Op deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet).

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Op deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet)."

Transcriptie

1 Moddergooien n.a.v. 31 augustus Allereerst: hartelijk dank voor de vragen; als dat zo doorgaat en als jullie zo blijven komen en ook nog eens huiswerk maken, dan weet ik zeker dat ik dicht bij 100% ga komen. (En dan zal ik volgende week ook uit gaan zien naar een andere zaal want deze is nu te klein.) Overigens: als je problemen had met impedantie C, R moet je daarover vooral geen zorgen maken want tentamen en huiswerk zijn altijd wiskundig en bevatten nooit een vraag naar weetjes. Ook zal ik volgende week het hele vak even tegen het licht houden. 1. Een aantal vragen gingen over onduidelijkheden in de sheets, of liever misprints/typfouten; of eigenlijk slordigheden. De belangrijkste was waarschijnlijk: als z =2, dan stellen deze punten een cirkel voor met straal 2. In mijn eigen val gelopen! Het moet natuurlijk zijn dat z 2 =2 een cirkel voorstelt met straal 2. Overigens moet ik daarbij zeggen dat de oorsprong van die cirkel de oorsprong dus het punt z = 0 + 0i = 0 is. De getallen z 1 i =5 vormen een cirkel met straal 5 en oorsprong: z = 1 + i. 2. Hierbij hoort natuurlijk meten ook poolcoördinaten. Omdat C R 2 (dat -teken is een wiskundig detail, maar daar maken we ons geen zorgen over) zijn deze coördinaten vaak handig: elk punt in R 2 kunnen we schrijven in de vorm [ x, y ]=r[ cos φ, sin φ ] (1) Hierin is r de lengte van de vector, dus r = x 2 + y 2. De hoek φ is de hoek die de vector maakt met de positieve x-as. Deze φ kan dus de waarden tussen 0 en 2π liggen: 0 φ< 2π Op deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet). Op dit punt komen we later nog over te spreken want voor bijvoorbeeld φ = 5 2π bestaat (1) natuurlijk wel: [ [ x, y ]=r[ cos φ, sin φ ]=[x, y ]=r cos 5 2 π, sin 5 ] 2 π = ri want cos 5 2 π = cos 1 2 π =0, sin 5 2 π = sin 1 2 π =1 Deze observatie is nu nog niet van belang, maar later lopen we spoedig tegenaan. Vergelijking (1) noemen poolcoördinaten: elke punt in R 2 heeft dus die voorstelling. Dit geldt dus ook voor een complex getal z z = x +iy }{{} = r cos φ +irsin φ = r(cos φ + i sin φ) }{{} standaardvorm polaire vorm In de figuur hebben we: x +iy = 4 + i3 = r(cos φ + i sin φ) met r = ( ) =5, φ = arctan 0.64(= 74 o ) 4 1

2 Voorlopig hebben we hier voldoende aan aangaande poolcoördiaten. 3. Als je een polynoom hebt van graad d weten we dat dit polynoom altijd precies d nulpunten heeft (dit is een van de hoofdstellingen van de wiskunde). Je ziet al wel dat hier een opmerking bij hoort: Neem p(z) =z 2 + 1, dus de stelling zegt alleen iets over complexe nulpunten. Neem p(z) =(z 1) 2 ; tja, die heeft echt maar 1 nulpunt (z = 1). Wiskundigen tellen dit soort wortels anders. Als we het polynoom een klein beetje veranderen, p(z) = (z 1) 2 ± ɛ, ɛ 1 heeft deze twee wortels (reëel als ɛ< 0, imaginair als ɛ> 0). Om die reden wordt een dubbel nulpunt ook dubbel geteld: p(z) =(z 1) 2 =(z 1) (z 1); De factor z 1 komt twee keer voor in deze p(z). Staartdelingen: op het bord makkelijker te bewerkstelligen dan met een tekstverwerker. Ik doe een poging. Eerst staartdelen voor getallen (dat is hetzelfde!). Als je weet dat een polynoom q(z) alleen maar nulpunten die p(z) ook heeft, kan je p(z) delen door q(z). Dit geldt natuurlijk met bovenstaande dubbeltelling. Voorbeelden: p(z) =z 2 z = z(z 1),q(z) = 3z p(z) q(z) = 1 (z 1). 3 De graad van het resulterende polynoom na deling is gelijk aan graad(p)-graad(q), in dit geval 2-1=1. De factor 1 3 doet er niet toe: het gaat alleen om de graad van het resulterende polynoom, ofwel de nulpunten van de polynomen. De polynomen p(z) en 1001p(z) hebben nu eenmaal dezelfde nulpunten. Als we kiezen p(z) =z 2 z, q(z) =z 2 kunnen we deze polynomen niet op elkaar delen: q(z) heeft alleen z = 0 als nulpunt, en p(0) = 0 maar q(z) heeft een dubbel nulpunt, en p(z) slechts een enkel. Als je weet dat een polynoom q(z) alleen maar nulpunten heeft die p(z) ook heeft, kan je p(z) delen door q(z) zal je met een staartdeling. Laten we het cubische polynoom (dus een polynoom van graad 3) p(z) =z 3 3z 2 +6z 4 delen door q(z) =z 1. Er geldt p(1) = 0 dus dit zal gaan lukken (q heeft een enkel nulpunt). We beginnen met stap 1 (zie figuur 1). Een stap later staat in figuur 2: De leidende term is z 3 en die kun je elimineren om z 2 (z 1) er vanaf te trekken. Door dit voort te zetten elimineer je telkens de volgende hoogste term in z. Als alles gored gaat (en dat moet als p en q de gewenste eigenschap hebben!) komt op het eind van de deling een 0 te staan, zoals in figuur 4. 2

3 Figure 1: Opzet staartdeling. Figure 2: Eerste stap staartdeling. Figure 3: Einde staartdeling. 3

4 Deel nu zelf z 2 (1 + i)z + i door z 1 (antwoord achteraan). Overigens is het zo dat minder eenvoudige voorbeelden, zoals op het bord gedaan met wortel z = 1 + i, alleen ter lering en vermaak gedaan is: voor echte problemen gebruik je de computer! Dus, voor de Maple-niet-haters: p:=z^4-12*z^3+44*z^2-48*z; q:=z^2-6*z+8; r:=factor(p/q) > z(z-6) 4. Een polynoom van graad n, heeft n wortels/nulpunten. Als zijn coëfficiënten reëel zijn hebben we beredeneerd op het college dat als z = z 0 een oplossing is, dat dan ook z = z 0 ook een oplossing is. Nu zijn er twee gevallen: (a) z 0 is een reëel getal: Ja, nou moe, dat zegt de stelling niets: als z = z 0 een oplossing is dan is z = z 0 = z 0 dat ook! Nogal wiedes. (b) z 0 heeft een imaginair deel wat niet nul is: Dan zijn zowel z = z 0 als z = z 0 oplossingen; maar dit kant niet een dubbel nulpunt zijn, want dan zou z 0 = z 0, maar dakennie. Gevolg: een polynoom met reële coëfficiënten heeft DUS een even aantal niet-reële wortels! Dus een cubisch polynoom met reële coëfficiënten heeft dus altijd 0 of 2 complexwaardige wortels. 5. Bij de vraag maar hoe bepaal je de nulpunten van een derdegraads polynoom kan ik alleen een heldenverhaal vertellen. Dit heeft de mensheid in de middeleeuwen lang beziggehouden. Als je weten wil waarom: typ in, in Maple solve(a*z^3+b*z^2+c*z+d, z) of bezoek van Cardano en klik door op Cardano om kennis te maken met de man die het (niet) opgelost heeft. Mannen waren toen al haantjes, hoor. (Van een vierdegraads polynoom bestaat ook zo n formule.) footnoteuit Wiki: Dat was in die tijd nog veel ingewikkelder dan het vandaag de dag lijkt omdat negatieve getallen nog niet als zodanig bekend waren. Nee dan de echte held: Galois, zie Galois. Dat is pas een echte kerel. Bewees rond zijn 20ste dat er geen formules konden bestaan voor de wortels van polynomen van graad 5 en hoger. En op zijn 21ste liep een duel om een vrouw slecht af. Dus, nee: ik zal nooit de vraag stellen om wortels te vinden van een polynoom van graad 3. En dioe ik het toch, probeer dan maar eens simpele mogelijkheden, zoals z =0, ±1, ±2. 6. Een andere grootheid was Pascal. Zie Pascal De man van de eerste computer (!!? volgende formule: (x + y) N = Pascal leefde van !!?), maar ook van de N k=0 4 N! (N k)!k! xk y N k

5 Ach, als je die formule nodig hebt, kijk je in de boeken; maar omdat hij zo simpel is, kan ik hem niet vergeten en ik vind het wel handig om die coëfficiënten paraat te hebben (Pascal s driehoek): Elk getal is de som van zijn twee bovenburen (als er maar één is, dan is het getal gelijk aan zijn bovenbuur; aan de randen blijven dus 1en staan). 7. Toch wat andere polynoomdingen. Als je weet dat een quadratisch polynoom q(x) nulpunten 1 en 3 heeft, weet je dat de vorm van dit polynoom: q(x) =C(x 1)(x 3) Alleen de voorconstante C ken je dan nog niet. Een cubisch polynoom p(x) met diezelfde wortels heeft de vorm p(x) =C 2 (x 1)(x 3)(x α). Hierin zijn C 2 en α dus nog onbekend. Je ziet nu ook dat p(x) deelbaar moet zijn dooe q(x): immers p(x) q(x) = C 2 (x α). C Wat algemener: de hoofdstelling can de algebra zegt dat een polynoom r(x) van de graad d te ontbinden is: r = C 3 (x x 1 )(x x 2 )... (x x d ). Voor d = 1 is het simpel; voor d = 2 hebben we de abc-formule; voor graad 3 en 4 hebben we Cardano. Hoewel er volgens Galois geen formules zijn is dat bovenstaande ontbinding wel altijd mogelijk is. 8. Toch nog even een polynoom met reële coëfficiënten. Als je hebt: en als z = z 0 een nulpunt is weten we dat p(z) = 1 + z +2z 2 +4z 4 p(z = z 0 ) = 1 + z 0 +2z z 4 0 =0. Als we hebben A = B dan geldt ook A = B. Dus als we weten dat weten we ook dat 1+z 0 +2z z 4 0 =0 (1 + z 0 +2z z 4 0) =0 =0 De linkerkant wordt, omdat 1,2,4 geen imaginair deel hebben: Maar hier staat precies dus z 0 voldoet ook aan p(z = z 0) = 0. 1+z 0 + 2(z 0) 2 + 4(z 0) 4 =0 p(z 0) = 1 + z 0 + 2(z 0) 2 + 4(z 0) 4 =0 5

6 9. De deeltruc: a + bi c + di = ( )( ) a + bi c di c + di c di = (ac + bd)+(bc ad)i c 2 + d 2 Als je goed kijkt doe je eigenlijk dit (abstractiestap): noem y = a + bi, z = c + di: y z = y z z z = yz z 2 (2) Door deze truc wordt de noemer z 2 en is dus reëel: yz kun je gewoon uitrekenen (= ac + bd + i( ad + bc)) en heeft dus een bekend reël en imaginair deel, dus ( y ) Re = 1 ( y ) z z 2 Re(yz ), Im = 1 z z 2 Im(yz ). Kortom de linkerkant in vergelijking (2) is niet in standaardvorm; de rechterkant wel. De gevraagde staartdeling. Figure 4: Nog een staartdeling. 6

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling 1 / 95 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Last adapt: 30-08-09 2 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen 3 /

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Overzicht 1 Inleiding 2 Overzicht 1 Inleiding 2 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken

Nadere informatie

Complexe getallen: oefeningen

Complexe getallen: oefeningen Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de

Nadere informatie

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i 16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling 1 / 64 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 09-11-09 2 / 64 Niet overal analytisch: een rangschikking 2. De hoofdklasse A: rationale functies: f (z) = z5 + z 2 + 3z + 4 z 3 + 4z 2 + 5z

Nadere informatie

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1 WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We

Nadere informatie

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

z 1 z 2 r 2 r 1 z 2 z 1 r 1 r 2

z 1 z 2 r 2 r 1 z 2 z 1 r 1 r 2 Lesbrief 10 Complexe getallen 1 Het complexe vlak Zoals we ons reële getallen kunnen voorstellen als de punten van een lijn waarop 0 en 1 zijn vastgelegd, zo kunnen we ons de complexe getallen voorstellen

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden

10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden 10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : Complexe getallen

Hoofdstuk 8 : Complexe getallen 1 Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen getallen : (1) N = Natuurlijke getallen = 1,2,3,.. (2) Z = Gehele

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De getallenverzameling C 1 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss 7 3 Vierkantsvergelijkingen

Nadere informatie

ProefToelatingstoets Wiskunde B

ProefToelatingstoets Wiskunde B Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan

Nadere informatie

4051CALC1Y Calculus 1

4051CALC1Y Calculus 1 4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/

Nadere informatie

5.1 Constructie van de complexe getallen

5.1 Constructie van de complexe getallen Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder

Nadere informatie

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder

Nadere informatie

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier

Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier najaar 2004 Deel I Voortgezette Analyse Les 1 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen

Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Get Praktische-opdracht door een scholier 1750 woorden 12 mei 2003 5,2 86 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Deze praktische opdracht wiskunde heeft als onderwerp:

Nadere informatie

2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica

2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica de Bachelor IR de Bachelor Fysica 6 augustus 05 Er worden 4 vragen gesteld. Vul op ieder blad je naam in. Motiveer of bewijs iedere uitspraak. Los alle vragen op, op een apart blad! Het examen duurt u30.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op , 1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart

Nadere informatie

Bestaat er dan toch een wortel uit 1?

Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, 9.00-12.00 uur. Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven. De uitwerkingen van deze opgaven dienen

Nadere informatie

Willem van Ravenstein

Willem van Ravenstein Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.

Nadere informatie

Antwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen

Antwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen 1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.

Nadere informatie

In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.

In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. 03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het

Nadere informatie

De meetkunde van de. derdegraadsvergelijking

De meetkunde van de. derdegraadsvergelijking Jan van de Craats De meetkunde van de derdegraadsvergelijking 22 februari 2007 Algemene (complexe) derdegraadsvergelijking met a 1, a 2, a 3 C z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = 0 Oplossingen z 1, z 2, z 3 Dan

Nadere informatie

De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen

De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen Hoofdstuk 6 De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen 6.1 Factoriseren van veeltermen 1. Een reële veelterm q(x) met hoogstegraadsterm 5x 5 heeft als nulpunten 2, 1 + 3i, 2 2i

Nadere informatie

Complexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30

Complexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30 Complexe getallen José Lagerberg Universiteit van Amsterdam November, 2017 José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, 2017 1 / 30 1 Complexe getallen en complexe e-machten Complexe getallen en complexe

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

Utrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.

Utrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics. Utrecht, 25 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ [a, b] R, : [a, b] R Benader f door eenvoudige functies Voorbeelden eenvoudige

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE

2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Inleverdatum maandag 8 oktober 2017 voor het college Niet losse velletjes aan elkaar vast. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven.

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 3 1,731 5,361 π 3,116 1 Als a 1 3 a 1 3 a m = a met a R + \{0, 1}, dan

Nadere informatie

Calculus. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam

Calculus. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam Calculus P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam 30 november 2006 Hoofdstuk 1 Complexe getallen 1.1 Introductie In dit hoofdstuk gaat het over complexe getallen. We voeren

Nadere informatie

Actief gedeelte - Maken van oefeningen

Actief gedeelte - Maken van oefeningen Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch staan. Die

Nadere informatie

Signalen en Transformaties

Signalen en Transformaties Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex

Nadere informatie

Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur

Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 3 oktober 2007.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 3 oktober 2007. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Algemeen deel. Bij het vermenigvuldigen met van de ongelijkheid moet u rekening houden met twee gevallen, te weten > 0 en < 0 en u moet

Nadere informatie

Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies

Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende

Nadere informatie

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30 Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:

Nadere informatie

Instructie voor Docenten. Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE

Instructie voor Docenten. Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE Instructie voor Docenten Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE Instructie voor docenten H13: OMTREK EN OPPERVLAKTE DOELEN VAN DIT HOOFDSTUK: Leerlingen weten wat de begrippen omtrek en oppervlakte betekenen.

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Discrete Wiskunde, College 7. Han Hoogeveen, Utrecht University

Discrete Wiskunde, College 7. Han Hoogeveen, Utrecht University Discrete Wiskunde, College 7 Han Hoogeveen, Utrecht University Sommatiefactor methode (niet in boek) Doel: oplossen van RBs als Basisidee: f n a n = g n a n 1 + c n ; 1 Vermenigvuldig de RB met een factor

Nadere informatie

Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011

Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen

Nadere informatie

1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.

1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D Jan van de Craats Voorlopige versie, 11 juni 007 Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit

Nadere informatie

Analytische Meetkunde. Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw

Analytische Meetkunde. Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw Analytische Meetkunde Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde Synthetische Meetkunde Vectoren Gonio Analyse Algebra Symmetrie Complexe Getallen

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

De geschiedenis en methodes voor het oplossen van vergelijkingen met polynomen

De geschiedenis en methodes voor het oplossen van vergelijkingen met polynomen faculteit Wiskunde en Natuurwetenschappen De geschiedenis en methodes voor het oplossen van vergelijkingen met polynomen Bèta Wetenschappelijk Onderzoek (EC-Master) Juni 017 Student: C. L. de Wit Eerste

Nadere informatie

Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde

Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,

Nadere informatie

Combinatoriek groep 1 & 2: Recursie

Combinatoriek groep 1 & 2: Recursie Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h Een regenton maximumscore h V ( rx ( )) dx π 0 00 ( rx ( )) ( x x ) + Een primitieve van + x x is x+ 7 x x π Dus V ( h 7 h h ) + 00 π π V h+ h h h+ h h 00 0 ( ) ( ) maximumscore Het volume van de regenton

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 986 987: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij of zij

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt: een deelnemer start met 0 punten, per

Nadere informatie

G Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie. K Geologie, Informatica, Schakelprogramma s

G Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie. K Geologie, Informatica, Schakelprogramma s Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 3 november 06, :00-3:00

Nadere informatie

2 Modulus en argument

2 Modulus en argument Modulus en argument Verkennen Modulus en argument Inleiding Verkennen Probeer zelf te bedenken hoe je een complex getal kunt opschrijven vanuit de draaihoek en de lengte van de bijbehorende vector. Uitleg

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D Jan van de Craats Herziene versie, 3 augustus 007 Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: 14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

Complexe getallen in context

Complexe getallen in context Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie, november 006 Deze module is ontwikkeld in opdracht van ctwo. Copyright 006 R.Dames en H. van Gendt Inhoud Inhoud...3

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2015: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2015: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 5 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 5: algemene feedback In totaal namen 79 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur die aangeboden

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2015: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2015: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 5 - reeks 4 - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 5: algemene feedback In totaal namen 79 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur die aangeboden

Nadere informatie

e x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt

e x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP3B 5 november, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boeken) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering

Nadere informatie

0.25x. Het buitengebied - vanuit elk punt kun je twee raaklijnen tekenen - bevat twee oplossingen. De parabool zelf staat voor één oplossing.

0.25x. Het buitengebied - vanuit elk punt kun je twee raaklijnen tekenen - bevat twee oplossingen. De parabool zelf staat voor één oplossing. Uitwerkingen opgaven Zichtbaar maken van discriminantkrommen Opgave 1.1 a. Het binnengebied van de dalparabool oplossingen. y 0.5x, het holle deel, bevat geen Het buitengebied - vanuit elk punt kun je

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde Junior Wiskunde Olympiade 008-009: tweede ronde ( 7) = (A) 7 (B) 7 (C) 7 of + 7 (D) 7 (E) onbepaald Beschouw de rij opeenvolgende natuurlijke getallen beginnend met en eindigend met Wat is het middelste

Nadere informatie

Complexe getallen in context

Complexe getallen in context Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie 4, juni 0 In deze vierde versie zijn alleen een aantal zetfouten verbeterd. Inhoudelijk is deze versie geheel gelijk

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie week 4.8, maandag Faculteit EWI TU Delft Delft, 6 juni, 2016 1 / 33 Outline 1 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz 2 2 / 33 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz Maximum-modulusprincipe Stelling

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie

Nadere informatie

WI1708TH Analyse 2. College 5 24 november Challenge the future

WI1708TH Analyse 2. College 5 24 november Challenge the future WI1708TH Analyse 2 College 5 24 november 2014 1 Programma Vandaag 2 e orde lineaire differentiaal vergelijking (17.1) 2 1 e orde differentiaal vergelijking Definitie Een 1 e orde differentiaal vergelijking

Nadere informatie