Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.

Transcriptie

1 Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag mogen resultaten uit voorgaande vragen worden gebruikt.. Bepaal de volgende integraal: x e x dx. Eerst een primitieve bepalen met partiële integratie.we f (x) e x en g(x) x. it geeft ons xe x dx xe x e x dx xe x e x (x ) e x. Nu kunnen we de oneigenlijke integraal dmv een limiet bepalen: xe x dx lim t t xe x dx lim [(x ) t ex ] t lim t e (t ) e t e In de laatste stap mag je gebruiken dat lim x x n e x 0 voor alle n. Je kunt natuurlijk ook l Hospital gebruiken.. Gegeven is de machtreeks ( ) n+ (4x ) n. 3n n a. Bepaal de convergentiestraal R en het convergentiecentrum a van deze machtreeks. Voor x zijn alle termen 0 en is de reeks dus convergent. Voor x gebruiken we het verhoudingskenmerk (ratiotest). Er geldt: lim n a n+ 4x n+ 3(n + ) a n 4x n a n+ a n a n+ a n 3n 4x n 4x (n + ) e randpunten van het convergentie-interval liggen dus bij 4x en 4x, oftewel bij x 3 en x. Het convergentiecentrum a ligt daar precies 4 4 tussenin: a. e convergentiestraal is de afstand van a tot een randpunt, dus R. 4

2 b. Bepaal het convergentie-interval I van deze machtreeks. We hoeven alleen nog convergentie in de randpunten te onderzoeken: Bij x krijgen we de reeks 4 n. it is een p-reeks met p >, dus 3n deze is convergent. Bij x 3 4 krijgen we de reeks n Het is een alternerende reeks; lim n a n lim n 3n 0; ( ) n+. Voor deze reeks geldt: 3n a n+ 3(n+) < 3n a n. Met het convergentiekenmerk voor alternerende reeksen volgt dus dat ook deze reeks convergent is. Het convergentie-interval is [ 4, 3 4]. x x sin(x) 3. Bepaal de volgende limiet: lim. Met behulp van het formule- x 0 blad weten we: Er volgt: x 3 + x + x + O(x ) (voor x < ) sin(x) x 6 x3 + O(x 5 ). x x x x 3 + O(x 5 ) (voor x < ) sin(x) x 4 3 x3 + O(x 5 ) x x lim sin(x) 3 lim x3 + O(x 5 ) x 0 x 3 x 0 x a. Gegeven is w + 7i + i + e 3 4 πi. Schrijf w in de vorm a + bi (met a en b in R). NB: cosinus en sinus van bekende hoeken dienen expliciet bepaald te worden. Eerst berekenen we de eerste term met de gebruikelijke truc: + 7i + i ( + 7i)( i) ( + i)( i) 5 + 5i 5 + 3i. e tweede term kunnen we met de identiteit van Euler herschrijven: 3 e 4 πi ( ( ) ( )) 3 3 cos 4 π + i sin 4 π ( ) + i + i. Er volgt dus: w + 3i + + i 4i. ( ) 0. b. Gegeven is z 3 i Bepaal z en schrijf deze in de vorm a + bi (met a en b in R). NB: cosinus en sinus van bekende hoeken dienen expliciet bepaald te worden. Schrijf om naar poolcoördinaten. We berekenen eerst modulus en argument:

3 z 3 + ( ) arg(z) arctan π 3 6 Merk op dat we het argument direct met de arctangens kunnen bepalen, omdat z in het vierde kwadrant van het complexe vlak ligt. Als we z in polaire vorm zetten, kan z 0 met e Moivre worden berekend: ( ( z cos π ) ( + i sin π )) ( 6 ) 6( )) 0π 0π z 0 (cos 0 + i sin 6 6 ( 0 ) 3i 3i 048 3i. 048 Opmerking: de laatste stap is niet nodig. ( ) x + 5. Gegeven is de functie f(x, y) 3 + ln. y a. Bepaal de richtingsafgeleide van f in het punt (, ), in de richting, 4. We bepalen eerste de gradiënt van f in punt (, ): (x ) ( ) + x x f(x, y) y y, + (x + ) y y f(, ),. Normeer de richtingsvector: Voor de richtingsafgeleide geldt nu: u v v 7, 4. u f(, ) u f(, ) 7. x x +, y b. Geef met behulp van een linearisatie een benadering van f(,05,,9). e algemene formule voor linearisering luidt in een punt (a, b) luidt: L(x, y) f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b). Toegepast op bovenstaande functie in het punt (, ) geeft dit: Er volgt: L(x, y) 3 + (x ) (y ). f(,05,,9) L((,05,,9) 3 + 0,05 ( 0,) 3,.

4 6. Gegeven is de functie f(x, y) xy y x +. eze functie heeft 3 kritieke punten (ook wel stationaire punten genoemd). a. Bepaal de coördinaten van alle kritieke punten. Bepaal eerst de gradiënt van deze functie: f(x, y) y 4x, xy y. e coördinaten van de kritieke punten zijn precies de oplossingen van het volgende stelsel vergelijkingen: { y 4x 0 xy y 0 e eerste vergelijking kunnen we herschrijven als: x 4 y. Invullen in de tweede levert y3 y 0, oftewel y 3 4y 0. it kunnen we factoriseren als y(y )y + ) 0. We krijgen de volgende oplossingen: y 0 x 0 y x y x it geeft 3 kritieke punten: (0, 0), (, ) en (, ). b. Bepaal voor ieder kritiek punt of f daar een lokaal maximum, minimum of zadelpunt heeft. We passen de tweede-afgeleidentest toe. Eerst bepalen we de tweede-orde afgeleiden van f: We krijgen de volgende resultaten: f xx (x, y) 4 f yy (x, y) x f xy y (0, 0) ( 4) ( ) 0 8 > 0 en f xx (0, 0) < 0: in (0,0) heeft f een lokaal maximum. (, ) ( 4) < 0: in (,) heeft f een zadelpunt. (, ) ( 4) 0 ( 4) 6 < 0: in (,-) heeft f een zadelpunt.

5 7. Gegeven is het gebied begrensd door de krommen x 0, y en y x, en de functie f(x, y) x + y. 5 a. Schets gebied. Merk op: de lijnen y en y x snijden elkaar in het punt (4, ). Het gebied ziet er als volgt uit: b. Schrijf de integraal f(x, y)da op twee manieren als herhaalde integraal: een waarbij eerst over x geïntegreerd wordt en een waarbij eerst over y geïntegreerd wordt. Stel we integreren eerst in de y-richting. e ondergrens wordt gegeven door y x, de bovengrens door y. e grenzen van x zijn de minimale en maximale waarde die de x-coördinaat in het gebied kan aannemen: x 0 resp x 4. e integraal wordt: f(x, y)da 4 x0 y x x + y 5 dydx. Integreren we eerst naar x, dan wordt de ondergrens gegeven door x 0, de bovengrens door x y. e grenzen van y zijn de minimale en maximale waarde die de y-coördinaat in het gebied kan aannemen: y 0 resp y. e integraal wordt: y x f(x, y)da y0 x0 + y dxdy. 5 c. Bereken de integraal f(x, y)da. Eerst naar y integreren leidt onmiddelijk tot problemen. naar x, dan naar y: x + y 5 da y0 y0 y0 y x0 [ x + y 5 x + y dxdy 5 ] y y 4 + y 5 dy. dy x0 We integreren eerst

6 eze integraal kunnen we met een substitutie bepalen: u + y 5, du 5y 4 dy. oftewel 5 du y4 dy. In termen van u krijgen we (let op de nieuwe grenzen!): x + y 5 da 33 u 5 u du [ ] 33 ln u 5 5 ln(33) u