Complexe getallen: oefeningen

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Complexe getallen: oefeningen"

Transcriptie

1 Complexe getallen: oefeningen

2 Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de som z 1 + z 2 en schrijf het resultaat in de vorm a + bi. Modeloplossing: z 1 + z 2 = (2 + 1i) + (2 3i) z 1 + z 2 = (2 + 2) + (1 3)i z 1 + z 2 = 4 2i = a + bi 2. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 1 2i en z 2 = 3 4i. Bereken het verschil z 1 z 2 en schrijf het resultaat in de vorm a + bi. Modeloplossing: z 1 z 2 = (1 2i) (3 4i) z 1 z 2 = (1 3) + ( 2 ( 4))i z 1 z 2 = 2 + 2i = a + bi 1

3 HOOFDSTUK 2. PRAKTISCH REKENEN MET COMPLEXE GETALLEN2 2.2 Optelling en aftrekking 1. Bereken de som van z 1 = 4 + 8i en z 2 = 15 12i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 2. Bereken het verschil van z 1 = 2+4i en z 2 = 6 7i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 3. Bereken de som van z 1 = 2 + 3i en z 2 = 5 + i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 4. Bereken het verschil van z 1 = 2 + i en z 2 = 3 + i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 5. Bereken de som van z 1 = 4 + 3i en z 2 = 4 + i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 6. Los de vergelijking i 2 + z 7 in de vorm a + bi. = 2 + 3i op in C. Druk het resultaat uit 2.3 Vermenigvuldiging en deling (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken het product z 1 z 2 en schrijf het resultaat in de vorm a + bi. Modeloplossing: z 1 z 2 = (2 + i)(2 3i) z 1 z 2 = (2 (2 3i)) + (i (2 3i)) z 1 z 2 = (4 6i) + (2i 3i 2 ) z 1 z 2 = (4 3( 1)) + ( 6 + 2)i z 1 z 2 = 7 4i = a + bi 2. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 1 2i en z 2 = 3 4i. Bereken het quotiënt z 1 z 2 en schrijf het resultaat in de vorm a + bi.

4 HOOFDSTUK 2. PRAKTISCH REKENEN MET COMPLEXE GETALLEN3 Modeloplossing: z 1 = 1 2i z 2 3 4i z 1 = 1 2i z 2 3 4i 3 + 4i 3 + 4i z 1 (1 2i)(3 + 4i) = z i + 12i 16i 2 z 1 = (3 + 4i 6i 8i2 ) z 2 25 z 1 = 11 z i = a + bi 2.4 Vermenigvuldiging en deling 1. Bereken het quotiënt van z 1 = 1+i en z 2 = 5+2i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 2. Bereken het product van z 1 = 1 i en z 2 = 1 + i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 3. Bereken het quotiënt van z 1 = 1+2i en z 2 = 3 4i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 4. Bereken het product van z 1 = 2+i en z 2 = 1+2i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 5. Bereken het quotiënt van z 1 = 5 6i en z 2 = 5i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 6. Los de vergelijking 5iz + 2 = 3i op in C. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 7. Los de vergelijking 7 vorm a + bi. z+i = 1 i op in C. Druk het resultaat uit in de 8. De getallen α en β zijn reële getallen. Bepaal α en β als je weet dat (α + i)(1 + 2i) iβ = 0.

5 HOOFDSTUK 2. PRAKTISCH REKENEN MET COMPLEXE GETALLEN4 2.5 Modulus en complex toegevoegde (modeloplossing) Gegeven is het complexe getal z = 2 3i. Bereken de modulus z en bepaal zijn complex toegevoegde z. Modeloplossing: z = ( 3) 2 z = z = 13 z = 2 3 ( 1)i z = 2 + 3i 2.6 Modulus en complex toegevoegde 1. Bereken de modulus van de som van z 1 = 1 i en z 2 = 5 + 2i. 2. Bereken de complex toegevoegde van z = 5 3i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 3. Bereken de modulus van het product van z = 1 + 2i en zijn complex toegevoegde z. 4. Bereken de complex toegevoegde van de som van z 1 = 5 6i en z 2 = 1 + 2i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 5. Bereken de modulus van het quotiënt van z 1 = 4 3i en z 2 = 3 4i. 6. Los de vergelijking (2 + i)z = z + 4 op in C. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 7. Bepaal de twee complexe getallen z 1 en z 2 waarvoor de modulus gelijk is aan 1 en waarvan het reëel deel gelijk is aan het imaginair deel.

6 HOOFDSTUK 2. PRAKTISCH REKENEN MET COMPLEXE GETALLEN5 2.7 Oplossingen 2.2 Optelling en aftrekking i i i i i 2.4 Vermenigvuldiging en deling i i i i i i 8. α = 5 β = Modulus en complex toegevoegde i i i 7. z 1 = i z 2 = i

7 Hoofdstuk 3 Het complexe vlak 3.1 Som, verschil en complex toegevoegde 1. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Waar ligt dan z 1 z 2? Antwoord met de letter die hoort bij het juiste vakje in de figuur. 2. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Waar ligt dan z 2 + z 2? Antwoord met de letter die hoort bij het juiste vakje in de figuur. 3. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Waar ligt dan iz 1? Antwoord met de letter die hoort bij het juiste vakje in de figuur. 3.2 Modulus 1. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Beschouw het complex getal z 1. Duid de uitspraak aan die geldig is voor deze keuze van z 1 en z 2. Je kan meerdere antwoorden als juist aanduiden. (a) z 1 = z 1 (b) z 1 < z 1 (c) z 1 > z 1 (d) z 1 = z 2 6

8 HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK 7 (e) z 1 < z 2 (f) z 1 > z 2 2. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Waar ligt dan z 2 + z 2? Antwoord met de letter die hoort bij het juiste vakje in de figuur. Beschouw het complex getal az 2, waarbij a > 1 een reëel getal is. Duid de uitspraak aan die geldig is voor deze keuze van z 1 en z 2. Je kan meerdere antwoorden als juist aanduiden. (a) az 2 = z 1 (b) az 2 < z 1 (c) az 2 > z 1 (d) az 2 = z 2 (e) az 2 < z 2 (f) az 2 > z 2 3. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Beschouw het complex getal az 1 z 2, waarbij 0 < a < 1 een reëel getal is. Duid de uitspraak aan die geldig is voor deze keuze van z 1 en z 2. Je kan meerdere antwoorden als juist aanduiden. (a) az 1 z 2 z 2 (b) az 1 z 2 z 1 (c) az 1 z 2 z 1 (d) az 1 z 2 z 2 (e) az 1 z 2 = z 1 (f) az 1 z 2 = z Argument 1. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Beschouw het complex getal z 1 +z 2. Het argument van dit complex getal is θ. Duid de uitspraak aan die geldig is voor de waarde van θ 1,θ 2 en θ tussen 0 en 2π.

9 HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK 8 (a) θ 1 < θ < θ 2 (b) θ > θ 2 > θ 1 (c) θ > θ 1 > θ 2 (d) θ < θ 1 < θ 2 (e) θ 2 < θ < θ 1 2. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Beschouw het complex getal z 1 z 2. Het argument van dit complex getal is θ. Duid de uitspraak aan die geldig is voor de waarde van θ 1,θ 2 en θ tussen 0 en 2π. (a) θ 1 < θ < θ 2 (b) θ > θ 2 > θ 1 (c) θ > θ 1 > θ 2 (d) θ < θ 1 < θ 2 (e) θ 2 < θ < θ 1 3. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Beschouw het complex getal az 1 z 2, waarbij 0 < a < 1. Het argument van dit complex getal is θ. Duid de uitspraak aan die geldig is voor de waarde van θ 1,θ 2 en θ tussen 0 en 2π. (a) θ 1 < θ < θ 2 (b) θ > θ 2 > θ 1 (c) θ > θ 1 > θ 2 (d) θ < θ 1 < θ 2 (e) θ 2 < θ < θ 1

10 HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK 9 Figuur 3.1: Figuur bij secties 3.1, 3.2 en 3.3

11 HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK Modulus en argument in het complexe vlak 1. Beschouw het complexe getal z met modulus z = 4 en argument θ = 2π/3. Duid z aan op onderstaande figuur. 2. Beschouw de complexe getallen z 1 en z 2 met z 1 = 2, z 2 = 2 2, θ 1 = 3π/4 en θ 2 = 3π/2. Duid z 1 + z 2 aan op onderstaande figuur. 3. Beschouw z 0 = i. Beredeneer de plaats van z 1, z 2 en z 3 in het complexe vlak, waarbij z 1 = z 0 i, z 2 = 3iz 1 en z 3 = z 2 i. Duid z 3 aan op onderstaande figuur. Figuur 3.2: Figuur bij sectie Grafisch redeneren 1. Indien z een complex getal is met modulus 1 ( z = 1) en argument θ tussen 0 en π 1+z2, dan geldt = z. Toon dit meetkundig aan. Je hoeft 4 1+z 2 hiervoor niet te rekenen. Teken z in het complexe vlak. Waar ligt dan z 2, 1 + z 2,...?

12 HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK Oplossingen C 2. D 3. A A-F 2. F 3. D B 2. B 3. A 3.4

13 HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK

14 Hoofdstuk 4 De polaire vorm en de exponentiële vorm 4.1 Omzetten naar cartesische vorm 1. Zet z = 3e 5i om van de exponentiële vorm naar de cartesische vorm a + bi. 2. Zet z = 2e i π 2 om van de exponentiële vorm naar de cartesische vorm a + bi. 3. Zet z = 7e i 7π 6 om van de exponentiële vorm naar de cartesische vorm a + bi. 4.2 Omzetten naar polaire en exponentiële vorm 1. Zet z = 1 + 3i om van de cartesische vorm naar de polaire vorm r(cos(θ) + i sin(θ)). 2. Zet z = 1+i om van de cartesische vorm naar de polaire vorm r(cos(θ)+ i sin(θ)). 3. Zet z = 2 + i om van de cartesische vorm naar de exponentiële vorm re iθ. 4. Zet z = 5i om van de cartesische vorm naar de polaire vorm r(cos(θ)+ i sin(θ)). 13

15 HOOFDSTUK 4. DE POLAIRE VORM EN DE EXPONENTIËLE VORM14 5. Zet z = 7 om van de cartesische vorm naar de polaire vorm r(cos(θ) + i sin(θ)). 6. Zet z = 3 + 4i om van de cartesische vorm naar de exponentiële vorm re iθ. 4.3 Oefeningen op de exponentiële vorm 1. Reken (1.1e 2i ) 10 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 2. Reken e 2i +e 3i uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a+bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 4.4 Oefening op modulus 1. Bereken op een zo zuinig mogelijke manier de modulus van z = (3+4i)(12+5i) (2+3i) Omzetting op het juiste moment 1. Reken (i e i π 6 + 1)/e i π 6 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 2. Reken 2e i π 3 3e i π 6 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 3. Reken 2e i π 3 3e i π 6 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 4. Reken 2e i π 3 /(3e i π 6 ) uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 5. Reken (1 + i) 50 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 6. Reken ( 1+ 3i) 20 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen.

16 HOOFDSTUK 4. DE POLAIRE VORM EN DE EXPONENTIËLE VORM Oplossingen cos(5) + 3 sin(5)i = 0, 852, 88i 2. 2 cos( π + 2 sin( π )i = 2i cos( 7π) + 7 sin( 7π )i = 6, 06 3, 5i Modeloplossing: 2. r = = 2 θ = π 4 (eerste kwadrant) 3. r = ( 2) = 5 θ = π arctan( 1 ) (tweede kwadrant) 2 4. r = ( 5) 2 = 25 = 5 θ = π 2 (negatieve imaginaire as) 5. r = = 49 = 7 θ = 0 (positieve reële as)

17 HOOFDSTUK 4. DE POLAIRE VORM EN DE EXPONENTIËLE VORM r = = 25 = 5 θ = arctan( 4 ) (eerste kwadrant) ,06 + 2,37 i 2. -1,41 + 1,05i 1. Modeloplossing: z = (3 + 4i)(12 + 5i)/(2 + 3i) 2 z = (3 + 4i)(12 + 5i)/(2 + 3i) 2 = (3 + 4i) (12 + 5i / (2 + 3i) 2 z = / z = 5 13/ 13 2 z = Modeloplossing: z = (i e i π 6 + 1)/e i π 6 z = (e i π 2 e i π 6 + 1)/e i π 6 (Product in exponentiële vorm) z = (e i( π 2 π 6 ) + 1)/e i π 6 z = (e i π 3 + 1)/e i π 6 z = (( z = ( (Uitwerkingproduct) π i) + 1)/ei 6 (Somincartesischevorm) π 2 i)/ei z = ( 3e i π 6 )/e i π 6 z = (U itwerkingsom) (Quotiënt in exponentiële vorm) (Uitwerking quotiënt) z = 3 a = 3 b = 0

18 HOOFDSTUK 4. DE POLAIRE VORM EN DE EXPONENTIËLE VORM e i π 3 3e i π 6 = 6e i( π 3 + π 6 ) a = 6 cos( π 3 + π 6 ) b = 6 sin( π 3 + π 6 ) 3. 2e i π 3 3e i π 6 = 6e i( π 3 π 6 ) a = 6 cos( π 3 π 6 ) b = 6 sin( π 3 π 6 ) 4. 2e i π 3 /3e i π 6 = 2 3 ei( π 3 π 6 ) a = 2 3 cos( π 3 π 6 ) b = 2 3 sin( π 3 π 6 ) 5. (1 + i) 50 = ( 2e i π 4 ) 50 a = ( 2) 50 cos( 50π 4 ) = 0 b = ( 2) 50 sin( 50π 4 ) = ( 1 + 3i) 20 = (2e i 2π 3 ) 20 a = 2 20 cos( 40π 3 ) b = 220 sin( 40π 3 )

19 Hoofdstuk 5 Veeltermvergelijkingen en complexe getallen 5.1 Tweedegraadsvergelijkingen 1. Bepaal de nulpunten van 7x 2 6x + 2 = 0. Ontbind de veeltermen in factoren. Modeloplossing: p(x) = 7x 2 6x + 2 D = ( 6) = = 20 D = 20i = 2 5i x 1 = ( 6) + 2 5i 2.7 x 2 = ( 6) 2 5i 2.7 = i = i p(x) = 7(x x 1 )(x x 2 ) = 7(x i)(x i) 2. Bepaal de nulpunten van x 2 + x + 1 = 0. Ontbind de veelterm in factoren. 3. Bepaal de nulpunten van 5x x + 8 = 0. Ontbind de veelterm in factoren. 4. Bepaal de nulpunten van 5x 2 + 2x 1 = 0. Ontbind de veelterm in factoren. 18

20 HOOFDSTUK 5. VEELTERMVERGELIJKINGEN EN COMPLEXE GETALLEN n-de machtswortels 1. Los de vergelijking x 5 = 1 op. Bepaal alle wortels en duid ze aan in het complexe vlak. Modeloplossing: x 5 = 1 x 5 = 1e i0 r = 5 1 = 1 θ 1 = 0 5 ; θ 2 = 0 + 2π 5 ; θ 3 = 0 + 4π 5 ; θ 4 = 0 + 6π 5 ; θ 5 = 0 + 8π 5 Wortels: x 1 = 1; x 2 = e i 2π 5 ; x3 = e i 4π 5 ; x4 = e i 6π 5 ; x5 = e i 8π Los de vergelijking x 4 1 = 0 op. Bepaal alle wortels en duid ze aan in het complexe vlak. Hoe kan je deze vergelijking ook puur analytisch oplossen? 3. Los de vergelijking x 3 = 3i op. Bepaal alle wortels en duid ze aan in het complexe vlak.

21 HOOFDSTUK 5. VEELTERMVERGELIJKINGEN EN COMPLEXE GETALLEN20 4. Los de vergelijking x 4 = 1 op. Bepaal alle wortels en duid ze aan in het complexe vlak. 5. Los de vergelijking x 2 = 2 + i op. Bepaal alle wortels en duid ze aan in het complexe vlak. 6. Hieronder vind je een reeks uitspraken met betrekking tot de n-demachtswortels van een complex getal. Duid alle juiste uitspraken aan. (a) De niet-reële wortels van een zuiver reëel getal bestaan altijd uit complex toegevoegde paren. (b) De vijfdemachtswortel van een complex getal heeft steeds een kleinere modulus dan de derdemachtswortel van datzelfde getal. (c) Alle wortels van een complex getal hebben dezelfde modulus. (d) Een zuiver reëel getal heeft altijd minstens één reële vijfdemachtswortel. (e) Een zuiver imaginair getal kan een zuiver reële wortel hebben. (f) Een zuiver reëel getal kan een zuiver imaginaire wortel hebben. 5.3 Ontbinden in factoren 1. Beschouw de veelterm p(x) = 5x 3 3x 2 x 1. x = 1 is een wortel van de veelterm. Bepaal de andere wortels en ontbind de veelterm in factoren. 5.4 Tweedegraadsvergelijkingen met complexe coëfficiënten 1. Los de vergelijking ix 2 + (5 + 3i)x + 3 4i = 0 op. Bepaal alle wortels en ontbind de veelterm uit de vergelijking in factoren. 2. Los de vergelijking e i π 4 x 2 + 2e i π 3 x e i π 4 = 0 op. Bepaal alle wortels en ontbind de veelterm uit de vergelijking in factoren. 3. Los de vergelijking x 2 + (2 + i)x + i = 0 op. Bepaal alle wortels en ontbind de veelterm uit de vergelijking in factoren.

22 HOOFDSTUK 5. VEELTERMVERGELIJKINGEN EN COMPLEXE GETALLEN Oplossingen (x i)(x i) 2. (x i)(x i) 3. 5(x i)(x i) 4. 5(x i)(x i) 1. {x 1 = 1; x 2 = e i 2π 5 ; x 3 = e i 4π 5 ; x 4 = e i 6π 5 ; x 5 = e i 8π 5 } 2. {1, 1, i, i} 3. { 3 3e i π 6, 3 3e i 5π 6, 3 3e i 9π 6 } 4. {e i π 4, e i 3π 4, e i 5π 4, e i 7π 4 } 5. { 4 5e i( 1 2 arctan( 1 2 )), 4 5e i(π+ 1 2 arctan( 1 2 )) } 6. Juiste uitspraken: a-c-d-f 1. Modeloplossing: 5x 3 3x 2 x 1 = (x 1)(ax 2 + bx + c) Bepalen van a, b en c levert: p(x) = (x 1)(5x 2 + 2x + 1) Wortels zoeken van 5x 2 + 2x + 1 : D = = 16 D = 4i 2 + 4i x 2 = = i 2 4i x 3 = = i Volledige ontbinding van p(x) : p(x) = (x 1)(x i)(x i) 1. x 1 = i en x 2 = 3 + 4i 2. x 1 = 2 2 (1 3) en x 2 = 2 2 ( 1 3)i 3. x 1 = 1 2 ( i) en x 2 = 1 2 ( i)

23 Hoofdstuk 6 De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen 6.1 Factoriseren van veeltermen 1. Een reële veelterm q(x) met hoogstegraadsterm 5x 5 heeft als nulpunten 2, 1 + 3i, 2 2i en 2 + 2i. Schrijf de veelterm als een product van veeltermen met reële coëfficiënten van maximale graad 2 Modeloplossing: Gegeven: Oplossing: q(x) = 5x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 q(x) heeft nulpunten x 1 = 2, x 2 = 1 + 3i, x 3 = 1 3i, x 4 = 2 2i, x 5 = 2 + 2i q(x) = 5(x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )(x x 4 )(x x 5 ) q(x) = 5(x 2)(x 1 3i)(x 1 + 3i)(x 2 + 2i)(x 2 2i) q(x) = 5(x 2)(x 2 2x + 10)(x 2 4x + 8) 2. Gegeven een veelterm p(x) met reële coëfficiënten en hoogstegraadsterm x 3, waarvan 2 en 2 + i nulpunten zijn. Bepaal overige nulpunten en de ontbinding in factoren. 22

24 HOOFDSTUK 6. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN Gegeven een veelterm p(x) met reële coëfficiënten en hoogstegraadsterm 3x 4, waarvan 3 i en 4 + 2i nulpunten zijn. Bepaal overige nulpunten en de ontbinding in factoren. 4. Gegeven een veelterm p(x) met reële coëfficiënten en hoogstegraadsterm 2x 5, waarvan 3, 3i en i 2 nulpunten zijn. Bepaal overige nulpunten en de ontbinding in factoren. 6.2 Stelsels van vergelijkingen 1. Karel lost een stelsel op van twee vergelijkingen in de onbekenden x en y: { 2x + 3y = 5 3x + y = 7 Om een vergelijking met alleen de onbekende y te bekomen, bekijkt hij de coëfficiënten van x in beide vergelijkingen. Hij besluit dde eerste vergelijking met 3 te vermenigvuldigen, de tweede met 2 en maakt het verschil. Hij bekomt de vergelijking: 7y = 1 met als oplossing y = 1/7. Uit een van de originele vergelijkingen vindt Karel dan ook x = 48/21. Anna heeft een gelijkaardig stelsel met complexe getallen { (2 + i)x + (3 2i)y = 5 i (3 i)x + (1 i)y = i Pas Karels methode toe op Anna s stelsel en druk de oplossing uit in de cartesische vorm. Modeloplossing: Vermenigvuldig vergelijking 1 met 3 i en vergelijking 2 met 2 + i: { (3 i)((2 + i)x + (3 2i)y) = (3 i)(5 i) (2 + i)((3 i)x + (1 i)y) = (2 + i)i

25 HOOFDSTUK 6. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 24 Uitwerken geeft { (7 + i)x + (7 9i)y = 14 8i (7 + i)x + (3 i)y = 1 + 2i Vergelijking (1) - vergelijking (2): (7 9i 3 + i)y = (14 8i + 1 2i) (4 8i)y = (15 10i) y = y invullen in vergelijking (1): 15 10i 4 8i = i (2 + i)x + (3 2i)y = 5 i (2 + i)x + (3 2i)(7/4 + i) = 5 i (2 + i)x + (29/4 1/2i) = 5 i (2 + i)x = (5 i 29/4 + 1/2i) (2 + i)x = ( 9/4 1/2i) x = 2. Los onderstaand stelsel op. 9/4 1/2i 2 + i = 4/5 13/20i { (3 + 3i)x + 4iy = 10 + i 6ix + (4 + 4i)y = i 3. Los onderstaand stelsel op. { (2 i)x + (4 + 3i)y = 2 i ( 1 2i)x + (3 i)y = 7i 4. Los onderstaand stelsel op. { x + y = 9 + i (2 i)x + (2 + i)y = 5 i 6.3 Eigenschappen van een veld 1. Hieronder volgt de oplossing van de vergelijking a(z + 1) = z voor a = 3 + i en met alle tussenstappen zoals toegelaten in een willekeurig

26 HOOFDSTUK 6. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 25 veld. Kies voor elke stap de bijhorende eigenschap van een veld die werd toegepast (zie theorie). (1) a (z + 1) = z (2) a z + a = z (3) (a z + a) a = z a (4) a z + (a a) = z a (5) a z + o = z a (6) a z = z a (7) z + a z = z + (z a) (8) z + a z = ( z + z) a (9) z + a z = o a (10) z + a z = a (11) ( 1 + a) z = a (12) ( 1 + a) 1 (( 1 + a) z) = ( 1 + a) 1 ( a) (13) (( 1 + a) 1 ( 1 + a)) z = ( 1 + a) 1 ( a) (14) 1 z = ( 1 + a) 1 ( a) (15) z = ( 1 + a) 1 ( a)

27 HOOFDSTUK 6. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN Oplossingen (x 2)(x 2 2x + 10)(x 2 4x + 8) 2. (x + 2)(x 2 i)(x 2 + i) 3. 3(x 3 i)(x 3 + i)(x 4 2i)(x 4 + 2i) 4. 2(x 3)(x + 2 i)(x i)(x 3i)(x + 3i) 1. x = 4/5 13/20i, y = 7/4 + i 2. x = 2/3 3i, y = 2 + 1/4i 3. x = /3i, y = 5/3 1/3i 4. x = 6 6i, y = 3 + 7i 1. (2) Distributiviteit van. ten opzichte van + (3) In beide leden werd het tegengestelde van a opgeteld (4) Associativiteit van + (5) Eigenschap van tegengestelde element (6) 0 is neutraal element voor + (7) In beide leden werd het tegengestelde van z opgeteld (8) Associativiteit van + (9) Eigenschap van tegengestelde element (10) 0 is neutraal element voor + (11) Distributiviteit van. ten opzichte van + (12) Beide leden vermenigvuldigd met het inverse element (13) Associativiteit van. (14) Eigenscshap van het inverse element (15) 1 is neutraal element voor.

De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen

De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen Hoofdstuk 6 De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen 6.1 Factoriseren van veeltermen 1. Een reële veelterm q(x) met hoogstegraadsterm 5x 5 heeft als nulpunten 2, 1 + 3i, 2 2i

Nadere informatie

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De getallenverzameling C 1 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss 7 3 Vierkantsvergelijkingen

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1 WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

5.1 Constructie van de complexe getallen

5.1 Constructie van de complexe getallen Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder

Nadere informatie

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Actief gedeelte - Maken van oefeningen

Actief gedeelte - Maken van oefeningen Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2

Nadere informatie

Op deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet).

Op deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet). Moddergooien n.a.v. 31 augustus Allereerst: hartelijk dank voor de vragen; als dat zo doorgaat en als jullie zo blijven komen en ook nog eens huiswerk maken, dan weet ik zeker dat ik dicht bij 100% ga

Nadere informatie

Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier

Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier najaar 2004 Deel I Voortgezette Analyse Les 1 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : Complexe getallen

Hoofdstuk 8 : Complexe getallen 1 Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen getallen : (1) N = Natuurlijke getallen = 1,2,3,.. (2) Z = Gehele

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35

Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i 16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

z 1 z 2 r 2 r 1 z 2 z 1 r 1 r 2

z 1 z 2 r 2 r 1 z 2 z 1 r 1 r 2 Lesbrief 10 Complexe getallen 1 Het complexe vlak Zoals we ons reële getallen kunnen voorstellen als de punten van een lijn waarop 0 en 1 zijn vastgelegd, zo kunnen we ons de complexe getallen voorstellen

Nadere informatie

2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica

2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica de Bachelor IR de Bachelor Fysica 6 augustus 05 Er worden 4 vragen gesteld. Vul op ieder blad je naam in. Motiveer of bewijs iedere uitspraak. Los alle vragen op, op een apart blad! Het examen duurt u30.

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Bestaat er dan toch een wortel uit 1?

Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

Complexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30

Complexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30 Complexe getallen José Lagerberg Universiteit van Amsterdam November, 2017 José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, 2017 1 / 30 1 Complexe getallen en complexe e-machten Complexe getallen en complexe

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden

10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden 10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart

Nadere informatie

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

Grafieken van veeltermfuncties

Grafieken van veeltermfuncties (HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar

Nadere informatie

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die

Nadere informatie

IJkingstoets Deel 1. Basiskennis wiskunde. Vraag 1 Het gemiddelde van de getallen 1 2, 1 3 en 1 4 is 1 (A) 27 (B) 13 4 (C) 1 3 (D) 13 36

IJkingstoets Deel 1. Basiskennis wiskunde. Vraag 1 Het gemiddelde van de getallen 1 2, 1 3 en 1 4 is 1 (A) 27 (B) 13 4 (C) 1 3 (D) 13 36 4 IJkingstoets 08 Deel. Basiskennis wiskunde Vraag Het gemiddelde van de getallen, en 4 is (A) 7 (B) 4 (C) (D) 6 Vraag Beschouw de functie f met voorschrift f(x) = f ( g ( )) gelijk? en g met voorschrift

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 19 april 2011 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen

Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Get Praktische-opdracht door een scholier 1750 woorden 12 mei 2003 5,2 86 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Deze praktische opdracht wiskunde heeft als onderwerp:

Nadere informatie

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige

Nadere informatie

Algebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen

Algebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze

Nadere informatie

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30 Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde

Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,

Nadere informatie

toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.

toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

2 Modulus en argument

2 Modulus en argument Modulus en argument Verkennen Modulus en argument Inleiding Verkennen Probeer zelf te bedenken hoe je een complex getal kunt opschrijven vanuit de draaihoek en de lengte van de bijbehorende vector. Uitleg

Nadere informatie

Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.

Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr. Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van

Nadere informatie

6 Ringen, lichamen, velden

6 Ringen, lichamen, velden 6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Kameel 1 basiskennis algebra

Kameel 1 basiskennis algebra A. Cooreman & M. Bringmans Kameel 1 basiskennis algebra 1ste graad SO Secundair onderwijs havo 1 1 2 3 2 3 4 4 5 6 5 6 digitaal Naam: Klas: ISBN 9 789 i.s.m Versie 201 Eureka Onderwijs Innovatief kennis-

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling 1 / 95 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Last adapt: 30-08-09 2 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen 3 /

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Poolcoördinaten 1 2 Poolvergelijkingen 3 21 Cartesiaanse coördinaten versus poolcoördinaten

Nadere informatie

Calculus. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam

Calculus. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam Calculus P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam 30 november 2006 Hoofdstuk 1 Complexe getallen 1.1 Introductie In dit hoofdstuk gaat het over complexe getallen. We voeren

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch staan. Die

Nadere informatie

Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011

Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen

Nadere informatie

4051CALC1Y Calculus 1

4051CALC1Y Calculus 1 4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/

Nadere informatie

In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.

In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. 03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het

Nadere informatie

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1 IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni 206 Nummer vragenreeks: IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 29 juni 206 - reeks - p. /0 Oefening Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Overzicht 1 Inleiding 2 Overzicht 1 Inleiding 2 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken

Nadere informatie

5.2.4 Varia in groepentheorie

5.2.4 Varia in groepentheorie Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze

Nadere informatie

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.

Nadere informatie

1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen

1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie

Nadere informatie

Schooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048

Schooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048 Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks 2 - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks 3 - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Oefeningen bij de Cursus Lineaire Algebra, Eerste Kandidatuur Informatica. Complexe Getallen en Veeltermvergelijkingen over R en C

Oefeningen bij de Cursus Lineaire Algebra, Eerste Kandidatuur Informatica. Complexe Getallen en Veeltermvergelijkingen over R en C Oefeningen bij de Cursus Lineaire Algebra, Eerste Kandidatuur Informatica Stefaan De Winter en Koen Thas Universiteit Gent, Vakgroep Zuivere Wiskunde en Computeralgebra Galglaan, Gent sgdwinte@cagerugacbe;

Nadere informatie

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30) Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,

Nadere informatie

(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!

(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen! Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,

Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013, Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel 1

Ruimtemeetkunde deel 1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

kwadratische vergelijkingen

kwadratische vergelijkingen kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (  15 x 3 = 45 15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een

Nadere informatie

ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT

ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT Differentiaalvergelijkingen kunnen we ook oplossen met behulp van ICT. In dit geval zijn de oplossingen uitgewerkt met behulp van Derive. dy De differentiaalvergelijking = ky, met k een reëel getal Voorbeeld

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, DL3, woensdag oktober 8, 9.. uur. Geef op het eerste vel met uitwerkingen aan welk programma (Schakelprogramma

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

Complexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen

Complexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Les Complexe functies Nadat we de complexe getallen hebben leren kennen, is het een voor de hand liggende vraag of hiervoor net als voor de reële getallen ook functies

Nadere informatie

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie.

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Inleiding Y y p o θ r X fig In fig worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p Een eerste

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Examen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur

Examen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master

Nadere informatie

Gehelen van Gauss. Hector Mommaerts

Gehelen van Gauss. Hector Mommaerts Gehelen van Gauss Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Gehelen van Gauss zijn complexe getallen van de vorm a + bi waarbij a, b Z. De verzameling van alle gehelen van Gauss noteren we met Z(i). Dus

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen

Nadere informatie

Complexe functies 2019

Complexe functies 2019 Complexe functies 019 Extra opgaves Opgave A Laat zien dat R voorzien van de bewerkingen a + b := (a 1 +b 1,a +b ) a b := (a 1 b 1 a b,a 1 b +a b 1 ) isomorf is met C. Wat is i in deze representatie? Opgave

Nadere informatie

Het inzicht van Galois

Het inzicht van Galois Het inzicht van Galois 1. Oplosbaarheid Kun je de nulpunten vinden van de polynoom x 5x + 6? Ongetwijfeld. Met onderbouw wiskunde is het al vrij eenvoudig om erachter te komen dat en 3 beiden nulpunten

Nadere informatie

19 de T 3 Vlaanderen Symposium Leuven 15 oktober De complexe imaginaire wereld. Didier Deses

19 de T 3 Vlaanderen Symposium Leuven 15 oktober De complexe imaginaire wereld. Didier Deses 19 de T 3 Vlaanderen Symposium Leuven 15 oktober 2016 De complexe imaginaire wereld Didier Deses 43 Creatief in C met de TI-84+ Didier Deses 1, Philip Bogaert 2 1 Leerkracht wiskunde K. A. Koekelberg,

Nadere informatie

Antwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen

Antwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen 1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.

Nadere informatie

1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.

1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en

Nadere informatie

ProefToelatingstoets Wiskunde B

ProefToelatingstoets Wiskunde B Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan

Nadere informatie

Complexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc)

Complexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc) . Ileidig: Complexe getalle I de wiskude stelt zich het probleem dat iet bestaat voor de reële getalle of dat de vergelijkig x + 0 gee reële ulpute heeft. Om dit euvel op te losse werd het getal i igevoerd

Nadere informatie

e x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt

e x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP3B 5 november, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boeken) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering

Nadere informatie