Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)"

Transcriptie

1 Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale doelen Veel verschijnselen kunnen met behulp van een stelsel lineaire vergelijkingen of van een stelsel lineaire differentiaal vergelijkingen beschreven worden. In de elektrotechniek is dit bijvoorbeeld het geval bij netwerken van weerstanden, condensatoren en spoelen. In de wiskunde worden de abstracte eigenschappen van zulke stelsels systematisch bestudeerd in de vakken Lineaire Algebra en Lineaire Analyse. Dit college beperkt zich tot de lineaire algebra. Vrijwel alle problemen in de lineaire algebra worden vertaald in een stelsel lineaire vergelijkingen. Zo n stelsel wordt omgezet in een uitgebreide matrix, deze wordt vervolgens geveegd (Gauss eliminatie) tot een standaard vorm waaruit alle oplossingen, indien ze bestaan, afgelezen kunnen worden. Van studenten wordt verwacht de verschillende begrippen, definities en stellingen te kunnen toepassen in concrete voorbeelden en deze met de hand te kunnen doorrekenen. De voorkomende matrices zullen veelal niet groter zijn dan 4 4 of 3 5. Faculteit Wiskunde en Informatica, Capaciteitsgroep Wiskunde, Leerstoelgebied Coderingstheorie en Cryptologie 1

2 3 Eindtermen Het college bestaat uit 5 weken van 2 uur, met een begeleidende instructie eveneens van 8 weken van 2 uur. Het studiemateriaal bestaat uit het boek: B. Kolman en D. R. Hill, Elementary Linear Algebra, Prentice Hall, 8th edition, ISBN paperback, ISBN hard cover. 2

3 3.1 Week 1: Determinanten Boek: 6.1, 6.2, 6.3 definitie en eigenschappen van determinanten cofactor en het ontwikkelen van een determinant permutatie, inversie, (on)even determinant minor, cofactor Regel van Sarrus voor de determinant van een 3 3 matrix det(a) = det(a T ) Regels hoe de determinant van een matrix zich gedraagt onder de 3 elementaire operaties det(a) = 0, als twee rijen of kolommen hetzelfde zijn als A een bovendriehoeks matrix, dan det(a) = a 11 a nn berekenen van een determinant door het vegen tot een bovendriehoeks matrix det(ea) = det(e) det(a), voor een elementaire matrix E det(ab) = det(a) det(b), voor alle n n matrices A en B A is niet singulier dan en slechts dan als det(a) 0 als A niet singulier dan geldt det(a 1 ) = (det(a)) 1 ontwikkelen van een determinant naar een rij (kolom) m.b.v. cofactoren berekenen van een oppervlak van een driehoek of parallellogram 3

4 3.2 Week 2: Toepassingen van determinanten Boek: 6.4, 6.5 geadjungeerde en inverse van een matrix toepassingen van determinanten regel van Cramer geadjungeerde matrix Voor een n n matrix A zijn de volgende beweringen equivalent det(a) 0 A is niet singulier de rijen (kolommen) van A zijn onafhankelijk x = 0 is de enige oplossing van Ax = 0 de rang van A is n 4

5 3.3 Week 3: Lineaire afbeeldingen, eigenwaarden en eigenvectoren Boek: 5.1, 7.1, 7.2 lineaire afbeeldingen eigenwaarden en eigenvectoren karakteristieke polynoom diagonaliseren van matrices en gelijkvormige matrices lineaire afbeelding of operator spiegeling, projectie, uitrekking en inkrimping, rotatie lineaire afbeelding van een matrix matrix van een lineaire afbeelding t.o.v. een basis eigenvector van een lineaire afbeelding met geassocieerde eigenwaarde karakteristieke polynoom en vergelijking gelijkvormige en diagonaliseerbare matrices voor een lineaire afbeelding L geldt L(0) = 0 en L(u v) = L(u) L(v) de eigenwaarden zijn de nulpunten van het karakteristieke polynoom gelijkvormige matrices hebben dezelfde eigenwaarden en karakteristieke polynoom een lineaire afbeelding L is diagonaliseerbaar dan en slechts dan als L een basis van eigenvectoren heeft een matrix A is gelijkvormig met een diagonaal matrix D dan en slechts dan als A een basis van eigenvectoren heeft. Bovendien staan dan de eigenwaarden van A op de diagonaal van D een n n matrix is diagonaliseerbaar als deze n vershillende eigenwaarden heeft 5

6 3.4 Week 4: Differentiaalvergelijkingen, lengte en hoeken Boek: 8.1, 4.1 differentiaalvergelijkingen lente en richtingen in het valk en de ruimte standaard inprodukt differentiaalvergelijking, (homogeen) stelsel differentiaalvergelijkingen algemene oplossing van een differentiaalvergelijking m.b.v. eigenvectoren lengte, afstand, hoeken, cosinus regel standaard inprodukt, dot produkt orhtogonale (loodrechte) vectoren, eenheids vector De algemene oplossing van een differentiaalvergelijking x = Ax is van de vorm x(t) = b 1 p 1 e λ 1t + +b n p n e λnt met b 1,..., b n willekeurig te kiezen reële getallen, als A een n n diagonaliseerbare matrix is met p 1,..., p n een basis van eigenvectoren met bijbehorende eigenwaarden λ 1,..., λ n cosinus regel de eigenschappen van het standaard inprodukt: positief definiet, symmetrie en lineariteit 6

7 3.5 Week 5: Vectorruimten met inproduct Boek: 4.3, 4.4 en 4.5 (met uitzondering van QR factorizatie, projecties en toepassingen, Fourier reeksen) vectorruimten met inproduct procedure van Gram-Schmidt orthogonale complement axiomatische definitie van een inprodukt: positief definiet, symmetrie en lineariteit invoering van een inprodukt op R n door (u, v) = u T Av waarbij A een symmetrische positief definiete n n matrix is lengte van een vector, afstand en hoek tussen twee vectoren orthogonale en orthonormale stelsels procedure van Gram-Schmidt voor het vinden van een orthonormale basis orthogonale complement W van W in een inproduktruimte V de symmetrische matrix C met c ij = (v i, v j ) ten opzichte van basis v 1,..., v n is symmetrisch en bepaalt het inprodukt volledig Cauchy-Schwarz ongelijkheid cosinus regel en driehoeks ongelijkheid een orthogonaal stelsel vectoren (ongelijk aan de nulvectoren) is onafhankelijk de i-e coördinaat van vector v ten opzichte van een orthonormale basis v 1,..., v n is gelijk aan (v, v i ) W is een deelruimte, W W = {0} en (W ) = W als V eindig dimensionaal is de nulruimte van A T is het orthogonale complement van de kolommenruimte van A x in de nulruimte van een matrix A dan en slechts dan als x T in het orthogonale complement van de rijenruimte van A 7

Inleiding tot de incidentiemeetkunde

Inleiding tot de incidentiemeetkunde HOOFDSTUK 3 Inleiding tot de incidentiemeetkunde Incidentiemeetkunde is een theoretisch kader waarin bijna elke vorm van meetkunde past. Wij zullen onder andere zien hoe affiene en projectieve meetkunde

Nadere informatie

3 Rekenen aan lijnen

3 Rekenen aan lijnen 3 Rekenen aan lijnen Dit is een bewerking van Meetkunde met coördinaten lok Lijnen, richtingen en waaiers van ad Goddijn ten behoeve van het nieuwe programma (015) wiskunde vwo. pgaven met dit merkteken

Nadere informatie

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1

Nadere informatie

J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A

J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A 2 jan dezider kees koomen-majernik Fundamentele vergelijkingen De Schrödingervergelijking:

Nadere informatie

Constructies met passer en liniaal, origami en meccano. Een wiskunde-d module geschreven door Luuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht

Constructies met passer en liniaal, origami en meccano. Een wiskunde-d module geschreven door Luuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht Constructies met passer en liniaal, origami en meccano Een wiskunde-d module geschreven door Luuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht Deze module is in ontwikkeling en wordt uitgeprobeerd in het najaar

Nadere informatie

Syllabus Algebra 3. Prof. Dr G. van der Geer

Syllabus Algebra 3. Prof. Dr G. van der Geer Algebra III 1 Syllabus Algebra 3 voorlopige versie Prof. Dr G. van der Geer Korteweg-de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam Science Park 904 1098 XH Amsterdam Versie: 2014 Algebra III 1 1. Symmetrische

Nadere informatie

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)

Nadere informatie

Beste ouder(s)/verzorger(s),

Beste ouder(s)/verzorger(s), Beste ouder(s)/verzorger(s), U vraagt zich soms af wat uw kind in groep 1 en 2 leert m.b.t. het vak rekenen. Rekenen is één van de basisvaardigheden die jonge kinderen goed onder de knie moeten krijgen.

Nadere informatie

Golven en tsunami s. universiteit Twente. Wiskunde in wetenschap vwo D

Golven en tsunami s. universiteit Twente. Wiskunde in wetenschap vwo D Wiskunde in wetenschap vwo D Golven en tsunami s Wiskundig modelleren: Golven en tsunami s 1. Golven en tsunami s 2. Golfsnelheid 2.1.De snelheid van watergolven 2.2.Korte golven 2.3.ange golven 3. Verandering

Nadere informatie

Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten

Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten 1 Differentiaalvergelijkingen Als we een functie y : t y(t) expliciet, in formulevorm, kennen, dan is het niet zo moeilijk hiervan de afgeleide

Nadere informatie

De Geometria non- Euclides liber. Pascal Wissink & Jelmer Mulder

De Geometria non- Euclides liber. Pascal Wissink & Jelmer Mulder De Geometria non- Euclides liber Pascal Wissink & Jelmer Mulder I Wat is niet-euclidische Meetkunde? Om uit te leggen wat niet-euclidische meetkunde, een specifieke tak in de wiskunde, precies inhoudt

Nadere informatie

Niet-euclidische meetkunde

Niet-euclidische meetkunde Keuzeonderdeel Wiskunde D Hans van Ballegooij Maaslandcollege, Oss Dictaat Versie: 15 februari 2013 Een Wiskunde D-module voor HAVO/VWO 5 leerlingen die: Meer willen weten over Niet-euclidische meetkunde

Nadere informatie

Wegen als correctie ctie voor non-respons0o

Wegen als correctie ctie voor non-respons0o 07 Wegen als correctie ctie voor non-respons0o s Jelke Bethlehem Statistische Methoden (08005) Voorburg/Heerlen, 2008 Verklaring van tekens. = gegevens ontbreken * = voorlopig cijfer x = geheim = nihil

Nadere informatie

[Hanssen, 2001] R F Hanssen. Radar Interferometry: Data Interpretation and Error Analysis. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001.

[Hanssen, 2001] R F Hanssen. Radar Interferometry: Data Interpretation and Error Analysis. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001. Hoe werkt het? Beeldvormende radar maakt het mogelijk om dag en nacht, ook in bewolkte omstandigheden, het aardoppervlak waar te nemen vanuit satellieten. De radar zendt duizenden pulsen per seconde uit,

Nadere informatie

Formules in Word 1032

Formules in Word 1032 032 Formules in Word Colofon: Uitgave.0 : M.M. Witkam, december 2000 Nummer : 032 Auteur : drs. M.M. Witkam Profieldeel : Profiel : Wiskunde Prijs : Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar

Nadere informatie

Havo wiskunde D Vectoren en meetkunde

Havo wiskunde D Vectoren en meetkunde Havo wiskunde D Vectoren en meetkunde Inhoudsopgave Vectoren en meetkunde 1 Vectoren 1 2 Vectoren in een assenstelsel 7 3 Vlakken en lijnen in de ruimte 13 4 Rekenen in de ruimte 17 5 De cosinusregel 27

Nadere informatie

5 Niet-lineaire regressie

5 Niet-lineaire regressie 5 Niet-lineaire regressie Als laatste van de soorten regressie zullen we in dit hoofdstuk de niet-lineaire regressie bespreken. Dit zijn modellen waarin de modelparameters(meestal aangegeven met β i )

Nadere informatie

Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde Andrré van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam

Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde Andrré van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde André van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam Einstein s speciale relativiteitstheorie, maarr dan begrijpelijk

Nadere informatie

Programmeren op de Casio fx-9860g

Programmeren op de Casio fx-9860g Programmeren op de Casio fx-9860g Praktische opdracht september 2007 1 2 Inleiding Een programma is een reeks instructies die aangeven wat de computer, en in ons geval de grafische rekenmachine (GR), moet

Nadere informatie

WISKUNDIGE OPGAVEN MET DE OPLOSSINGEN

WISKUNDIGE OPGAVEN MET DE OPLOSSINGEN WISKUNDIGE OPGAVEN MET DE OPLOSSINGEN DOOR LEDEN VAN MET WISKUNDIG GENOOTSCMAP TER SPREUKE VOERENDE LEN ONVERMOEIDE ARBEID KOMT ALLES TB BOVEN Ia~~;o_ IO~~4 NEGENTIENDE DEEL BOEKBINDERrJ K I ~ V I T ST

Nadere informatie

Werkbladen vergelijking van een rechte

Werkbladen vergelijking van een rechte In deze werktekst proberen wij de vergelijkingen op te stellen van rechten die aan bepaalde voorwaarden voldoen. Wij onderscheiden volgende gevallen: 1. Vergelijking van een rechte gaande door de oorsprong

Nadere informatie

Inhoud hoofdstuk 9. Domeinmodellen. Introductie 89. Leerkern 90. Zelftoets 120. Terugkoppeling 121

Inhoud hoofdstuk 9. Domeinmodellen. Introductie 89. Leerkern 90. Zelftoets 120. Terugkoppeling 121 Inhoud hoofdstuk 9 Domeinmodellen Introductie 89 Leerkern 90 1 Wat is een domeinmodel? 90 2 De bouwstenen van een domeinmodel 91 2.1 Klassen en attributen 91 2.2 Afleidbare attributen 92 2.3 Attributen

Nadere informatie

Het SQL Leerboek zevende editie Introductie tot de verzamelingenleer en de logica

Het SQL Leerboek zevende editie Introductie tot de verzamelingenleer en de logica Het SQL Leerboek zevende editie Introductie tot de verzamelingenleer en de logica Auteur: Rick F. van der Lans Versie: 1.0 Datum: Februari 2012 2 Het SQL Leerboek Introduktie tot de verzamelingenleer en

Nadere informatie

Johan van Benthem Hans van Ditmarsch Jan van Eijck. Logica in actie

Johan van Benthem Hans van Ditmarsch Jan van Eijck. Logica in actie Logica in actie Johan van Benthem Hans van Ditmarsch Jan van Eijck Logica in actie Dit boek bevat de teksten van de cursus Logica in actie. De volledige cursus is beschikbaar op www.spinoza.ou.nl. Meer

Nadere informatie

Het is heel belangrijk dat het groepsplan naadloos

Het is heel belangrijk dat het groepsplan naadloos Het is heel belangrijk dat het groepsplan naadloos aansluit bij de praktijk in je klas-lokaal. In dit artikel maken we die verbinding. Geen groepsplannen omdat het moet, maar omdat het werkelijk bijdraagt

Nadere informatie

10. Controleopdrachten

10. Controleopdrachten Computeralgebra met Maxima 10. Controleopdrachten 10.1. Functies en operatoren voor lijsten/vectoren/arrays Een van de eenvoudigste maar belangrijkste lusachtige functies is de makelist opdracht. Voor

Nadere informatie

Geneesmiddelen met een therapeutische minderwaarde ten opzichte van andere in het pakket opgenomen behandelmogelijkheden. Hiervan is sprake indien

Geneesmiddelen met een therapeutische minderwaarde ten opzichte van andere in het pakket opgenomen behandelmogelijkheden. Hiervan is sprake indien Criteria voor beoordeling therapeutische waarde 1. Inleiding De Wetenschappelijke Adviesraad (WAR) beoordeelt geneesmiddelen met een tweeledig doel. Enerzijds is dat het geven van een duidelijke plaatsbepaling

Nadere informatie

Waarom het voor u zo BELANGRIJK is dat wij onafhankelijk zijn! 100% ONAFHANKELIJK

Waarom het voor u zo BELANGRIJK is dat wij onafhankelijk zijn! 100% ONAFHANKELIJK Waarom het voor u zo BELANGRIJK is dat wij onafhankelijk zijn! 100% ONAFHANKELIJK Er zijn BELANGRIJKE verschillen Nederland telt veel verzekeringsmaatschappijen. Elke maatschappij heeft eigen producten

Nadere informatie

Logica voor alfa s en informatici. Jan van Eijck & Elias Thijsse

Logica voor alfa s en informatici. Jan van Eijck & Elias Thijsse Logica voor alfa s en informatici Jan van Eijck & Elias Thijsse Academic Service, Schoonhoven 1989 Inhoud 1 Algemene inleiding 1 1.1 Doelstelling........................... 1 1.2 Gebruiken en noemen van

Nadere informatie

Geen tekort aan technisch opgeleiden

Geen tekort aan technisch opgeleiden Geen tekort aan technisch opgeleiden Auteur(s): Groot, W. (auteur) Maassen van den Brink, H. (auteur) Plug, E. (auteur) De auteurs zijn allen verbonden aan 'Scholar', Faculteit der Economische Wetenschappen

Nadere informatie