken als procenten Som 76 Schrijf de volgende percentages als breuk

39 .6. OPGAVEN 9 0% 5 % 5% 40% 45%,5% 65% 8% Som 77 Bereken 5% van 7 8% van 0 4% van % van 847 8% van 89 4% van % van 748 0, % van 0,5 Som 78 Hoeveel procent is: van van 0 van 50 0 van van 8 8 van 78 0,4 van 8 9, van 8,7 Som 79 De prijs en de korting in procenten van de prijs zijn gegeven.bereken de nieuwe prijs: De prijs is euro. De korting is % De prijs is euro. De korting is 5% De prijs is 4 euro. De korting is 8% De prijs is 5 euro. De korting is 6% De prijs is euro. De korting is,% De prijs is,4 euro. De korting is,4% De prijs is 04 euro. De korting is 6,5% De prijs is 54 euro. De korting is 7,% Som 80 De prijs en de verhoging in procenten van de prijs zijn gegeven, bereken de nieuwe prijs: De prijs is euro. De verhoging is % De prijs is euro. De verhoging is 5% De prijs is 4 euro. De verhoging is 8% De prijs is 5 euro. De verhoging is 6%

40 40 HOOFDSTUK. BREUKEN De prijs is euro. De verhoging is,% De prijs is,4 euro. De verhoging is,4% De prijs is 04 euro. De verhoging is 6,5% De prijs is 54 euro. De verhoging is 7,% Som 8 De nieuwe prijs en de verhoging in procenten van de oude prijs zijn gegeven. Bereken de oude prijs: De nieuwe prijs is euro. De verhoging was % De nieuwe prijs is euro. De verhoging was 5% De nieuwe prijs is 4 euro. De verhoging was 8% De nieuwe prijs is 5 euro. De verhoging was 6% De nieuwe prijs is euro. De verhoging was,% De nieuwe prijs is,4 euro. De verhoging was,4% De nieuwe prijs is 04 euro. De verhoging was 6,5% De nieuwe prijs is 54 euro. De verhoging was 7,% Som 8 De nieuwe prijs en de korting in procenten van de oude prijs zijn gegeven. Bereken de oude prijs: De nieuwe prijs is euro. De korting was % De nieuwe prijs is euro. De korting was 5% De nieuwe prijs is 4 euro. De korting was 8% De nieuwe prijs is 5 euro. De korting was 6% De nieuwe prijs is euro. De korting was,% De nieuwe prijs is,4 euro. De korting was,4% De nieuwe prijs is 04 euro. De korting was 6,5% De nieuwe prijs is 54 euro. De korting was 7,%

41 Hoofdstuk Korter schrijven = = = 4 9 Zoals de drie regels hierboven kunnen we er nog veel meer opschrijven. Behalve 7 of 8 of 9 kun je ieder getal kiezen. Ook : = 4 Merk op: Er wordt niets uitgerekend, maar alleen wordt korter geschreven. Omdat het er niet toe doet welk getal je kiest kunnen we ook opschrijven: a + a + a + a = 4 a Zo n uitdrukking betekent:welk getal je ok voor a invult, of het 7 of 8 of 9 of is, altijd is a + a + a + a = 4 Notatie: In plaats van het -teken wordt ook wel eens een gebruikt. Maar meestal schrijft men bij een vermenigvuldiging helemaal niets tussen een getal en een letter. Dus: a + a + a + a = 4 a = 4 a = 4a. Opgaven Som 8 Schrijf korter: } {{ } keer } {{ } 5keer

42 4 HOOFDSTUK. KORTER SCHRIJVEN Som 84 Schrijf korter: a + a + a a + a + a + a a + a a + a + a + a + a b + b + b + b p + p + p x + x + x + x + x y + y y } {{ } 00keer Som 85 Bereken voor a = 4 : a + a + a a + a a + a + a + a a + a a } {{ } 0keer 4a 5a a 0a Som 86 Bereken: 4a voor a = 5 a voor a = a voor a = 5 5a voor a = 8 6a voor a = 8 8a voor a = 4a voor a = 0a voor a =

43 .. OPTELLEN MET LETTERS 4. Optellen met letters 4a betekent a + a + a + a 5a betekent a + a + a + a + a Dus 4a + 5a = a + a + a + a+a + a + a + a + a = 9a Net zo is: 0a + 0a = a + a a } {{ } 0keer + a + a a } {{ } 0keer = a + a a = 50a } {{ } 50keer. Opgaven Som 87 Bereken (schrijf korter): 5a + 7a 5a + a 8a + a a + 7a 4x + 8x x + 8x 8x + 57x 4x + 7 Som 88 Bereken: 5p + 0p p + p p + 5p p + p 7q + 5q q + 8q q + 48q 9q + 6q Som 89 Bereken: 7a + 6a + 4a 8a + a + 0a 9x + 9x + 9x 6p + p + 4p 4q + 6q + q 9q + 9q + 8q 5m + 6m + 5m z + z + z Som 90 Bereken:

44 44 HOOFDSTUK. KORTER SCHRIJVEN 4x + x + 5x + 8x 5b + 4b + b + b 8y + 4y + 0y + 6y p + p + p + 4p a + a + a + 5a 6z + 6z + 6z + 6z 8p + 6p + 4p + p 6m + m + 9m + 5m Som 9 Schrijf de opgave over en bereken: 7a + a + 4a b + 4b + 5b c + c + 0c 4d + 5d + 6d p + p + p q + 4q + 5q x + x + x 5y + 5y + 5y Som 9 Schrijf de opgave over en bereken: 7a + 4a + a + a 6b + 4b + 9b + b 4c + 7c + c + c d + 9d + 7d + 5d p + 8p + 7p + 4p q + 0q + 6q + 4q 9x + 8x + 64x + 5x 8y + 75y + y y Som 9 Schrijf de opgave over en bereken: 9a + 5a + a 6b + 9b + 5b 6c + 9c + 5c 4d + d + 8d 5p + p + p 0q + 5q 4q 7x + x + 6x 4y + 9y + y.4 Meer letters De uitdrukking a + b kun je niet korter schrijven. a + b betekent dat je de getallen a en b bij elkaar wilt optellen als je weet hoe groot de getallen a en b zijn. De uitdrukking a + a + a + b + b + a + b kun je wel korter schrijven: a + a + a + b + b + a + b = 4a + Zo is dus 4a + 8a + 6b + 9b = a + 5

45 .5. OPGAVEN 45.5 Opgaven Som 94 Schrijf de opgave over en bereken: 7a + b + 4a a + 4a + 5b a + a + 0b 4a + 5b + 6a a + b + b x + 4x + 5y x + y + y 5x + 5y + 5x Som 95 Schrijf de opgave over en bereken: 7a + 4a + b + b 6a + 4b + 9a + b 4a a + a + 9b + 7b + 5a a a + 4b a + 0b + 6a + 4b 9a + 8a + 64a + 5b 8a + 75b + b + b Som 96 Schrijf de opgave over en bereken: 9x + 5y + y 6x + 9x + 5y 6x + 9y + 5y 4x + x + 8y 5y + y + x 0x + 5x 4 7x + + 6x 4y + 9y + Som 97 Bereken (schrijf korter): a + 7a + 5b + 8b x + 8y + y + 4x 7p + 5q + 5p + 7q n n 4p + p + 8q + q 7 + y y 4a + 6b + 7b + 8a 7c + 0c + 8d + 7d Som 98 Bereken (schrijf korter):

46 46 HOOFDSTUK. KORTER SCHRIJVEN 4x + x + 6y + 5x + y 9a + a + 5b + 6a + a 7m + m + 5m + n + 0n 8q q + 5q + a a a 6p + 4q + 9q + p + 5p p + 0q + p + 0q + p 6x + 5x + x + 8y + 7x Som 99 Bereken: 4a + b als a = en b = a + 5b als a = en b = a + 4b als a = en b = 5a + 8b als a = en b = 0 a a a als a = 6p + 4q + 9q + p + 5p als p = en q = p + 0q + p + 0q + p als p = en q = 6x+5x+x+8y +7x als x = en y = 0

47 Hoofdstuk 4 Rekenen met letters Twee getallen heten elkaars tegengestelde als hun som nul is. De getallen 7 en 7 zijn dus elkaars tegengestelde:7 + ( 7) = 0 Zo zijn de getallen a en a ook elkaars tegengestelde:a + ( a) = 0 Zo zijn ook a en ( a) elkaars tegengestelde want: a = a + a + a en ( a) = a + a + a en a + a + a + a + a + a = 0 Omdat ( a) = a geldt: a + a = 0. Dus het tegengestelde van a is a Voorbeelden: a + 8a = 5a 8a + a = 5a 4. Opgaven Som 00 Bereken: a + 8a 6a + 7a 5p + 4p 9p + 6p 6x + 5x x + 4x x + 5x x + 7x Som 0 Los op: m + 6m x + x 4p + 4p 7a + a 47

48 48 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS b + 7b 5k + 5k 8k + 9k 0z + 0z Som 0 Bereken: 6a + 5a + 4a a + 7a + 4a 8p + 0p + 7p 9x + 4x + 7x 4q + 4q + 4q 7a + a + 5a 6x + 6x + 6x 4p + 4p + 8p Som 0 Bereken: 7x + 4x + x + x 6b + 4b + 9b + b 4a + 7a + a + a p + 8p + 7p + 4p q + 0q + 6q + 4q x + 75x + x + x Som 04 Bereken: 7p + 4p + q 8x + x + 5y a + 5b + 5a 4p + p + 5 8x a + 5a + 4b 6p + q + 8p 4p

49 4.. AFTREKKEN Aftrekken Zoals 7a + a = 0a is 0a 7a = a Omdat 0a + a = 7a zeggen we aftrekken is optellen met het tegengesteld 4. Opgaven Som 05 Bereken: 8a a 6a 7a 5p 4p 9p + 6p 6x 5x x 4x x 5x x 7x Som 06 Bereken: 4q 5q 6p p 4x 8x 6a a 4y + y 9p 9p 5x 5x 7z + 4z Som 07 Bereken: q 5q 5p p 5p p 5p p p 5p p 5p p 5p 5p p Som 08 Bereken:

50 50 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS q 0q 7c + c 8z 5z 9a + 5a 4b 7b q + 6q p + 5p 4a 5a Som 09 Bereken: 6c c x 6x 8z z a + 4a 5p + 4p q q 6a 5a 7z 7z Som 0 Bereken: a 5a + 6a 4x x x 6p + p 5p q 0q 9q 6d 8d + 5d 0y 7y 4y b + 4b 8b 7a 8a a Som Bereken: 5q 4q + q 6a 8a 0a x + 8x 6x p 8p + 7p 6b b 4b 9y + y y 4x 6x + 7x 6a 9a + 4a Som Bereken: 4a + 8b 6a b p 5q 8p + q x + 5y 4x 7y 8m 6n 4n + 4n

51 4.. OPGAVEN 5 7c 9d + 6c + 8d 4x 7x 6y + y 8a 4b 9b a 6p 7q 8q 9p Som Bereken: 9c 4d c + d 6a 5 9 6a 7x + 7y 5x 5y p q 7p + 7q 6y 7x x y 4p + 8q q + 4p b 8c 4b + c 4x 9x y y Som 4 Bereken: 4p 8q 6p + 5p q 5 + 5z 7 4 4x 4x + 7y 5y x b 6a a + a 4b q q 5q + q 6m 4m m 7n + n 8y 6z 4y 6z + y a 4b 9a 4b + 8a Som 5 Schrijf de som over en bereken 4a + 8a 8b b c 9c 0d + 5d p 9p 4q + 6q 5x 9x y 4y Som 6 Schrijf de som over en bereken 7a 7a 6b 4b 9c + 9c d d 4p 4p 0q + 0q 6x x 0y 8y

52 5 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS Som 7 Schrijf de som over en bereken a a b b c c d d p p q + q x + x y + y Som 8 Schrijf de som over en bereken 4a a + 5a 9b 6b b c c 4c 5d + 8d 7d 5p 7p 8p 4q q q 7x 8x 5x y + 9y 0y Som 9 Schrijf de som over en bereken: 4a 8a + a 7b + 9b b 4c c 5c 9d + 5d d p 4p p 6q + 8q 0q 4x 9x x y + 5y 5y Som 0 Schrijf de som over en bereken: 8a 45a + 7a b 5b 8b 6c c c 4d + 7d 5d 7p 9p p 5q q + 9q 8x 8x 8x 7y y 7y Som Bereken:

53 4.. OPGAVEN 5 a 5a + 6a als a = 4x x x als x = 6p + p 5p als p = q 0q 9q als q = 6d 8d + 5d als d = 0 0y 7y 4y als y = b + 4b 8b als b = 5 7a 8a a als a = Som Bereken: a 5a + 6b 5b als a = en b = 4x y x + y als x = en y = 6q + q 5p + q als p = en q = q 0q 9p p als p = 0 en q = a 5a + 6b 5b als a = en b = 4x y x + y als x = en y = 6q + q 5p + q als p = en q = 4 q 0q 9p p als p = 0 en q =

54 54 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 4.4 Het tegengestelde van x+y Het tegengestelde van x + y is (x + y) want (x + y) + (x + y) = 0 Maar: x + y + x + y = 0. Dus (x + y) = x + y of (x + y) = x y. Zo is ook: (x + y) = x y (x y) = x + y ( x y) = x + y 5x + (x 4y) = 5x x + 4y = x + 4y 4.5 Opgaven Som Schrijf zonder haakjes: (a + b) (a b) (a b) (a + b) ( a b) ( a + b) (4a b) ( 4a b) Som 4 Schrijf zonder haakjes: (x + y) (x y) (x y) (x + y) ( 4x 5y) ( x + 4y) (5x y) ( 5x y) Som 5 Schrijf zo kort mogelijk: 4a (a + b) 5b (a b) a + (a b) 6a + (a + b) 8b ( a b) a ( a + b) 4a (4a b) b ( 4a b)

55 4.5. OPGAVEN 55 Som 6 Schrijf zo kort mogelijk: a (a + b) 4b a (a b) + a a + (a b) 4b 4b + (a + b) a a ( a b) b a + b ( a + b) b (4a b) a a ( 4a b) b Som 7 Schrijf zo kort mogelijk: (4x + y) ( x + y) p + 5q (p + q) 6a 5b (a 4b) 8 (4c + 7) ( 4 c) 7q + p (p 5q) 4q 5x (4y 6x) + 4x y 4a (4b 4a) (5k ) ( + 7k) k Som 8 Schrijf zo kort mogelijk: (5x + 4y) ( x + y) 4p + 6q (p + q) 7a 6b (a 5b) 9 (5c + 8) ( 5 c) 8q + p (4p 6q) 5q 6x (5y 7x) + 5x 4y 5a (5b 5a) (6k ) ( + 8k) 4k

56 56 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 4.6 Vermenigvuldigen a = a + a + a 4 a = a + a + a + a + a + a + a + a + a } {{ } } {{ } } {{ } Anders: a = a, dus 4 a = (4 ) a = a = a Daarom is a 4b = a 4 b = 4 a b = ab 4.7 Opgaven Som 9 Schrijf zo kort mogelijk: + a + a + a = a } {{ } 4x.7y 6p.5 84d x.6y p.q 8b 4m.0 Som 0 Schrijf zo kort mogelijk: 4b 8q.p 7.x 5y.7z 5k.7 7p.q y.z 64b Som Schrijf zo kort mogelijk: 5 c p.7q 4x. 6y 8m.8n b 5x.6y p. 0q 9m. 4 Som Schrijf zo kort mogelijk:

57 4.7. OPGAVEN 57 4.k p. 6q 08b 5x.9y y.x 6k. m 5z. 7 Som Schrijf zo kort mogelijk: 5 6c 0x.5y. 7z 4p.q. r 7m. 8n. 5 7x. 5y. z p.8q b 7. d

58 58 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 4.8 Delen 6a = a want.a = 6a 6a a = want = 6a Zo geldt ook: ab a 6ab b = b = a 6ab ab = a = 4a 4.9 Opgaven Som 4 4a 9b 5c c 4p p x x 8q 6q 0m 4 7a a Som 5 6bc 4b 4pq q mn 4 60ab 0ab 48pq 6q 5cd 5c 8ap 8ap a Som 6 x 5x 4y xy pq q 5a 0ab 7pm 7qm 6ab 4ab 8a 6b 5qr 0q

59 4.9. OPGAVEN 59 Som 7 pq p 7ad 5d 4m m 4a 7b 40cd 0c 5a 75a p 6q 5x 0x Som 8 6b ab 0x 40x 6pq 4pq 9a b 56 8xy 8p 4qr 7ab 7ac x 4 Som 9 4x.6y y 0q 5q pq 8xy 6c y 6pq 4p p 9ab 5b 6a 0ab 5b 54p 6p q 8mn.n

60 60 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 4.0 Machten 4 =... Net zo is a 4 = a a heet het grondtal en 4 heet de exponent. Dus a.a 4 = a } {{ }. } a {{ } = a 7. Je kunt dus twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigen door de exponenten van die machten bij elkaar op te tellen. Dus: x 4 x 5 = x 9 En 5x 6x 4 = 0x 7 4. Opgaven Som 40 Schrijf zo kort mogelijk: 4 x 5.x x 4.x 6 p.p a 7.a q 7.q 5 z 8.z c 4.c 4 b 9 Som 4 Schrijf zo kort mogelijk: m 0.m 8 p.p 4 a.a 7 q 8.q d 5.d 5 y.y 8 a 6 q 0.q 4 Som 4 Schrijf zo kort mogelijk: k.k 6 z 7.z 8 p 5.p 5 x.x 4 n 5.n 8 a 7.a c 0.c 0 y 9.y 6 Som 4 Schrijf zo kort mogelijk:

61 4.. DELEN VAN MACHTEN 6 a 5.a 6.a 7 p.p.p 6 z 4.z 4.z 4 q.q.q x 0.x 5.x b b 5.b 8 d.d 5.d k 6.k 8.k 0 Som 44 Schrijf zo kort mogelijk: 6a 4.a 5 7p.p 4 8x 5.4x 5 5q.8q 0 9c. 9c 4 5x. 7x 0m 4.5m 6 p. p Som 45 Schrijf zo kort mogelijk: 4c 4. 4c 8 m 5.m 5.m 5 q 7. q 7.5q 7 y.y.y 4k 4.4k 4.6k 6 n. 6n 6. n a.a 0.0a b. b 4. Delen van machten x 6 x = x.x.x.x.x.x 4 x.x.x.x = x Als je twee machten met gelijk grondtal op elkaar deelt, worden de exponenten van elkaar afgetrokken. Zo is: x 9 x = x 6 6x 5 x = x 4. Opgaven Som 46 Schrijf zo kort mogelijk:

62 6 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS x 6 x q 7 q 6 a 7 a b 5 b p p 5 Som 47 Schrijf zo kort mogelijk: 7a 4 7a 4 5m m 8y 7 y 6 y y c 6 c 4 z 5 z 8x 5 4x 5z 4 5z 5p 5p 4c 6 8c Som 48 Schrijf zo kort mogelijk: 6q 5 4 4a b 5 ab 8m 5 n 4mn 8x 7 y 7 x 4 y 6 4p y 5 8p y 5 0p 4 q 5 0q 0b 4 c 5b 5c 6 d 8 c d 48a 5 b 6 ab Machten van machten (a ) 4 = a }.a {{.a.a } = a a a a = a 4keer (a b ) 4 = a b a b a b a b = a b 8 Zo is: (x ) = x 9 (x 5 ) 6 = x 0 ( a ) = a a = a 6 (a ) = a Opgaven Som 49 Schrijf zo kort mogelijk:

63 4.5. OPGAVEN 6 (a ) 5 (x 4 ) (p 5 ) (b ) 7 ( p 5 ) (x ) 6 ( y ) 5 (b 6 ) Som 50 Schrijf zo kort mogelijk: (a b ) 4 (c 5 d ) ( x y 5 ) (c 5 q ) (c 5 q ) ( a 5 p ) 5 (b x) 4 ( y z ) Som 5 Schrijf zo kort mogelijk: (a 4 b ) (a b 5 ) ( x 5 y ) 4 (x y) ( c d 5 ) ( cd ) (p 5 x ) 4 ( p x 4 ) ( q 5 r 5 ) 5 ( q r ) (a 4 y ) 4 ( a y) 4 (b 4 p 6 ) 4 ( b p) 4 (m 5 n ) 4 ( mn )

64 64 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 4.6 Vereenvoudigen van breuken met letters 4.7 Opgaven Som 5 Vereenvoudig 5a 5 6p p 8b 0x 4 6y 8 4q 6q 8z 7z 4m Som 5 Vereenvoudig 8n n 0d d 5c 5c k k 8n 6n 60c 0 0c 60 0c 60c Som 54 Vereenvoudig 5x x x x 8p 6 6q 9q 4a 6a 60ab 0b 4z 0x 0x Som 55 Vereenvoudig 7x 4 x 4k k 8a 4 6a 7c c 5d 5 7d 0pq 4pq

65 4.8. OPTELLEN EN AFTREKKEN VAN BREUKEN 65 k k Som 56 Vereenvoudig 6a b 8ab 54pq 6p 48x xy 40m 0mn Som 57 Vereenvoudig 5a 0ax 5m 5n a 4ab 8x 54xy 4km 0m 6cd 64cd x x 5 8p q pq 8z 5 7z 0b 8ab a b 5a b 7y z 8yz Som 58 Vereenvoudig 5m 5 n 4 0m n 6 0p 4 y 0p 5p 5 q 4 p q 50b q 4 0b q 5 7ap 5a p 9a b 7a 5 b 4 0k m 7 45k m 5 5y z 5y 4 z xy 4 4xy Optellen en aftrekken van breuken Zoals = 5 7 is ook 4p 7 + 5p 7 = 9p 7 Dus: 4 a + 6 a = 0 a En a + a a = } {{ } 6 + a = 5a } {{ 6 6 } nietgelijknamigebreuken gelijknamigmaken

66 66 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 4.9 Opgaven Som 59 Schrijf zo kort mogelijk: p + p 5p 4 p 4 p p 6xy 7 + xy 7 p 4 + p 4 4k 5 k 5 5p 4 + p 4 9xy 0 4xy 0 Som 60 Schrijf zo kort mogelijk: 4 x x 4 x + a x a 4 + b 4 a x + b x a 5b c 5b + b 5b + c 5b ap + ap ap + q ap Som 6 Schrijf zo kort mogelijk: a + a a a a a b 4 + c a + 5a a 5a ab 6 + ab 5 a a + a 5a Som 6 Schrijf zo kort mogelijk: a + 5 a p q + p 5x y + x 4k 5 + m 5 b 4 + a b b a + a b b c + c b d 5e + e d

67 4.0. VERMENIGVULDIGEN VAN BREUKEN Vermenigvuldigen van breuken Zoals 4 5 = 8 5 a b c d = ac bd en a b c d = ac bd zo is: 4. Opgaven Som 6 Schrijf zo kort mogelijk: a a b a b 4 5 b 4 5 a a 4 b a a b b 4 Som 64 Schrijf zo kort mogelijk: a b c d a b c d a b c d a b c 5d p q 4x y q x y 4tx y 4 5z ab c d pq Som 65 Schrijf zo kort mogelijk: 5 a 5 a 4b b 6ab 0 5 bc 5ab 7cd 00p 0q ce 0ab 9q 5p abc pq 4p bcd pq 6p q pt 6q 4qy 4yt Som 66 Los op:

68 68 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS a 4 8 a 6x y x x 9y 8p a a 4p x 4 6p p 4x 5 ab p ab 4q p a b q b x 4 6p 9xz z p 4x 4 4p pz

69 4.. HAAKJES WEGWERKEN I Haakjes wegwerken I Zoals a = a + a + a is (a + b) = a + b + a + b + a + b = a + b Dus: (a + b) = 6a + 9b (a b) = 6a 9b (a + b) = 6a 9b (a b) = 6a + 9b a(a + b) = a + ab a(a + 4b) = 6a + 8ab 4. Opgaven Som 67 Werk de haakjes weg: (a + b) (a b) (a + b) (a b) ( a + b) (a b) (a + ) ( a ) Som 68 Werk de haakjes weg: ( a + ) ( a) ( a) (a b) ( a + ) (a b) (a + ) ( a ) Som 69 Werk de haakjes weg: 5( + a) (a b) (a + 4b) ( a + b) 4 (a 4b) 6( a + ) 5(5 a) ( + 5a)

70 70 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS Som 70 Werk de haakjes weg: 4(a + ) 4(a ) (a 6b ) (a + b) (a b) (a + b 4( a + b) 4(a b) Som 7 Werk de haakjes weg: (a b) (a b) (a 5b) (a 5b) 6(a q) (p q) (b + c) (ab + c) Som 7 Werk de haakjes weg: a(p + q) a(p q) a(p + q) a(p q) a(p + q) a( p + q) a( + c) (c )a Som 7 Werk de haakjes weg: a(a + b) b(a + b) b(a + b) b(a b) b(a + b) b(a b) a(a ) a( a b) Som 74 Werk de haakjes weg:

71 4.. OPGAVEN 7 a(a ab) a(ab a) a(ab b) a(a + ab) a( a 4ac) a(5 a) a(5a ) 4a(a ac) Som 75 Werk de haakjes weg: a (a + 5) a(a 5) a (a 5) a (a 5a) a (a 5ab) a (ab 5a b) a(a ab) a (a b) Som 76 Werk de haakjes weg: pq(p p q) p (p pq) p (p p q) 4c(c + c) 4ac(ac + 4z) 4ac(a c + 4z) p(p p) p(p p) Som 77 Werk de haakjes weg: pq(p p) pq(p q) q (p q) xy(x x) x (x x) x (x y) xy(xy y ) x (xy x ) Som 78 Werk de haakjes weg ( p p )( p ) (x 4 + x + ) 4x 4 ( a b + ab )( ab ) x (x n + )

72 7 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS a n (a n a n ) pn (pn+ + 4p ) a n ( a + a n+ a n b(a n+ b n + ab ) 4.4 Haakjes wegwerken II Zoals we zagen geldt: p(a + b) = ap + bp Dus ook geldt: (a + b)p = ap + bp (a + b) (c + d) } {{ } p = a p }{{} (c+d) +b p }{{} (c+d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd Zo is (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b)(c d) = ac ad + bc bd (a b)(c d) = ac ad bc + bd (a + )(a + ) = a + a + a + 6 = a + 5a + 6 (a + b)(4a + 5b) = 8a + 0ab + ab + 5b = 8a + ab + 5b 4.5 Opgaven Som 79 Werk de haakjes weg: (a + b)(c + d) (a + b)(p + q) (c + d)(e + f) (a + b)(c + ) (a + )(b + c) (a + b)( + d) (a + b)(c + d) (a + b)(c + d) Som 80 Werk de haakjes weg: (p + q)(t + v) (p + q)(t + ) (5a + 4)(b + ) ((4x + y)(a + b) (4x + 4)(y + z) ( + 4a)( + b) ( + a)(b + ) (p + q)(4 + t) Som 8 Werk de haakjes weg:

73 4.5. OPGAVEN 7 (a + b)(c d) (a + b)(p q) (c d)(e + f) (c d)(e f) (a + )(b c) (a + )(b 4) (a )(b 4) (a + )(b 4) Som 8 Werk de haakjes weg: (a b)(c d) (5a + )(b ) (x y)(a + b) ( a + b)(c d) ( a b)(c d) ( a + b)(c 4) (6p )( q) (a 4)( b + 4) Som 8 Werk de haakjes weg: (x + )(x + 4) (x + )(x + 5) (x + 6)(x + ) (p + )(p + ) (p + )(p + ) (y + )(y + 7) (y + 8)(y + ) (k + )(k + 5) Som 84 Werk de haakjes weg: (z + 4)(z + ) (z + )(z + 8) (c + )(c + 7) (c + )(c + 6) (a + )(a + 9) (a + 0)(a + ) (b + )(b + ) (b + 4)(b + 0) Som 85 Werk de haakjes weg: (a )(a ) (a 5)(a 7) (a 4)(a ) (x )(x )

74 74 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS (x + )(x ) (y + 6)(y ) (t 6)(t ) (x 4)(x ) Som 86 Werk de haakjes weg: (x + )(x 5) (x )(x 5) (x )(x + 5) (x + )(x + 5) (a 5)(a 5) (y )(y ) (x 4)(x 4) (6y + )(y + ) Som 87 Ontbind in factoren (x + )(x + 4) (x + )(x + 5) (a + b)(a b) (a + b)(a b) (p + )(p + ) (p + )(p + 4) 4y y(y + ) (y )(y ) 5a a(a b) (a b)(a + b) (x )(x ) x(x ) a(a + )(a + ) a (a + ) (x a)(b c)+(x b)(c a)+(x c)(a b)

75 4.6. (A + B) (a + b) Zoals a = a a, zo is (a + b) = (a + b)(a + b) = a + ab + b Dus:(a + b) = a + ab + b Met woorden erbij: (a + b) = a }{{} deeersteinhetkwadraat Net zo is: (a + ) = a + 6a + 9 (a 4) = a 8a + 6 (a + b) = 4a + ab + 9b + ab }{{} hetdubbeleprodukt + b }{{} delaatsteinhetkwadraat 4.7 Opgaven Som 88 Werk de haakjes weg: (a + b) (a + b) (a + b) (a b) ( a + b) (a + b) (5a b) ( a + b) Som 89 Werk de haakjes weg: (a + ) (a + ) (a + ) (a ) ( a + ) (a + ) (5 b) ( + b) Som 90 Werk de haakjes weg: (a + 0b) (7a + 8b) (5a + b) (a b) ( 5a + 5b) (a + b) (5a b) ( a + b)

76 76 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 4.8 (a + b)(a b) Haakjes wegwerken in de uitdrukking (a + b)(a b) levert het volgende resultaat: (a + b)(a b) = a ab + ab b = a b Dus(a + b)(a b) = a b we zeggen:(a + b)(a b) is het verschil van twee kwadraten n.l dat van a en dat van (a + b)(a b) = a b } {{ } hetverschilvantweekwadraten Zo is: (a + b)(a b) = 4a 9b (a b)(a + b) = a b (a )(a + ) = a 9 (a + 5)(a 5) = 4a Opgaven Som Som 9 Werk de haakjes weg: (a + b)(a b) (a + b)(a b) (a + b)(a b) (a b)(a + b) ( a + b)(a + b) (a + b)(a b) (5a b)(5a + b) (a + 5)(a 5) Som 9 Werk de haakjes weg: (a + )(a ) (a + 7)(a 7) (a + )(a ) (a )(a + ) ( a + b)(a + b) (a + b)(a b) (5a b)(5a + b) (0a + 5)(0a 5) Som 9 Werk de haakjes weg:

77 4.9. OPGAVEN 77 (x + y)(x y) (a + 7)(a 7) (a )(a + ) ( a + )(a + ) ( b + 5)(b + 5) (t 8)(t + 8) (c d)(c + d) (k + 0)(k 0) Som 94 Werk de haakjes weg: (a )(a + ) (a + 4)(a 4) (a + )(a ) (a + )(a ) (5a + 7)(5a 7) (9 + 5a)(9 5a) (a + b)(a b) (5x y)(5x + y) Som 95 Werk de haakjes weg: (a + b)(a b) ( + b)( b) ( b)( + b) (6a + 5)(6a 5 ( + 7y)( 7y) (6a 5y)(6a + 5y) (ab 4)(ab + 4) (xy 7)(xy + 7) Som 96 Werk de haakjes weg: (x y)(x + y) (4z + t)(4z t) (8x + y)(8x y) (5a b)(5a + b) (x + 4)(x 4) (x )(x + ) (x + y)(x y) (x + y)(x y) Som 97 Werk de haakjes weg: ( xy)( + xy) (t + y )(t y ) (8 + x )(8 x ) ( x + )( x )

78 78 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS ( x + )(x + ) (ab + cd)(ab cd) (a + cd)(a cd) (x + y)(x y) Som 98 Werk de haakjes weg: (a + b)(a b) (a + 4b)(a 4b) (a + 7b)(a 7b) (a b)(a + b) ( 5a + b)(5a + b) (a + b)(a b) (5a b)(5a + b) (7a + 5)(7a 5) Som 99 Gebruik merkwaardige producten (p + p + )(p + p ) (x x )(x x + ) (a a + )(a a ) (t + t 4)(t t 4) (x x + )(x + x + ) (a 4a + 8)(a + 4a + 8) (m + m + )(m m ) (c + c + )(c c )

79 4.0. HAAKJESVARIA Haakjesvaria Som 00 Werk de haakjes weg (xy + ab) (xy 4xz) (xy 4xy) (4x + 4 xy) (x ) (a ab) (x y ) (x 4 + x ) Som 0 Werk de haakjes weg ( a + ab) x(x + x ) (x x ) x (x + x ) x ( x) ( x + y ) ( x x ) ( a b + b a ) Som 0 Werk de haakjes weg (x y)(x + y) ( y )( y ) ( y + )( y ) ( x )( x + ) (x x)(x + x) ( a + )( a ) ( + x )( x ) ( x + x )(x + x ) Som 0 Werk de haakjes weg (x ) (x + ) (x )(x + )(x + ) (x )(x + )(x ) (x 4)(x + 4)(4x + 6) (x )(x + )(9x ) (x 7)(x + 7)(x 7)(x + 7) ( x)( + x)( 9 + x ) (x 4 + )(x + )(x + )(x ) Som 04 Werk de haakjes weg

80 80 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS ( x )( 4 x ) ( x )( x ) ( x + 7)( x ) ( a + a)( a ) ( 5a )( a + 0 ) (x x)( x + ) (ab ad)(a + d) ( x )( x ) Som 05 Werk de haakjes weg ( x + xy)( y + x) ( x)( y) (y + y )(y ) y (p + p )( p + p ) (x 5x)(x + 5x ) ( x)( 4 x) p(p + p + ) p (p + ) ( x )(a + d)

81 Hoofdstuk 5 Ontbinden in factoren 5. Ontbinden in factoren I We weten: a(b + c) = ab + bc Omgekeerd: ab + bc = a(b + c) We hebben de uitdrukking ab + bc in(twee) factoren ontbonden. Namelijk de factoren a en b + c Zo kunnen de volgende uitdrukkingen als volgt in factoren worden ontbonden: x + 6 = (x + ) x + = (x + 4) a + ab = a(a + b) a + = (a + ) a + a = a(a + ) 5. Opgaven Som 06 Ontbind in factoren x + 9 x + 8 5x + 5 6a + 9b 6a 0b 6a 0 6a 6 4 8a Som 07 Ontbind in factoren 8

82 8 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN 5x + 7y 5x + 70y 40x + y 40 + y 6 + 6x x 88y 4a + 8b + 6c 0x + 5y + 0z Som 08 Ontbind in factoren 4ab + 6a 8b 6bc 7xy + 7yz 7xy 7pq 8xz 4z 6y + 8yz 4xy + x 00a 0ab Som 09 Ontbind in factoren 5cx 5xy 5cy 5xy 8pq px 00xy 0x 00x 0y 8pq + py xyz 6xy xy 6xyz Som 0 Ontbind in factoren x + x x 6x x 6x x 6x 8xz 4z 6x 4x + x 5x 0x Som Ontbind in factoren 5x + 6x 6x 54x 5x 7 x 6 80x 5 x

83 5.. ONTBINDEN IN FACTOREN II 8 5x y 6x y + 4xy 6x y + 4x 7x y 8xy 5. Ontbinden in factoren II (x + )(x + ) = x + x + x + 6 = x + 5x + 6 Kijken we,omgekeerd, naar x + }{{} 5 x+ }{{} 6 dan kunnen we die uitdrukking in factoren ontbinden:x + + 5x + 6 = (x + )(x + ) Ontbinden we x +6x+8 dan moeten we zoeken naar twee getallen die 6 zijn als je die twee getallen bij elkaar optelt en 8 als je die twee getallen met elkaar vermenigvuldigt: Met proberen vind je: + 4 = 6 en 4 = 8 Dus x + 6x + 8 = (x + )(x + 4) of x + 6x + 8 = (x + 4)(x + ) Zo is: x + 8x + = (x + )(x + 6) want + 6 = 8 en 6 = x + 8x + 5 = (x + )(x + 5) want + 5 = 8 en 5 = 5 x + 7x + 0 = (x + )(x + 5) x + 9x + 0 = (x + 4)(x + 5) x 5x + 6 = (x )(x ) x + x 0 = (x + 5)(x ) 5.4 Opgaven Som Ontbind in factoren a + 5a + 6 x + 5x + 6 x + 7x + 6 x + 6x + 8 x + 9x + 8 x + 8x + x + 7x + x + x + Som a + 0a + 4 x + 0x + 4 x + 4x + 4 x + x + x + 8x + x + 6x + 48 x + 4x + 48 x + 6x + 48 Som 4 Ontbind in factoren

84 84 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN x + x + 0 x + 9x + 0 x + x + 6 x + 7x + 6 x + 0x + 6 x + 5x + 6 x + x + x + 70x + 69 Som 5 Ontbind in factoren x + 4x + 80 x + 8x + 80 x + 4x + 44 x + 74x + 44 x + 40x + 44 x + 0x + 44 x + 6x + 8 x + 40x + 76 Som 6 Ontbind in factoren x 5x + 6 x 7x + 6 x 0x + 9 x 6x + 9 a 6a + 5 a 5a + 6 x 7x + 0 x x + 0 Som 7 Ontbind in factoren x 0x + 4 x 4x + 4 x 0x + 6 x x + 6 a a + 0 a 0a + 4 x 4x + 40 x x + 40 Som 8 Ontbind in factoren x 9x + 4 x 5x + 4 x x + a 8a + 5

85 5.4. OPGAVEN 85 a 6a + 5 a 9a + 8 x x + 8 x 9x + 8 Som 9 Ontbind in factoren x 7x 0 x + 7x 0 x x 0 x x 0 x 9x 0 x + 9x 0 x 6x 6 x + x 5 Som 0 Ontbind in factoren x 4x 0 x + 4x 0 x 6x 0 x x 0 x 58x 0 x + 58x 0 x x 64 x + 4x 60 Som Ontbind in factoren x 4x x 5x 4 x + x 56 x 4x 5 x x 5 x 8x 0 x + x 48 x 6x 7 Som Ontbind in factoren x 8x + 5 x + 0x 5 x 8x + 5 x + x + 5 x + 4x + 49 x x + 54 x + 6x + 60 x x 48

86 86 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN 5.5 Ontbinden allerlei Som Ontbind in factoren x 6x x p = 7pq + 0q 4a 6b 9x 6x + c 5c 50 7x x 6 Som 4 Ontbind in factoren 6x + x + 6 y z y 4y k kt + t ax ay a a 08 a 4a 0 a 4a Som 5 Ontbind in factoren x x x x x x x y + 4xy + 4x y x 4y a + a 5 xy xy t 6t 40 Som 6 Ontbind in factoren a 8 x + 5x + 56 x 4y + 6 6p p + 5p 6 4a ab + 9b t 4 x x 4 Som 7 Ontbind in factoren

87 5.5. ONTBINDEN ALLERLEI 87 x y 9x y 8 z x + 9x + 6 x + 6x + 9 x + 6x 55 6a 6ab 6a 6ab x 6x + Som 8 Ontbind in factoren k + 5k 6 x + x y + y x 6p x x + 4 x 8x 4 x 8x 6 x + y Som 9 Ontbind in factoren x + x + 0 x 54x 60 x + 7x 60 x 49x + 60 x 7x + 64 x + x z 4 + 8z 09 z 50z + 65 Som 0 Ontbind in factoren y + y + x 9 x 70 (x + y) + x(x + y) y(x + y) + x(x + y) (a + c) + b(a + c) a(a + c) + c(a + c) ( + t)4 ( + t)t a(a + b) + b(a + b) Som Ontbind in factoren x y + 6xyz + 64z x xy + y 4 x xz + 4z x 4 0x + 9

88 88 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN a 5 + a x 6x + x a 5 a p (t 4) q (t 4) Som Ontbind in factoren 5a b 5abc 70c x 6x 44x 7 x + 5x + 7 x 4 4x + 4 x 4 8x + 6 x 4 6x + 9 (x 8x 9) (x 9) Som Ontbind in factoren a(x ) b(x ) (x + y) z(x + y) (a + b) + (a + b) (x y) (x y) (a + b) a(a + b) x(x + y) (x + y) x(x y) (x y) (x + y) x(x + y) Som 4 Ontbind in factoren ab + ac + bp + cp ab ac + bp cp a ab + ac bc ab + cd + ac + bd a ab ac + bc x y + x + y + a a + 4a 8 x x x + Som 5 Ontbind in factoren x + xy + y z 4x + 4xy + y 5 9x + 4xy + 6y x 4xy + 4y z 4x 4xy + y 6x + 9x 9y a + b 6ac 9c 4x + x + y 9

89 Hoofdstuk 6 Breuken 6. Vereenvoudigen Som 6 Vereenvoudig de volgende breuken xy z x y (a+b) (a b) (a b) (a+b) 5x 4 y 5 z 0x y 4 z 4 x y y x 5ax 0arx a (a b) a(b a) (x+y) x(x+y) (a b) (b a) Som 7 Vereenvoudig a b a +ab x x x x xy x +xy a a a 4 a b (a+b) ab a ab b Som 8 Vereenvoudig p n p n x xy+xz xy y +yz 89

90 90 HOOFDSTUK 6. BREUKEN a 4a+4 a 4 x 4x+ x x+ x xy+y x y x 0x+ x 6x+9 x +5x+4 x +7x+ x 4x 4x x 5x+6 x 4 Som 9 xy xz y +yz xy+xz y yz De volgende breuken zijn te vereenvoudigen. Bereken telkens x a x 5 x x a x a x 4 x a x x x a x 4 x a x 5x+4 x a x x+6 x a x 0x+64

91 6.. OPTELLEN EN AFTREKKEN VAN BREUKEN MET LETTERS 9 6. Optellen en aftrekken van breuken met letters Zoals we bij het optellen van breuken met getallen gezien hebben: Net zo tel je twee breuken met letters op: = 5 7 Voorbeelden:. 5 a + 7 a = a 4. x + 8 x = x a. a+b + b a+b = a+b a+b = a 4. x a b x + b x = a (a b)+b x = b x En als de breuken nog niet gelijknamig zijn: = = 0. a + b = b ab + a ab = b+a ab. x x+ x x+ = x(x+) x(x+) (x+)(x+) = x (x+)(x+) 6. Opgaven Som 40 Herleid tot de eenvoudigste vorm x y x x p + x p a b a a b + + yx x p a ab b b b a x x x x x x y y x y p p q q p q x x x x Som 4 Herleid tot de eenvoudigste vorm p p + p x y y z x + y m n + n m

92 9 HOOFDSTUK 6. BREUKEN p pq bc + ac x yz y xz a a Som 4 Herleid tot de eenvoudigste vorm a+c c a a + a c a a+b + a a b x y + x+y a a a+b x x x+ a a+b Som 4 Herleid tot de eenvoudigste vorm x x y a a+b + a a b p 4 p 4 x x x m mn n m mn+n a ab + b ab a a b + ab (b a) x x

93 6.4. BREUKEN MET LETTERS VERMENIGVULDIGEN EN DELEN Breuken met letters vermenigvuldigen en delen Zoals Zo is: En net zoals: Zo is: Voorbeelden: = 8 5 a b p q = ap bq = 5 4 = 0 = 5 6 a b c d = a b d c = ad bc. a b a c = a b c a = c b. x y x+y = xy x+y x. x+ x x = x x+ (x )(x+) x = (x ) x 6.5 Opgaven Som 44 Herleid tot de eenvoudigste vorm: x y y z z x a bc b ac c ab a b a (x 4) x 4a ( a b a ) 4x ( y x ) (a + b) a b a +ab (x ) x Som 45 Herleid tot de eenvoudigste vorm: (a b) a b x x : x x ( x+ x+ ) : x+ (x+) x x + : (x ) (a b) : a ab a+b (x ) : x x ( a b + b a ) ab ( x+ ) (x + )

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13 REKENEN MET BREUKEN. De breuk. Opgaven. Optellen van breuken 6. Opgaven 8. Aftrekken van breuken 9.6 Opgaven 9.7 Vermenigvuldigen van breuken.8 Opgaven.9 Delen van breuken.0 Opgaven. Een deel van een deel.

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. 98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

Producten, machten en ontbinden in factoren

Producten, machten en ontbinden in factoren Joke Smit College Producten, machten en ontbinden in factoren Voor cursisten uit de volgende klassen: alle Havo en VWO klassen (wiskunde, wiskunde A en wiskunde B) Wat kun je oefenen? 1. Het uitrekenen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

1. Optellen en aftrekken

1. Optellen en aftrekken 1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'

Nadere informatie

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat. 92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

Voorkennis : Breuken en letters

Voorkennis : Breuken en letters Hoofdstuk 1 Rekenregels en Verhoudingen (H4 Wis A) Pagina 1 van 11 Voorkennis : Breuken en letters Les 1 : Breuken Bereken : a. 4 2 3 b. x 5 = c. 12 3 x a. 4 2 3 = 8 3 = 2 2 3 b. x 5 = 1 5 x c. 12 3 x

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : REKENEN

Hoofdstuk 1 : REKENEN 1 / 6 H1 Rekenen Hoofdstuk 1 : REKENEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p.3-34) 1.1 Het decimaal stelsel In verband met het decimaal stelsel: a) het grondtal van ons decimaal stelsel geven. b) benamingen

Nadere informatie

WISNET-HBO. update aug. 2011

WISNET-HBO. update aug. 2011 Basiskennis van machten WISNET-HBO update aug. 0 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 (spreek uit: a tot de vierde macht) een macht van a (in dit geval de vierde

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek WERKBOEK REKENVAARDIGHEID Voeding en Diëtetiek 11 INHOUDSOPGAVE ACHTERGROND 3 1. Elementaire bewerkingen 4 2. Voorrangsregels (bewerkingsvolgorde) 8 3. Bewerkingen met machten 11 4. Rekenen met breuken

Nadere informatie

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken 1. Wat is een breuk? Een breuk Een breuk is een verhoudingsgetal. Een breuk geeft aan hoe groot een deel is van een geheel. Stel een taart is verdeeld in stukken. Je neemt 2 stukken van de taart. Je hebt

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

breuken 1.0 Inleiding 1.1 Natuurlijke getallen

breuken 1.0 Inleiding 1.1 Natuurlijke getallen 1 Natuurlijke getallen, breuken 1.0 Inleiding Dit hoofdstuk begint in paragraaf 1.1 met het rekenen met de getallen 0, 1, 2,, enzovoort. Dat heb je op de lagere school ook geleerd, alleen wordt er nu wat

Nadere informatie

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2 handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor

Nadere informatie

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare

Nadere informatie

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel) Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de

Nadere informatie

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214 Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten

Nadere informatie

Extra oefeningen Hoofdstuk 8: Rationale getallen

Extra oefeningen Hoofdstuk 8: Rationale getallen Extra oefeningen Hoofdstuk 8: Rationale getallen 1 Noteer met een breuk. a) Mijn stripverhaal is voor de helft uitgelezen. Een kamer is voor behangen. c) van de cirkel is gekleurd. 15 Gegeven : 18 teller

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

inhoudsopgave juni 2005 handleiding haakjes 2

inhoudsopgave juni 2005 handleiding haakjes 2 handleiding haakjes inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de opzet van haakjes 3 bespreking per paragraaf 5 rekenen trek-af-van tegengestelde tweetermen merkwaardige producten tijdpad 6 materialen voor een klassengesprek

Nadere informatie

SAMENVATTING BASIS & KADER

SAMENVATTING BASIS & KADER SAMENVATTING BASIS & KADER Afronden Hoe je moet afronden hangt af van de situatie. Geldbedragen rond je meestal af op twee decimalen, 15,375 wordt 15,38. Grote getallen rondje meestal af op duizendtallen,

Nadere informatie

Reken zeker: leerlijn breuken

Reken zeker: leerlijn breuken Reken zeker: leerlijn breuken B = breuk H = hele HB = hele plus breuk (1 1/4) Blauwe tekst is theorie uit het leerlingenboek. De breuknotatie in Reken zeker is - anders dan in deze handout - met horizontale

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen 2.1 Natuurlijke getallen 1 Rangschik de volgende natuurlijke getallen van klein naar groot. 45 54 56 78 23 25 77 89 2 050 2 505 2 055 2 500 2 005 879

Nadere informatie

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013 Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: NEGATIEVE GETALLEN

Hoofdstuk 9: NEGATIEVE GETALLEN 1 H9. Negatieve getallen Hoofdstuk 9: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 53 57) 9.1 Getallen onder 0 Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen. Weten dat we 0 zowel

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

16.2 TREK AF VAN. Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO. 8 a 16.0 INTRO. 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3

16.2 TREK AF VAN. Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO. 8 a 16.0 INTRO. 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3 Hoofdstuk 6 HAAKJES VWO 6.0 INTRO 6. TREK AF VAN 8 a b De uitkomsten zijn allemaal. c (n + )(n ) (n + )(n ) = d - - = -0,75 -,75 = b De uitkomsten zijn allemaal. c n + (n + ) (n + ) = + 6 4 4 = 6 4 = d

Nadere informatie

EXACT- Periode 1. Hoofdstuk Grootheden. 1.2 Eenheden.

EXACT- Periode 1. Hoofdstuk Grootheden. 1.2 Eenheden. EXACT- Periode 1 Hoofdstuk 1 1.1 Grootheden. Een grootheid is in de natuurkunde en in de chemie en in de biologie: iets wat je kunt meten. Voorbeelden van grootheden (met bijbehorende symbolen): 1.2 Eenheden.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Extra oefening - Basis B-a 5x + 6 7x + e 4x + 6 x + 6 x + 3x + 6 4 x 3x 5 x 4 : dus x x 5 : 3 dus x 5 b 9x + 0 34 + x f 8x + 5x + 38 8x + 0 34 3x + 38 8x 4 3x 6 x 4 : 8 dus x 3 x 6 : 3 dus x c 4x + 9 7x

Nadere informatie

2.2 Ongelijknamige breuken en vereenvoudigde breuken 22. 2.3.1 Gemengde getallen optellen en aftrekken 26. 2.5 Van breuken naar decimale getallen 28

2.2 Ongelijknamige breuken en vereenvoudigde breuken 22. 2.3.1 Gemengde getallen optellen en aftrekken 26. 2.5 Van breuken naar decimale getallen 28 Breuken Samenvatting Als je hele getallen deelt, kunnen er breuken ontstaan. Een breuk is een deel van iets. Je hebt iets in gelijke delen verdeeld. Wanneer je een kwart van een pizza hebt, dan heb je

Nadere informatie

Proefexemplaar. Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas. Dirk Vandamme. bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door. Cartoons.

Proefexemplaar. Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas. Dirk Vandamme. bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door. Cartoons. bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas Cartoons Dirk Vandamme Leerboek Getallen ISBN: 78 0 4860 48 8 Kon. Bib.: D/00/047/4 Bestelnr.: 4 0 000

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1-6 H3. Negatieve getallen Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 96 123) 3.1 Positieve en negatieve getallen Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen.

Nadere informatie

16.2 TREK AF VAN. Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO. 8 a 16.0 INTRO. 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3

16.2 TREK AF VAN. Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO. 8 a 16.0 INTRO. 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3 Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO 16.0 INTRO 16.2 TREK AF VAN 8 a 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3 1111d 1 2-2 2-1 2= -0,75-3,75 = 3 2 b De uitkomsten zijn allemaal 2. c n 2 +

Nadere informatie

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint.

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint. Training Vergelijkingen met logaritmen WISNET-HBO update jan. 0 Inleiding Voor deze training heb je nodig: de rekenregels van machten de rekenregels van de logaritmen Zorg dat je het lijstje met rekenregels

Nadere informatie

7 De getallenlijn = -1 = Nee = 0 = = = 7 -7 C. -2 a 1 b 4 = a b -77 = -10

7 De getallenlijn = -1 = Nee = 0 = = = 7 -7 C. -2 a 1 b 4 = a b -77 = -10 B M De getallenlijn 0 + = = + = = Nee 0 0 = 9 = 0 6 = = 9 = 6 = 6 = = C a b a b 0 = 0 0 = 0 a b < 0 ; a b < 0 ; a > b ; b > a = = = = C Nee, hij loopt steeds maar verder. < x H x < x < x < x + + = x +

Nadere informatie

D A G 1 : T W E E D O M E I N E N

D A G 1 : T W E E D O M E I N E N REKENEN 3F DAG 1 :TWEE DOMEINEN DAG 2 : TWEE DOMEINEN DAG 3: EXAMENTRAINING DAG 4:EXAMENTRAINING EN A FRONDING Programma: Voorstellen 13.30 uur 16.15 uur Pauze: 15 minuten Theorie dag 1: Domein Getallen

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1. x - -1 0 1 3 y 4 1 0 1 4 9-3 -1 + 1 + 3 +5 toename tt + + + + a) + b) De toename is steeds een nieuwe rand. De randen

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

LESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd.

LESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. Lesfiche 1 1 Procent & promille Handig rekenen Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. 5 5 % is dus 5 per honderd. In breukvorm wordt dat of 0,05 als decimaal getal. Promille ( ) betekent

Nadere informatie

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6 Breuken Breuk betekent dat er iets gebroken is. Het is niet meer heel. Als je een meloen doormidden snijdt, is die niet meer heel, maar verdeeld in twee stukken. Eén zo n stuk is dan een halve meloen,

Nadere informatie

Rekentermen en tekens

Rekentermen en tekens Rekentermen en tekens Erbij de som is hetzelfde, is evenveel, is gelijk aan Eraf het verschil, korting is niet hetzelfde, is niet evenveel Keer het product kleiner dan, minder dan; wijst naar het kleinste

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

Breuken in de breuk. 1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk)

Breuken in de breuk. 1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk) Breuken in de breuk update juli 2013 WISNET-HBO De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

1 Basisrekenen en letterrekenen.

1 Basisrekenen en letterrekenen. Uitwerkingen versie 0 Basisrekenen en letterrekenen. Opgave. Opbouw van getallen. a 605 6 00 + 5 b 3.78 3 000+ 00+ 7 0+ 8 c 56.890 56 000+ 8 00+ 9 0+ 0 d 900.30 900 000+ 00+ 0+ 0 e 3.56.675 3.000.000+

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999 ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,

Nadere informatie

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

Reken zeker: leerlijn kommagetallen

Reken zeker: leerlijn kommagetallen Reken zeker: leerlijn kommagetallen De gebruikelijke didactische aanpak bij Reken Zeker is dat we eerst uitleg geven, vervolgens de leerlingen flink laten oefenen (automatiseren) en daarna het geleerde

Nadere informatie

Goed aan wiskunde doen

Goed aan wiskunde doen Goed aan wiskunde doen Enkele tips Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave

Nadere informatie

Deel C. Breuken. vermenigvuldigen en delen

Deel C. Breuken. vermenigvuldigen en delen Deel C Breuken vermenigvuldigen en delen - 0 Sprongen op de getallenlijn. De sprongen op de getallenlijn zijn even groot. Schrijf passende breuken of helen bij de deelstreepjes. 0 Welk eindpunt wordt bereikt

Nadere informatie

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2 Getallen 2 Getallen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen, regels en vaardigheden die in het vmbo en de onderbouw van havo/vwo worden aangeleerd, geoefend en toegepast. Doelgroep

Nadere informatie

Antwoordmodel - Kwadraten en wortels

Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Schrijf je antwoorden zo volledig mogelijk op. Tenzij anders aangegeven mag je je rekenmachine niet gebruiken. Sommige vragen zijn alleen voor het vwo, dit staat aangegeven.

Nadere informatie

1. Rekenen met gehele getallen 3. 2. Rekenen met decimale getallen 7. 3. Rekenen met procenten 10. 4. Rekenen met breuken 15. 5.

1. Rekenen met gehele getallen 3. 2. Rekenen met decimale getallen 7. 3. Rekenen met procenten 10. 4. Rekenen met breuken 15. 5. Inhoudsopgave. Rekenen met gehele getallen. Rekenen met decimale getallen 7. Rekenen met procenten 0. Rekenen met breuken 5 5. Eenheden 6. Rekenen met machten 5 7. Rekenen met wortels 6 8. Redactiesommen

Nadere informatie

Onderwijsassistent REKENEN BASISVAARDIGHEDEN

Onderwijsassistent REKENEN BASISVAARDIGHEDEN Onderwijsassistent REKENEN BASISVAARDIGHEDEN Verhoudingstabel Wat zijn verhoudingen Rekenen met de verhoudingstabel Kruisprodukten Wat zijn verhoudingen * * * 2 Aantal rollen 1 2 12 Aantal beschuiten 18

Nadere informatie

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS Schooljaar 008/009 Inhoud Uitleg bij het boekje Weektaak voor e week: optellen en aftrekken Weektaak voor e week: vermenigvuldigen Weektaak voor e week: delen en de staartdeling

Nadere informatie

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2 Getallen 2 Getallen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen, regels en vaardigheden die in het vmbo en de onderbouw van havo/vwo worden aangeleerd, geoefend en toegepast. Doelgroep

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)!

Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)! Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)! Inhoudsopgave! Wiskunde en psychologie! Doelstelling van de module! Opzet van de module! Algebra: reken regels!

Nadere informatie

Reken zeker: leerlijn kommagetallen

Reken zeker: leerlijn kommagetallen Reken zeker: leerlijn kommagetallen De gebruikelijke didactische aanpak bij Reken Zeker is dat we eerst uitleg geven, vervolgens de leerlingen flink laten oefenen (automatiseren) en daarna het geleerde

Nadere informatie

handleiding formules

handleiding formules handleiding formules inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 applets 4 1 rekenen en formules 4 2 formules maken 4 3 de distributiewet 5 4 onderzoek 5 tijdpad 6 materialen

Nadere informatie

Elementaire rekenvaardigheden

Elementaire rekenvaardigheden Hoofdstuk 1 Elementaire rekenvaardigheden De dingen die je niet durft te vragen, maar toch echt moet weten Je moet kunnen optellen en aftrekken om de gegevens van de patiënt nauwkeurig bij te kunnen houden.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Als x = 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 3 5,6 = 67, m. b De lengte is meter, de totale breedte is 5 + x meter, dus voor de oppervlakte geldt A = (5 + x). Dus

Nadere informatie

(o.a. voor 2F en 3F) Inhoud

(o.a. voor 2F en 3F) Inhoud (o.a. voor 2F en 3F) Inhoud Optellen... 2 Aftrekken... 3 Vermenigvuldigen... 4 Delen... 5 Tot de macht... 6 Combinaties... 7 Wortels... 7 Afronden... 8 Breuken... 10 Procenten... 11 Verhoudingen... 12

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. 5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige

Nadere informatie

kwadratische vergelijkingen

kwadratische vergelijkingen kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking

Nadere informatie

9 a met: 100 (a+b) ; zonder: 100 a b b 100 (a+b) = 100 a b. 10 a met: 24 (a b) ; zonder: 24 a + b b 24 (a b) = 24 a + b. 11 a 90 a b 90 + a

9 a met: 100 (a+b) ; zonder: 100 a b b 100 (a+b) = 100 a b. 10 a met: 24 (a b) ; zonder: 24 a + b b 24 (a b) = 24 a + b. 11 a 90 a b 90 + a 6.0 INTRO De uitkomsten zijn allemaal. c (n+)(n ) (n +)(n ) = d - - = -0,75 -,75 = De uitkomsten zijn allemaal c n + (n+) (n+) = d + 6 4 4 4 = 6 4 = 6. REKENEN a ( + 5) = 8 = 64 = 8 + 5 = 6 + 5 = ( + 5

Nadere informatie

Antwoorden bij Rekenen met het hoofd

Antwoorden bij Rekenen met het hoofd Antwoorden bij Rekenen met het hoofd Hoofdstuk Basisbewerkingen. Bewerkingen in beeld a. : splitsen in 5 en. Eerst min 5, dan min 0 en tenslotte nog min : splitsen in 5 en, die uitvoeren en dan nog stapsgewijs

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a Als x 5 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 1 3 5,6 5 67, m. b De lengte is 1 meter, de totale breedte is 5 1 x meter, dus voor de oppervlakte geldt A 5 1(5 1 x).

Nadere informatie

Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

Getallen 1F Doelen Voorbeelden 2F Doelen Voorbeelden

Getallen 1F Doelen Voorbeelden 2F Doelen Voorbeelden A Notatie en betekenis - Uitspraak, schrijfwijze en betekenis van, symbolen en relaties - Wiskundetaal gebruiken - de relaties groter/kleiner dan - breuknotatie met horizontale streep - teller, noemer,

Nadere informatie

6 Breuken VOORBEELDPAGINA S. Bestelnr Het grote rekenboek - overzicht - Hoofdstuk Breuken

6 Breuken VOORBEELDPAGINA S. Bestelnr Het grote rekenboek - overzicht - Hoofdstuk Breuken Bestelnr. Het grote rekenboek - overzicht - Hoofdstuk Breuken K-Publisher B.V. Prins Hendrikstraat NL- CS Bodegraven Telefoon +(0)- 0 Telefax +(0)- info@k-publisher.nl www.k-publisher.nl Breuken Breuk

Nadere informatie

Hoe maak je nu van breuken procenten? Voorbeeld: Opgave: hoeveel procent van de onderstaande tekening is zwart gekleurd?

Hoe maak je nu van breuken procenten? Voorbeeld: Opgave: hoeveel procent van de onderstaande tekening is zwart gekleurd? Procenten Zoals op de basisschool is aangeleerd kunnen we een taart verdelen in een aantal stukken. Hierbij krijgen we een breuk. We kunnen ditzelfde stuk taart ook aangegeven als een percentage. Procenten:

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

Leerlijnen groep 8 Wereld in Getallen

Leerlijnen groep 8 Wereld in Getallen Leerlijnen groep 8 Wereld in Getallen 1 2 3 4 REKENEN Boek 8a: Blok 1 - week 1 Oriëntatie - uitspreken en schrijven van getallen rond 1 miljoen - introductie miljard - helen uit een breuk halen 5/4 = -

Nadere informatie

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i

Nadere informatie

Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking

Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking 4 Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking Dit kun je al gehele getallen vermenigvuldigen 2 afspraken i.v.m. de volgorde van de bewerkingen toepassen 3 regelmaat en patronen ontdekken

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Etra oefening - Basis B-a 0 y 9 8 8 9 b y y = + 8 0 6 8 0 6 O 8 c Zie de tekening hierboven. De symmetrieas is de y-as. d De coördinaten van de top zijn (0, ). B-a g = 7 ( a+ ) a + 7 g = 7 a+ 0 b w= 9n(

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

Decimaliseren. 1.1 Vereenvoudigen 2. 1.2 Verhoudingen omzetten 3. 1.3 Afronden 4. 1.4 Oefeningen 4

Decimaliseren. 1.1 Vereenvoudigen 2. 1.2 Verhoudingen omzetten 3. 1.3 Afronden 4. 1.4 Oefeningen 4 Decimaliseren Samenvatting Decimaliseren is nodig, omdat alle apparaten voor hun instelling een decimaal getal nodig hebben. Bijvoorbeeld: een infuuspomp kan wel op 0,8 ml/min ingesteld worden, maar niet

Nadere informatie