Complexe getallen: oefeningen
|
|
- Renske van der Meer
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Complexe getallen: oefeningen
2 Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de som z 1 + z 2 en schrijf het resultaat in de vorm a + bi. Modeloplossing: z 1 + z 2 = (2 + 1i) + (2 3i) z 1 + z 2 = (2 + 2) + (1 3)i z 1 + z 2 = 4 2i = a + bi 2. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 1 2i en z 2 = 3 4i. Bereken het verschil z 1 z 2 en schrijf het resultaat in de vorm a + bi. Modeloplossing: z 1 z 2 = (1 2i) (3 4i) z 1 z 2 = (1 3) + ( 2 ( 4))i z 1 z 2 = 2 + 2i = a + bi 1
3 HOOFDSTUK 2. PRAKTISCH REKENEN MET COMPLEXE GETALLEN2 2.2 Optelling en aftrekking 1. Bereken de som van z 1 = 4 + 8i en z 2 = 15 12i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 2. Bereken het verschil van z 1 = 2+4i en z 2 = 6 7i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 3. Bereken de som van z 1 = 2 + 3i en z 2 = 5 + i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 4. Bereken het verschil van z 1 = 2 + i en z 2 = 3 + i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 5. Bereken de som van z 1 = 4 + 3i en z 2 = 4 + i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 6. Los de vergelijking i 2 + z 7 in de vorm a + bi. = 2 + 3i op in C. Druk het resultaat uit 2.3 Vermenigvuldiging en deling (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken het product z 1 z 2 en schrijf het resultaat in de vorm a + bi. Modeloplossing: z 1 z 2 = (2 + i)(2 3i) z 1 z 2 = (2 (2 3i)) + (i (2 3i)) z 1 z 2 = (4 6i) + (2i 3i 2 ) z 1 z 2 = (4 3( 1)) + ( 6 + 2)i z 1 z 2 = 7 4i = a + bi 2. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 1 2i en z 2 = 3 4i. Bereken het quotiënt z 1 z 2 en schrijf het resultaat in de vorm a + bi.
4 HOOFDSTUK 2. PRAKTISCH REKENEN MET COMPLEXE GETALLEN3 Modeloplossing: z 1 = 1 2i z 2 3 4i z 1 = 1 2i z 2 3 4i 3 + 4i 3 + 4i z 1 (1 2i)(3 + 4i) = z i + 12i 16i 2 z 1 = (3 + 4i 6i 8i2 ) z 2 25 z 1 = 11 z i = a + bi 2.4 Vermenigvuldiging en deling 1. Bereken het quotiënt van z 1 = 1+i en z 2 = 5+2i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 2. Bereken het product van z 1 = 1 i en z 2 = 1 + i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 3. Bereken het quotiënt van z 1 = 1+2i en z 2 = 3 4i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 4. Bereken het product van z 1 = 2+i en z 2 = 1+2i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 5. Bereken het quotiënt van z 1 = 5 6i en z 2 = 5i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 6. Los de vergelijking 5iz + 2 = 3i op in C. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 7. Los de vergelijking 7 vorm a + bi. z+i = 1 i op in C. Druk het resultaat uit in de 8. De getallen α en β zijn reële getallen. Bepaal α en β als je weet dat (α + i)(1 + 2i) iβ = 0.
5 HOOFDSTUK 2. PRAKTISCH REKENEN MET COMPLEXE GETALLEN4 2.5 Modulus en complex toegevoegde (modeloplossing) Gegeven is het complexe getal z = 2 3i. Bereken de modulus z en bepaal zijn complex toegevoegde z. Modeloplossing: z = ( 3) 2 z = z = 13 z = 2 3 ( 1)i z = 2 + 3i 2.6 Modulus en complex toegevoegde 1. Bereken de modulus van de som van z 1 = 1 i en z 2 = 5 + 2i. 2. Bereken de complex toegevoegde van z = 5 3i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 3. Bereken de modulus van het product van z = 1 + 2i en zijn complex toegevoegde z. 4. Bereken de complex toegevoegde van de som van z 1 = 5 6i en z 2 = 1 + 2i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 5. Bereken de modulus van het quotiënt van z 1 = 4 3i en z 2 = 3 4i. 6. Los de vergelijking (2 + i)z = z + 4 op in C. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 7. Bepaal de twee complexe getallen z 1 en z 2 waarvoor de modulus gelijk is aan 1 en waarvan het reëel deel gelijk is aan het imaginair deel.
6 HOOFDSTUK 2. PRAKTISCH REKENEN MET COMPLEXE GETALLEN5 2.7 Oplossingen 2.2 Optelling en aftrekking i i i i i 2.4 Vermenigvuldiging en deling i i i i i i 8. α = 5 β = Modulus en complex toegevoegde i i i 7. z 1 = i z 2 = i
7 Hoofdstuk 3 Het complexe vlak 3.1 Som, verschil en complex toegevoegde 1. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Waar ligt dan z 1 z 2? Antwoord met de letter die hoort bij het juiste vakje in de figuur. 2. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Waar ligt dan z 2 + z 2? Antwoord met de letter die hoort bij het juiste vakje in de figuur. 3. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Waar ligt dan iz 1? Antwoord met de letter die hoort bij het juiste vakje in de figuur. 3.2 Modulus 1. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Beschouw het complex getal z 1. Duid de uitspraak aan die geldig is voor deze keuze van z 1 en z 2. Je kan meerdere antwoorden als juist aanduiden. (a) z 1 = z 1 (b) z 1 < z 1 (c) z 1 > z 1 (d) z 1 = z 2 6
8 HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK 7 (e) z 1 < z 2 (f) z 1 > z 2 2. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Waar ligt dan z 2 + z 2? Antwoord met de letter die hoort bij het juiste vakje in de figuur. Beschouw het complex getal az 2, waarbij a > 1 een reëel getal is. Duid de uitspraak aan die geldig is voor deze keuze van z 1 en z 2. Je kan meerdere antwoorden als juist aanduiden. (a) az 2 = z 1 (b) az 2 < z 1 (c) az 2 > z 1 (d) az 2 = z 2 (e) az 2 < z 2 (f) az 2 > z 2 3. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Beschouw het complex getal az 1 z 2, waarbij 0 < a < 1 een reëel getal is. Duid de uitspraak aan die geldig is voor deze keuze van z 1 en z 2. Je kan meerdere antwoorden als juist aanduiden. (a) az 1 z 2 z 2 (b) az 1 z 2 z 1 (c) az 1 z 2 z 1 (d) az 1 z 2 z 2 (e) az 1 z 2 = z 1 (f) az 1 z 2 = z Argument 1. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Beschouw het complex getal z 1 +z 2. Het argument van dit complex getal is θ. Duid de uitspraak aan die geldig is voor de waarde van θ 1,θ 2 en θ tussen 0 en 2π.
9 HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK 8 (a) θ 1 < θ < θ 2 (b) θ > θ 2 > θ 1 (c) θ > θ 1 > θ 2 (d) θ < θ 1 < θ 2 (e) θ 2 < θ < θ 1 2. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Beschouw het complex getal z 1 z 2. Het argument van dit complex getal is θ. Duid de uitspraak aan die geldig is voor de waarde van θ 1,θ 2 en θ tussen 0 en 2π. (a) θ 1 < θ < θ 2 (b) θ > θ 2 > θ 1 (c) θ > θ 1 > θ 2 (d) θ < θ 1 < θ 2 (e) θ 2 < θ < θ 1 3. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Beschouw het complex getal az 1 z 2, waarbij 0 < a < 1. Het argument van dit complex getal is θ. Duid de uitspraak aan die geldig is voor de waarde van θ 1,θ 2 en θ tussen 0 en 2π. (a) θ 1 < θ < θ 2 (b) θ > θ 2 > θ 1 (c) θ > θ 1 > θ 2 (d) θ < θ 1 < θ 2 (e) θ 2 < θ < θ 1
10 HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK 9 Figuur 3.1: Figuur bij secties 3.1, 3.2 en 3.3
11 HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK Modulus en argument in het complexe vlak 1. Beschouw het complexe getal z met modulus z = 4 en argument θ = 2π/3. Duid z aan op onderstaande figuur. 2. Beschouw de complexe getallen z 1 en z 2 met z 1 = 2, z 2 = 2 2, θ 1 = 3π/4 en θ 2 = 3π/2. Duid z 1 + z 2 aan op onderstaande figuur. 3. Beschouw z 0 = i. Beredeneer de plaats van z 1, z 2 en z 3 in het complexe vlak, waarbij z 1 = z 0 i, z 2 = 3iz 1 en z 3 = z 2 i. Duid z 3 aan op onderstaande figuur. Figuur 3.2: Figuur bij sectie Grafisch redeneren 1. Indien z een complex getal is met modulus 1 ( z = 1) en argument θ tussen 0 en π 1+z2, dan geldt = z. Toon dit meetkundig aan. Je hoeft 4 1+z 2 hiervoor niet te rekenen. Teken z in het complexe vlak. Waar ligt dan z 2, 1 + z 2,...?
12 HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK Oplossingen C 2. D 3. A A-F 2. F 3. D B 2. B 3. A 3.4
13 HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK
14 Hoofdstuk 4 De polaire vorm en de exponentiële vorm 4.1 Omzetten naar cartesische vorm 1. Zet z = 3e 5i om van de exponentiële vorm naar de cartesische vorm a + bi. 2. Zet z = 2e i π 2 om van de exponentiële vorm naar de cartesische vorm a + bi. 3. Zet z = 7e i 7π 6 om van de exponentiële vorm naar de cartesische vorm a + bi. 4.2 Omzetten naar polaire en exponentiële vorm 1. Zet z = 1 + 3i om van de cartesische vorm naar de polaire vorm r(cos(θ) + i sin(θ)). 2. Zet z = 1+i om van de cartesische vorm naar de polaire vorm r(cos(θ)+ i sin(θ)). 3. Zet z = 2 + i om van de cartesische vorm naar de exponentiële vorm re iθ. 4. Zet z = 5i om van de cartesische vorm naar de polaire vorm r(cos(θ)+ i sin(θ)). 13
15 HOOFDSTUK 4. DE POLAIRE VORM EN DE EXPONENTIËLE VORM14 5. Zet z = 7 om van de cartesische vorm naar de polaire vorm r(cos(θ) + i sin(θ)). 6. Zet z = 3 + 4i om van de cartesische vorm naar de exponentiële vorm re iθ. 4.3 Oefeningen op de exponentiële vorm 1. Reken (1.1e 2i ) 10 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 2. Reken e 2i +e 3i uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a+bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 4.4 Oefening op modulus 1. Bereken op een zo zuinig mogelijke manier de modulus van z = (3+4i)(12+5i) (2+3i) Omzetting op het juiste moment 1. Reken (i e i π 6 + 1)/e i π 6 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 2. Reken 2e i π 3 3e i π 6 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 3. Reken 2e i π 3 3e i π 6 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 4. Reken 2e i π 3 /(3e i π 6 ) uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 5. Reken (1 + i) 50 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 6. Reken ( 1+ 3i) 20 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen.
16 HOOFDSTUK 4. DE POLAIRE VORM EN DE EXPONENTIËLE VORM Oplossingen cos(5) + 3 sin(5)i = 0, 852, 88i 2. 2 cos( π + 2 sin( π )i = 2i cos( 7π) + 7 sin( 7π )i = 6, 06 3, 5i Modeloplossing: 2. r = = 2 θ = π 4 (eerste kwadrant) 3. r = ( 2) = 5 θ = π arctan( 1 ) (tweede kwadrant) 2 4. r = ( 5) 2 = 25 = 5 θ = π 2 (negatieve imaginaire as) 5. r = = 49 = 7 θ = 0 (positieve reële as)
17 HOOFDSTUK 4. DE POLAIRE VORM EN DE EXPONENTIËLE VORM r = = 25 = 5 θ = arctan( 4 ) (eerste kwadrant) ,06 + 2,37 i 2. -1,41 + 1,05i 1. Modeloplossing: z = (3 + 4i)(12 + 5i)/(2 + 3i) 2 z = (3 + 4i)(12 + 5i)/(2 + 3i) 2 = (3 + 4i) (12 + 5i / (2 + 3i) 2 z = / z = 5 13/ 13 2 z = Modeloplossing: z = (i e i π 6 + 1)/e i π 6 z = (e i π 2 e i π 6 + 1)/e i π 6 (Product in exponentiële vorm) z = (e i( π 2 π 6 ) + 1)/e i π 6 z = (e i π 3 + 1)/e i π 6 z = (( z = ( (Uitwerkingproduct) π i) + 1)/ei 6 (Somincartesischevorm) π 2 i)/ei z = ( 3e i π 6 )/e i π 6 z = (U itwerkingsom) (Quotiënt in exponentiële vorm) (Uitwerking quotiënt) z = 3 a = 3 b = 0
18 HOOFDSTUK 4. DE POLAIRE VORM EN DE EXPONENTIËLE VORM e i π 3 3e i π 6 = 6e i( π 3 + π 6 ) a = 6 cos( π 3 + π 6 ) b = 6 sin( π 3 + π 6 ) 3. 2e i π 3 3e i π 6 = 6e i( π 3 π 6 ) a = 6 cos( π 3 π 6 ) b = 6 sin( π 3 π 6 ) 4. 2e i π 3 /3e i π 6 = 2 3 ei( π 3 π 6 ) a = 2 3 cos( π 3 π 6 ) b = 2 3 sin( π 3 π 6 ) 5. (1 + i) 50 = ( 2e i π 4 ) 50 a = ( 2) 50 cos( 50π 4 ) = 0 b = ( 2) 50 sin( 50π 4 ) = ( 1 + 3i) 20 = (2e i 2π 3 ) 20 a = 2 20 cos( 40π 3 ) b = 220 sin( 40π 3 )
19 Hoofdstuk 5 Veeltermvergelijkingen en complexe getallen 5.1 Tweedegraadsvergelijkingen 1. Bepaal de nulpunten van 7x 2 6x + 2 = 0. Ontbind de veeltermen in factoren. Modeloplossing: p(x) = 7x 2 6x + 2 D = ( 6) = = 20 D = 20i = 2 5i x 1 = ( 6) + 2 5i 2.7 x 2 = ( 6) 2 5i 2.7 = i = i p(x) = 7(x x 1 )(x x 2 ) = 7(x i)(x i) 2. Bepaal de nulpunten van x 2 + x + 1 = 0. Ontbind de veelterm in factoren. 3. Bepaal de nulpunten van 5x x + 8 = 0. Ontbind de veelterm in factoren. 4. Bepaal de nulpunten van 5x 2 + 2x 1 = 0. Ontbind de veelterm in factoren. 18
20 HOOFDSTUK 5. VEELTERMVERGELIJKINGEN EN COMPLEXE GETALLEN n-de machtswortels 1. Los de vergelijking x 5 = 1 op. Bepaal alle wortels en duid ze aan in het complexe vlak. Modeloplossing: x 5 = 1 x 5 = 1e i0 r = 5 1 = 1 θ 1 = 0 5 ; θ 2 = 0 + 2π 5 ; θ 3 = 0 + 4π 5 ; θ 4 = 0 + 6π 5 ; θ 5 = 0 + 8π 5 Wortels: x 1 = 1; x 2 = e i 2π 5 ; x3 = e i 4π 5 ; x4 = e i 6π 5 ; x5 = e i 8π Los de vergelijking x 4 1 = 0 op. Bepaal alle wortels en duid ze aan in het complexe vlak. Hoe kan je deze vergelijking ook puur analytisch oplossen? 3. Los de vergelijking x 3 = 3i op. Bepaal alle wortels en duid ze aan in het complexe vlak.
21 HOOFDSTUK 5. VEELTERMVERGELIJKINGEN EN COMPLEXE GETALLEN20 4. Los de vergelijking x 4 = 1 op. Bepaal alle wortels en duid ze aan in het complexe vlak. 5. Los de vergelijking x 2 = 2 + i op. Bepaal alle wortels en duid ze aan in het complexe vlak. 6. Hieronder vind je een reeks uitspraken met betrekking tot de n-demachtswortels van een complex getal. Duid alle juiste uitspraken aan. (a) De niet-reële wortels van een zuiver reëel getal bestaan altijd uit complex toegevoegde paren. (b) De vijfdemachtswortel van een complex getal heeft steeds een kleinere modulus dan de derdemachtswortel van datzelfde getal. (c) Alle wortels van een complex getal hebben dezelfde modulus. (d) Een zuiver reëel getal heeft altijd minstens één reële vijfdemachtswortel. (e) Een zuiver imaginair getal kan een zuiver reële wortel hebben. (f) Een zuiver reëel getal kan een zuiver imaginaire wortel hebben. 5.3 Ontbinden in factoren 1. Beschouw de veelterm p(x) = 5x 3 3x 2 x 1. x = 1 is een wortel van de veelterm. Bepaal de andere wortels en ontbind de veelterm in factoren. 5.4 Tweedegraadsvergelijkingen met complexe coëfficiënten 1. Los de vergelijking ix 2 + (5 + 3i)x + 3 4i = 0 op. Bepaal alle wortels en ontbind de veelterm uit de vergelijking in factoren. 2. Los de vergelijking e i π 4 x 2 + 2e i π 3 x e i π 4 = 0 op. Bepaal alle wortels en ontbind de veelterm uit de vergelijking in factoren. 3. Los de vergelijking x 2 + (2 + i)x + i = 0 op. Bepaal alle wortels en ontbind de veelterm uit de vergelijking in factoren.
22 HOOFDSTUK 5. VEELTERMVERGELIJKINGEN EN COMPLEXE GETALLEN Oplossingen (x i)(x i) 2. (x i)(x i) 3. 5(x i)(x i) 4. 5(x i)(x i) 1. {x 1 = 1; x 2 = e i 2π 5 ; x 3 = e i 4π 5 ; x 4 = e i 6π 5 ; x 5 = e i 8π 5 } 2. {1, 1, i, i} 3. { 3 3e i π 6, 3 3e i 5π 6, 3 3e i 9π 6 } 4. {e i π 4, e i 3π 4, e i 5π 4, e i 7π 4 } 5. { 4 5e i( 1 2 arctan( 1 2 )), 4 5e i(π+ 1 2 arctan( 1 2 )) } 6. Juiste uitspraken: a-c-d-f 1. Modeloplossing: 5x 3 3x 2 x 1 = (x 1)(ax 2 + bx + c) Bepalen van a, b en c levert: p(x) = (x 1)(5x 2 + 2x + 1) Wortels zoeken van 5x 2 + 2x + 1 : D = = 16 D = 4i 2 + 4i x 2 = = i 2 4i x 3 = = i Volledige ontbinding van p(x) : p(x) = (x 1)(x i)(x i) 1. x 1 = i en x 2 = 3 + 4i 2. x 1 = 2 2 (1 3) en x 2 = 2 2 ( 1 3)i 3. x 1 = 1 2 ( i) en x 2 = 1 2 ( i)
23 Hoofdstuk 6 De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen 6.1 Factoriseren van veeltermen 1. Een reële veelterm q(x) met hoogstegraadsterm 5x 5 heeft als nulpunten 2, 1 + 3i, 2 2i en 2 + 2i. Schrijf de veelterm als een product van veeltermen met reële coëfficiënten van maximale graad 2 Modeloplossing: Gegeven: Oplossing: q(x) = 5x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 q(x) heeft nulpunten x 1 = 2, x 2 = 1 + 3i, x 3 = 1 3i, x 4 = 2 2i, x 5 = 2 + 2i q(x) = 5(x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )(x x 4 )(x x 5 ) q(x) = 5(x 2)(x 1 3i)(x 1 + 3i)(x 2 + 2i)(x 2 2i) q(x) = 5(x 2)(x 2 2x + 10)(x 2 4x + 8) 2. Gegeven een veelterm p(x) met reële coëfficiënten en hoogstegraadsterm x 3, waarvan 2 en 2 + i nulpunten zijn. Bepaal overige nulpunten en de ontbinding in factoren. 22
24 HOOFDSTUK 6. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN Gegeven een veelterm p(x) met reële coëfficiënten en hoogstegraadsterm 3x 4, waarvan 3 i en 4 + 2i nulpunten zijn. Bepaal overige nulpunten en de ontbinding in factoren. 4. Gegeven een veelterm p(x) met reële coëfficiënten en hoogstegraadsterm 2x 5, waarvan 3, 3i en i 2 nulpunten zijn. Bepaal overige nulpunten en de ontbinding in factoren. 6.2 Stelsels van vergelijkingen 1. Karel lost een stelsel op van twee vergelijkingen in de onbekenden x en y: { 2x + 3y = 5 3x + y = 7 Om een vergelijking met alleen de onbekende y te bekomen, bekijkt hij de coëfficiënten van x in beide vergelijkingen. Hij besluit dde eerste vergelijking met 3 te vermenigvuldigen, de tweede met 2 en maakt het verschil. Hij bekomt de vergelijking: 7y = 1 met als oplossing y = 1/7. Uit een van de originele vergelijkingen vindt Karel dan ook x = 48/21. Anna heeft een gelijkaardig stelsel met complexe getallen { (2 + i)x + (3 2i)y = 5 i (3 i)x + (1 i)y = i Pas Karels methode toe op Anna s stelsel en druk de oplossing uit in de cartesische vorm. Modeloplossing: Vermenigvuldig vergelijking 1 met 3 i en vergelijking 2 met 2 + i: { (3 i)((2 + i)x + (3 2i)y) = (3 i)(5 i) (2 + i)((3 i)x + (1 i)y) = (2 + i)i
25 HOOFDSTUK 6. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 24 Uitwerken geeft { (7 + i)x + (7 9i)y = 14 8i (7 + i)x + (3 i)y = 1 + 2i Vergelijking (1) - vergelijking (2): (7 9i 3 + i)y = (14 8i + 1 2i) (4 8i)y = (15 10i) y = y invullen in vergelijking (1): 15 10i 4 8i = i (2 + i)x + (3 2i)y = 5 i (2 + i)x + (3 2i)(7/4 + i) = 5 i (2 + i)x + (29/4 1/2i) = 5 i (2 + i)x = (5 i 29/4 + 1/2i) (2 + i)x = ( 9/4 1/2i) x = 2. Los onderstaand stelsel op. 9/4 1/2i 2 + i = 4/5 13/20i { (3 + 3i)x + 4iy = 10 + i 6ix + (4 + 4i)y = i 3. Los onderstaand stelsel op. { (2 i)x + (4 + 3i)y = 2 i ( 1 2i)x + (3 i)y = 7i 4. Los onderstaand stelsel op. { x + y = 9 + i (2 i)x + (2 + i)y = 5 i 6.3 Eigenschappen van een veld 1. Hieronder volgt de oplossing van de vergelijking a(z + 1) = z voor a = 3 + i en met alle tussenstappen zoals toegelaten in een willekeurig
26 HOOFDSTUK 6. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 25 veld. Kies voor elke stap de bijhorende eigenschap van een veld die werd toegepast (zie theorie). (1) a (z + 1) = z (2) a z + a = z (3) (a z + a) a = z a (4) a z + (a a) = z a (5) a z + o = z a (6) a z = z a (7) z + a z = z + (z a) (8) z + a z = ( z + z) a (9) z + a z = o a (10) z + a z = a (11) ( 1 + a) z = a (12) ( 1 + a) 1 (( 1 + a) z) = ( 1 + a) 1 ( a) (13) (( 1 + a) 1 ( 1 + a)) z = ( 1 + a) 1 ( a) (14) 1 z = ( 1 + a) 1 ( a) (15) z = ( 1 + a) 1 ( a)
27 HOOFDSTUK 6. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN Oplossingen (x 2)(x 2 2x + 10)(x 2 4x + 8) 2. (x + 2)(x 2 i)(x 2 + i) 3. 3(x 3 i)(x 3 + i)(x 4 2i)(x 4 + 2i) 4. 2(x 3)(x + 2 i)(x i)(x 3i)(x + 3i) 1. x = 4/5 13/20i, y = 7/4 + i 2. x = 2/3 3i, y = 2 + 1/4i 3. x = /3i, y = 5/3 1/3i 4. x = 6 6i, y = 3 + 7i 1. (2) Distributiviteit van. ten opzichte van + (3) In beide leden werd het tegengestelde van a opgeteld (4) Associativiteit van + (5) Eigenschap van tegengestelde element (6) 0 is neutraal element voor + (7) In beide leden werd het tegengestelde van z opgeteld (8) Associativiteit van + (9) Eigenschap van tegengestelde element (10) 0 is neutraal element voor + (11) Distributiviteit van. ten opzichte van + (12) Beide leden vermenigvuldigd met het inverse element (13) Associativiteit van. (14) Eigenscshap van het inverse element (15) 1 is neutraal element voor.
De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen
Hoofdstuk 6 De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen 6.1 Factoriseren van veeltermen 1. Een reële veelterm q(x) met hoogstegraadsterm 5x 5 heeft als nulpunten 2, 1 + 3i, 2 2i
Nadere informatieLes 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De getallenverzameling C 1 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss 7 3 Vierkantsvergelijkingen
Nadere informatieAanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Nadere informatie6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Nadere informatie4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i
COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche
Nadere informatie5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Nadere informatieComplexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Nadere informatieComplexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
Nadere informatieActief gedeelte - Maken van oefeningen
Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2
Nadere informatieOp deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet).
Moddergooien n.a.v. 31 augustus Allereerst: hartelijk dank voor de vragen; als dat zo doorgaat en als jullie zo blijven komen en ook nog eens huiswerk maken, dan weet ik zeker dat ik dicht bij 100% ga
Nadere informatieWiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier
Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier najaar 2004 Deel I Voortgezette Analyse Les 1 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat
Nadere informatieHoofdstuk 8 : Complexe getallen
1 Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen getallen : (1) N = Natuurlijke getallen = 1,2,3,.. (2) Z = Gehele
Nadere informatie1 Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...
Nadere informatieAlgebra, Les 18 Nadruk verboden 35
Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden
Nadere informatie8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
Nadere informatie16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Nadere informatieLineaire algebra 1 najaar Complexe getallen
Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds
Nadere informatiez 1 z 2 r 2 r 1 z 2 z 1 r 1 r 2
Lesbrief 10 Complexe getallen 1 Het complexe vlak Zoals we ons reële getallen kunnen voorstellen als de punten van een lijn waarop 0 en 1 zijn vastgelegd, zo kunnen we ons de complexe getallen voorstellen
Nadere informatie2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica
de Bachelor IR de Bachelor Fysica 6 augustus 05 Er worden 4 vragen gesteld. Vul op ieder blad je naam in. Motiveer of bewijs iedere uitspraak. Los alle vragen op, op een apart blad! Het examen duurt u30.
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatievoorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatieBestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Nadere informatieDe wortel uit min één. Jaap Top
De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen
Nadere informatieComplexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30
Complexe getallen José Lagerberg Universiteit van Amsterdam November, 2017 José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, 2017 1 / 30 1 Complexe getallen en complexe e-machten Complexe getallen en complexe
Nadere informatie10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart
Nadere informatie1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14
INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte
Nadere informatieGroepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
Nadere informatieGrafieken van veeltermfuncties
(HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatie1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
Nadere informatieAanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die
Nadere informatieIJkingstoets Deel 1. Basiskennis wiskunde. Vraag 1 Het gemiddelde van de getallen 1 2, 1 3 en 1 4 is 1 (A) 27 (B) 13 4 (C) 1 3 (D) 13 36
4 IJkingstoets 08 Deel. Basiskennis wiskunde Vraag Het gemiddelde van de getallen, en 4 is (A) 7 (B) 4 (C) (D) 6 Vraag Beschouw de functie f met voorschrift f(x) = f ( g ( )) gelijk? en g met voorschrift
Nadere informatieDe wortel uit min één. Jaap Top
De wortel uit min één Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 19 april 2011 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen
Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Get Praktische-opdracht door een scholier 1750 woorden 12 mei 2003 5,2 86 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Deze praktische opdracht wiskunde heeft als onderwerp:
Nadere informatieAanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige
Nadere informatieAlgebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatieTentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30
Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieZelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde
In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,
Nadere informatietoelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.
Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag
Nadere informatieWiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
Nadere informatie2 Modulus en argument
Modulus en argument Verkennen Modulus en argument Inleiding Verkennen Probeer zelf te bedenken hoe je een complex getal kunt opschrijven vanuit de draaihoek en de lengte van de bijbehorende vector. Uitleg
Nadere informatieUniversiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Nadere informatie6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieKameel 1 basiskennis algebra
A. Cooreman & M. Bringmans Kameel 1 basiskennis algebra 1ste graad SO Secundair onderwijs havo 1 1 2 3 2 3 4 4 5 6 5 6 digitaal Naam: Klas: ISBN 9 789 i.s.m Versie 201 Eureka Onderwijs Innovatief kennis-
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 95 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Last adapt: 30-08-09 2 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen 3 /
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Poolcoördinaten 1 2 Poolvergelijkingen 3 21 Cartesiaanse coördinaten versus poolcoördinaten
Nadere informatieCalculus. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam
Calculus P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam 30 november 2006 Hoofdstuk 1 Complexe getallen 1.1 Introductie In dit hoofdstuk gaat het over complexe getallen. We voeren
Nadere informatieAanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch staan. Die
Nadere informatieExamen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011
Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen
Nadere informatie4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Nadere informatieIn dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.
03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het
Nadere informatieVector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni 206 Nummer vragenreeks: IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 29 juni 206 - reeks - p. /0 Oefening Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag
Nadere informatieMathematical Modelling
Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Overzicht 1 Inleiding 2 Overzicht 1 Inleiding 2 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken
Nadere informatie5.2.4 Varia in groepentheorie
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatieOPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010
OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.
Nadere informatie1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie
Nadere informatieSchooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048
Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks 2 - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks 3 - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur
Nadere informatieOefeningen bij de Cursus Lineaire Algebra, Eerste Kandidatuur Informatica. Complexe Getallen en Veeltermvergelijkingen over R en C
Oefeningen bij de Cursus Lineaire Algebra, Eerste Kandidatuur Informatica Stefaan De Winter en Koen Thas Universiteit Gent, Vakgroep Zuivere Wiskunde en Computeralgebra Galglaan, Gent sgdwinte@cagerugacbe;
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatie(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!
Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatiekwadratische vergelijkingen
kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT
Differentiaalvergelijkingen kunnen we ook oplossen met behulp van ICT. In dit geval zijn de oplossingen uitgewerkt met behulp van Derive. dy De differentiaalvergelijking = ky, met k een reëel getal Voorbeeld
Nadere informatie1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling
Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal
Nadere informatieOF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0
Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, DL3, woensdag oktober 8, 9.. uur. Geef op het eerste vel met uitwerkingen aan welk programma (Schakelprogramma
Nadere informatieOver de construeerbaarheid van gehele hoeken
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:
Nadere informatieComplexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Les Complexe functies Nadat we de complexe getallen hebben leren kennen, is het een voor de hand liggende vraag of hiervoor net als voor de reële getallen ook functies
Nadere informatie1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie.
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Inleiding Y y p o θ r X fig In fig worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p Een eerste
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieExamen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Nadere informatieGehelen van Gauss. Hector Mommaerts
Gehelen van Gauss Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Gehelen van Gauss zijn complexe getallen van de vorm a + bi waarbij a, b Z. De verzameling van alle gehelen van Gauss noteren we met Z(i). Dus
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen
Nadere informatieComplexe functies 2019
Complexe functies 019 Extra opgaves Opgave A Laat zien dat R voorzien van de bewerkingen a + b := (a 1 +b 1,a +b ) a b := (a 1 b 1 a b,a 1 b +a b 1 ) isomorf is met C. Wat is i in deze representatie? Opgave
Nadere informatieHet inzicht van Galois
Het inzicht van Galois 1. Oplosbaarheid Kun je de nulpunten vinden van de polynoom x 5x + 6? Ongetwijfeld. Met onderbouw wiskunde is het al vrij eenvoudig om erachter te komen dat en 3 beiden nulpunten
Nadere informatie19 de T 3 Vlaanderen Symposium Leuven 15 oktober De complexe imaginaire wereld. Didier Deses
19 de T 3 Vlaanderen Symposium Leuven 15 oktober 2016 De complexe imaginaire wereld Didier Deses 43 Creatief in C met de TI-84+ Didier Deses 1, Philip Bogaert 2 1 Leerkracht wiskunde K. A. Koekelberg,
Nadere informatieAntwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Nadere informatie1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Nadere informatieProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Nadere informatieComplexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc)
. Ileidig: Complexe getalle I de wiskude stelt zich het probleem dat iet bestaat voor de reële getalle of dat de vergelijkig x + 0 gee reële ulpute heeft. Om dit euvel op te losse werd het getal i igevoerd
Nadere informatiee x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP3B 5 november, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boeken) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatie