Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet orthonormaal als bovendien v i = voor i =, 2,..., r. Stelling Zij v,..., v r R n een orthogonaal stelsel. Dan vormen deze vectoren een onafhankelijk stelsel Bewijs: Stel, we hebben een relatie λ v + λ 2 v λ r v r = 0. Kies voor i een willekeurige index tussen en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen λ (v v i ) + λ 2 (v 2 v i ) + + λ r (v r v i ) = 0. Merk op dat v j v i = 0 voor alle j i vanwege de orthogonaliteit. Er blijft dus over, λ i (v i v i ) = 0. Omdat v i v i > 0 (want v i 0)) volgt hieruit dat λ i = 0. Dit geldt voor elke i en dus concluderen we dat v,..., v r een onafhankelijk stelsel vormen. Orthonormale bases van een deelruimte W zijn bijzonder handig om loodrechte projectie op W te berekenen. Stelling Zij W een deelruimte van R n en a,..., a r een orthonormale basis van W. Zij x R n. Dan wordt de loodrechte projectie van x op W gegeven door (x a )a + (x a 2 )a (x a r )a r.

2 2 HOOFDSTUK 95. ORTHOGONALITEIT Bewijs: We moeten aantonen dat de verschilvector x (x a )a (x a 2 )a 2 (x a r )a r loodrecht staat op a i voor i =,..., r. Ter controle bepalen we het inproduct x a i (x a )(a a i ) (x a r )(a r a i ). Voor alle indices j geldt dat a j a i = 0 tenzij j = i in welk geval we a i a i = hebben. Bijna alle termen zijn dus nul, behalve die voor j = i. Het inproduct wordt nu x a i (x a i )(a i a i ) = 0. En dat moesten we bewijzen. Het aardige is dat elke deelruimte een orthonormale basis bezit. Het bewijs gaat juist met orthogonale projecties. Stelling Elke deelruimte heeft een orthormale basis. Bewijs: Zij W de deelruimte. We bewijzen onze Stelling met inductie naar dim(w ). Als dim(w ) = dan zijn we klaar, we kiezen gewoon een vector w W van lengte. Stel nu r > en dat onze stelling waar is voor elke deelruimte van dimensie r. Stel nu dat dim(w ) = r. Kies een basis a,..., a r van W. De deelruimte W van W opgespannen door a,..., a r heeft dimensie r en heeft volgens de inductiehypothese een orthonormale basis. Laten we deze b,..., b r noemen. Zij nu a de projectie van a r op W. Dan staat a = a r a loodrecht op alle vectoren uit W. Kies nu b r = a / a. Dan heeft b r lengte en staat loodrecht of b,..., b r. Dus is b,..., b r een orthonormale basis van W. Dit inductieve bewijs geeft een constructieve manier om, gegeven een basis van een deelruimte, een orthonormale basis van die deelruimte te construeren. We starten met een basis a,..., a r. - Definieer b = a / a. Er geldt nu b =. - Definieer a 2 = a 2 (a 2 b )b. Dan staat a 2 loodrecht op b. - Definieer b 2 = a 2/ a 2. Dan heeft b 2 lengte en staat loodrecht op b. - Definieer a 3 = a 3 (a 3 b )b (a 3 b 2 )b 2. Dan staat a 3 loodrecht op b en b 2. - Definieer b 3 = a 3/ a 3. - Ga zo door tot we bij de r-de stap aankomen, a r = a r (a r b )b (a r b r )b r en b r = a r/ a r.

3 95.2. ORTHOGONALE AFBEELDINGEN 3 Uit al het voorgaande volgt nu dat b, b 2,..., b r een orthonormale basis van W is. We noemen de bovenstaande procedure de Gramm-Schmidt procedure. Voorbeeld Gevraagd een orthonormale basis van de deelruimte W R 4 opgespannen door (,, 0, ), (2, 0,, ), (0,,, 0). Laten we deze vectoren aangeven met respectievelijk a, a 2 en a 3. Dan geldt, b = a / a = (,, 0, )/ 3 a 2 = a 2 (a 2 b )b = (2, 0,, ) (,, 0, ) (,, 0, ) (2, 0,, ) 3 3 = (,,, 0) b 2 = (,,, 0)/ 3 a 3 = a 3 (a 3 b )b (a 3 b 2 )b 2 = (0,,, 0) (,, 0, ) (,, 0, ) (0,,, 0) 3 3 (0,,, 0) (,,, 0) (,,, 0) 3 3 = (/3, 0, /3, /3)/3 b 3 = (, 0,, )/ 3 De orthonormale basis wordt gegeven door 3 (,, 0, ), 3 (,,, 0), 3 (, 0,, ) Orthogonale afbeeldingen Een speciale klasse van lineaire afbeeldingen van R n zogenaamde orthogonale afbeeldingen. wordt gevormd door de Definitie Een lineaire afbeelding A : R n R n heet orthogonaal als Ax = x voor alle x R n. Dergelijke afbeeldingen zijn lengte-behoudend en voorbeelden hiervan worden gevormd door draaiingen en spiegeling zoals in voorgaande paragrafen behandeld. De naam orthogonaal vindt zijn oorsprong in het feit dat lengte-behoudende lineaire afbeeldingen ook inproduct-behoudend zijn. In het bijzonder zullen de beelden van twee orthogonale vectoren weer orthogonaal zijn. Dit blijkt uit de volgende stelling.

4 4 HOOFDSTUK 95. ORTHOGONALITEIT Stelling Zij A : R n R n een orthogonale afbeelding. Dan geldt dat A(x) A(y) = x y voor alle x, y R n. In het bijzonder volgt uit x y = 0 dat A(x) A(y) = 0. Bewijs: Uit het lengte-behoud van A volgt dat A(x+y) = x+y. Kwadrateer aan beide zijden en werk uit: A(x + y) 2 = x + y 2 A(x + y) A(x + y) = (x + y) (x + y) A(x) A(x) + 2A(x) A(y) + A(y) A(y) = x x + 2x y + y y A(x) 2 + 2A(x) A(y) + A(y) 2 = x 2 + 2x y + y 2 Gebruik nu dat A(x) = x en A(y) = y en we houden, na deling door 2, over dat A(x) A(y) = x y. Matrices van orthogonale afbeeldingen zijn gemakkelijk te herkennen. Stelling Zij A : R n R n een lineaire afbeelding en M A de bijbehorende matrix. Dan is A een orthogonale afbeelding precies dan als de kolommen van M A een orthonormaal stelsel vormen. Bewijs: De kolommen van M A worden gegeven door de beelden A(e i ) voor i =,..., n. Als A orthogonaal is dan geldt A(e i ) = e i voor i =,..., n. De kolommen van M A hebben dus lengte. Verder geldt voor elk paar i, j met i j dat A(e i ) A(e j ) = e i e j = 0. De kolommen van A staan dus onderling loodrecht. Stel nu dat de kolommen A(e i ) een orthonormaal stelsel vormen. Dan geldt voor elke vector x = x e + + x n e n dat A(x) 2 = A(x) A(x) = A(x e + + x n e n ) A(x e + + x n e n ) n n = x i x j A(e i ) A(e j ) i= j= Omdat A(e ) A(e j ) gelijk is aan 0 als i j en als i = j reduceert de laatste sommatie tot n i= x2 i = x 2. Conclusie: A(x) 2 = x 2 voor elke x R n en A is een orthogonale afbeelding. Definitie Een n n-matrix heet orthogonaal als de kolommen een orthonormaal stelsel vormen.

5 95.2. ORTHOGONALE AFBEELDINGEN 5 Stelling zegt dus dat een lineaire afbeelding orthogonaal is precies dan als de bijbehorende matrix orthogonaal is. Voorbeelden van orthogonale matrices hebben we in de voorgaande paragrafen gezien. Ga na dat de volgende matrices inderdaad orthogonaal zijn. De draaiingsmatrices in R 2, ( ) cos α sin α sin α cos α Spiegelingen in R 3 in het vlak loodrecht op a = (a, a 2, a 3 ) met a =, 2a 2 2a a 2 2a a 3 2a 2 a 2a 2 2 2a 2 a 3 2a 3 a 2a 3 a 2 2a 2 3 De matrix van de rotatie om een hoek π/2 met als draaias (, 2, 2), /9 8/9 4/9 4/9 4/9 7/9 8/9 /9 4/9 Stelling Zij U een n n-matrix. De volgende uitspraken zijn equivalent,. U is orthogonaal 2. U = U t 3. De rijen van U vormen een orthonormaal stelsel Bewijs: Stel dat U de kolommen u i (i =,..., n) heeft. We weten dat U t U (de zogenaamde Gramm-matrix) precies de n n-matrix is met op plaats i, j het element u i u j. In het bijzonder volgt hieruit dat U t U = I n precies dan als U een orthogonale matrix is. Dit bewijst de equivalentie van () en (2). Op analoge manier zien we dat de rijen van U een orthonormaal stelsel vormen precies dan als UU t = I n. En het laatste is equivalent met U t U = I n. Met betrekking tot de eigenwaarden van een orthogonale matrix kunnen wij het volgende zeggen. Stelling Zij U een orthogonale matrix. Dan geldt voor elke eigenwaarde λ C dat λ =. In het bijzonder, als λ R dan geldt λ = ±. Verder geldt dat det(u) = ±. Bewijs: Als U orthogonaal is dan geldt U t U = I n. Neem aan beide zijden de determinant. Dan krijgen we det(u) 2 = det(u t )det(u) = det(i n ) =. Dus det(u) = ±.

6 6 HOOFDSTUK 95. ORTHOGONALITEIT Zij nu λ C een eigenwaarde en v een eigenvector bij λ met complexe coëfficienten als λ R. Deze bepalen we gewoon door oplossing van het lineaire stelsel vergelijkingen Mv = λv. Stel v = (v,..., v n ) t. De complex geconjugeerde van v definieren we door v = (v,..., v n ) t. Merk op dat v t v = (v v 2 n). We weten dat Uv = λv. Neem de complex geconjugeerde en transponeer, v t U t = λv t. Vermenigvuldig de rechterkant van rechts met λv en de linkerkant met Uv. We krijgen v t U t Uv = λ 2 v t v. Gebruiken we nu U t U = I n en v t v = v v n 2 dan krijgen we v v n 2 = λ 2 ( v v n 2 ). Omdat v v n 2 0 volgt hieruit dat λ = Orthogonale afbeeldingen in R 2 en R 3 We bepalen hoe orthogonale afbeeldingen U : R 2 R 2 er uit zien. ( Daartoe ) a c bepalen we de orthogonale 2 2-matrices. Dat wil zeggen, matrices met b d de condities. a 2 + c 2 = 2. b 2 + d 2 = 3. ab + cd = 0 Uit de eerste vergelijking volgt het bestaan van een hoek φ zó dat a = cos φ en c = sin φ. Uit de derde vergelijking volgt dan b cos φ + d sin φ = 0. Oplossing hiervan geeft dat b = r sin φ, d = r cos φ voor zekere r R. Dit invullen in de tweede vergelijking geeft r 2 = en dus r = ±. We concluderen dat orthogonale 2 2-matrices één van de volgende vormen aanneemt, ( ) ( ) cos φ sin φ cos φ sin φ sin φ cos φ sin φ cos φ In het eerste type matrix herkennen we de rotatie in het platte vlak om de hoek φ. In het tweede voorbeeld zien we dat de eigenwaardevergelijking luidt λ 2 = 0. Er zijn dus twee reële eigenwaarden ±. De bijbehorende eigenvectoren zijn (sin φ, cos φ) (bij ) en (sin φ, cos φ) (bij ). Deze staan loodrecht op elkaar en we hebben dus te maken met een orthogonale spiegeling in de lijn met richting (sin φ, cos φ). Merk ook op dat de determinant van de matrix gelijk is aan in het eerste geval en in het tweede geval. We concluderen:

7 95.4. SYMMETRISCHE MATRICES 7 Stelling Een orthogonale afbeelding U : R 2 R 2 is ofwel een draaiing, ofwel een spiegeling. In het eerste geval geldt det(u) =, in het tweede geval det(u) =. We onderzoeken nu orthogonale afbeeldingen U : R 3 R 3. De eigenwaardevergelijking heeft graad 3. Er is dus altijd een reële oplossing λ en deze moet dus ± zijn. Geef een bijbehorende eigenvector aan met v. Zij W het vlak door de oorsprong dat loodrecht op v staat. Omdat U inproduct-behoudend is geldt dat U : W W. Omdat dim(w ) = 2, is U beperkt tot W een draaiing of spiegeling. We hebben nu vier mogelijkheden:. λ = en U : W W is een draaiing. In dit geval kunnen we U zien als een draaiing met v als draaiingsas. Merk op dat det(u) =. 2. λ = en U : W W is een spiegeling. In W zijn er orthogonale eigenvectoren v en v met eigenwaarde respectievelijk. In dit geval hebben we te maken met een spiegeling. Merk op dat det(u) =. 3. λ = en U : W W is een draaiing. Ditmaal hebben we te maken met een draaiing in het vlak W rond de as v, gevolgd door een loodrechte spiegeling in het vlak W waarbij v in v overgaat. We noemen dit een draaispiegeling. We hebben nu det(u) =. 4. λ = en U : W W is een spiegeling. In het vlak W zijn er twee onderling loodrechte vectoren v en v met eigenwaarden respectievelijk. Merk nu op dat we een draaiing om de hoek π in het vlak opgespannen door v en v hebben. Merk op dat det(u) =. Samenvattend, een orthogonale afbeelding van een driedimensionale ruimte naar zichzelf kan een draaiing of een draaispiegeling zijn. In het eerste geval is de determinant, in het tweede Symmetrische matrices Verreweg de belangrijkste stelling op het gebied van eigenwaarden en eigenvectoren is de volgende. Stelling (Hoofdstelling symmetrische matrices) Zij M een n n- matrix met elementen in R. Dan is er een basis van R n, bestaande uit onderling orthogonale eigenvectoren van M, precies dan als M t = M (maw M is een symmetrische matrix). We zullen deze stelling in stapjes bewijzen. Stel allereerst dat er een orthonormale basis v,..., v n van R n is, bestaande uit eigenvectoren van M. We gaan laten zien dat M symmetrisch is.

8 8 HOOFDSTUK 95. ORTHOGONALITEIT Geef de eigenwaarden met λ,..., λ n aan. Zij S de n n-matrix met de vectoren v i als kolommen. Dan is S een orthogonale matrix. Verder geldt dat S MS = Λ waarin Λ de diagonaalmatrix met de diagonaalelementen λ, λ 2,..., λ n is. Hieruit volgt dat M = SΛS. Gebruikmakend van Λ t = Λ en S t = S vinden we nu M = SΛS t en M t = (SΛS t ) t = (S t ) t Λ t S t = SΛS t = M. Met andere woorden, M is symmetrisch. Voorbeeld Zij P de matrix van een orthogonale projectie in R n op een deelruimte W. Er zijn twee eigenwaarden, namelijk 0 en. De eigenruimte bij bestaat precies uit alle vectoren in W. De eigenruimte bij 0 bestaat precies uit alle vectoren loodrecht op W. Zij f,..., f m een orthonormale basis van W en zij f m+,..., f n een orthonormale basis van W, de deelruimte van vectoren loodrecht op W. Dan is f,..., f n een orthonormale basis van R n, bestaande uit eigenvectoren van P. De matrix P is dus symmetrisch. Bijvoorbeeld, de matrix van de loodrechte projectie in R 3 op het vlak x + 2x 2 + 2x 3 = 0 wordt gegeven door 8/9 2/9 2/9 2/9 5/9 4/9 2/9 4/9 5/9 en deze matrix is inderdaad symmetrisch. Het lastigste deel van onze Hoofdstelling is aantonen dat een symmetrische matrix een orthonormale basis van eigenvectoren heeft. Allereerst laten we zien dat de eigenwaarden van een symmetrische matrix reëel zijn. Lemma Zij M een symmetrische matrix met elementen in R en λ C een eigenwaarde. Dan geldt, λ R. Bewijs: Zij λ C een eigenwaarde en v een eigenvector bij λ met complexe coëfficienten als λ R. Deze bepalen we gewoon door oplossing van het lineaire stelsel vergelijkingen Mv = λv. Stel v = (v,..., v n ) t. De complex geconjugeerde van v definieren we door v = (v,..., v n ) t. Merk op dat v t v = v v n 2. We weten dat Mv = λv. Neem de complex geconjugeerde en transponeer, v t M t = λv t. Vermenigvuldig de rechterkant v. We krijgen, omdat M t = M, v t Mv = λv t v. Gebruiken we nu Mv = λv en v t v = (v v 2 n) dan krijgen we λ( v v n 2 ) = λ( v v n 2 ). Hieruit volgt, omdat v v n 2 0, dat λ = λ, en dus λ R.

9 95.4. SYMMETRISCHE MATRICES 9 We laten nu zien dat een symmetrische n n-matrix M gediagonaliseerd kan worden met een orthogonale matrix. Met andere woorden, er is een orthogonale matrix U zó dat U MU diagonaal is, met uiteraard de eigenwaarden op de diagonaal. We gebruiken inductie naar n. Voor -matrices M is de stelling triviaal waar, elke matrix van dat formaat is zowel symmetrisch als diagonaal. Stel nu n > en stel dat onze bewering bewezen is voor (n ) (n )-matrices. Kies een eigenwaarde λ van M. Uit Lemma weten we dat λ R. Zij v de bijbehorende eigenvector. We mogen aannemen dat v =. Vul nu v aan tot een orthormale basis v, v 2,..., v n van R n en zij S de matrix met deze vectoren als kolommen. Dus S is een orthogonale matrix. Beschouw nu de matrix S MS. De eerste kolom van deze matrix wordt gegeven door S MSe = S Mv = λs v = λe. Met andere woorden, S MS heeft de vorm λ µ 2 µ n 0 µ 22 µ 2n.. 0 µ n2 µ nn Omdat S MS = S t MS ook een symmetrische matrix is, zien we dat µ k = 0 voor k = 2,..., n. Dus S MS heeft de vorm λ µ 22 µ 2n.. 0 µ n2 µ nn en de matrix µ 22 µ 2n M =.. µ n2 µ nn is symmetrisch. Dus bestaat er volgens de inductiehypothese een orthogonale (n ) (n )-matrix T zó dat T M T diagonaal is. Zij nu T de n n- matrix met als -ondermatrix T en op de eerste rij en kolom nullen behalve op plaats (, ) waar een staat. Dan diagonaliseert T de matrix S MS. Dus T S MST is diagonaal. Omdat ST orthogonaal is, als product van orthogonale matrices, is onze bewering bewezen.

10 0 HOOFDSTUK 95. ORTHOGONALITEIT 95.5 Opgaven. Verifieer in de volgende onderdelen dat de opspannende vectoren van W orthogonaal zijn en bepaal de projectie van b op W. (a) W = Span((2, 3, ), (,, )) en b = (2,, 4). (b) W = Span((, 0, ), (,, )) en b = (, 2, 3). (c) W = Span((,,, ), (,,, ), (, 0, 0, )) en b = (2,, 3, ). (d) W = Span((,,, ), (,,, ), (,,, )) en b = (, 4,, 2). 2. Vind een orthonormale basis voor de vectoren in de deelruimte gegeven door 2x + 3y + z = Bepaal een orthonormale basis voor de deelruimte in R 4 gegeven door x = x 2 + 2x 3 en x 4 = x 2 + x Pas het Gramm-Schmidt procédé toe op de vectoren (, 0, ), (0,, 2), (2,, 0). 5. Pas het Gramm-Schmidt procédé toe op de vectoren (, 0,, 0), (,,, 0), (,, 0, ) R Pas het Gramm-Schnidt procédé toe op de vectoren (,,, 0, 0), (, 0, 0, 0, ), (0, 0,, 0, ), (, 0, 0,, ) R Verifieer dat de onderstaande matrices orthogonaal zijn en bepaal hun inverse, ( ) 3/5 0 4/5, 4/5 0 3/ , Geef een derde kolom voor de matrix zó dat de matrix orthogonaal wordt / 3 / 2 / 3 0 / 3 / 2, 2/7 3/7 3/ 3 2/ 3 6/7 0

11 95.5. OPGAVEN 9. Vind een orthogonale matrix C zó dat C AC een diagonaalmatrix is voor de volgende symmetrische matrices A, ( ) ( ) 2 3 2, Zelfde vraag als in de vorige opgave, maar nu voor de matrices , Zelfde vraag als in de vorige opgave, maar nu voor de matrices , Zij v R n een niet-triviale vector. Bewijs dat I n 2 v 2 vv t een orthogonale matrix is. 3. Zij Q een m n-matrix waarvan de kolommen een orthonormaal stelsel vormen en Q 2 een n t-matrix waarvan de kolommen ook orthonormaal zijn. Bewijs dat de kolommen van Q Q 2 een orthormaal stelsel vormen.

Tentamen Lineaire Algebra

Tentamen Lineaire Algebra Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra B

Tentamen Lineaire Algebra B Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een

Nadere informatie

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A. . Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen

Nadere informatie

Geadjungeerde en normaliteit

Geadjungeerde en normaliteit Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y.

wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y. Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2 Les 5 Inproduct Als we het in de meetkunde (of elders) over afstanden en hoeken hebben, dan hebben we daar intuïtief wel een idee van. Maar wat is eigenlijk de

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

Uitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009

Uitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009 Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking

Nadere informatie

Vectorruimten met inproduct

Vectorruimten met inproduct Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire

Nadere informatie

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A = Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

11.0 Voorkennis V

11.0 Voorkennis V 11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30) Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,

Nadere informatie

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 3 november 9, 3-6 uur Bij dit tentamen mogen dictaat en/of rekenmachine niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, collegekaartnummer en naam van de practicumleider

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015 Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen

Nadere informatie

Overview. Goniometrie. Goniometrie. Loodrechte Deelruimten. Vergelijkingen en Loodrechte Projecties

Overview. Goniometrie. Goniometrie. Loodrechte Deelruimten. Vergelijkingen en Loodrechte Projecties College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 9 december, 202 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Cosinuswet Stel we hebben een driehoek ABC. Stelling

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 15 januari, 2016 Opgave 2 (10 punten (a Het karakteristiek polynoom van A is det(ti A = (t 1 5, dus er is maar één eigenwaarde, namelijk λ = 1 Er geldt (A I 2 =

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).

x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt). 76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van

Nadere informatie

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen

Nadere informatie

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 28 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.

College WisCKI. Albert Visser. 28 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc. College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 28 november, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b + λa. b is steunvector

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2 CTB00-D Lineaire Algebra Juli 03 Augustus 03 Juli 0 Augustus 0 Juli 0 Augustus 0 Juli 00 Augustus 00 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" Technische Universiteit Delft Faculteit

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................

Nadere informatie

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten. WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 5 december, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.

College WisCKI. Albert Visser. 5 december, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc. College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 5 december, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b +

Nadere informatie

Meetkunde en lineaire algebra

Meetkunde en lineaire algebra Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x

Nadere informatie

Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith

Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith Scoop februari 2003 Scoop vult de gaten Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith De wiskundigen onder jullie zal de naam waarschijnlijk

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402

Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402 Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 214, 1: 13: zalen 174, 312, 412, 41, 42 Dit zijn geen complete uitwerkingen. Er is dus geen garantie dat het overschrijven met andere getallen voldoende is voor huiswerk

Nadere informatie

Lineaire Algebra SUPPLEMENT II

Lineaire Algebra SUPPLEMENT II Lineaire Algebra SUPPLEMENT II FBeukers 2012 Departement Wiskunde UU Inhoudsopgave 13 Eigenwaarden en eigenvectoren 3 131 Inleiding 3 132 Berekening van eigenwaarden en eigenvectoren 5 133 Basiseigenschappen

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

2. Transformaties en matrices

2. Transformaties en matrices Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type

Nadere informatie

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes Wiskunde D vwo Lineaire algebra Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 9 november 205 Harm Houwing en John Romkes Vwo D Lineaire algebra Harm Houwing John Romkes Hoofdstuk 4 Onderwerpen Rekenen

Nadere informatie

Uitwerking opgaven 17 december. Spoilers!!

Uitwerking opgaven 17 december. Spoilers!! Uitwerking opgaven 7 december Spoilers!! (duh... 8 januari 206 Inhoudsopgave Complex diagonaliseren matrix 2. Opgave................................................ 2.2 Oplossing...............................................

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

6. Lineaire operatoren

6. Lineaire operatoren 6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie