Mathematical Modelling
|
|
|
- Robert van der Pol
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 1 / 95 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: Last adapt:
2 2 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen
3 3 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen
4 4 / 95 Op naar een slagingspercentage van 100% - huiswerk Zie regelingenpagina: huiswerk Inleveren: als huiswerk verspreid wordt, is de inlevertijd altijd de week daarna, strikt vóór het college. Aangezien het via mail gaat (zie adres op de regelingenpagina) moet je het eerst scannen. Als je dat niet kunt scannen: de mogelijkheid bestaat in de astatine-kamer; denk daar op maandagochtend aan! Het 1e huiswerk is volgende week: met sommen over oude stof: complex rekenen (I2E2, deze week), vector algebra en integreren (FMM, volgende week).
5 5 / 95 Op naar een slagingspercentage van 100% - muddy s Zie regelingenpagina: muddy s Blij. Ik heb 6 pagina s ingetypt en dat kostte meer dan verwacht, maar ja, ik heb er zelf om gevraagd... Iedereeen mag (moet?) het lezen, maar vooral aan de vragenstellers: is jouw vraag voldoende beantwoord (als dat niet zo is, geef dat dan aan in de laatste 5 minuten).
6 6 / 95 Overzicht wiskunde AT functies I2E breuksplitsen I2E bewijzen FMM differentiatie I2E integratie I2E complex rekenen I2E complex rekenen MM reeksen MM Taylor I2E limieten I2E , , 5.12 partiële differentiatie FMM 19
7 7 / 95 Overzicht wiskunde AT 6 multiple integratie FMM vectoralgebra FMM lineaire algebra FMM , 9.2 harmonische beweging I2E vectorcalculus FMM coördinaten MM 7 11 vectorcalculus MM 32 12, 13.1 Fourier MM , 15.1 lineaire DV I2E advanced complex MM 45
8 8 / 95 Overzicht wiskunde AT functies I2E differentiatie I2E1 18 totaal * integratie I2E Taylor I2E limieten I2E complex rekenen I2E2 12 totaal * breuksplitsen I2E , 9.2 harmonische beweging I2E , 15.1 lineaire DV I2E3 25 totaal *4 188
9 9 / 95 FMM: lineaire algebra, vectoren bewijzen FMM , , 5.12 partiële differentiatie FMM 19 6 multiple integratie FMM vectoralgebra FMM lineaire algebra FMM vectorcalculus FMM 13 totaal 127
10 10 / 95 MM: complex, moeilijke integratie, Fourier complex rekenen MM reeksen MM coördinaten MM 7 11 vectorcalculus MM 32 12, 13.1 Fourier MM advanced complex MM 45 totaal 137
11 11 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen
12 12 / 95 Rekenen Rekenen met complexe getallen. Hoofdstuk 3, paragrafen , sommen om zelf te oefenen: 3.8 sommen (Sommige zijn moeilijk!) Nu volgen de belangrijkste sheets van afgelopen keer. Daarna doen we wat meer wiskunde en minder rekenen (en het is ook niet allemaal herhalen van vorig jaar...)
13 13 / 95 Rekenen met complexe getallen Complex getal: standaardvorm z C met a, b R. z = a + bi C : alle getallen van de vorm a + bi, met a, b R. We definiëren ook: a = Re(z), b = Im(z). Waarom nodig? z = 0. Misschien niet nodig maar zeker erg handig soms
14 14 / 95 Rekenen met complexe getallen Delen: a + bi c + di = ( ) ( ) a + bi c di c + di c di Daarom twee definities: = (ac + bd) + (bc ad)i c 2 + d 2 Als z = a + bi dan noemen we z = a bi de complex geconjugeerde van z; Als z = a + bi dan is z = z z = a 2 + b 2 de lengte (of norm) van z; deze waarde is reëel en zelfs niet negatief.
15 15 / 95 Rekenen met complexe getallen Als z = a + bi dan noemen we z = a bi de complex geconjugeerde van z; Als z = a + bi dan is z = z z = a 2 + b 2 de lengte (of norm) van z; deze waarde is reëel en zelfs niet negatief. Belangrijke eigenschap: (z y) = z y. En daarom mag vrijwel alles: ( z1 z 2 i y q ) = z 1 z 2 i y q x π x π
16 16 / 95 Vijf-minuten-vraag Bekijk de polynoomvergelijking: Dit weten we: P(z) = z 3 4z 2 + 6z 4 = 0 Graad in dit geval 3: ook 3 wortels. Deze kunnen complex zijn, en je moet dubbele nulpunten dubbel tellen. Dit geldt voor elke graad d. Als de coëfficiënten van het polynoom reeel zijn: als z = z 0 een oplossing is van P(z) = 0, dan is z = z0 ook een oplossing (zie moddergooien van laatst).
17 17 / 95 Vijf-minuten-vraag Bekijk de polynoomvergelijking: Dit weten we ook: P(z) = z 3 4z 2 + 6z 4 = 0 Met een staartdeling kan je bekende wotels uitdelen. Dit heet factorizeren van een polyoom: elk polynoom Q(z) van graad d is te schrijven als a d 0 : Q(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z a d 1 z d 1 + a d z d = a d (z z 1 ) (z z 2 )... (z z d 1 )(z z d ). Dit is alleen theorie; het zegt niets over hoe je dat kan doen.
18 18 / 95 Vijf-minuten-vragen Los de volgende vergelijkingen volledig op naar z i C: iz 1 = 6 z 1 (1 + i), z = 0, z = 0 Schrijf de volgende vergelijking in z C uit in de twee onbekenden a, b R waarin z = a + bi: z 3 + zi = 1 + 2i
19 19 / 95 Vijf-minuten-vragen Los de volgende vergelijking volledig op naar z C: iz = 6 z(1 + i)
20 20 / 95 Vijf-minuten-vragen Los de volgende vergelijking volledig op naar z C: iz = 6 z(1 + i) Standaard: alle onbekende naar links, rest naar rechts: (1 + 2i)z = 6 z = i
21 21 / 95 Vijf-minuten-vragen Los de volgende vergelijking volledig op naar z C: iz = 6 z(1 + i) Standaard: alle onbekende naar links, rest naar rechts: (1 + 2i)z = 6 z = i 1 2i 1 2i = 6 12i 5
22 22 / 95 Vijf-minuten-vragen Los de volgende vergelijking volledig op naar z C: iz = 6 z(1 + i) Standaard: alle onbekende naar links, rest naar rechts: (1 + 2i)z = 6 z = i 1 2i 1 2i = 6 12i 5 Ja, ik herhaal veel; maar dat is omdat je dit niet mag vergeten de rest van je...
23 23 / 95 Vijf-minuten-vragen Los de volgende vergelijking volledig op naar z C: z = 0
24 24 / 95 Vijf-minuten-vragen Los de volgende vergelijking volledig op naar z C: Eitje (toch?): z = ±4i. z = 0
25 25 / 95 Vijf-minuten-vragen Los de volgende vergelijking volledig op naar z C: Ook een eitje, toch?: z = ±2 z 4 16 = 0
26 26 / 95 Vijf-minuten-vragen De laatste: Schrijf de volgende vergelijking in z C uit in de twee onbekenden a, b R waarin z = a + bi: z 3 + zi = 1 + 2i
27 27 / 95 Vijf-minuten-vragen De laatste: Schrijf de volgende vergelijking in z C uit in de twee onbekenden a, b R waarin z = a + bi: z 3 + zi = 1 + 2i Ja, de vorige vraag had 4 antwoorden nodig: z = ±2i zijn de andere 2, want i 4 = 1.
28 28 / 95 Vijf-minuten-vragen De laatste: Schrijf de volgende vergelijking in z C uit in de twee onbekenden a, b R waarin z = a + bi: z 3 + zi = 1 + 2i
29 29 / 95 Vijf-minuten-vragen De laatste: Schrijf de volgende vergelijking in z C uit in de twee onbekenden a, b R waarin z = a + bi: z 3 + zi = 1 + 2i Er geldt (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 : (a+ib) 3 +ai b = 1+2i a 3 +3a 2 bi 3ab 2 b 3 i+ai b = 1+2i
30 30 / 95 Vijf-minuten-vragen De laatste: Schrijf de volgende vergelijking in z C uit in de twee onbekenden a, b R waarin z = a + bi: z 3 + zi = 1 + 2i Er geldt (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 : (a+ib) 3 +ai b = 1+2i a 3 +3a 2 bi 3ab 2 b 3 i+ai b = 1+2i Omdat a en b reëel zijn (!) geldt a 3 3ab 2 b = 1, 3a 2 b b 3 + a = 2 Helpt nauwelijks natuurlijk om de wortels te vinden; maar toch: je hebt C niet nodig.
31 31 / 95 C R 2 Als z = a + bi, y = c + di kunnen we deze optellen als in de R 2
32 C R 2 Als z = a + bi, y = c + di kunnen we deze optellen als in de R 2 En hoe bepaal je het verschil van twee vectoren? 32 / 95
33 33 / 95 Complex toegevoegde Als z = a + bi: complex toegevoegde : z = a bi
34 34 / 95 C R 2 Als z = a + bi is de lengte van een getal (de norm) inderdaad: z = a 2 + b 2
35 35 / 95 Vijf-minuten-vragen Bepaal alle punten z C waarvoor geldt (plaatje!!) z 2 = 2 Bepaal ook een parametrizatie. Bepaal alle punten z C waarvoor geldt z + 1 = z 1 Bepaal ook een parametrizatie.
36 36 / 95 Vijf-minuten-vragen Bepaal alle punten z C waarvoor geldt (plaatje!!) Bepaal ook een parametrizatie. z 2 = 2 Een cirkel met straal 2, dus z = a + bi met a 2 + b 2 = 2. Een cirkel met straal 2, kunnen we schrijven als die punten z waarvoor geldt z = 2(cos φ + i sin φ), φ [0, 2π[. Lees ook nog een keer de moddertjes door!
37 37 / 95 Vijf-minuten-vragen Bepaal alle punten z C waarvoor geldt Bepaal ook een parametrizatie. z + 1 = z 1
38 38 / 95 Vijf-minuten-vragen Bepaal alle punten z C waarvoor geldt Bepaal ook een parametrizatie. z + 1 = z 1 Er moet dus ook gelden: z = z 1 2. Als z = a + bi dan geldt (a+1) 2 +b 2 = (a 1) 2 +b 2 a 2 +2a+1+b 2 = a 2 2a+1+b 2 a = 0 Dus alle punten op de verticale as, z = bi. Dit is meteen een parametrizatie (b R).
39 39 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen
40 40 / 95 Poolcoördinaten in R 2 Elke vector [ x, y ] R 2 kun je schrijven in poolcoördinaten: met r = x = r cos φ, y = r sin φ x 2 + y 2, φ = arctan(y/x) Dus r is de lengte van de vector, φ is de hoek die de vector met de positieve horizontale as.
41 41 / 95 Wat in R 2 geldt, geldt ook in C! In C zijn poolcoördinaten dus ook handig: x = r cos φ, y = r sin φ z = x + iy = r(cos φ + i sin φ) met r = Re(z) 2 + Im(z) 2, φ = arctan(im(z)/re(z)) Weer: onthouden hoe je het uitrekent (plaatje), geen formules onthouden!
42 42 / 95 Poolcoördinaten met r = Re(z) 2 + Im(z) 2, φ = arctan(im(z)/re(z))
43 43 / 95 Poolcoördinaten met r = Re(z) 2 + Im(z) 2, φ = arctan(im(z)/re(z)) Hier: r = 5 = en tan φ = 4 3 φ 0.93(= 53o ).
44 Wat is z i? Vermenigvuldigen met i Dat is draaien over een hoek van π/2! 44 / 95
45 45 / 95 Terug naar R 2 Wat is draaien in R 2 ; wat heb je daarvoor nodig? Stel je hebt een vector [ x, y ] in R 2. Welke operatie moet je op die vector uitoefenen om het te draaien over een hoek φ (tegen de klok in)? Bekijk eerst de vector [ x, 0 ].
46 46 / 95 Draaien in R 2 Draai eerst de vector [ x, 0 ] over hoek φ.
47 47 / 95 Draaien in R 2 Draai eerst de vector [ x, 0 ] over hoek φ.
48 48 / 95 Draaien in R 2 Draai eerst de vector [ x, 0 ] over hoek φ.
49 49 / 95 Draaien in R 2 x = x cos φ, y = x sin φ
50 50 / 95 Draaien in R 2 Draai nu de vector [ 0, y ] over hoek φ.
51 51 / 95 Draaien in R 2 Draai nu de vector [ 0, y ] over hoek φ.
52 52 / 95 Draaien in R 2 Draai nu de vector [ 0, y ] over hoek φ.
53 53 / 95 Draaien in R 2 x = y sin φ, y = y cos φ
54 54 / 95 Draaien in R 2 als [ x, 0 ] dan x = x cos φ, y = x sin φ als [ 0, y ] dan x = y sin φ, y = y cos φ
55 55 / 95 Draaien in R 2 daarom als [ x, 0 ] dan x = x cos φ, y = x sin φ als [ 0, y ] dan x = y sin φ, y = y cos φ als [ x, y ] dan x = x cos φ y sin φ, y = x sin φ + y cos φ
56 56 / 95 Draaien in R 2 daarom als [ x, 0 ] dan x = x cos φ, y = x sin φ als [ 0, y ] dan x = y sin φ, y = y cos φ als [ x, y ] dan x = x cos φ y sin φ, y = x sin φ + y cos φ Merk ook op: (x ) 2 + (y ) 2 = (x cos φ y sin φ) 2 + (x sin φ + y cos φ) 2 = x 2 cos 2 φ 2xy cos φ sin φ + y 2 sin 2 φ +x 2 sin 2 φ + 2xy cos φ sin φ + y 2 cos 2 φ = (x 2 + y 2 )(cos 2 φ + sin 2 φ) = x 2 + y 2
57 57 / 95 Draaien in R 2 Als [ x, y ] dan x = x cos φ y sin φ, y = x sin φ + y cos φ
58 58 / 95 Draaien in R 2 Als [ x, y ] dan x = x cos φ y sin φ, y = x sin φ + y cos φ geldt [ x y ] [ ] = [ x y ]
59 59 / 95 Draaien in R 2 Als [ x, y ] dan x = x cos φ y sin φ, y = x sin φ + y cos φ geldt [ x y ] [ ] cos φ sin φ = [ x y ]
60 60 / 95 Draaien in R 2 Als [ x, y ] dan x = x cos φ y sin φ, y = x sin φ + y cos φ geldt [ x y ] [ cos φ sin φ = sin φ cos φ ] [ x y ]
61 61 / 95 Draaien in R 2 Als [ x, y ] dan x = x cos φ y sin φ, y = x sin φ + y cos φ geldt [ x y ] [ cos φ sin φ = sin φ cos φ ] [ x y ] ofwel met A een rotatiematrix. x = A x
62 62 / 95 Wat in R 2 geldt, geldt ook in C! Als [ x, y ] dan x = x cos φ y sin φ, y = x sin φ + y cos φ
63 63 / 95 Wat in R 2 geldt, geldt ook in C! Als [ x, y ] dan x = x cos φ y sin φ, y = x sin φ + y cos φ geldt z = x + iy = x cos φ y sin φ + i(x sin φ + y cos φ) = x(cos φ + i sin φ) + y( sin φ + i cos φ)
64 64 / 95 Wat in R 2 geldt, geldt ook in C! Als [ x, y ] dan x = x cos φ y sin φ, y = x sin φ + y cos φ geldt z = x + iy = x cos φ y sin φ + i(x sin φ + y cos φ) = x(cos φ + i sin φ) + y( sin φ + i cos φ) = x(cos φ + i sin φ) + iy(i sin φ + cos φ)
65 65 / 95 Wat in R 2 geldt, geldt ook in C! Als [ x, y ] dan x = x cos φ y sin φ, y = x sin φ + y cos φ geldt z = x + iy = x cos φ y sin φ + i(x sin φ + y cos φ) = x(cos φ + i sin φ) + y( sin φ + i cos φ) = x(cos φ + i sin φ) + iy(i sin φ + cos φ) = z(cos φ + i sin φ)
66 66 / 95 Wat in R 2 geldt, geldt ook in C! Als [ x, y ] dan x = x cos φ y sin φ, y = x sin φ + y cos φ geldt z = x + iy = x cos φ y sin φ + i(x sin φ + y cos φ) = x(cos φ + i sin φ) + y( sin φ + i cos φ) = x(cos φ + i sin φ) + iy(i sin φ + cos φ) = z(cos φ + i sin φ) Dus draaien over een hoek φ betekent vermenigvuldigen met cos φ + i sin φ
67 67 / 95 Wat in R 2 geldt, geldt ook in C! Als [ x, y ] dan x = x cos φ y sin φ, y = x sin φ + y cos φ geldt z = x + iy = x cos φ y sin φ + i(x sin φ + y cos φ) = x(cos φ + i sin φ) + y( sin φ + i cos φ) = x(cos φ + i sin φ) + iy(i sin φ + cos φ) = z(cos φ + i sin φ) Dus draaien over een hoek φ betekent vermenigvuldigen met cos φ + i sin φ Dus: als φ = π/2 dan is die factor cos π/2 + i sin π/2 = i (Yes!)
68 68 / 95 Elke keer die factor cos φ + i sin φ Die factor is belangrijk: C R 2 en poolcoördinaten in R 2 zijn handig, dus deze factor belangrijk. Het volgende kan ik op veel manieren laten zien (en ik doe het anders dan in het boek).
69 69 / 95 Elke keer die factor cos φ + i sin φ Die factor is belangrijk: C R 2 en poolcoördinaten in R 2 zijn handig, dus deze factor belangrijk. Het volgende kan ik op veel manieren laten zien (en ik doe het anders dan in het boek). Het is bedacht in de 17e eeuw (Euler en een beetje de Moivre)
70 70 / 95 Elke keer die factor cos φ + i sin φ Bekijk een e-macht: f (φ) = exp(λφ) We weten f (0) = 1. Wat is de afgeleide naar φ?
71 71 / 95 Elke keer die factor cos φ + i sin φ Bekijk een e-macht: f (φ) = exp(λφ) We weten f (0) = 1. Wat is de afgeleide naar φ? df (φ) dφ = λ exp(λφ)
72 72 / 95 Elke keer die factor cos φ + i sin φ Bekijk een e-macht: f (φ) = exp(λφ) We weten f (0) = 1. Wat is de afgeleide naar φ? df (φ) dφ = λ exp(λφ) = λf (φ)
73 73 / 95 Elke keer die factor cos φ + i sin φ Bekijk een e-macht: f (φ) = exp(λφ) We weten f (0) = 1. Wat is de afgeleide naar φ? df (φ) dφ = λ exp(λφ) = λf (φ) Wat is de afgeleide van g(φ) = cos φ + i sin φ naar φ? (We noemen die factor g; merk op g(0) = 1)
74 74 / 95 Elke keer die factor cos φ + i sin φ Bekijk een e-macht: f (φ) = exp(λφ) We weten f (0) = 1. Wat is de afgeleide naar φ? df (φ) dφ = λ exp(λφ) = λf (φ) Wat is de afgeleide van g(φ) = cos φ + i sin φ naar φ? (We noemen die factor g; merk op g(0) = 1) dg(φ) dφ = d(cos φ + i sin φ) dφ
75 75 / 95 Elke keer die factor cos φ + i sin φ Bekijk een e-macht: f (φ) = exp(λφ) We weten f (0) = 1. Wat is de afgeleide naar φ? df (φ) dφ = λ exp(λφ) = λf (φ) Wat is de afgeleide van g(φ) = cos φ + i sin φ naar φ? (We noemen die factor g; merk op g(0) = 1) dg(φ) dφ = d(cos φ + i sin φ) dφ = sin φ + i cos φ
76 76 / 95 Elke keer die factor cos φ + i sin φ Bekijk een e-macht: f (φ) = exp(λφ) We weten f (0) = 1. Wat is de afgeleide naar φ? df (φ) dφ = λ exp(λφ) = λf (φ) Wat is de afgeleide van g(φ) = cos φ + i sin φ naar φ? (We noemen die factor g; merk op g(0) = 1) dg(φ) dφ d(cos φ + i sin φ) = dφ = i(cos φ + i sin φ) = sin φ + i cos φ
77 77 / 95 Elke keer die factor cos φ + i sin φ Bekijk een e-macht: f (φ) = exp(λφ) We weten f (0) = 1. Wat is de afgeleide naar φ? df (φ) dφ = λ exp(λφ) = λf (φ) Wat is de afgeleide van g(φ) = cos φ + i sin φ naar φ? (We noemen die factor g; merk op g(0) = 1) dg(φ) dφ d(cos φ + i sin φ) = = sin φ + i cos φ dφ = i(cos φ + i sin φ) = ig(φ)
78 78 / 95 Als geldt Elke keer die factor cos φ + i sin φ f (φ) = exp(λφ), f (0) = 1 df (φ) dφ = λf (φ)
79 79 / 95 Als geldt Als geldt Elke keer die factor cos φ + i sin φ f (φ) = exp(λφ), f (0) = 1 df (φ) dφ = λf (φ) g(φ) = cos φ + i sin φ, g(0) = 1 dg(φ) dφ = ig(φ)
80 80 / 95 Als geldt Als geldt Elke keer die factor cos φ + i sin φ f (φ) = exp(λφ), f (0) = 1 df (φ) dφ = λf (φ) g(φ) = cos φ + i sin φ, g(0) = 1 dg(φ) dφ Euler: met veel uitroeptekens! = ig(φ) g(φ) = cos φ + i sin φ = exp(iφ) Spring over het andere bewijs heen: klik hier. 1
81 81 / 95 Wat is een complexe e-macht? Toch maar weer herhalen: Taylorreeks. f (x) = f (0) + f (0)x + 1 2! f (0)x ! f (0)x en dus (zie de boekjes, alleen rekenen) sin y = y 1 3! y ! y 5 1 7! y ! y 9... cos y = 1 1 2! y ! y 4 1 6! y ! y maar ook exp(z) = 1 + z + 1 2! z ! z ! z ! z5 +...
82 82 / 95 Wat is een complexe e-macht? Dus sin y = y 1 3! y ! y 5 1 7! y ! y 9... cos y = 1 1 2! y ! y 4 1 6! y ! y exp(z) = 1 + z + 1 2! z ! z ! z ! z Kies nu z = iy: exp(iy) = 1 + yi 1 2! y 2 1 3! y 3 i + 1 4! y ! y 5 i +...
83 83 / 95 Wat is een complexe e-macht? Dus sin y = y 1 3! y ! y 5 1 7! y ! y 9... cos y = 1 1 2! y ! y 4 1 6! y ! y exp(z) = 1 + z + 1 2! z ! z ! z ! z Kies nu z = iy: exp(iy) = 1 + yi 1 2! y 2 1 3! y 3 i + 1 4! y ! y 5 i +... en, surprise, surprise exp(iy) = cos y + i sin y
84 84 / 95 Wat is een complexe e-macht? Als z = x + iy (Euler, ) exp(z) = exp(x + iy) = exp(x) exp(iy) = exp(x)(cos y + i sin y)
85 85 / 95 Wat is een complexe e-macht? Als z = x + iy (Euler, ) exp(z) = exp(x + iy) = exp(x) exp(iy) = exp(x)(cos y + i sin y) Gevolg (DeMoivre, ) cos ny + i sin ny = exp(iny) = (exp(iy)) n = (exp(iy)) n = (cos y + i sin y) n
86 86 / 95 Vijf-minuten-vraag Bewijs de (allermooiste?) vergelijking in de wiskunde: e iπ + 1 = 0 Daarin komen alle belangrijke getallen voor: i, e, π, 1, 0. Schrijf de volgende expressies in de standaardvorm z k = a k + b k i z 1 = exp( iπ/4), z 2 = 2 exp(3 + iπ/6), z 3 = exp(4 exp(iπ/3)) z 4 = (cos 2π/9 + i sin 2π/9) 3, z 5 = (sin 2π/7 + i cos 2π/7) 7
87 87 / 95 Vijf-minuten-vraag Bewijs de (allermooiste?) vergelijking in de wiskunde: e πi + 1 = 0 Neem y = π in exp(iy) = cos y + i sin y exp(πi) = cos π + i sin π = 1
88 Vijf-minuten-vraag Schrijf in de standaardvorm z 1 z 2 = exp( π/4i) = 2 exp(3 + iπ/6) z 3 = exp(4 exp(iπ/3)) z 4 = (cos 2π/9 + i sin 2π/9) 3 z 5 = (sin 2π/7 + i cos 2π/7) 7 88 / 95
89 89 / 95 Vijf-minuten-vraag Schrijf in de standaardvorm z 1 = exp( π/4i) = cos( π/4) + i sin( π/4) = 1 2(1 i) 2 z 2 = 2 exp(3 + iπ/6) z 3 = exp(4 exp(iπ/3)) z 4 = (cos 2π/9 + i sin 2π/9) 3 z 5 = (sin 2π/7 + i cos 2π/7) 7
90 90 / 95 Vijf-minuten-vraag Schrijf in de standaardvorm z 1 = exp( π/4i) = cos( π/4) + i sin( π/4) = 1 2(1 i) 2 z 2 z 3 = 2 exp(3 + iπ/6) = 2 exp(3)(cos π/6 + i sin π/6) = exp(3)( 3 + i) = exp(4 exp(iπ/3)) z 4 = (cos 2π/9 + i sin 2π/9) 3 z 5 = (sin 2π/7 + i cos 2π/7) 7
91 91 / 95 Vijf-minuten-vraag Schrijf in de standaardvorm z 1 = exp( π/4i) = cos( π/4) + i sin( π/4) = 1 2 2(1 i) z 2 = 2 exp(3 + iπ/6) = 2 exp(3)(cos π/6 + i sin π/6) = exp(3)( 3 + i) z 3 = exp(4 exp(iπ/3))= exp(4 cos(π/3) + 4i sin(π/3)) = exp(2 + 2i 3) z 4 = (cos 2π/9 + i sin 2π/9) 3 z 5 = (sin 2π/7 + i cos 2π/7) 7
92 92 / 95 Vijf-minuten-vraag Schrijf in de standaardvorm z 1 = exp( π/4i) = cos( π/4) + i sin( π/4) = 1 2 2(1 i) z 2 = 2 exp(3 + iπ/6) = 2 exp(3)(cos π/6 + i sin π/6) = exp(3)( 3 + i) z 3 = exp(4 exp(iπ/3))= exp(4 cos(π/3) + 4i sin(π/3)) = exp(2 + 2i 3)= exp(2) cos(2 3) + exp(2)i sin(2 3) z 4 = (cos 2π/9 + i sin 2π/9) 3 z 5 = (sin 2π/7 + i cos 2π/7) 7
93 93 / 95 Vijf-minuten-vraag Schrijf in de standaardvorm z 1 = exp( π/4i) = cos( π/4) + i sin( π/4) = 1 2 2(1 i) z 2 = 2 exp(3 + iπ/6) = 2 exp(3)(cos π/6 + i sin π/6) = exp(3)( 3 + i) z 3 = exp(4 exp(iπ/3))= exp(4 cos(π/3) + 4i sin(π/3)) = exp(2 + 2i 3)= exp(2) cos(2 3) + exp(2)i sin(2 3) z 4 = (cos 2π/9 + i sin 2π/9) 3 = exp(2iπ/9) 3 = exp(2iπ/3) = 1 2 ( 1 + 3i) z 5 = (sin 2π/7 + i cos 2π/7) 7
94 94 / 95 Vijf-minuten-vraag Schrijf in de standaardvorm z 1 = exp( π/4i) = cos( π/4) + i sin( π/4) = 1 2 2(1 i) z 2 = 2 exp(3 + iπ/6) = 2 exp(3)(cos π/6 + i sin π/6) = exp(3)( 3 + i) z 3 = exp(4 exp(iπ/3))= exp(4 cos(π/3) + 4i sin(π/3)) = exp(2 + 2i 3)= exp(2) cos(2 3) + exp(2)i sin(2 3) z 4 = (cos 2π/9 + i sin 2π/9) 3 = exp(2iπ/9) 3 = exp(2iπ/3) = 1 2 ( 1 + 3i) z 5 = (sin 2π/7 + i cos 2π/7) 7 = i 7 (cos 2π/7 i sin 2π/7) 7
95 95 / 95 Vijf-minuten-vraag Schrijf in de standaardvorm z 1 = exp( π/4i) = cos( π/4) + i sin( π/4) = 1 2 2(1 i) z 2 = 2 exp(3 + iπ/6) = 2 exp(3)(cos π/6 + i sin π/6) = exp(3)( 3 + i) z 3 = exp(4 exp(iπ/3))= exp(4 cos(π/3) + 4i sin(π/3)) = exp(2 + 2i 3)= exp(2) cos(2 3) + exp(2)i sin(2 3) z 4 = (cos 2π/9 + i sin 2π/9) 3 = exp(2iπ/9) 3 = exp(2iπ/3) = 1 2 ( 1 + 3i) z 5 = (sin 2π/7 + i cos 2π/7) 7 = i 7 (cos 2π/7 i sin 2π/7) 7 = i exp( 2πi/7 7) = i
Mathematical Modelling
Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Overzicht 1 Inleiding 2 Overzicht 1 Inleiding 2 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken
Op deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet).
Moddergooien n.a.v. 31 augustus Allereerst: hartelijk dank voor de vragen; als dat zo doorgaat en als jullie zo blijven komen en ook nog eens huiswerk maken, dan weet ik zeker dat ik dicht bij 100% ga
16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen
Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds
Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Complexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z
6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Mathematical Modelling
1 / 64 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 09-11-09 2 / 64 Niet overal analytisch: een rangschikking 2. De hoofdklasse A: rationale functies: f (z) = z5 + z 2 + 3z + 4 z 3 + 4z 2 + 5z
4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i
COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche
Mathematical Modelling
1 / 94 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 15-09-09 2 / 94 Overzicht 1 Herhaling 2 Deels oud, deels nieuw integreren 3 Lijnintegralen 3 / 94 Waarschuwing vooraf! Dit college heeft een
Hoofdstuk 8 : Complexe getallen
1 Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen getallen : (1) N = Natuurlijke getallen = 1,2,3,.. (2) Z = Gehele
2 Modulus en argument
Modulus en argument Verkennen Modulus en argument Inleiding Verkennen Probeer zelf te bedenken hoe je een complex getal kunt opschrijven vanuit de draaihoek en de lengte van de bijbehorende vector. Uitleg
8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
![8.1 Rekenen met complexe getallen [1]](/thumbs/57/40136599.jpg "8.1 Rekenen met complexe getallen [1]")
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen
Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Get Praktische-opdracht door een scholier 1750 woorden 12 mei 2003 5,2 86 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Deze praktische opdracht wiskunde heeft als onderwerp:
Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier
Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier najaar 2004 Deel I Voortgezette Analyse Les 1 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
z 1 z 2 r 2 r 1 z 2 z 1 r 1 r 2
Lesbrief 10 Complexe getallen 1 Het complexe vlak Zoals we ons reële getallen kunnen voorstellen als de punten van een lijn waarop 0 en 1 zijn vastgelegd, zo kunnen we ons de complexe getallen voorstellen
1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
![10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden](/thumbs/91/105289633.jpg "10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden")
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
De wortel uit min één. Jaap Top
De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen
Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige
4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Complexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30
Complexe getallen José Lagerberg Universiteit van Amsterdam November, 2017 José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, 2017 1 / 30 1 Complexe getallen en complexe e-machten Complexe getallen en complexe
Complexe getallen: oefeningen
Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de
Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De getallenverzameling C 1 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss 7 3 Vierkantsvergelijkingen
1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Complexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Les Complexe functies Nadat we de complexe getallen hebben leren kennen, is het een voor de hand liggende vraag of hiervoor net als voor de reële getallen ook functies
ProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Tentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur
Tentamen Calculus 5 januari 00, 9:00 -:00 uur Je mag geen rekenapparaat gebruiken. De opgaven t.e.m. 6 tellen allemaal even zwaar. Vermeld op elk papier dat je inlevert je naam en je studentnummer. Geef
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Functietheorie (2Y480) op 23 januari 2002,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y8) op 23 januari 22, 9.-2. uur De uitwerkingen der opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
TENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde
In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,
Complexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart
K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:
K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx
Mathematical Modelling
1 / 104 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 27-09-09 2 / 104 Waarschuwing vooraf Weer plaatjes dus opgelet! En: x F F x want anders worden de formules te lang... En: ik hoop dat ik consistent
Willem van Ravenstein
Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.
Lineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
More points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316)
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie (BKI 36) Bernd Souvignier najaar 4 Inhoud I Voortgezette Analyse 3 Les Complexe getallen.......................... 4. Constructie van de complexe getallen...........
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
K.1 De substitutiemethode [1]
![K.1 De substitutiemethode [1]](/thumbs/59/42734179.jpg "K.1 De substitutiemethode [1]")
K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met
Complexe getallen in context
Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie 4, juni 0 In deze vierde versie zijn alleen een aantal zetfouten verbeterd. Inhoudelijk is deze versie geheel gelijk
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
e x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP3B 5 november, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boeken) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Tentamen Wiskundige Technieken 1 Ma 6 nov 2017 Uitwerkingen
Tentamen Wiskundige Technieken Ma 6 nov 207 Uitwerkingen Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton
De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, 9.00-12.00 uur. Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven. De uitwerkingen van deze opgaven dienen
voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die
(2) Bepaal de absolute waarde van (1 + i) 10 + ( x x 1 = 1. (4) Bepaal lim
Tentamen Calculus I, 4 februari 009, 9:00 :00. Schrijf op elk in te leveren blad je naam, en op het eerste blad het aantal ingeleverde bladen. Alle (negen) opgaven tellen even zwaar. Het gebruik van boek(en),
De wortel uit min één. Jaap Top
De wortel uit min één Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 19 april 2011 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen
Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Complexe getallen in context
Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie, november 006 Deze module is ontwikkeld in opdracht van ctwo. Copyright 006 R.Dames en H. van Gendt Inhoud Inhoud...3
2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Inleverdatum maandag 8 oktober 2017 voor het college Niet losse velletjes aan elkaar vast. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven.
Bestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Examen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Overzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Lineaire Algebra 1. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven
Lineaire Algebra 1 Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2012-2013 ii Syllabus bij Lineaire Algebra 1 (2WF20) Inhoudsopgave 1 Complexe getallen 1 1.1 Rekenen met complexe
Examen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,
1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.
Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur
Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele
Signalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex
Analytische Meetkunde. Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw
Analytische Meetkunde Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde Synthetische Meetkunde Vectoren Gonio Analyse Algebra Symmetrie Complexe Getallen
Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
OPGAVEN
www.resolf.nl OPGAVEN Principe Het spel RESOLF is een wiskunde- en rekenspel gebaseerd op de principes van een puzzel. Het ontwerp van het spel is in de vorm van een graaf. Een graaf bestaat uit knopen
Calculus. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam
Calculus P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam 30 november 2006 Hoofdstuk 1 Complexe getallen 1.1 Introductie In dit hoofdstuk gaat het over complexe getallen. We voeren
FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10
FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
12. Uitwerkingen van de opgaven
12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);
In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.
03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het
Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Tentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Oefenzitting 2: Parametrisaties.
Oefenzitting : Parametrisaties. Modeloplossingen Oefening.5:. Beschouw vooreerst de cirkel C in het xz-vlak met straal r en middelpunt (x, y, z) = (R,, ) (zie Figuur ). De parametrisatie van C wordt dan
COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats
COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D Jan van de Craats Herziene versie, 3 augustus 007 Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit
Examen Complexe Analyse vrijdag 20 juni 2014, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen. Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen.
Examen Complexe Analyse vrijdag 0 juni 04, 4:00 8:00 uur Auditorium De Molen Naam: Studierichting: Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen. Elke vraag telt even zwaar mee. Het boek Visual Complex
Paragraaf K.1 : Substitutiemethode
Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina van 8 Paragraaf K. : Substitutiemethode Stappenplan voor de substitutiemethode : () Neem y = formule (bij kettingregel noem je deze formule
Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen
De meetkunde van de. derdegraadsvergelijking
Jan van de Craats De meetkunde van de derdegraadsvergelijking 22 februari 2007 Algemene (complexe) derdegraadsvergelijking met a 1, a 2, a 3 C z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = 0 Oplossingen z 1, z 2, z 3 Dan
P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Antwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Complexe functies. f(z) = z 3 + z 2. zien. Invullen van z = x + iy geeft
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 7/8 Les 6 Complexe functies Nadat we de complexe getallen hebben leren kennen, is het een voor de hand liggende vraag of hiervoor net als voor de reële getallen
Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14
INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
Derive in ons wiskundeonderwijs Christine Decraemer
Dag van de Wiskunde 003 de en 3 de graad Module 6: Eerste sessie Derive in ons wiskundeonderwijs Christine Decraemer Je kunt Derive het best vergelijken met een uitgebreid rekentoestel. Niet enkel numerieke,
Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011
Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen
Poolcoördinaten (kort)
Poolcoördinaten (kort) WISNET-HBO update juli 2013 Carthesiaanse coördinaten In het algemeen gebruiken we voor de plaatsbepaling in het platte vlak de gewone (Carthesiaanse) coördinaten voor, in een rechthoekig