Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet orthonormaal als bovendien v i = voor i =, 2,..., r. Stelling Zij v,..., v r R n een orthogonaal stelsel. Dan vormen deze vectoren een onafhankelijk stelsel Bewijs: Stel, we hebben een relatie λ v + λ 2 v λ r v r = 0. Kies voor i een willekeurige index tussen en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen λ (v v i ) + λ 2 (v 2 v i ) + + λ r (v r v i ) = 0. Merk op dat v j v i = 0 voor alle j i vanwege de orthogonaliteit. Er blijft dus over, λ i (v i v i ) = 0. Omdat v i v i > 0 (want v i 0)) volgt hieruit dat λ i = 0. Dit geldt voor elke i en dus concluderen we dat v,..., v r een onafhankelijk stelsel vormen. Orthonormale bases van een deelruimte W zijn bijzonder handig om loodrechte projectie op W te berekenen. Stelling Zij W een deelruimte van R n en a,..., a r een orthonormale basis van W. Zij x R n. Dan wordt de loodrechte projectie van x op W gegeven door (x a )a + (x a 2 )a (x a r )a r.

2 2 HOOFDSTUK 95. ORTHOGONALITEIT Bewijs: We moeten aantonen dat de verschilvector x (x a )a (x a 2 )a 2 (x a r )a r loodrecht staat op a i voor i =,..., r. Ter controle bepalen we het inproduct x a i (x a )(a a i ) (x a r )(a r a i ). Voor alle indices j geldt dat a j a i = 0 tenzij j = i in welk geval we a i a i = hebben. Bijna alle termen zijn dus nul, behalve die voor j = i. Het inproduct wordt nu x a i (x a i )(a i a i ) = 0. En dat moesten we bewijzen. Het aardige is dat elke deelruimte een orthonormale basis bezit. Het bewijs gaat juist met orthogonale projecties. Stelling Elke deelruimte heeft een orthormale basis. Bewijs: Zij W de deelruimte. We bewijzen onze Stelling met inductie naar dim(w ). Als dim(w ) = dan zijn we klaar, we kiezen gewoon een vector w W van lengte. Stel nu r > en dat onze stelling waar is voor elke deelruimte van dimensie r. Stel nu dat dim(w ) = r. Kies een basis a,..., a r van W. De deelruimte W van W opgespannen door a,..., a r heeft dimensie r en heeft volgens de inductiehypothese een orthonormale basis. Laten we deze b,..., b r noemen. Zij nu a de projectie van a r op W. Dan staat a = a r a loodrecht op alle vectoren uit W. Kies nu b r = a / a. Dan heeft b r lengte en staat loodrecht of b,..., b r. Dus is b,..., b r een orthonormale basis van W. Dit inductieve bewijs geeft een constructieve manier om, gegeven een basis van een deelruimte, een orthonormale basis van die deelruimte te construeren. We starten met een basis a,..., a r. - Definieer b = a / a. Er geldt nu b =. - Definieer a 2 = a 2 (a 2 b )b. Dan staat a 2 loodrecht op b. - Definieer b 2 = a 2/ a 2. Dan heeft b 2 lengte en staat loodrecht op b. - Definieer a 3 = a 3 (a 3 b )b (a 3 b 2 )b 2. Dan staat a 3 loodrecht op b en b 2. - Definieer b 3 = a 3/ a 3. - Ga zo door tot we bij de r-de stap aankomen, a r = a r (a r b )b (a r b r )b r en b r = a r/ a r.

3 95.2. ORTHOGONALE AFBEELDINGEN 3 Uit al het voorgaande volgt nu dat b, b 2,..., b r een orthonormale basis van W is. We noemen de bovenstaande procedure de Gramm-Schmidt procedure. Voorbeeld Gevraagd een orthonormale basis van de deelruimte W R 4 opgespannen door (,, 0, ), (2, 0,, ), (0,,, 0). Laten we deze vectoren aangeven met respectievelijk a, a 2 en a 3. Dan geldt, b = a / a = (,, 0, )/ 3 a 2 = a 2 (a 2 b )b = (2, 0,, ) (,, 0, ) (,, 0, ) (2, 0,, ) 3 3 = (,,, 0) b 2 = (,,, 0)/ 3 a 3 = a 3 (a 3 b )b (a 3 b 2 )b 2 = (0,,, 0) (,, 0, ) (,, 0, ) (0,,, 0) 3 3 (0,,, 0) (,,, 0) (,,, 0) 3 3 = (/3, 0, /3, /3)/3 b 3 = (, 0,, )/ 3 De orthonormale basis wordt gegeven door 3 (,, 0, ), 3 (,,, 0), 3 (, 0,, ) Orthogonale afbeeldingen Een speciale klasse van lineaire afbeeldingen van R n zogenaamde orthogonale afbeeldingen. wordt gevormd door de Definitie Een lineaire afbeelding A : R n R n heet orthogonaal als Ax = x voor alle x R n. Dergelijke afbeeldingen zijn lengte-behoudend en voorbeelden hiervan worden gevormd door draaiingen en spiegeling zoals in voorgaande paragrafen behandeld. De naam orthogonaal vindt zijn oorsprong in het feit dat lengte-behoudende lineaire afbeeldingen ook inproduct-behoudend zijn. In het bijzonder zullen de beelden van twee orthogonale vectoren weer orthogonaal zijn. Dit blijkt uit de volgende stelling.

4 4 HOOFDSTUK 95. ORTHOGONALITEIT Stelling Zij A : R n R n een orthogonale afbeelding. Dan geldt dat A(x) A(y) = x y voor alle x, y R n. In het bijzonder volgt uit x y = 0 dat A(x) A(y) = 0. Bewijs: Uit het lengte-behoud van A volgt dat A(x+y) = x+y. Kwadrateer aan beide zijden en werk uit: A(x + y) 2 = x + y 2 A(x + y) A(x + y) = (x + y) (x + y) A(x) A(x) + 2A(x) A(y) + A(y) A(y) = x x + 2x y + y y A(x) 2 + 2A(x) A(y) + A(y) 2 = x 2 + 2x y + y 2 Gebruik nu dat A(x) = x en A(y) = y en we houden, na deling door 2, over dat A(x) A(y) = x y. Matrices van orthogonale afbeeldingen zijn gemakkelijk te herkennen. Stelling Zij A : R n R n een lineaire afbeelding en M A de bijbehorende matrix. Dan is A een orthogonale afbeelding precies dan als de kolommen van M A een orthonormaal stelsel vormen. Bewijs: De kolommen van M A worden gegeven door de beelden A(e i ) voor i =,..., n. Als A orthogonaal is dan geldt A(e i ) = e i voor i =,..., n. De kolommen van M A hebben dus lengte. Verder geldt voor elk paar i, j met i j dat A(e i ) A(e j ) = e i e j = 0. De kolommen van A staan dus onderling loodrecht. Stel nu dat de kolommen A(e i ) een orthonormaal stelsel vormen. Dan geldt voor elke vector x = x e + + x n e n dat A(x) 2 = A(x) A(x) = A(x e + + x n e n ) A(x e + + x n e n ) n n = x i x j A(e i ) A(e j ) i= j= Omdat A(e ) A(e j ) gelijk is aan 0 als i j en als i = j reduceert de laatste sommatie tot n i= x2 i = x 2. Conclusie: A(x) 2 = x 2 voor elke x R n en A is een orthogonale afbeelding. Definitie Een n n-matrix heet orthogonaal als de kolommen een orthonormaal stelsel vormen.

5 95.2. ORTHOGONALE AFBEELDINGEN 5 Stelling zegt dus dat een lineaire afbeelding orthogonaal is precies dan als de bijbehorende matrix orthogonaal is. Voorbeelden van orthogonale matrices hebben we in de voorgaande paragrafen gezien. Ga na dat de volgende matrices inderdaad orthogonaal zijn. De draaiingsmatrices in R 2, ( ) cos α sin α sin α cos α Spiegelingen in R 3 in het vlak loodrecht op a = (a, a 2, a 3 ) met a =, 2a 2 2a a 2 2a a 3 2a 2 a 2a 2 2 2a 2 a 3 2a 3 a 2a 3 a 2 2a 2 3 De matrix van de rotatie om een hoek π/2 met als draaias (, 2, 2), /9 8/9 4/9 4/9 4/9 7/9 8/9 /9 4/9 Stelling Zij U een n n-matrix. De volgende uitspraken zijn equivalent,. U is orthogonaal 2. U = U t 3. De rijen van U vormen een orthonormaal stelsel Bewijs: Stel dat U de kolommen u i (i =,..., n) heeft. We weten dat U t U (de zogenaamde Gramm-matrix) precies de n n-matrix is met op plaats i, j het element u i u j. In het bijzonder volgt hieruit dat U t U = I n precies dan als U een orthogonale matrix is. Dit bewijst de equivalentie van () en (2). Op analoge manier zien we dat de rijen van U een orthonormaal stelsel vormen precies dan als UU t = I n. En het laatste is equivalent met U t U = I n. Met betrekking tot de eigenwaarden van een orthogonale matrix kunnen wij het volgende zeggen. Stelling Zij U een orthogonale matrix. Dan geldt voor elke eigenwaarde λ C dat λ =. In het bijzonder, als λ R dan geldt λ = ±. Verder geldt dat det(u) = ±. Bewijs: Als U orthogonaal is dan geldt U t U = I n. Neem aan beide zijden de determinant. Dan krijgen we det(u) 2 = det(u t )det(u) = det(i n ) =. Dus det(u) = ±.

6 6 HOOFDSTUK 95. ORTHOGONALITEIT Zij nu λ C een eigenwaarde en v een eigenvector bij λ met complexe coëfficienten als λ R. Deze bepalen we gewoon door oplossing van het lineaire stelsel vergelijkingen Mv = λv. Stel v = (v,..., v n ) t. De complex geconjugeerde van v definieren we door v = (v,..., v n ) t. Merk op dat v t v = (v v 2 n). We weten dat Uv = λv. Neem de complex geconjugeerde en transponeer, v t U t = λv t. Vermenigvuldig de rechterkant van rechts met λv en de linkerkant met Uv. We krijgen v t U t Uv = λ 2 v t v. Gebruiken we nu U t U = I n en v t v = v v n 2 dan krijgen we v v n 2 = λ 2 ( v v n 2 ). Omdat v v n 2 0 volgt hieruit dat λ = Orthogonale afbeeldingen in R 2 en R 3 We bepalen hoe orthogonale afbeeldingen U : R 2 R 2 er uit zien. ( Daartoe ) a c bepalen we de orthogonale 2 2-matrices. Dat wil zeggen, matrices met b d de condities. a 2 + c 2 = 2. b 2 + d 2 = 3. ab + cd = 0 Uit de eerste vergelijking volgt het bestaan van een hoek φ zó dat a = cos φ en c = sin φ. Uit de derde vergelijking volgt dan b cos φ + d sin φ = 0. Oplossing hiervan geeft dat b = r sin φ, d = r cos φ voor zekere r R. Dit invullen in de tweede vergelijking geeft r 2 = en dus r = ±. We concluderen dat orthogonale 2 2-matrices één van de volgende vormen aanneemt, ( ) ( ) cos φ sin φ cos φ sin φ sin φ cos φ sin φ cos φ In het eerste type matrix herkennen we de rotatie in het platte vlak om de hoek φ. In het tweede voorbeeld zien we dat de eigenwaardevergelijking luidt λ 2 = 0. Er zijn dus twee reële eigenwaarden ±. De bijbehorende eigenvectoren zijn (sin φ, cos φ) (bij ) en (sin φ, cos φ) (bij ). Deze staan loodrecht op elkaar en we hebben dus te maken met een orthogonale spiegeling in de lijn met richting (sin φ, cos φ). Merk ook op dat de determinant van de matrix gelijk is aan in het eerste geval en in het tweede geval. We concluderen:

7 95.4. SYMMETRISCHE MATRICES 7 Stelling Een orthogonale afbeelding U : R 2 R 2 is ofwel een draaiing, ofwel een spiegeling. In het eerste geval geldt det(u) =, in het tweede geval det(u) =. We onderzoeken nu orthogonale afbeeldingen U : R 3 R 3. De eigenwaardevergelijking heeft graad 3. Er is dus altijd een reële oplossing λ en deze moet dus ± zijn. Geef een bijbehorende eigenvector aan met v. Zij W het vlak door de oorsprong dat loodrecht op v staat. Omdat U inproduct-behoudend is geldt dat U : W W. Omdat dim(w ) = 2, is U beperkt tot W een draaiing of spiegeling. We hebben nu vier mogelijkheden:. λ = en U : W W is een draaiing. In dit geval kunnen we U zien als een draaiing met v als draaiingsas. Merk op dat det(u) =. 2. λ = en U : W W is een spiegeling. In W zijn er orthogonale eigenvectoren v en v met eigenwaarde respectievelijk. In dit geval hebben we te maken met een spiegeling. Merk op dat det(u) =. 3. λ = en U : W W is een draaiing. Ditmaal hebben we te maken met een draaiing in het vlak W rond de as v, gevolgd door een loodrechte spiegeling in het vlak W waarbij v in v overgaat. We noemen dit een draaispiegeling. We hebben nu det(u) =. 4. λ = en U : W W is een spiegeling. In het vlak W zijn er twee onderling loodrechte vectoren v en v met eigenwaarden respectievelijk. Merk nu op dat we een draaiing om de hoek π in het vlak opgespannen door v en v hebben. Merk op dat det(u) =. Samenvattend, een orthogonale afbeelding van een driedimensionale ruimte naar zichzelf kan een draaiing of een draaispiegeling zijn. In het eerste geval is de determinant, in het tweede Symmetrische matrices Verreweg de belangrijkste stelling op het gebied van eigenwaarden en eigenvectoren is de volgende. Stelling (Hoofdstelling symmetrische matrices) Zij M een n n- matrix met elementen in R. Dan is er een basis van R n, bestaande uit onderling orthogonale eigenvectoren van M, precies dan als M t = M (maw M is een symmetrische matrix). We zullen deze stelling in stapjes bewijzen. Stel allereerst dat er een orthonormale basis v,..., v n van R n is, bestaande uit eigenvectoren van M. We gaan laten zien dat M symmetrisch is.

8 8 HOOFDSTUK 95. ORTHOGONALITEIT Geef de eigenwaarden met λ,..., λ n aan. Zij S de n n-matrix met de vectoren v i als kolommen. Dan is S een orthogonale matrix. Verder geldt dat S MS = Λ waarin Λ de diagonaalmatrix met de diagonaalelementen λ, λ 2,..., λ n is. Hieruit volgt dat M = SΛS. Gebruikmakend van Λ t = Λ en S t = S vinden we nu M = SΛS t en M t = (SΛS t ) t = (S t ) t Λ t S t = SΛS t = M. Met andere woorden, M is symmetrisch. Voorbeeld Zij P de matrix van een orthogonale projectie in R n op een deelruimte W. Er zijn twee eigenwaarden, namelijk 0 en. De eigenruimte bij bestaat precies uit alle vectoren in W. De eigenruimte bij 0 bestaat precies uit alle vectoren loodrecht op W. Zij f,..., f m een orthonormale basis van W en zij f m+,..., f n een orthonormale basis van W, de deelruimte van vectoren loodrecht op W. Dan is f,..., f n een orthonormale basis van R n, bestaande uit eigenvectoren van P. De matrix P is dus symmetrisch. Bijvoorbeeld, de matrix van de loodrechte projectie in R 3 op het vlak x + 2x 2 + 2x 3 = 0 wordt gegeven door 8/9 2/9 2/9 2/9 5/9 4/9 2/9 4/9 5/9 en deze matrix is inderdaad symmetrisch. Het lastigste deel van onze Hoofdstelling is aantonen dat een symmetrische matrix een orthonormale basis van eigenvectoren heeft. Allereerst laten we zien dat de eigenwaarden van een symmetrische matrix reëel zijn. Lemma Zij M een symmetrische matrix met elementen in R en λ C een eigenwaarde. Dan geldt, λ R. Bewijs: Zij λ C een eigenwaarde en v een eigenvector bij λ met complexe coëfficienten als λ R. Deze bepalen we gewoon door oplossing van het lineaire stelsel vergelijkingen Mv = λv. Stel v = (v,..., v n ) t. De complex geconjugeerde van v definieren we door v = (v,..., v n ) t. Merk op dat v t v = v v n 2. We weten dat Mv = λv. Neem de complex geconjugeerde en transponeer, v t M t = λv t. Vermenigvuldig de rechterkant v. We krijgen, omdat M t = M, v t Mv = λv t v. Gebruiken we nu Mv = λv en v t v = (v v 2 n) dan krijgen we λ( v v n 2 ) = λ( v v n 2 ). Hieruit volgt, omdat v v n 2 0, dat λ = λ, en dus λ R.

9 95.4. SYMMETRISCHE MATRICES 9 We laten nu zien dat een symmetrische n n-matrix M gediagonaliseerd kan worden met een orthogonale matrix. Met andere woorden, er is een orthogonale matrix U zó dat U MU diagonaal is, met uiteraard de eigenwaarden op de diagonaal. We gebruiken inductie naar n. Voor -matrices M is de stelling triviaal waar, elke matrix van dat formaat is zowel symmetrisch als diagonaal. Stel nu n > en stel dat onze bewering bewezen is voor (n ) (n )-matrices. Kies een eigenwaarde λ van M. Uit Lemma weten we dat λ R. Zij v de bijbehorende eigenvector. We mogen aannemen dat v =. Vul nu v aan tot een orthormale basis v, v 2,..., v n van R n en zij S de matrix met deze vectoren als kolommen. Dus S is een orthogonale matrix. Beschouw nu de matrix S MS. De eerste kolom van deze matrix wordt gegeven door S MSe = S Mv = λs v = λe. Met andere woorden, S MS heeft de vorm λ µ 2 µ n 0 µ 22 µ 2n.. 0 µ n2 µ nn Omdat S MS = S t MS ook een symmetrische matrix is, zien we dat µ k = 0 voor k = 2,..., n. Dus S MS heeft de vorm λ µ 22 µ 2n.. 0 µ n2 µ nn en de matrix µ 22 µ 2n M =.. µ n2 µ nn is symmetrisch. Dus bestaat er volgens de inductiehypothese een orthogonale (n ) (n )-matrix T zó dat T M T diagonaal is. Zij nu T de n n- matrix met als -ondermatrix T en op de eerste rij en kolom nullen behalve op plaats (, ) waar een staat. Dan diagonaliseert T de matrix S MS. Dus T S MST is diagonaal. Omdat ST orthogonaal is, als product van orthogonale matrices, is onze bewering bewezen.

10 0 HOOFDSTUK 95. ORTHOGONALITEIT 95.5 Opgaven. Verifieer in de volgende onderdelen dat de opspannende vectoren van W orthogonaal zijn en bepaal de projectie van b op W. (a) W = Span((2, 3, ), (,, )) en b = (2,, 4). (b) W = Span((, 0, ), (,, )) en b = (, 2, 3). (c) W = Span((,,, ), (,,, ), (, 0, 0, )) en b = (2,, 3, ). (d) W = Span((,,, ), (,,, ), (,,, )) en b = (, 4,, 2). 2. Vind een orthonormale basis voor de vectoren in de deelruimte gegeven door 2x + 3y + z = Bepaal een orthonormale basis voor de deelruimte in R 4 gegeven door x = x 2 + 2x 3 en x 4 = x 2 + x Pas het Gramm-Schmidt procédé toe op de vectoren (, 0, ), (0,, 2), (2,, 0). 5. Pas het Gramm-Schmidt procédé toe op de vectoren (, 0,, 0), (,,, 0), (,, 0, ) R Pas het Gramm-Schnidt procédé toe op de vectoren (,,, 0, 0), (, 0, 0, 0, ), (0, 0,, 0, ), (, 0, 0,, ) R Verifieer dat de onderstaande matrices orthogonaal zijn en bepaal hun inverse, ( ) 3/5 0 4/5, 4/5 0 3/ , Geef een derde kolom voor de matrix zó dat de matrix orthogonaal wordt / 3 / 2 / 3 0 / 3 / 2, 2/7 3/7 3/ 3 2/ 3 6/7 0

11 95.5. OPGAVEN 9. Vind een orthogonale matrix C zó dat C AC een diagonaalmatrix is voor de volgende symmetrische matrices A, ( ) ( ) 2 3 2, Zelfde vraag als in de vorige opgave, maar nu voor de matrices , Zelfde vraag als in de vorige opgave, maar nu voor de matrices , Zij v R n een niet-triviale vector. Bewijs dat I n 2 v 2 vv t een orthogonale matrix is. 3. Zij Q een m n-matrix waarvan de kolommen een orthonormaal stelsel vormen en Q 2 een n t-matrix waarvan de kolommen ook orthonormaal zijn. Bewijs dat de kolommen van Q Q 2 een orthormaal stelsel vormen.

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

Vectorruimten met inproduct

Vectorruimten met inproduct Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 28 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.

College WisCKI. Albert Visser. 28 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc. College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 28 november, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b + λa. b is steunvector

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Meetkunde en lineaire algebra

Meetkunde en lineaire algebra Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie

Lineaire Algebra SUPPLEMENT II

Lineaire Algebra SUPPLEMENT II Lineaire Algebra SUPPLEMENT II FBeukers 2012 Departement Wiskunde UU Inhoudsopgave 13 Eigenwaarden en eigenvectoren 3 131 Inleiding 3 132 Berekening van eigenwaarden en eigenvectoren 5 133 Basiseigenschappen

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten. WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de

Nadere informatie

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2 CTB00-D Lineaire Algebra Juli 03 Augustus 03 Juli 0 Augustus 0 Juli 0 Augustus 0 Juli 00 Augustus 00 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" Technische Universiteit Delft Faculteit

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

2. Transformaties en matrices

2. Transformaties en matrices Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

6. Lineaire operatoren

6. Lineaire operatoren 6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra 4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,

Nadere informatie

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes Wiskunde D vwo Lineaire algebra Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 9 november 205 Harm Houwing en John Romkes Vwo D Lineaire algebra Harm Houwing John Romkes Hoofdstuk 4 Onderwerpen Rekenen

Nadere informatie

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode 2008-2009 Een rechte conoïde met als richtrechte de X-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (0, 16, 0) en straal 9. (1) Stel

Nadere informatie

Lineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte

Lineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte Lineaire algebra en kegelsneden Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk Reële vectorruimten. De reële vectorruimte van de reële n-tallen Definitie Een reëel

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra A en B Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2007 2008 ii Syllabus bij Lineaire Algebra A (2WF07) en Lineaire Algebra B (2WF08) Inhoudsopgave 0 Vectorrekening

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006 Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie

Het orthogonaliseringsproces van Gram-Schmidt

Het orthogonaliseringsproces van Gram-Schmidt Het orthogonaliseringsproces an Gram-Schmidt Voor het berekenen an een orthogonale projectie an een ector y op een deelruimte W an R n is een orthogonale basis {u,, u p } zeer gewenst De orthogonale projectie

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Determinanten

Hoofdstuk 3 : Determinanten (A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld

Nadere informatie

Lineaire Algebra 2. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra 2. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra 2 Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2012-2013 ii Syllabus in wording bij Lineaire Algebra 2 (2WF30 Inhoudsopgave 1 Lineaire afbeeldingen 1 11 Lineaire

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in

Nadere informatie

1 Stelsels lineaire vergelijkingen.

1 Stelsels lineaire vergelijkingen. Stelsels lineaire vergelijkingen Ter herinnering: in de tweede klas Havo/Atheneum leer je twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen Voorbeeld: { x + y = 5 x + y = 0 Twee keer de eerste vergelijking

Nadere informatie

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product

Nadere informatie

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 6 27 februari 2014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we de rest van hoofdstuk 1.8 en 1.9 Voor de pauze: hoofdstuk 1.8 Na de pauze: hoofdstuk 1.9 2 Transformatie

Nadere informatie

Samenvatting theorie Meetkunde I

Samenvatting theorie Meetkunde I Meetkunde I Tweede bachelor wiskunde Samenvatting theorie Meetkunde I Auteurs: Stijn CAMBIE 1 samenvatting bewijzen (stelling 17) Zij p, q 2 punten van A n, zij {v 1, v 2 v n } een basis van T p A n en

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

3. Stelsels van vergelijkingen

3. Stelsels van vergelijkingen . Stelsels van vergelijkingen We gaan de theorie van de voorgaande hoofdstukken toepassen op stelsels van lineaire vergelijkingen. Een voorbeeld: bepaal alle oplossingen (x,, ) van het stelsel vergelijkingen

Nadere informatie

Voorwaardelijke optimalisatie

Voorwaardelijke optimalisatie Voorwaardelijke optimalisatie We zoek naar maximale minimale waard van e kwadratische vorm Q(x op R n onder bepaalde voorwaard Zo n voorwaarde is bijvoorbeeld dat x R n e eheidsvector is, dat wil zegg

Nadere informatie

Samenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer

Samenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer Samenvatting Lineaire Algebra 1 - Collegejaar 2013-2014 Dictaat met verwijzing naar het boek Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst

Nadere informatie

1 Triangulatiestellingen voor lineaire transformaties

1 Triangulatiestellingen voor lineaire transformaties Triangulatiestellingen voor lineaire transformaties Zoals bekend kan niet iedere lineaire transformatie L : V V van een vectorruimte (V, K) gediagonaliseerd worden. Als het lichaam K echter algebraïsch

Nadere informatie

Lineaire Algebra SUPPLEMENT I

Lineaire Algebra SUPPLEMENT I Lineaire Algebra SUPPLEMENT I F.Beukers 22 Departement Wiskunde UU Hoofdstuk 2 Vectorruimten 2. Axioma s Tot nu toe hebben we het uitsluitend over R n gehad. In de geschiedenis van de wiskunde blijkt

Nadere informatie

Frobenius lage rang benaderingen

Frobenius lage rang benaderingen Falcuteit Wetenschappen en Bio-Ingenieurswetenschappen Departement Wiskunde Frobenius lage rang benaderingen Proefschrift ingediend met het oog op het behalen van de graad Bachelor in de Wiskunde Dina

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

De 15-stelling. Dennis Buijsman 23 augustus Begeleiding: S. R. Dahmen

De 15-stelling. Dennis Buijsman 23 augustus Begeleiding: S. R. Dahmen De 15-stelling Dennis Buijsman 23 augustus 2015 Begeleiding: S. R. Dahmen Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

Nadere informatie

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( ) Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie

Nadere informatie

Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...)

Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...) 5. Lineaire ruimten Tot nu toe hebben we ons uitsluitend met de R n bezig gehouden. We gaan de behandelde theorie nu uitbreiden tot verzamelingen die een sterke overeenkomst met een R n vertonen. Een dergelijke

Nadere informatie