Analytische Meetkunde. Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw

Transcriptie

1 Analytische Meetkunde Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw

2 Samenhangende Wiskunde Synthetische Meetkunde Vectoren Gonio Analyse Algebra Symmetrie Complexe Getallen

3 Programma Inleiding over meetkundige technieken (15 ) Aan de slag (keuze van opgaven) (30 ) Afronding (15 )

4 Meetkundige technieken Synthetisch, axiomatisch, zonder coördinaten Analytisch, algebraïsch, met coördinaten Gonio Vectoren (al dan niet met kentallen) Matrices Symmetrieën Complexe getallen

5 Moraal Onderzoekt alles en behoudt het goede

6 Keuze van methode doet ertoe! Gegeven ϕ, bepaal ψ. Synthetisch gemakkelijk: ψ = ½ϕ Analytisch lastig: Bijvoorbeeld A = (cos(α), sin(α)), B = (cos(β), sin(β)), C = (cos(γ), sin(γ)) v := BBBB = Analoog w := BBBB. cos(ψ) = cos αα cos (ββ) sin αα sin (ββ) vv ww vv ww = vv 11ww 11 +vv 22 ww 22 vv ww

7 Keuze van methode doet ertoe! Gegeven ϕ, bepaal ψ. Synthetisch gemakkelijk: ψ = ½ϕ Analytisch lastig: Bijvoorbeeld A = (cos(α), sin(α)), B = (cos(β), sin(β)), C = (cos(γ), sin(γ)) v := BBBB = cos αα cos (ββ) sin αα sin (ββ) Analoog w := BBBB. cos(ψ) = vv ww vv ww = cos(½ϕ)???

8 Speciale gevallen Gegeven ϕ, bepaal ψ. Speciale gevallen zijn haalbaarder voor leerlingen: Voorbeeld: A = (1,0), B = (-½ 2, -½ 2) en ϕ = 90 of 60 Goede algebra/gonio-opgaven!

9 Driehoek in Rechthoek Gegeven gelijkzijdige driehoek ingeschreven in rechthoek. Te bewijzen: opp. rode = opp. blauwe Heel lastig met algebra (3 Pythagoras), maar simpel met gonio.

10 Driehoek in Rechthoek Z.b.d.a. driehoekzijde 1. Kunnen nu alle oppervlakten uitdrukken in ϕ Leidt tot een mooie, niet te lastige gonio-identiteit. (Opgave voor workshop)

11 Zeshoekprobleem Zeshoek met om-en-om rode en blauwe zijden. De rode zijden sluiten de blauwe zijden sluiten. sluiten : sluiten na parallelle verschuiving tot een gesloten driehoek. Triviaal met juiste techniek

12 Zeshoekprobleem Maak vectoren van de zijden (tegen de klok in) Som van 6 vectoren = 0 Dan: Deelsom van 3 rode vectoren = 0 deelsom van 3 blauwe vectoren = 0. Synthetisch kan ook (zie plaatje).

13 Zes Workshopproblemen Ingeschreven gelijkzijdige driehoek in rechthoek. Druk alle oppervlakten in ϕ uit en laat zien dat blauwe opp. = rode opp.

14 Archimedes Kwadratuur v.d. Parabool Gegeven parabool k en 3 punten A, B, C op k zodat BC // raaklijn aan k in A. Dan oppervlakte tussen BC en k = 4 3 oppervlakte van ABC Zo nodig specialiseren tot y = x 2, A = (0,0) of (1, 1), B =, Algemene geval?

15 Genie van Syracusa Kwadratuur v.d. Cirkel (Ellips) Iets met π Kwadratuur v.d. Parabool Kwadratuur v.d. Hyperbool (y = 1/x) Iets met 4 3 Iets met e

16 Zwaartelijnen Zwaartelijnen door 1 punt en snijden 2 : 1. Bewijs heel eenvoudig met juiste techniek. Hoe?

17 Schateiland Loop van X = schildpad naar steen 1. X Y Z Rechte hoek naar rechts en zelfde afstand lopen: punt Y Idem bij steen 2: punt Z Schat halverwege Z en X Wat te doen als schildpad is verdwenen?

18 cos(α + β) en sin(α + β) Gebruik plaatje om formules voor cos(α+β) en sin(α+β) af te leiden Hint: neem AD = 1.

19 Rugbyprobleem

20 Rugbyprobleem Gegeven O = (0,0), A = (a, 0) en B = (b, 0). Welk punt P op y-as heeft maximale kijkhoek op AB? Synthese van analytische & synthetische meetkunde? Kies zo nodig a = 4 en b = 9.

21 Oplossingen

22 Gelijkzijdige Driehoek in Rechthoek Komt neer op: sin(2ϕ) + sin(2ϕ ) + sin(2ϕ 120 ) = 0 sin(α+β) =, enz. Klaar. Mooier: symmetrie gebruiken Vectorsom invar. onder 120 Kan ook met C en exp(2πi/3).

23 Archimedes Kwadratuur v.d. Parabool Z.b.d.a. y = x 2 A = (a, a 2 ), B = (b, b 2 ), C = (c, c 2 ) Rico(BC) = b + c = 2a Lijn BC: y = (b + c)x bc Integreer (b + c)x bc x 2 van b tot c: 1 (c b)3 6 Opp( ) is 1 8 (c b)3 Handig met uitproduct

24 Oppervlakte driehoek & Uitproduct Lengte van uitproduct a b is gelijk aan oppervlakte parallellogram. In 2 dimensies: oppervlakte driehoek = ½ aa 1 bb 2 aa 2 bb 1. cc aa Hier: a = cc 2 aa 2 en b = bb aa bb 2 2 en a = ½ (b + c), dus aa opp. = ½ (c b)(c a)(b a) = 1 3 cc bb 6 Heerlijk symmetrische algebra!

25 Trafo s Z.b.d.a. (Zonder Beperking der Algemeenheid) Z.b.d.a. y = x 2, want alle parabolen gelijkvormig. Affiene trafo (x, y) (x + p, y + 2px + p 2 ) z.b.d.a. A = (0,0). Is simpeler! Affiene trafo (x, y) (kx, k 2 y) z.b.d.a. A = (0,0) en C = (1,1). Is nog simpeler! Moraal: Meer wiskundekennis simpeler bewijzen!

26 Zwaartepunt Plaatsvector van punt A noteren we als a, enz. Dan u = ½ (b + c), enz. Dus 2 uu + 1 aa is gelijk 3 3 aan 1 aa + 1 bb + 1 cc Symmetrisch in a, b, c Dus Q.E.D.

27 Schateiland X Y Z Draai X naar Y om steen 1 en Y naar Z om steen 2. Beide 90, dus samen (X Z) is rotatie over 180. Dat is puntspiegeling om punt halverwege X en Z. Welk punt? De schat! Die hangt dus niet van positie X af! Dit kan ook met C of R 2.

28 cos(α + β) en sin(α + β) AD = 1, dus AC = cos(β) en CD = sin(β) Dus BC = sin(α) cos(β), AB = cos(α) cos(β) CE = cos(α) sin(β) DE = sin(α) sin(β) sin(α + β) = BC + CE cos(α + β) = FE DE

29 Rugbyprobleem Schrijf P = (0, p). Druk cos 2 (ϕ) uit in de variabele p en de constanten a en b. Differentieer naar p om p met minimale cos 2 (ϕ) te vinden: 2(a 2 + p 2 ) (b 2 + p 2 ) = = (ab + p 2 ) (a 2 + b 2 +2p 2 ), dus p 2 = ab.

30 Rugbyprobleem Oplossing: p = (ab) Opmerkingen/controles: symmetrisch in a, b en (afstand afstand) = afstand Speciale (limiet)gevallen? Meetkundige interpretatie of constructie van de oplossing?

31 Rugbyprobleem Teken de cirkelboog van alle punten met dezelfde kijkhoek: door A, B, P. Rakende cirkel geeft grootste kijkhoek in P. De hoogte p = MN van die cirkel is (ab) : zie volgende dia.

32 Rugbyprobleem Rugbyprobleem = Stelling Constante (kijk)hoek + Pythagoras Synthetische terugblik, maar gevonden door analyse (differentiëren) en vectoren (inproduct) en algebra. Samenhangende, nietdogmatische wiskunde!

33 Huiswerk Leid de formule voor de afstand van P = (p, q) tot de lijn y = ax + b af met zoveel mogelijk verschillende technieken.

34 Analytische Meetkunde Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw