Overzicht Fourier-theorie

Transcriptie

1 B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van continue functies Een functie f : R C wordt periodiek met periode genoemd indien f(x + ) = f(x) ( x R). We noteren met F (R/Z) de ruimte van functies f : R C periodiek zijn met periode. Voorts definiëren we de ruimte van continue -periodieke functies door C(R/Z) := C(R) F (R/Z). De ruimte C(R/Z), voorzien van de puntsgewijze optelling en scalar vermenigvuldiging is complex lineair. Uit het college Lineaire Algebra brengen we de volgende definitie van een Hermite s inproduct in herinnering. Definitie B. Zij E een lineaire ruimte over C. Een Hermite s inproduct op E is een afbeelding (f, g) f, g : E E C, met de volgende eigenschappen. (a) Voor iedere g E is f f, g complex-lineair van E naar C. (b) Voor iedere f, g E geldt dat g, f = f, g. (c) Als f E en f 0, dan is f, f > 0. Op de ruimte C(R/Z) definiëren we het integraal-inproduct door f, g := f(x) g(x) dx, (f, g C(R/Z)). (B.3) Merk op dat de integrand in deze definitie een complexwaardige continue functie is van een reële variabele. De integratie een dergelijke functie ϕ = ϕ + iϕ 2 wordt gedefinieerd door middel van de integralen van het reële en imaginaire deel: b a ϕ(x) dx = b a ϕ (x) dx + i b a ϕ 2 (x) dx. Lemma B.2 Het integraal-inproduct (B.3) is een Hermite s inproduct op C(R/Z). Voor k Z definiëren we de functie ɛ k : R C door ɛ k (x) = e ikx, (x R). (B.4) Elk der functies ɛ k behoort tot C(R/Z). Als f C(R/Z), dan volgt direct uit de definitie van het integraal-inproduct dat f, ɛ k = f(x)e ikx dx = f(x)e ikx dx. (B.5) 7

2 Lemma B.3 De functies (ɛ n n Z) vormen een orthonormaal systeem, dwz, voor alle m, n Z geldt ɛ m, ɛ n = δ mn. Hierbij hebben we een voor de hand liggende uitbreiding van de Kronecker delta gebruikt: δ mm = en δ mn = 0 voor alle m, n Z, m n. Definitie B.4 Onder een Fourier-polynoom verstaan een functie f : R C die geschreven kan worden als eindige lineaire combinatie van de vorm f = N n= N c n ɛ n. met coefficienten c k C. (Dit zijn de functies met eindige Fourierreeksen.) De verzameling van Fourier polynomen wordt genoteerd met P (R/Z). (B.6) We merken op dat P (R/Z) een lineaire deelruimte is van de complex lineaire ruimte C(R/Z). Lemma B.5 Zij f een Fourier polynoom. Indien (B.6) geldt, dan worden de coefficienten c n gegeven door c n = f, ɛ n = f(x)e inx dx. (B.7) Voor n > N geldt dat f, ɛ n = 0. Een Fourier reeks is een oneindige reeks van functies van de vorm c k e ikx. (B.8) Vaak laten we de variabele achterwege, en noteren we c k ɛ k Men noemt de Fourier-reeks (B.8) puntsgewijs convergent als de twee reeksen c k ɛ k en c k ɛ k k 0 puntsgewijs convergeren. In dit geval definiëren we de som van de reeks door c k ɛ k = k=0 k c k ɛ k + c k ɛ k. Uniforme en absoluut uniforme convergentie zijn op soortgelijke wijze gedefinieerd door te splitsen in de reeks van termen met positieve index, en de reeks van termen met negatieve index. k= 8

3 Stelling B.6 Zij c k C voor k Z en veronderstel dat de reeks c k convergeert. Dan convergeert de de Fourier-reeks c k ɛ k absoluut uniform op R en behoort de somfunctie f : R C, gedefinieerd door f(x) = c k e ikx, (x R), (B.9) tot C(R/Z). Bovendien wordt door de coefficient c k in termen van f gegeven door c k = f, ɛ k = f(x)e ikx dx. Zij f C(R/Z), dan definiëren we k-de Fourier-coëfficiënt van f (voor k Z) door (Ff) k = f, ɛ k = f(x)e ikx dx. (B.0) We noteren met C Z de complexe lineaire ruimte van functies k c k, Z C. Dan definieert F : f F(f) een lineaire afbeelding C(R/Z) die we Fourier transformatie noemen. Lemma B.7 De Fourier transformatie F : C(R/Z) C Z is injectief. Stelling B.8 Zij f : R C continu en periodiek met periode. Noteer de Fourier-coëfficiënten van f met c k := F(f) k, voor k Z. Als c k <, dan geldt f(x) = c k e ikx, (x R), met absoluut uniforme convergentie van de reeks op R. Voorbeeld B.9 De -periodieke functie f op R, waarvoor f(x) = x als x ], π], is continu. Maak een schets! De Fourier-coëfficiënten worden gegeven door en voor k 0 door c 0 = x dx = π c k = x e ikx dx = 0 x dx = π 2, x ik d dx e ikx dx. De laatste integraal kunnen schrijven als de som van de integraal over [, 0] en de integraal over [0, π]. Op ieder van deze integralen passen we een partiële integratie toe, hetgeen uiteindelijk leidt tot Hieruit leiden we af dat c k = ( )k π k 2, k 0. c k 2 π k 2, 9

4 waaruit we zien dat c k convergeert. Op grond van uniforme majorantie concluderen we hieruit dat de Fourier-reeks van f absoluut uniform convergeert. Op grond van Stelling B.8 krijgen we nu dat x = c 0 + k= ( c k e ikx + c k e ikx). Opmerkend dat c k = 0 als k even is en k 0 en c k = 2/πk 2 als k oneven is, vinden we tenslotte dat x = π 2 4 cos((2j ) x) π (2j ) 2, x π, (B.) j= waarbij de convergentie uniform is. Door x = 0 in te vullen vinden we in het bijzonder dat Noteren we j= (2j ) 2 = π2 8. (B.2) s := n= n 2, dan geeft splitsing van de som over n = 2j en over n = 2j, met j Z >0, dat dus s = j=0 n= 4j 2 + π2 8 = s 4 + π2 8 Deze identiteit is afkomstig van Euler, uit het midden van de 8 e eeuw. n 2 = 4 π = π2 6. (B.3) Functies met sprongen De ruimte van -periodieke lokaal Riemann-integreerbare functies R C wordt genoteerd met R (R/Z). Voor functies f R(R/Z) definiëren we zoals voorheen de Fourier-getransformeerde F(f) C Z door F(f) k := f(x)e ikx dx, (k Z) We definiëren nu een ruime klasse van niet noodzakelijk continue functies die een Fourier-ontwikkeling zullen blijken te hebben. Definitie B.0 Laat a, b R zijn met a < b. Een functie f : [a, b] C heet stuksgewijs C als er een verdeling a = a 0 < a < < a n = b van het interval [a, b] bestaat met de volgende eigenschap. Voor iedere j n bestaat een f j C ([a j, a j ]) zo dat f = f j op ]a j, a j [. In het vervolg zullen we de notatie C st, (R/Z) gebruiken voor de ruimte van functies f : R C met 20

5 (a) f(x + ) = f(x) voor alle x R; (b) f is stuksgewijs C op het interval [, π]. Vanwege de periodiciteit is elke functie f C st, (R/Z) stuksgewijs C op ieder gesloten en begrensd interval. In het bijzonder zien we dat C st, (R/Z) R(R/Z). Laat f C st, (R/Z). Dan geldt voor elke x R dat de limieten f(x ) := lim h 0 f(x h), en f(x+) := lim h 0 f(x + h) bestaan. Uiteraard geldt dat f continu is in x dan en slechts dan als f(x+) = f(x ) = f(x), in welk geval 2 (f(x ) + f(x+)) = f(x). Stelling B. Zij f C st, (R/Z) en schrijf c k = (Ff) k Dan geldt voor elke x R dat lim n k n c k e ikx = f(x ) + f(x+). 2 Voor punten x R waar de functie f uit de bovenstaande stelling continu is, geldt dus: f(x) = lim c k e ikx n k n Opmerking B.2 De symmetrische partiële Fourier-som van f kan ook geschreven worden als c k e ikx = c 0 + k n hetgeen weer geschreven kan worden als a 0 + n (c k e ikx + c k e ikx ) k= n a k cos kx + b k sin kx) k= met a 0 = c 0, c k = a k = (c k + c k ) en b k = i(c k c k ). Voorbeeld B.3 Beschouw de zaagtandfunctie f die ontstaat als de -periodieke uitbreiding van de functie f(x) = x op ]0, [. Voor de waarde f(0) = f() van f in het sprongpunt kunnen we iedere gewenste waarde nemen. Merk op dat voor iedere keuze geldt f(0+) = 0 en f(0 ) = f( ) =. De functie f behoort tot C st, (R/Z). Maak een schets! De Fourier-coëfficiënten worden gegeven door c 0 = 2 ()2 = π terwijl we voor k 0 met behulp van een partiële integratie krijgen dat c k = 0 x d ik dx e ikx dx = ik 2

6 Hiermee is de Fourier-reeks c 0 + k (c kɛ k + c k ɛ k ) van f gegeven door π k 2 sin(kx). k Voor x = 0 convergeert deze, op een flauwe manier, met som gelijk aan π, hetgeen precies midden tussen f(0+) = 0 en f(0 ) = in ligt. Dit suggereert dat f(0) = π de natuurlijke keuze is voor de waarde van f in het sprongpunt. Stelling B. impliceert anderzijds dat een fraaie klassieke formule. lim n n k= sin(kx) k = π x, 0 < x <, (B.4) 2 Stelling B.4 De convergentie in Stelling B. is uniform op ieder gesloten en begrensd interval I R dat geen discontinuïteit van de functie f bevat. B. De gelijkheid van Parseval Voor -periodieke lokaal Riemann-integreerbare functies geldt de volgende fraaie gelijkheid van Parseval, die opgevat kan worden als oneindig dimensionale versie van de stelling van Pythagoras. Stelling B.5 (De gelijkheid van Parseval) Zij f R(R/Z). Noteer c k = (F) k, voor k Z. Dan geldt dat π f(x) 2 dx = c k 2. (B.5) Voorbeeld B.6 We beschouwen de -periodieke functie f : R C die op ] π, π] gedefinieerd wordt door f(x) = x. Er geldt dat π f(x) 2 dx = π 3 x3 = 2 π2 6. De Fourier coëfficiënten c k van f berekenen we als volgt. Het is evident dat c 0 = 0. Met partiële integratie vinden we voor k 0 dat Derhalve c k = = ik = ( )k ik. xe ikx dx [ x e ikx π c k 2 = 2 k= k 2. ] e ikx dx 22

7 De bovenstaande gelijkheid van Parseval leidt in dit geval dus tot de bekende identiteit π 2 6 = k= k 2. 23